케어프리 상수
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1. 본문
케어프리 상수(Carefree constant)는 수학에서 특정 조건을 만족하는 쌍의 밀도를 나타내는 상수입니다. "케어프리"라는 용어는 서로소(coprime)이고 제곱 인수가 없는(squarefree) 두 자연수의 쌍을 나타낼 때 사용됩니다.
케어프리 상수에는 여러 종류가 있습니다:
- 케어프리 상수 (K₁): 두 자연수 a, b가 서로소이고, a가 제곱 인수가 없을 때, 이러한 쌍 (a, b)의 밀도를 나타냅니다. 값은 약 0.4282495056770944... 입니다.
- 강한 케어프리 상수 (K₂): 두 자연수 a, b가 서로소이고, a와 b 모두 제곱 인수가 없을 때, 이러한 쌍 (a, b)의 밀도를 나타냅니다. 값은 약 0.2867474284344787... 입니다.
- 약한 케어프리 상수 (K₃): 두 자연수 a, b가 서로소이고, a와 b 중 적어도 하나가 제곱 인수가 없을 때 이러한 쌍 (a,b)의 밀도를 나타냅니다.
이 상수들은 다음 수식으로 표현될 수 있습니다:
- K₁ = 1/ζ(2)² * ∏p (1 - 2/(p²-1))
- K₂ = 1/ζ(2)³ * ∏p (1 - (3p-2)/p³)
- K₃ = 2K₁ - K₂
(여기서 ζ(s)는 리만 제타 함수, ∏p는 모든 소수 p에 대한 곱을 나타냅니다.)
케어프리 상수는 정수론, 확률론 등 다양한 분야에서 활용될 수 있습니다.
| 케어프리 상수 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 값 | 0.878583... |
| 기호 | C |
| 분야 | 수학 |
| 유형 | 수학 상수 |
| 성질 | |
| 정의 | 평균 이동 거리의 점근 극한값 |
| 표현 | C = lim{n→∞} E[max{X₁, ..., Xₙ}] / √n (Xᵢ는 표준 정규 분포에서 독립적으로 추출) |
| 관련 상수 | 피타고라스 상수 테타 상수 엠브리-트레페텐 상수 |
| 추가 정보 | |
| 명명 유래 | 니콜라스 케어프리 |
| 발견 | 1988년 |
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