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수학

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목차

1. 개요

수학은 고대부터 현대까지 문명 발전에 필수적인 학문으로, 건축, 천문학, 정치, 상업 등 다양한 분야에 응용되어 왔다. 산술, 대수학, 기하학, 해석학, 수학기초론, 이산수학, 응용수학 등 여러 세부 분야로 나뉘며, 자연과학, 공학, 사회과학 등 다른 학문 분야와도 밀접한 관련을 맺고 있다. 수학은 모델링, 추상적 사고력, 문제 해결 능력을 길러주며, 수학 교육은 사회적 측면과 함께 STEM 분야의 핵심 요소로 강조된다. 수학 관련 상으로는 필즈상, 아벨상 등이 있으며, 힐베르트의 문제와 밀레니엄 문제와 같이 수학계의 오랜 난제들이 존재한다. 한국 수학은 고대부터 독자적인 발전을 이루었으며, 현대에는 허준이 교수와 같은 세계적인 수학자를 배출하며 국제적인 위상을 높이고 있다.

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수학 포털 배너 배경
학문 정보
학문명수학
학문 분야자연과학
관련 직업수학자
언어
영어mathematics, math, maths

2. 역사

수학의 역사는 인류 문명의 발전과 함께 했다. 고대부터 건축, 천문학, 정치, 상업 등 여러 분야에서 수학적 개념이 활용되었다. 교역, 분배, 과세 등 사회 생활에 필요한 계산뿐만 아니라, 농경 생활에 필수적인 천문 관측, 달력 제작, 토지 측량에도 수학이 사용되었다. 메소포타미아, 이집트, 인도, 중국, 그리스 등 고대 문명은 수학 발전에 크게 기여했다.

고대 그리스에서는 방정식에서 변수를 문자로 표기하는 등 추상화가 발전했고, 유클리드의 원론에서는 엄밀한 논증에 기반한 수학이 처음 등장했다. 16세기 르네상스 시대에는 과학적 방법과 수학의 상호 작용을 통해 수학과 자연과학 분야에서 혁명적인 연구가 진행되었고, 이는 인류 문명 발달에 큰 영향을 미쳤다.

'수학'이라는 용어는 송나라 진구소의 『수서구장』(1247년)에서 처음 사용되었으며,[213] 명나라 말에는 『수학통궤』라는 책이 나왔다. 일본의 수학자들도 '수학'이라는 용어를 사용했는데, 관가와의 저서 『수학잡저』 등 여러 서적에서 찾아볼 수 있다.

메이지 유신 이후, 한역 수학 서적의 번역어를 무분별하게 사용하여 '수학'이 좁은 의미로 사용되기도 했지만, 1882년 도쿄수학회사(현 일본수학회) 회의에서 Mathematics영어의 번역어로 '수학'을 채택하면서[214][215] 현재와 같은 넓은 의미로 사용되게 되었다. 이 회의에서 키쿠치 다이로쿠는 '수리학'을, 아라카와 주우헤이는 '산학'을 제안하기도 했으나, 나카가와 마사유키와 오카모토 노리오키의 안에 따라[216] '수학'으로 결정되었다.

2. 1. 고대

역사적으로 고대부터 현대에 이르기까지 문명에 필수적인 건축, 천문학, 정치, 상업 등에 수학적 개념들이 응용되어 왔다. 교역·분배·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산에 수학이 관여해 왔고, 농경 생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 사용된 분야이다. 고대 수학을 크게 발전시킨 문명으로는 메소포타미아, 이집트, 인도, 중국, 그리스 등이 있다.

기원전 1800년경의 바빌로니아 수학 점토판 ''플림프턴 322''


물체를 세는 방법을 인지한 것 외에도, 선사 시대 사람들은 시간(날, 계절 또는 해)과 같이 추상적인 양을 세는 방법을 알고 있었을 가능성이 있다.[67][68] 보다 복잡한 수학에 대한 증거는 기원전 3000년경까지 나타나지 않는데, 이때 바빌로니아인과 이집트인들이 과세 및 기타 재정 계산, 건축 및 건설, 천문학에 산술, 대수 및 기하학을 사용하기 시작했다. 메소포타미아와 이집트에서 가장 오래된 수학 텍스트는 기원전 2000년에서 1800년 사이의 것이다.[69] 많은 초기 텍스트는 피타고라스 삼조를 언급하며, 따라서 추론에 따르면 피타고라스 정리는 기본적인 산술과 기하학 다음으로 가장 오래되고 널리 퍼진 수학적 개념인 것으로 보인다. 바빌로니아 수학에서 기본 산술(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈)이 고고학적 기록에 처음으로 등장한다. 바빌로니아인들은 또한 자릿값 시스템을 가지고 있으며, 오늘날에도 각도와 시간을 측정하는 데 사용되는 60진법 숫자 시스템을 사용했다.

기원전 6세기에 그리스 수학이 독립적인 학문으로 등장하기 시작했고, 피타고라스 학파와 같은 일부 고대 그리스인들은 그것을 자체적인 주제로 간주했던 것으로 보인다.[70] 기원전 300년경, 유클리드는 공리와 첫 번째 원리를 통해 수학적 지식을 체계화했는데, 이는 오늘날 수학에서 사용되는 공리적 방법(정의, 공리, 정리, 증명으로 구성됨)으로 발전했다.[71] 그의 책인 ''원론''은 역사상 가장 성공적이고 영향력 있는 교과서로 널리 여겨진다. 고대의 가장 위대한 수학자는 종종 시라쿠사( 시라쿠사)의 아르키메데스로 여겨진다. 그는 회전체의 표면적과 부피를 계산하는 공식을 개발했고, 현대 미적분과 크게 다르지 않은 방식으로 무한급수의 합을 사용하여 포물선의 호 아래 넓이를 계산하기 위해 소진법을 사용했다. 그리스 수학의 다른 주목할 만한 업적은 원뿔곡선(페르가의 아폴로니우스, 기원전 3세기), 삼각법(니케아의 히파르쿠스, 기원전 2세기), 그리고 대수의 시작(디오판토스, 서기 3세기)이다.

기원전 2세기에서 서기 2세기 사이로 거슬러 올라가는 박샤리 사본에 사용된 숫자

2. 2. 중세 및 근대

이슬람 황금기에는, 특히 9세기와 10세기에 걸쳐 그리스 수학을 기반으로 한 많은 중요한 혁신이 이루어졌다. 이슬람 수학의 가장 주목할 만한 업적은 대수학의 발전이었다.[75] 이 시기의 다른 업적으로는 구면 삼각법의 발전과 아랍 숫자 체계에 소수점의 추가가 있었다.[75] 이 시대의 주목할 만한 수학자들은 대부분 페르시아인이었는데, 알-콰리즈미, 오마르 카이얌, 샤라프 알딘 알투시 등이 대표적이다.[76]
알-콰리즈미의 ''알자브르''의 한 페이지
그리스어와 아랍어 수학 문헌들은 중세 시대에 라틴어로 번역되어 유럽에 전해졌다.[77]

근세에 들어 서유럽에서는 수학이 빠르게 발전하기 시작했다. 변수와 기호 표기법의 도입(프랑수아 비에트, 1540–1603), 로그의 도입(존 네이피어, 1614)은 수치 계산을 크게 단순화하여 천문학과 항해 등에 기여했다. 좌표의 도입(르네 데카르트, 1596–1650)은 기하학을 대수로 표현하는 것을 가능하게 했다. 미적분학의 발전(아이작 뉴턴, 1643–1727, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 1646–1716)은 수학과 자연과학의 혁명적인 발전을 이끌었다. 18세기의 가장 주목할 만한 수학자인 레온하르트 오일러(1707–1783)는 표준화된 용어를 사용하여 이러한 혁신들을 통합하고 수많은 정리를 발견하고 증명했다.[78]

2. 3. 현대

19세기 말, 수학의 기초에 대한 위기가 발생하면서 수리논리학과 집합론이 발전했다. 20세기에는 수학의 각 분야가 더욱 세분화되고 전문화되었다.

2. 4. 한국의 관점

한국에서 '수학'이라는 용어는 송나라 진구소의 『수서구장』(1247년)에서 처음 사용되었으며[213], 명나라 말에는 『수학통궤』라는 책이 나왔다. 일본의 수학자들도 '수학'이라는 용어를 사용했는데, 관가와의 저서 『수학잡저』 등 여러 서적에서 찾아볼 수 있다.

메이지 유신 이후, 한역 수학 서적의 번역어를 무분별하게 사용하여 '수학'이 좁은 의미로 사용되기도 했지만, 1882년 도쿄수학회사(현 일본수학회) 회의에서 Mathematics영어의 번역어로 '수학'을 채택하면서[214][215] 현재와 같은 넓은 의미로 사용되게 되었다. 이 회의에서 키쿠치 다이로쿠는 '수리학'을, 아라카와 주우헤이는 '산학'을 제안하기도 했으나, 나카가와 마사유키와 오카모토 노리오키의 안에 따라[216] '수학'으로 결정되었다.

3. 세부 분야

현대 수학은 크게 대수학, 기하학, 해석학의 세 분야로 나뉜다. 또한, 이러한 수학을 기술하는 데 필요한 도구를 제공하는 논리학을 연구하는 학문을 수학기초론이라고 한다.


  • 기초: 수학의 기초를 명확히 하거나 수학 자체를 연구하기 위해 집합론, 수리논리학, 모델 이론 등이 발전했다. 니콜라 부르바키는 집합론에 기반한 수학의 기초를 세우고, 『수학원론』을 저술하여 현대 수학 발전에 큰 영향을 주었다. 범주론은 대상 간의 관계가 만드는 시스템에 초점을 두어 대상을 연구하는 방법으로, 컴퓨터 네트워크 등에도 응용된다.
  • 구조: 수, 함수, 도형 속의 점 등 수학적 대상 사이에 성립하는 다양한 관계를 형식화하고 공리화하여 조사한다. 순서 구조, 군 구조, 위상 구조 등의 개념이 공리화되어 연구된다. 추상대수학은 다양한 대수 구조의 성질을 연구하며 20세기에 크게 발전했다.
  • 공간: 공간 연구는 기하학에서 시작되었으며, 처음에는 유클리드 기하학이나 삼각법을 다루었지만, 나중에는 비유클리드 기하학으로 일반화되었다. 미분기하학과 대수기하학은 기하학을 다른 방향으로 발전시켰다. 군론은 대칭 개념을 추상적으로 연구하여 공간과 대수 구조 연구를 연결한다. 위상수학은 연속 개념에 주목하여 공간과 변화를 연구한다.
  • 해석: 측정량에 대한 변화를 이해하고 기술하는 것은 자연과학의 공통된 주제이며, 미적분학이 이러한 목적을 위한 도구로 발전했다. 변화하는 양을 나타내는 도구는 함수이다. 실해석학은 실수의 성질과 실수값을 취하는 함수의 성질을 연구하며, 복소해석학은 복소수로 확장하여 연구한다. 함수해석학은 함수 공간에 관심을 가지며, 양자역학 등의 기반이 된다. 역학계는 자연의 많은 현상을 기술하며, 카오스 이론은 예측 불가능한 현상을 다룬다.
  • 컴퓨터: 컴퓨터의 이론적 개념은 계산 가능성 이론, 계산 복잡도 이론, 정보 이론, 알고리즘 정보 이론 분야로 발전했다. 이산수학은 컴퓨터 과학에 유용한 수학 분야를 통칭하며, 수치 해석은 컴퓨터에서 수치 해를 구하는 방법을 연구한다. 계산 과학은 컴퓨터 과학을 활용하여 자연과학의 문제를 해결한다.
  • 통계: 응용수학의 중요한 분야로 통계학이 있다. 통계학은 무작위 현상의 기술, 분석, 예측을 가능하게 하며 모든 과학에서 이용된다.


이 외에도 다음과 같은 분야들이 있다.

분야설명
대수학수 대신 문자를 사용하여 방정식을 풀고, 수학적 법칙을 일반화
기하학공간에 대한 연구
해석학변화에 대한 이해와 묘사
집합론집합의 성질과 연산을 연구
정보과학정보의 처리, 저장, 전달 등을 연구
확률론무작위 현상을 수학적으로 연구
통계학데이터의 수집, 분석, 해석, 표현 등을 연구
논리학추론의 타당성을 연구


기타 세부 분야

3. 1. 산술

주판은 고대로부터 계산 도구로 사용되어왔다.


산술은 자연수와 정수 및 이에 대한 사칙연산에 대한 연구로서 시작했다. 수론은 이런 주제들을 보다 깊게 다루는 학문으로, 그 결과로는 페르마의 마지막 정리 등이 유명하다. 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측 등 오랜 세월 동안 해결되지 않고 남아있는 문제들도 여럿 있다.

수의 체계가 발전하면서, 정수의 집합을 유리수 집합의 부분집합으로 여기게 되었다. 유리수의 집합은 실수 집합의 부분집합이며, 이는 또다시 복소수 집합의 일부분으로 볼 수 있다. 더 나아가면 사원수와 팔원수 등의 개념을 생각할 수도 있다. 이와는 약간 다른 방향으로, 자연수를 무한대까지 세어나간다는 개념을 형식화하여 순서수의 개념을 얻으며, 집합의 크기 비교를 이용하여 무한대를 다루기 위한 또 다른 방법으로는 기수의 개념도 있다.[13]

3. 2. 대수학

대수학은 수 대신 문자를 사용하여 방정식을 풀고, 수학적 법칙을 일반화하는 분야이다. 디오판토스(3세기)와 알콰리즈미(9세기)는 대수학의 두 주요 선구자로 여겨진다.[25] 디오판토스는 미지수를 포함하는 방정식을 풀었고,[26] 알콰리즈미는 방정식을 변형하는 체계적인 방법을 도입했다.[27] '대수학'이라는 용어는 알콰리즈미가 주요 논문의 제목에서 사용한 아랍어 단어 ''al-jabr''에서 유래되었는데, 이는 '부러진 부분의 재결합'을 의미한다.[28][29]

프랑수아 비에트(1540~1603)는 미지수를 나타내는 변수를 도입하여 대수학을 독립적인 영역으로 발전시켰다.[30] 변수를 사용함으로써 수학자들은 수학 공식을 통해 숫자에 대한 연산을 설명할 수 있게 되었다.[31]

19세기까지 대수학은 주로 일차 방정식(현재는 ''선형 대수학'')과 단일 미지수에 대한 다항 방정식(''대수 방정식''이라고도 함) 연구에 집중되었다. 그러나 19세기 이후, 수학자들은 행렬, 모듈러 정수, 기하 변환 등 숫자가 아닌 다른 대상을 나타내는 데 변수를 사용하기 시작했고, 이에 따라 산술 연산의 일반화가 이루어졌다.

대수 구조의 개념은 이러한 흐름 속에서 나타났으며, 요소가 불특정인 집합, 집합의 요소에 작용하는 연산, 그리고 이러한 연산이 따라야 하는 규칙으로 구성된다. 에미 뇌터의 연구를 통해 ''현대 대수학'' 또는 추상 대수학으로 불리는 대수학의 범위는 대수 구조의 연구를 포함하도록 확장되었다.[32]

대수 구조는 수학의 여러 영역에서 유용하며, 다음을 포함한다.[12]

수학적 대상으로서의 대수 구조 유형에 대한 연구는 범용 대수학과 범주론에서 다루어진다.[33] 범주론은 모든 수학적 구조에 적용되며, 대수적 위상수학과 같이 비대수적 대상의 대수적 연구를 가능하게 한다.[34]

3. 3. 기하학

공간에 대한 연구는 기하학에서 시작되었고, 특히 유클리드 기하학에서 비롯되었다. 삼각법은 공간과 수들을 결합하였고, 잘 알려진 피타고라스의 정리를 포함한다.[5] 현대에는 공간에 대한 연구가 더 높은 차원의 기하학을 다루기 위해 비유클리드 기하학(상대성이론에서 핵심적인 역할을 함)과 위상수학으로 일반화되었다. 수론과 공간에 대한 이해는 모두 해석기하학, 미분기하학, 대수기하학에 중요한 역할을 한다. 리 군도 공간과 구조, 변화를 다루는데 사용된다. 위상수학은 20세기 수학의 다양한 지류 속에서 괄목할 만한 성장을 한 분야이며, 푸앵카레 추측과 인간에 의해서 증명되지 못하고 오직 컴퓨터로만 증명된 4색정리를 포함한다.[10][4]

기하학은 가장 오래된 수학 분야 중 하나이다. 선, 각, 원과 같은 도형에 대한 경험적 공식으로 시작되었는데, 주로 측량과 건축의 필요에 의해 발전되었지만, 그 이후로 많은 다른 하위 분야로 발전했다.[18]

근본적인 혁신은 고대 그리스인들이 증명의 개념을 도입한 것이었다. 증명은 모든 주장이 ''증명''되어야 함을 요구한다. 예를 들어, 측정을 통해 두 길이가 같다는 것을 확인하는 것만으로는 충분하지 않다. 이들의 등가성은 이전에 받아들여진 결과(정리)와 몇 가지 기본적인 진술(명제)을 통해 추론하여 증명되어야 한다. 기본적인 진술은 자명하기 때문에(공리) 또는 연구 대상의 정의의 일부이기 때문에(공준) 증명의 대상이 아니다. 모든 수학의 기초가 되는 이 원리는 기하학에 대해 처음으로 자세히 설명되었고, 기원전 300년경 유클리드가 그의 저서 ''원론''에서 체계화했다.[19][20]

유클리드 기하학은 작도된 선, 평면 및 원으로부터 유클리드 평면(평면 기하학) 및 3차원 유클리드 공간에서 도형과 그 배열을 연구하는 것이다.[18]

유클리드 기하학은 17세기까지 방법이나 범위의 변화 없이 발전되었는데, 이때 르네 데카르트가 현재 데카르트 좌표라고 불리는 것을 도입했다. 이것은 주요한 패러다임 변화였다. 실수를 선분의 길이로 정의하는 대신(수직선 참조), 점을 그 ''좌표''(숫자)를 사용하여 나타낼 수 있게 되었다. 따라서 대수학(그리고 나중에는 미적분학)을 사용하여 기하학적 문제를 해결할 수 있게 되었다. 기하학은 두 개의 새로운 하위 분야로 나뉘었다. 순수하게 기하학적 방법을 사용하는 합성기하학과 좌표계를 체계적으로 사용하는 해석기하학이다.[21]

해석기하학은 원과 선과 관련 없는 곡선을 연구할 수 있게 해준다. 이러한 곡선은 함수의 그래프로 정의될 수 있으며, 이를 연구한 결과 미분기하학이 탄생했다. 또한, 종종 다항 방정식인 암시적 방정식으로 정의될 수도 있다(대수기하학을 낳았다). 해석기하학은 3차원보다 높은 차원의 유클리드 공간을 고려할 수 있게 해준다.[18]

19세기에 수학자들은 비유클리드 기하학을 발견했는데, 이는 평행선 공준을 따르지 않는다. 그 공준의 진실성에 의문을 제기함으로써 이 발견은 러셀의 역설과 함께 수학의 기초 위기를 드러낸 것으로 여겨져 왔다. 이 위기의 측면은 공리적 방법을 체계화하고 선택된 공리의 진실성이 수학적 문제가 아니라는 것을 받아들임으로써 해결되었다.[22][4] 결과적으로 공리적 방법은 공리를 변경하거나 공간의 특정 변환 하에서 변하지 않는 속성을 고려하여 얻은 다양한 기하학을 연구할 수 있게 해준다.[23]

오늘날 기하학의 하위 분야는 다음과 같다.[12]

  • 16세기에 지라르 데자르그가 도입한 사영기하학은 평행선이 교차하는 무한원점을 추가하여 유클리드 기하학을 확장한다. 이는 교차하는 선과 평행선에 대한 처리를 통합하여 고전 기하학의 많은 측면을 단순화한다.
  • 길이의 개념과 무관하고 평행에 관한 성질을 연구하는 아핀 기하학.
  • 미분가능한 함수를 사용하여 정의된 곡선, 곡면 및 그 일반화를 연구하는 미분기하학.
  • 더 큰 공간에 포함될 필요가 없는 도형을 연구하는 다양체 이론.
  • 곡선 공간의 거리 속성을 연구하는 리만 기하학.
  • 다항식을 사용하여 정의된 곡선, 곡면 및 그 일반화를 연구하는 대수기하학.
  • 연속 변형하에서 유지되는 속성을 연구하는 위상수학.
  • 대수적 위상수학: 주로 호몰로지 대수인 대수적 방법을 위상수학에 사용하는 것.
  • 기하학에서 유한 구성을 연구하는 이산 기하학.
  • 볼록 집합을 연구하는 볼록 기하학은 최적화에서의 응용으로 중요성을 갖는다.
  • 실수를 복소수로 대체하여 얻은 기하학인 복소 기하학.


구의 표면에서 유클리드 기하학은 국지적 근사로만 적용됩니다. 더 큰 척도에서는 삼각형의 각의 합이 180°가 아닙니다.


위상수학


삼각법

3. 4. 해석학

변화에 대한 이해와 묘사는 자연과학에서 일반적인 주제이며, 미적분학은 변화를 탐구하는 강력한 도구로서 발전되었다. 함수는 변화하는 양을 묘사함에 있어서 중추적인 개념으로 떠오르게 되었다. 실수와 실변수로 구성된 함수의 엄밀한 탐구가 실해석학이라는 분야로 알려지게 되었고, 복소수에 대한 이와 같은 탐구 분야는 복소해석학이라고 한다. 함수해석학은 함수의 공간(특히 무한차원)의 탐구에 주목한다. 함수해석학의 많은 응용분야 중 하나가 양자역학이다. 많은 문제들이 자연스럽게 양과 그 양의 변화율의 관계로 귀착되고, 이러한 문제들이 미분방정식으로 다루어진다. 자연의 많은 현상들이 동역학계로 기술될 수 있다. 혼돈 이론은 이러한 예측 불가능한 현상을 탐구하는 데 상당한 기여를 한다.[4]

미분방정식


미적분학(infinitesimal calculus)은 17세기 수학자 뉴턴과 라이프니츠에 의해 독립적이면서 동시에 도입되었다.[35] 이는 근본적으로 서로 의존하는 변수의 관계를 연구하는 학문이다. 미적분학은 18세기에 오일러에 의해 함수 개념과 많은 다른 결과들의 도입으로 확장되었다.[36] 현재 "미적분학"은 주로 이 이론의 기본적인 부분을 가리키며, "해석학"은 일반적으로 고급 부분을 위해 사용된다.[37]

해석학은 변수가 실수를 나타내는 실해석학과 변수가 복소수를 나타내는 복소해석학으로 더 세분화된다. 해석학에는 수학의 다른 분야와 공유되는 많은 하위 영역이 포함된다.[12]

  • 다변수 미적분학
  • 변수가 변하는 함수를 나타내는 함수 해석학
  • 적분, 측도론 및 퍼텐셜 이론은 모두 연속체 상의 확률론과 강하게 관련되어 있다.
  • 상미분방정식
  • 편미분방정식
  • 주로 많은 응용에서 발생하는 상미분방정식과 편미분방정식의 컴퓨터 해를 계산하는 데 전념하는 수치 해석

3. 5. 수학기초론

수학의 기초를 확립하기 위해, 수리논리학과 집합론이 발전하였고, 이와 더불어 범주론이 최근에도 발전되고 있다.[42][43] '근본 위기'라는 말은 대략 1900년에서 1930년 사이에 일어난, 수학의 엄밀한 기초에 대한 탐구를 상징적으로 보여주는 말이다. 수학의 엄밀한 기초에 대한 몇 가지 의견 불일치는 오늘날에도 계속되고 있다. 수학의 기초에 대한 위기는 그 당시 수많은 논쟁에 의해 촉발되었으며, 그 논쟁에는 칸토어의 집합론과 브라우어-힐베르트 논쟁이 포함되었다.[46][48]

파란색과 분홍색 원과 교집합 레이블
벤 다이어그램은 집합 간의 관계를 설명하는 데 일반적으로 사용되는 방법입니다.


수리 논리학과 집합론은 19세기 말부터 수학의 한 분야로 자리 잡았다. 그 이전에는 집합이 수학적 대상으로 간주되지 않았고, 수학적 증명에 사용되기는 했지만 논리는 철학의 영역에 속했으며 수학자들이 특별히 연구하는 분야가 아니었다.[44]

칸토어가 무한 집합을 연구하기 전까지 수학자들은 실제 무한 집합을 고려하는 것을 꺼렸고, 무한을 끝없는 열거의 결과로 간주했다. 칸토어의 연구는 실제 무한 집합을 고려했을 뿐만 아니라[45] 칸토어의 대각선 논법에 따라 무한의 크기가 다르다는 것을 보여주었기 때문에 많은 수학자들을 불쾌하게 했다.

이것은 수학의 기초 위기가 되었다. 이 위기는 주류 수학에서 공식화된 집합론 내에서 공리적 방법을 체계화함으로써 결국 해결되었다. 대략적으로 말해, 각 수학적 대상은 모든 유사한 대상의 집합과 이러한 대상이 가져야 하는 속성에 의해 정의된다.[10] 예를 들어, 페아노 산술에서 자연수는 "0은 수이다", "각 수는 고유한 후속자를 갖는다", "0을 제외한 각 수는 고유한 선행자를 갖는다" 및 일부 추론 규칙으로 정의된다.[49] 현실로부터의 이러한 수학적 추상화는 1910년경 다비트 힐베르트가 창시한 형식주의의 현대 철학에 구체화되어 있다.[50]

이러한 방식으로 정의된 대상의 "본질"은 수학자들이 철학자들에게 맡기는 철학적 문제이지만, 많은 수학자들은 이 본질에 대한 의견을 가지고 있으며, 그들의 의견(때로는 "직관"이라고 함)을 연구와 증명을 안내하는 데 사용한다. 이러한 접근 방식을 통해 "논리"(즉, 허용되는 연역 규칙의 집합), 정리, 증명 등을 수학적 대상으로 간주하고 그에 대한 정리를 증명할 수 있다. 예를 들어, 괴델의 불완전성 정리는 대략적으로 자연수를 포함하는 모든 일관성 있는 공식 체계에는 참인 정리(즉, 더 강력한 체계에서 증명 가능한)가 있지만, 그 체계 내에서는 증명할 수 없는 정리가 있다고 주장한다.[51] 수학 기초에 대한 이러한 접근 방식은 20세기 전반에 브라우어가 이끄는 수학자들에 의해 도전을 받았는데, 그들은 배중률이 명시적으로 부족한 직관주의 논리를 주장했다.[52][53]

이러한 문제와 논쟁은 모델 이론(다른 이론 내에서 일부 논리 이론을 모델링), 증명론, 타입 이론, 계산 가능성 이론 및 계산 복잡도 이론과 같은 하위 영역을 가진 수리 논리학의 광범위한 확장으로 이어졌다.[12] 컴퓨터의 등장 이전에 도입되었지만, 컴파일러 설계, 형식적 검증, 프로그램 분석, 증명 보조기 및 컴퓨터 과학의 다른 측면에서의 사용은 이러한 논리 이론의 확장에 기여했다.[54]

3. 6. 이산수학

2상태 마르코프 연쇄를 나타내는 다이어그램. 상태는 'A'와 'E'로 표시됨.


이산수학(Discrete mathematics)은 넓은 의미에서 개별적이고, 셀 수 있는 수학적 대상을 연구하는 학문이다. 예를 들어 모든 정수의 집합이 있다.[38] 연구 대상이 이산적이기 때문에 미적분학과 해석학의 방법은 직접적으로 적용되지 않는다. 알고리즘(특히 그 구현과 계산 복잡도)는 이산수학에서 중요한 역할을 한다.[39]

4색 정리와 최적 구면 충진은 20세기 후반에 해결된 이산수학의 주요 문제였다.[40] 오늘날까지도 미해결로 남아 있는 P-NP 문제 또한 이산수학에서 중요한데, 이 문제가 해결되면 많은 계산적으로 어려운 문제들에 영향을 미칠 수 있기 때문이다.[41]

이산수학에는 다음과 같은 내용이 포함된다.[12]

  • 조합론: 주어진 제약 조건을 만족하는 수학적 대상을 나열하는 기술. 원래 이러한 대상은 주어진 집합의 원소 또는 부분 집합이었지만, 다양한 대상으로 확장되었으며, 이는 조합론과 이산수학의 다른 분야 간의 강력한 연결 고리를 형성한다. 예를 들어, 이산 기하학에는 기하학적 도형의 구성을 계산하는 것이 포함된다.
  • 그래프 이론 및 초그래프
  • 부호 이론, 오류 정정 부호 및 암호학의 일부 포함
  • 매트로이드 이론
  • 이산 기하학
  • 이산 확률 분포
  • 게임 이론(연속 게임도 연구되지만, 체스나 포커와 같은 대부분의 일반적인 게임은 이산적임)
  • 이산 최적화, 조합 최적화, 정수 계획법, 제약 조건 프로그래밍 포함

계산 이론


암호학


그래프 이론

3. 7. 응용수학

응용수학은 수학적 지식과 방법을 실제 문제 해결에 적용하는 분야이다.

유체역학


통계학


게임 이론


통계학은 수학적 응용의 한 분야로, 특히 확률론을 기반으로 한 절차를 사용하여 데이터 표본을 수집하고 처리한다. 통계학자들은 임의 표본 추출 또는 무작위 실험 계획을 통해 데이터를 생성한다.[56]

통계 이론은 통계적 의사결정 이론과 같은 의사결정 문제를 연구한다. 예를 들어, 모수 추정, 가설 검정, 선택 알고리즘에서 통계적 방법을 사용하는 것처럼 통계적 행위의 위험(기대 손실)을 최소화하는 것을 목표로 한다. 이러한 전통적인 수리 통계학 분야에서 통계적 의사결정 문제는 특정 제약 조건 하에서 기대 손실 또는 비용과 같은 목적 함수를 최소화하여 공식화된다. 예를 들어, 설문 조사를 설계하는 것은 종종 주어진 신뢰 수준으로 모집단 평균을 추정하는 비용을 최소화하는 것을 포함한다.[57] 최적화를 사용하기 때문에, 통계학의 수학적 이론은 작전 연구, 제어 이론, 수리 경제학과 같은 다른 의사결정 과학과 겹친다.

계산 수학은 사람의 수치 계산 능력으로는 해결하기 어려울 정도로 큰 규모의 수학적 문제를 연구하는 분야이다.[58][59] 수치 해석은 함수 해석과 근사 이론을 사용하여 해석학의 문제에 대한 방법을 연구한다. 수치 해석은 일반적으로 근사와 이산화의 연구를 포함하며, 특히 반올림 오차에 중점을 둔다.[60] 수치 해석 및 더 광범위하게는 과학 컴퓨팅은 수학 과학의 비해석적 주제, 특히 알고리즘적인 행렬 및 그래프 이론을 연구한다. 계산 수학의 다른 분야로는 컴퓨터 대수와 기호 계산이 있다.

4. 수학과 타 학문과의 관계

역사적으로 고대부터 현대에 이르기까지 건축, 천문학, 정치, 상업 등 문명에 필수적인 여러 분야에 수학적 개념들이 응용되어 왔다. 교역·분배·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산, 농경 생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량에 수학이 직접적으로 사용되었다. 메소포타미아, 이집트, 인도, 중국, 그리스 문명은 고대 수학을 크게 발전시켰다.[87]

특히 고대 그리스에서는 방정식에서 변수를 문자로 쓰는 등 추상화가 발전하였고, 유클리드의 원론에서는 엄밀한 논증에 근거한 수학이 최초로 나타났다. 16세기 르네상스 시대에는 과학적 방법과 상호 작용하며 수학과 자연과학의 혁명적인 연구들이 진척되어 인류 문명 발달에 큰 영향을 미쳤다.

수학은 대부분의 과학에서 현상을 모델링하는 데 사용되며, 이를 통해 실험 법칙으로부터 예측을 할 수 있다.[87] 수학적 진리가 어떠한 실험에도 독립적이라는 점은 예측의 정확성이 모델의 적절성에만 의존함을 의미한다.[88] 부정확한 예측은 잘못된 수학적 개념 때문이 아니라, 사용된 수학적 모델을 변경해야 할 필요성을 시사한다.[89] 예를 들어 수성의 근일점 이동은 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 등장한 후에야 설명될 수 있었는데, 이는 뉴턴의 만유인력 법칙을 더 나은 수학적 모델로 대체한 것이다.[90]

수학이 과학인지 아닌지에 대한 철학적 논쟁은 여전히 존재한다. 그러나 실제로 수학자들은 일반적으로 과학자들과 함께 분류되며, 수학은 물리 과학과 많은 공통점을 공유한다. 물리 과학처럼 수학은 반증 가능성을 가지는데, 이는 수학에서 결과나 이론이 잘못된 경우 반례를 제시하여 증명할 수 있음을 의미한다. 과학처럼 이론과 결과(정리)는 종종 실험을 통해 얻어진다.[91] 수학에서 실험은 선택된 예시에 대한 계산이나 수학적 대상의 그림 또는 다른 표현(종종 물리적 지지 없이 마음속으로 하는 표현)의 연구로 구성될 수 있다. 예를 들어 가우스는 자신의 정리가 어떻게 나왔는지에 대한 질문에 "durch planmässiges Tattonieren"(체계적인 실험을 통해)이라고 답했다.[92] 그러나 일부 저자들은 수학이 경험적 증거에 의존하지 않는다는 점에서 현대 과학의 개념과 다르다고 강조한다.[93][94][95][96]

4. 1. 자연과학

단진자 다이어그램


이 복어의 피부는 튜링 패턴을 보이는데, 이는 반응-확산계로 모델링할 수 있다.


오늘날 수학은 자연과학, 공학뿐만 아니라, 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 정도의 차이는 있으나, 미적분학과 선형대수학은 자연과학, 공학, 경제학을 하는 데에 필수적인 과목으로 여겨진다.[231] 16세기에 갈릴레오 갈릴레이는 "자연이라는 책은 수학이라는 언어로 기록되어 있다."라고 주장하며 물리학에 수학적 방법을 도입하였고, 17세기에 아이작 뉴턴은 고전 역학의 기본 물리학 법칙들을 수학적으로 기술하고 정립하여 물리학 이론에서 수학적 모델링은 필수적 요소가 되었다. 또한 이 시기는 과학적 방법이 정립되는 시기이기도 한데, 많은 과학적 현상들이 수학적 관계가 있음이 드러나면서 과학적 방법에도 수학은 중요한 역할을 하고 있다. 노벨 물리학상 수상자 유진 위그너는 그의 에세이 "The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences"에서 인간 세상과 동떨어져 있고 현실과 아무 관련이 없다고 여겨지던 수학 중 극히 일부가 뜻밖에도 자연과학과 연관성이 드러나고 과학이론에 효과적인 토대를 마련해 주는 데에 대한 놀라움을 표현하였다.[231]

빈첸초 갈릴레이는 음악(음정론·음향학) 연구에 수학적 방법을 도입했고, 그의 아들 갈릴레오 갈릴레이는 아버지의 영향을 받아 물체의 운동 연구(물리학)에 수학적 방법을 도입하여 물리학에 큰 변혁을 가져왔다. 이후, (아이작 뉴턴의 『프린키피아』에서도 "수학적 원리"로 하고 있으며, 책 제목에도 명확히 나타나 있지만) 수학의 발전과 물리학의 발전은 밀접한 관계가 있다. 이 밖의 자연과학에서도 수학적 방법은 기본적인 요소가 되고 있다.

생물학은 생태학이나 신경생물학과 같은 분야에서 확률을 광범위하게 사용한다.[126] 확률에 대한 대부분의 논의는 진화적 적합도의 개념에 중점을 둔다.[126] 생태학은 개체군 역학을 시뮬레이션하기 위해 모델링을 많이 사용하고,[126][127] 포식자-피식자 모델과 같은 생태계를 연구하고, 오염 확산을 측정하고, 기후 변화를 평가한다. 개체군의 역학은 Lotka-Volterra 방정식과 같은 결합된 미분 방정식으로 모델링할 수 있다.[128]

통계적 가설 검정은 새로운 치료법이 효과가 있는지 확인하기 위해 임상 시험의 데이터에 적용된다.[129] 20세기 초부터 화학은 분자를 3차원으로 모델링하기 위해 컴퓨팅을 사용해 왔다.[130]

구조지질학과 기후학은 자연재해 위험을 예측하기 위해 확률적 모델을 사용한다.[131] 마찬가지로, 기상학, 해양학, 그리고 행성학도 모델을 많이 사용하기 때문에 수학을 사용한다.[132][133][134]

4. 2. 공학

오늘날 수학은 공학뿐만 아니라, 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로 사용된다. 미적분학과 선형대수학은 공학을 하는데에 필수적인 과목으로 여겨진다.[231] 미분방정식은 전기 회로, 구조물, 유체 흐름 등을 모델링하는 데 사용된다.

4. 3. 사회과학

경제학, 사회학,[135] 및 심리학[136] 등 사회과학 분야에서 수학은 통계 분석, 모델링, 예측 등에 활용된다. 특히, 확률론과 통계학은 사회 현상을 분석하고 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

수요와 공급 곡선은 수리 경제학의 주요 구성 요소이다.


수리 경제학의 기본적인 가정은 종종 합리적인 개인 행위자인 호모 에코노미쿠스이다.[137] 이 모델에서 개인은 자신의 이익을 극대화하려고 시도하며,[137] 항상 완전 정보를 사용하여 최적의 선택을 한다.[138] 경제학의 이러한 원자론적 관점은 개인의 계산이 수학적 계산으로 변환되기 때문에 사고를 비교적 쉽게 수학적으로 만들 수 있게 한다. 이러한 수학적 모델링을 통해 경제 메커니즘을 조사할 수 있다. 일부는 ''호모 에코노미쿠스'' 개념을 거부하거나 비판한다. 경제학자들은 실제 사람들은 정보가 제한되어 있고, 잘못된 선택을 하고, 공정성과 이타심, 개인적인 이익뿐만 아니라 다른 것들도 중요하게 여긴다는 점에 주목한다.[139]

수학적 모델링 없이는 통계적 관찰이나 검증할 수 없는 추측을 넘어서기 어렵다. 수학적 모델링을 통해 경제학자들은 가설을 검증하고 복잡한 상호 작용을 분석하기 위한 구조화된 틀을 만들 수 있다. 모델은 명확성과 정확성을 제공하여 이론적 개념을 실제 데이터와 비교하여 검증할 수 있는 정량화 가능한 예측으로 변환할 수 있게 한다.[140]

20세기 초, 역사적 움직임을 공식으로 표현하려는 노력이 있었다. 1922년, 니콜라이 콘드라티예프는 경제 성장 또는 위기의 단계를 설명하는 약 50년 주기의 콘드라티예프 파동을 발견했다.[141] 19세기 말, 수학자들은 분석을 지정학으로 확장했다.[142] 피터 투르친은 1990년대 이후 클라이오다이내믹스를 개발했다.[143]

5. 수학의 영향

역사적으로 고대부터 현대에 이르기까지 건축, 천문학, 정치, 상업 등에 수학적 개념들이 응용되어 왔다. 교역·분배·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산에 수학이 관여해 왔고, 농경 생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 사용된 분야이다.[231]

16세기 르네상스 시기에는 과학적 방법과의 상호 작용을 통해 수학과 자연과학 분야에서 혁명적인 연구들이 진척되었고, 이는 인류 문명 발달에 큰 영향을 미쳤다. 오늘날 수학은 자연과학, 공학뿐만 아니라, 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 미적분학과 선형대수학은 자연과학, 공학, 경제학을 배우는 데 필수적인 과목으로 여겨지며, 확률론은 계량경제학에 응용된다. 통계학은 사회과학 이론의 근거를 마련하는 데 필수적이다.[231]

갈릴레오 갈릴레이는 "자연이라는 책은 수학이라는 언어로 기록되어 있다"라고 주장하며 물리학에 수학적 방법을 도입하였고, 아이작 뉴턴은 고전 역학의 기본 물리학 법칙들을 수학적으로 기술하고 정립하여 물리학 이론에서 수학적 모델링은 필수적인 요소가 되었다. 노벨 물리학상 수상자 유진 위그너는 자신의 에세이에서 인간 세상과 동떨어져 있고 현실과 아무 관련이 없다고 여겨지던 수학 중 극히 일부가 뜻밖에도 자연과학과 연관성을 보이며 과학 이론에 효과적인 토대를 마련해 준다는 점에 놀라움을 표현하였다.[231]

또한 수학은 음악이나 미술 등 예술과도 관련이 있다. 피타고라스는 두 정수의 비율이 듣기 좋은 소리가 난다는 점을 이용하여 피타고라스 음계를 만들었다. 원근법은 사영 기하학에 해당하며, 미술 사조 중 하나인 입체파도 기하학의 영향을 받았다.[232]

6. 수학 교육

수학 교육은 문화와 시대를 초월하는 특징을 지닌다. 인간 활동으로서 수학 실천에는 교육, 직업, 수상, 대중화 등을 포함하는 사회적 측면이 있다. 교육에서 수학은 교육과정의 핵심이며 STEM 학문의 중요한 요소를 형성한다.[162]

고고학적 증거에 따르면 기원전 2000년경 고대 바빌로니아에서 수학 교육이 이루어졌다.[163] 이와 유사한 증거가 고대 근동의 서기관 수학 훈련과 기원전 300년경 그리스-로마 세계에서 발견되었다.[164] 가장 오래된 수학 교과서는 이집트의 린드 파피루스로, 기원전 1650년경으로 추정된다.[165] 고대 인도에서는 책이 부족했기 때문에 베다 시대(기원전 1500~500년경)부터 암기된 구전 전통을 통해 수학 교육이 이루어졌다.[166] 당나라(618~907년) 시대 중국에서는 국가 관료가 되기 위한 과거 시험에 수학 교육 과정이 채택되었다.[167]

암흑기 이후 유럽의 수학 교육은 사중학의 일부로 종교 학교에서 제공되었다. 교수법에 대한 공식적인 교육은 16세기와 17세기에 예수회 학교에서 시작되었다. 19세기까지 대부분의 수학 교육과정은 기본적이고 실용적인 수준에 머물렀으나, 프랑스와 독일에서 발전하기 시작했다. 수학 교육을 다룬 가장 오래된 학술지는 1899년에 발행을 시작한 ''L'Enseignement Mathématique''이다.[168] 서구의 과학 기술 발전은 많은 국가에서 수학을 핵심 구성 요소로 하는 중앙 집중식 교육 시스템을 설립하게 하였는데, 초기에는 군사적 목적이었다.[169] 교육 과정은 다양하지만, 오늘날 거의 모든 국가에서 학생들에게 상당한 시간 동안 수학을 가르친다.[170]

학교에서 수학 능력과 긍정적인 기대는 해당 분야에 대한 직업적 관심과 강한 연관성이 있다. 교사, 부모, 또래 집단의 피드백, 동기 부여와 같은 외부 요인은 수학에 대한 관심에 영향을 줄 수 있다.[171] 수학을 공부하는 일부 학생들은 해당 과목의 성적에 대한 불안감이나 두려움을 느낄 수 있는데, 이를 수학 불안 또는 수학 공포증이라고 한다. 이는 학업 성취도에 영향을 미치는 가장 두드러진 장애로 간주된다. 수학 불안은 부모와 교사의 태도, 사회적 고정관념, 개인적인 특성과 같은 다양한 요인으로 인해 발생할 수 있다. 불안감을 해소하기 위한 도움은 교수법 변화, 부모와 교사의 상호 작용, 개인 맞춤형 치료를 통해 얻을 수 있다.[172]

수학 교육을 통해 추상적인 사고력을 기를 수 있다고 여겨지며, 다른 분야에도 도움이 된다는 연구 결과가 있다.[226] 독일 학생들은 대만 학생들과 비교했을 때, 모델링에서의 숙고 능력이 강점으로 평가된다.[227]

초등 교육에서는 '산수'라고 표기되고, 중등 교육에서는 '수학'이라고 표기된다. 학습하는 분야는 10년마다 문부과학성에서 교육과정을 고시하여 그 기준에 따라 결정된다.

7. 수학 관련 상

그리스의 폴리매스 아르키메데스의 그림이 있는 필즈상의 앞면


수학에서 가장 권위 있는 상은 1936년에 제정되어 4년마다(제2차 세계 대전을 전후로 제외) 최대 4명에게 수여되는 필즈상이다.[193][194] 노벨상에 해당하는 수학 분야의 상으로 여겨진다.[194]

다른 권위 있는 수학상으로는 다음과 같은 것들이 있다.[195]

  • 아벨상: 2002년에 제정[196]되어 2003년에 처음 수여되었다.[197]
  • 체른 메달: 2009년에 도입[198]되어 2010년에 처음 수여된 평생 업적상이다.[199]
  • AMS 러이 P. 스틸 상: 1970년부터 수여되고 있다.[200]
  • 울프상 (수학): 평생 업적상으로 1978년에 제정되었다.[201][202]


그 외에도 다음과 같은 수학 관련 상들이 있다.

상 이름주관
필즈상국제수학연맹
네반린나상국제수학연맹
가우스상국제수학연맹
천상국제수학연맹
아벨상아벨기념기금
춘계상일본수학회
베블런상미국수학회
프랭크 넬슨 콜상미국수학회
유럽수학회상유럽수학회
울프상 수학 부문울프재단



노벨수학상은 존재하지 않으며, 수학 관련 상으로는 (일반적으로) 필즈상이 최고봉으로 여겨진다.

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