맨위로가기

코시 변환

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

코시 변환은 조각마다 C¹ 곡선 위에 정의된 연속 함수 φ에 대한 함수로, 복소 평면에서 정의된다. 코시 변환은 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 n에 대해 미분 가능하며, 코시 적분 공식을 만족한다. 특정 예시를 통해 코시 변환의 결과를 확인할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 적분 변환 - 라플라스 변환
    라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
  • 적분 변환 - 푸리에 변환
    푸리에 변환은 복소 함수를 주파수 성분으로 분해하는 적분 변환으로, 푸리에 급수의 확장 개념이며, 시간-주파수 영역 변환, 선형성, 컨볼루션 정리, 불확정성 원리 등의 성질을 가지며 다양한 분야에 활용된다.
  • 오귀스탱 루이 코시 - 코시 열
    코시 열은 무한수열에서 항들이 뒤로 갈수록 서로 가까워지는 수열로, 수렴열은 항상 코시 열이지만 그 역은 성립하지 않을 수 있으며, 실수의 완비성 정의 및 무한급수 수렴성 판정에 중요한 역할을 하는 개념이다.
  • 오귀스탱 루이 코시 - 코시-리만 방정식
    코시-리만 방정식은 복소해석학에서 함수가 미분 가능하기 위한 조건을 제공하며, 복소 평면에서 정의된 함수가 정칙 함수가 되기 위한 필요충분조건과 관련된다.
  • 복소해석학 - 선적분
    선적분은 스칼라장이나 벡터장의 곡선에 대한 적분으로, 함수의 종류와 곡선의 표현 방식에 따라 다양하게 정의되며, 물리학과 공학 등에서 활용된다.
  • 복소해석학 - 테일러 급수
    테일러 급수는 매끄러운 함수를 무한 멱급수로 나타내는 방법으로, 함수의 미분 계수를 사용하여 함수를 근사하며, a=0일 때의 테일러 급수를 매클로린 급수라고 한다.
코시 변환

2. 정의

조각마다 C¹ 곡선 γ 위에 정의된 연속 함수 φ의 코시 변환 \mathcal{C}f는 다음과 같은 함수이다.

:\mathcal{C}f \colon \mathbb{C} \setminus \gamma([a,b]) \to \mathbb{C}

:\mathcal{C}f(w) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{z-w} \mathrm{d}z \qquad \forall w \in \mathbb{C} \setminus \gamma([a,b])

3. 성질

코시 변환은 정칙 함수이다.[1] 임의의 음이 아닌 정수 n과 w에 대하여 다음이 성립한다.

(\mathcal Cf)^{(n)}(w)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}\mathrm dz

이는 w를 포함하는 충분히 작은 공집합 B를 취하고,급수전개를 통해 보일 수 있다.[1]

유계 연결 열린집합 D의 경계가 유한 개의 조각마다 C1 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수가 D에서 정칙 함수라고 할때 '''코시 적분 공식'''에 따르면, f의 코시 변환 상은 다음과 같다.

\mathcal Cf(w)=\begin{cases}

f(w)&w\in D\\

0&w\not\in D

\end{cases}\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial D

4. 예시

곡선[2]

:\partial\operatorname B(0,2)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=2\}

위의 연속 함수

:f\colon\partial\operatorname B(0,2)\to\mathbb C

:f(z)=\frac 1{(z-i)(z-3i)}\qquad\forall z\in\varphi\colon\partial\operatorname B(0,2)

에 대한 코시 변환 상은

:\mathcal Cf\colon\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)\to\mathbb C

:\mathcal Cf(w)=\begin{cases}

1/(w-3i)&w\in\operatorname B(0,1)\\

1/2i(w-i)&w\not\in\operatorname B(0,1)

\end{cases}

\qquad\forall w\in\mathbb C\setminus\partial\operatorname B(0,1)

이다.

참조

[1] 서적 复变函数简明教程 北京大学出版社 2006-02
[2] 서적 Integral Transforms in Geophysics Springer-Verlag 1988


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com