코시 적분 공식

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 예제
5. 응용 및 의의
6. 일반화
참조

1. 개요

코시 적분 공식은 복소해석학의 기본 정리로, 정칙 함수의 값을 적분을 통해 표현한다. 유계 연결 열린 집합 D에서 정칙 함수 f에 대해, D 내의 점 z₀에서의 함수값은 D의 경계에 대한 f/(z-z₀)의 적분을 통해 계산할 수 있다. 이 공식은 정칙 함수의 무한 번 미분 가능성을 보이며, 고계 도함수 계산, 코시 부등식 유도, 리우빌 정리 및 가우스 평균값 정리 증명에 활용된다. 코시-폼페이유 공식, 다변수 복소함수, 기하 대수를 이용한 고차원 실수 벡터 공간으로의 일반화 등 다양한 형태로 확장 가능하다.

2. 정의

복소 평면상의 유계 연결 열린집합 D와 그 경계 ∂D, 그리고 D의 폐포에서 연속이고 D에서 정칙 함수인 f에 대해, 코시 적분 공식은 D 내부의 임의의 점 z₀에서 f의 값을 ∂D를 따라 적분하여 계산할 수 있음을 나타낸다.^[10]

코시 적분 공식은 원 γ를 a에 대해 회전수가 1인 U의 모든 닫힌 가변 곡선으로 대체할 수 있고, 코시 적분 정리와 마찬가지로 경로에 의해 둘러싸인 열린 영역에서 f가 정칙이고 그 폐포에서 연속임을 요구하는 것으로 충분하여 일반화 할 수 있다.

경계에서 모든 연속 함수가 경계 내부의 함수를 생성하는 데 사용될 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, |z|=1 에서 f(z)^영어=1/z 로 정의된 함수를 코시 적분 공식에 넣으면 원 내부의 모든 점에 대해 0이 된다. 정칙 함수의 경계에서 실수부만 주어지면 허수 상수를 최대 결정하기에 충분하다. 주어진 실수부에 해당하는 경계의 허수 부분은 상수 추가를 제외하고 하나뿐이다. 뫼비우스 변환과 Stieltjes 역전 공식을 조합하여 경계의 실수부로부터 정칙 함수를 구성할 수 있다. 예를 들어, 함수 f(z) = i - iz는 실수부 Re f(z) = Im z를 가지며, 단위 원에서는 i/z - iz/2 로 쓸 수 있다. 뫼비우스 변환과 Stieltjes 공식을 사용하여 원 내부의 함수를 구성하면 i/z 항은 기여하지 않으며, 함수 -iz를 찾는다. 이것은 경계에서 올바른 실수부를 가지며, 해당 허수 부분도 제공하지만, 상수 i와는 다르다.

2. 1. 코시 적분 공식

유계 연결 열린집합

D\subseteq\mathbb C

의 경계

\partial D

가 유한 개의 조각마다

\mathcal C^1

곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수

f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C

가

D

에서 정칙 함수라고 하자. '''코시 적분 공식'''에 따르면, 임의의

z_0\in D

에 대하여, 다음이 성립한다.^[10]

:

f(z_0)=\frac 1{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz

우변의 적분을 '''코시 적분'''(-積分, Cauchy integral^영어)이라고 부른다.

임의의 점

a

에 대해 다음과 같은 코시 적분 공식이 성립한다.

:

f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz

이 명제의 증명은 코시 적분 정리를 사용하며, 그 정리와 마찬가지로

f

가 복소 미분 가능하기만 하면 된다.

정칙 함수는 해석적이라는 결론이 나온다. 즉, 수렴하는 멱급수로 전개될 수 있다.

특히

f

는 실제로 무한 번 미분 가능하며, 다음의 '''코시 미분 공식'''이 성립한다.

:

f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}\,dz.

''D''를 단일 연결 영역, ''C''를 ''D'' 내에 있는 길이를 가진 단순 폐곡선, ''f''(''z'')를 ''D'' 상의 정칙 함수라고 할 때, ''C''에 의해 둘러싸인 영역의 임의의 1점 ''a''에서 다음 식이 성립한다.

:

f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}dz.

''a''를 ''z''로 치환하고 적분 변수를 ''ζ''로 치환하면

:

f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.

이 식의 양변에 대해, 차분 몫

\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

의 극한을 취하는 것을 반복함으로써 다음 식이 나타나며, 정칙 함수가 복소 변수의 의미로 무한 번 미분 가능하다는 것도 나타난다.

:

f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} d\zeta\

2. 2. 고계 도함수

Cauchy^영어 변환을 통해 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수

n

및

z_0\in D

에 대하여 다음과 같은 식이 성립한다.

:

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm dz

이 공식은 '''Cauchy^영어 미분 공식'''이라고도 불린다.

특히

f

는 실제로 무한 번 미분 가능하며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{\left(z-a\right)^{n+1}}\,dz.

위 식에서 ''a''를 ''z''로 치환하고 적분 변수를 ''ζ''로 치환하면 다음과 같다.

:

f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.

이 식의 양변에 대해, 차분 상

\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

의 극한을 취하는 것을 반복하면 다음 식을 얻을 수 있으며, 정칙 함수가 복소 변수의 의미로 무한 번 미분 가능하다는 것도 알 수 있다.

:

f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} d\zeta\

2. 3. 코시 부등식

임의의 음이 아닌 정수

n

및

z_0\in D

와

0 에 대하여,

:

|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!}{r^n}\sup_

3. 증명

임의의

0 를 취한다. 그렇다면, 항등식

:

\int_{|z-z_0|=r}\frac{\mathrm dz}{z-z_0}=2\pi i

:

\int_{|z-z_0|=r}\mathrm dz=0

과 코시 적분 정리에 의하여,

:

\begin{align}\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)&=\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)\\&=\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz

\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\mathrm dz
\int_{|z-z_0|=r}f'(z_0)\mathrm dz\\

&=\int_{|z-z_0|=r}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right)\mathrm dz\end{align}

이며, 따라서

:

\left|\int_{\partial D}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm dz-2\pi if(z_0)\right|\le\lim_{r\to 0^+}\left(\max_{|z-z_0|=r}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\int_{|z-z_0|=r}|\mathrm dz|\right)=0

이다.

코시 적분 정리를 사용하면 ''C'' (또는 닫힌 가향 곡선)에 대한 적분이 ''a'' 주위의 임의로 작은 원에 대한 동일한 적분과 같음을 보일 수 있다. ''f''(''z'')는 연속이므로, ''f''(''z'')가 ''f''(''a'')에 임의로 가까운 충분히 작은 원을 선택할 수 있다. 다른 한편, 적분

:

\oint_C  \frac{1}{z-a} \,dz = 2 \pi i,

는 ''a''를 중심으로 하는 임의의 원 ''C''에 대한 것이다. 이는 매개변수화 (치환 적분법) ''z''(''t'') = ''a'' + ''εe^it'' (0 ≤ ''t'' ≤ 2π 이고 ''ε''는 원의 반지름)를 통해 직접 계산할 수 있다.

''ε'' → 0로 설정하면 원하는 추정치를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\left | \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-a} \,dz  - f(a) \right |&= \left | \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{f(z)-f(a)}{z-a} \,dz \right | \\[1ex]&= \left | \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\left(\frac{f\bigl(z(t)\bigr)-f(a)}{\varepsilon e^{it}}\cdot\varepsilon e^{it} i\right )\,dt\right | \\[1ex]&\leq \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \frac{ \left|f\bigl(z(t)\bigr) - f(a)\right| } {\varepsilon} \,\varepsilon\,dt \\[1ex]&\leq \max_

4. 예제

다음은 코시 적분 공식을 사용하여 복소함수의 적분값을 계산하는 예시이다.

예제 1

::

\int_{|z|=2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}

를 계산해 보자. 함수

::

z\mapsto\frac 1{z^2+1}

는

\{z\in\mathbb C\colon |z|<2,\;|z-i|,|z+i|>1/2\}

의 폐포에서 정칙함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여

::

\begin{align}\int_{|z|=2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}&=\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}+\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{z^2+1}\\&=\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}+\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}\end{align}

이다. 첫째 항에서 함수

::

z\mapsto\frac 1{z+i}

는

\{z\in\mathbb C\colon |z-i|<1/2\}

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

::

\int_{|z-i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}=\frac{2\pi i}{z+i}\bigg|_{z=i}=\pi

이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수

::

z\mapsto\frac 1{z-i}

는

\{z\in\mathbb C\colon |z+i|<1/2\}

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

::

\int_{|z+i|=1/2}\frac{\mathrm dz}{(z+i)(z-i)}=\frac{2\pi i}{z-i}\bigg|_{z=-i}=-\pi

이다. 따라서,

::

\int_

5. 응용 및 의의

코시 적분 공식은 복소해석학의 여러 중요한 결과들을 유도하는 데 사용된다. 예를 들어, 정칙 함수가 무한 번 미분 가능하며 해석 함수라는 사실을 증명할 수 있다. 또한, 이 공식을 사용하여 리우빌 정리와 가우스 평균값 정리를 유도할 수 있다.^[1]^[2]이 공식은 유수 정리를 증명하는 데에도 사용되며, 이는 유형 함수에 대한 결과이고, 편각 원리와 관련된 결과이다. 모레라 정리에 따르면, 정칙 함수의 균등 극한은 정칙 함수인데, 이 역시 코시 적분 공식으로부터 추론할 수 있다.실해석학에서 코시 적분 공식과 유사한 개념은 조화 함수에 대한 푸아송 적분 공식이다. 정칙 함수에 대한 많은 결과가 이 설정으로 옮겨지지만, 미분 가능한 함수나 실수 해석 함수의 더 일반적인 클래스에서는 그러한 결과가 유효하지 않다.

5. 1. 무한 번 미분 가능성

정칙 함수는 무한 번 미분 가능하다는 사실을 증명할 수 있다. 이는 다음 식에 지배 수렴 정리와 기하 급수를 적용하여 얻을 수 있다.^[1]:

f(\zeta) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz.

단일 연결 영역 ''D'' 안의 길이를 가진 단순 폐곡선 ''C''와 ''D'' 상의 정칙 함수 ''f''(''z'')에 대해, ''C''로 둘러싸인 영역의 임의의 점 ''a''에서 다음 식이 성립한다.

:

f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}dz.

이 식을 사용하여 ''f''(''z'')의 ''n''계 복소 도함수를 구할 수 있다. ''a''를 ''z''로, 적분 변수를 ''ζ''로 치환하면

:

f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.

이 식의 양변에 대해 차분 상

\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

의 극한을 반복해서 취하면 다음 식이 나타나며, 정칙 함수가 복소 변수의 의미로 무한 번 미분 가능하다는 것도 알 수 있다.

:

f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} d\zeta\

5. 2. 해석 함수

정칙 함수는 해석 함수이다. 즉, 멱급수로 표현될 수 있음을 증명하는 데 사용된다. 이는

1/(z-a)

가 변수

a

에 대한 멱급수로 전개될 수 있기 때문이다.

:

\frac{1}{z-a} = \frac{1+\frac{a}{z}+\left(\frac{a}{z}\right)^2+\cdots}{z}

5. 3. 리우빌 정리

코시 추정을 통해 유계인 전해석 함수는 상수 함수여야 함을 쉽게 추론할 수 있다. 이는 리우빌 정리이다.^[1]

5. 4. 가우스 평균값 정리

이 공식은 또한 '''가우스 평균값 정리'''를 유도하는 데 사용될 수 있으며, 이는 다음과 같이 나타낸다.^[2]

:

다시 말해, 반지름 을 갖는 를 중심으로 하는 원에 대한 의 평균값은 이다. 이는 원의 매개화를 통해 직접 계산할 수 있다.

6. 일반화

코시 적분 공식은 다양한 형태로 일반화될 수 있다.

원 는 에 대해 회전수가 1인 의 모든 닫힌 가변 곡선으로 대체될 수 있다. 또한, 코시 적분 정리의 경우와 마찬가지로, 경로에 의해 둘러싸인 열린 영역에서 가 정칙이고 그 폐포에서 연속임을 요구하는 것으로 충분하다.^[3]

하지만, 경계에서 모든 연속 함수가 경계 내부의 함수를 생성하는 데 사용될 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, 함수 , 에 대해 정의된 함수를 코시 적분 공식에 넣으면 원 내부의 모든 점에 대해 0이 된다. 주어진 실수부에 해당하는 경계의 허수 부분은 상수 추가를 제외하고 하나뿐이므로, 정칙 함수의 경계에서 실수부만 주어지면 허수 상수를 최대 결정하기에 충분하다. 뫼비우스 변환과 Stieltjes 역전 공식의 조합을 사용하여 경계의 실수부로부터 정칙 함수를 구성할 수 있다.

6. 1. 매끄러운 함수

코시-폼페이유 공식^[3]은 매끄러운 함수에 대한 코시 적분 공식의 일반화이다. 를 내의 원반이라고 하고, 가 의 폐포에서 복소수 값을 갖는 함수라고 가정하면, 다음이 성립한다.^[4]^[5]^[6]

f(\zeta) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(z) \,dz}{z-\zeta} - \frac{1}{\pi}\iint_D \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z) \frac{dx\wedge dy}{z-\zeta}.

6. 2. 다변수 복소함수

다변수 복소함수에서 코시 적분 공식은 다원판으로 일반화될 수 있다.^[9] 개의 열린 원반 의 데카르트 곱으로 주어진 다원판 를 다음과 같이 정의한다.

D = \prod_{i=1}^n D_i.

에서 정칙 함수이고 의 폐포에서 연속인 함수 에 대해 다음이 성립한다.

f(\zeta) = \frac{1}{\left(2\pi i\right)^n}\int\cdots\iint_{\partial D_1\times\cdots\times\partial D_n} \frac{f(z_1,\ldots,z_n)}{(z_1-\zeta_1)\cdots(z_n-\zeta_n)} \, dz_1\cdots dz_n

여기서 이다.

6. 3. 실수 대수

기하 대수를 이용하면 코시 적분 공식을 고차원 실수 벡터 공간으로 일반화할 수 있다. 기하학적 미적분학에서는 미분 연산자 ∇ = '''ê'''_''i'' ∂_''i''^영어를 기하 곱 아래에서 정의한다. 즉, k-벡터장 ψ('''r''')^영어에 대해, 미분 ∇ψ^영어는 일반적으로 차수 k + 1 및 k - 1의 항을 포함한다.

이 미분 연산자에는 다음과 같은 그린 함수가 존재한다.

G\left(\mathbf r, \mathbf r'\right) = \frac{1}{S_n} \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^n}

여기서 ''S_n''^영어은 공간에서 단위 n-구의 표면적이다. 예를 들어 ''S''₂ = 2π^영어는 반지름이 1인 원의 둘레, ''S''₃ = 4π^영어는 반지름이 1인 구의 표면적이다. 그린 함수의 정의에 따라,

\nabla G\left(\mathbf r, \mathbf r'\right) = \delta\left(\mathbf r- \mathbf r'\right).

이다.

일반화된 스토크스 정리는 다음과 같다.

\oint_{\partial V} d\mathbf S \; f(\mathbf r) = \int_V d\mathbf V \; \nabla f(\mathbf r)

여기서, n차원 벡터 공간의 경우, ''d'''''S'''^영어는 (n - 1)-벡터이고 ''d'''''V'''^영어는 n-벡터이다.

∇''f'' = 0^영어일 때, ''f''('''r''')^영어는 정칙 함수를 고차원 공간으로 일반화한 ''monogenic function''이라고 불린다. 고차원 공간에 대한 코시 적분 정리는 ''G''('''r''', '''r'''′) ''f''('''r'''′)^영어에 일반화된 스토크스 정리를 사용하고 곱 규칙을 적용하여 증명할 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.

f(\mathbf r)=- \frac{1}{i_n} \oint_{\partial V} G\left(\mathbf r, \mathbf r'\right)\;  d\mathbf S \; f\left(\mathbf r'\right)= -\frac{1}{i_n} \oint_{\partial V} \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{S_n \left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^n} \; d\mathbf S \; f\left(\mathbf r'\right)

여기서 ''i_n''^영어은 해당 대수의 단위 n-벡터인 의사 스칼라이다.

따라서 2차원(복소 해석) 경우와 마찬가지로, 점에서의 해석적(monogenic) 함수의 값은 점을 둘러싼 표면에 대한 적분을 통해 찾을 수 있으며, 이는 스칼라 함수뿐만 아니라 벡터 및 일반 멀티벡터 함수에도 유효하다.

참조

_[1] 서적
_[2] 웹사이트 Gauss's Mean-Value Theorem https://www.wolframa[...]
_[3] 서적
_[4] 웹사이트 §2. Complex 2-Forms: Cauchy-Pompeiu’s Formula https://people.math.[...]
_[5] 서적
_[6] 웹사이트 Theorem 4.1.1 (Cauchy–Pompeiu). https://www.jirka.or[...]
_[7] 서적
_[8] 서적
_[9] 서적
_[10] 서적 复变函数简明教程北京大学出版社 2006-02

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