탐지 이론

2. 이론적 배경

신호 탐지 이론(Signal detection theory, SDT)은 불확실한 조건에서 우리가 어떻게 결정을 내리는지를 측정하는 방법이다.^[7][8] 이 이론은 의사 결정자가 단순히 정보만 받는 것이 아니라, 불확실성 속에서 어려운 판단을 내리는 능동적인 역할을 한다고 가정한다. 예를 들어, 안개가 낀 상황에서는 물체가 실제보다 더 멀리 떨어져 있다고 인식하게 된다. 이는 안개가 물체의 밝기를 감소시켜 뇌가 거리를 판단하는 데 혼란을 주기 때문이다.

신호 탐지 이론에서는 자극의 유무와 관찰자의 반응에 따라 다음과 같은 네 가지 범주로 결과를 분류한다.

이러한 시험 결과의 비율을 바탕으로, 민감도 지수 ''d'''나 A'와 같은 통계를 사용하여 민감도를 수치적으로 추정할 수 있다.^[9] 또한, c나 β와 같은 통계를 사용하여 반응 편향을 추정할 수 있는데,^[9] β는 반응 편향의 척도이다.^[10]

신호 탐지 이론은 기억 실험에도 적용될 수 있다. 실험 참가자에게 단어 목록을 제시하고 나중에 이전에 제시된 단어('표적')와 새로운 단어('방해물')를 섞어서 보여준다. 참가자는 각 단어가 이전 목록에 있었는지('예') 없었는지('아니오')를 판단한다. 이때, 표적에 '예'라고 답하면 정답, 방해물에 '예'라고 답하면 허위 경보가 된다.

2. 1. 심리학적 관점

각 반응에 대한 통계적 분석을 통해 신호에 대한 민감도와 반응 편향을 측정할 수 있다. 예를 들어, 20번의 신호 중 5번을 맞추고 15번을 놓쳤다면, 적중 확률은 0.25가 된다.

신호 탐지 과정은 두 단계로 이루어진다.^[9]

# 신호를 관찰하며 감각 정보를 축적한다.

# 신호의 유무를 판단한다.

이 이론에 따르면, 신호 자극은 뇌에서 신경 활동을 일으킨다. 신호가 있을 때 뇌에는 더 많은 감각적 증거, 즉 신경적 증거가 쌓인다. 신경 활동이 충분하여 특정 기준점(역치, Threshold)을 넘으면 '있음'으로, 넘지 못하면 '없음'으로 판단한다. 하지만 환경이나 뇌 속의 무작위적인 변동성 때문에 오류가 발생할 수 있다. 신호와 노이즈의 강도 차이가 작을수록 오류 확률은 높아진다.

사람들은 신호 탐지 과제를 수행할 때 '보수적' 또는 '모험적' 반응 편향을 가질 수 있다. 보수적 편향은 오경보를 줄이지만 누락이 많아지고, 모험적 편향은 탐지율을 높이지만 오경보가 많아진다. 어떤 편향이 더 좋은지는 상황에 따라 다르며, 이는 결정 기준($X\_c$)을 어디에 두느냐에 따라 결정된다. β는 $X\_c$에서 신호와 노이즈가 만들어낸 신경활동의 비율을 나타내는 값이다.

β =$\backslash frac\{P(X|S)\}\{P(X|N)\}$

β값이 1보다 크면 '있음' 반응이 줄어들어 적중과 오경보가 모두 감소하고, 1보다 작으면 '있음' 반응이 많아져 적중과 오경보가 모두 증가한다.

신호 탐지 이론에서 민감도 측정치는 $d\text{'}$로 표시되며, 신호 분포와 노이즈 분포의 평균 간 거리를 표준편차 단위로 나타낸 것이다. 민감도는 대상 자극을 배경 사건으로부터 얼마나 잘 구별할 수 있는지를 나타낸다. 예를 들어, 기억해야 할 단어를 더 오래 공부하면 이전에 본 단어를 더 쉽게 인식할 수 있다. 반대로, 기억해야 할 단어가 많아지면 구별하기가 더 어려워진다.

편향은 한 반응이 다른 반응보다 더 많이 나타나는 정도를 의미한다. 즉, 수신자는 자극이 있다고 응답하는 경향이 더 강하거나, 없다고 응답하는 경향이 더 강할 수 있다. 편향은 민감도와는 독립적이다. 예를 들어, 폭격기 탐지와 같이 오경보와 누락의 결과가 크게 다를 경우, 특정 반응 편향이 더 유리할 수 있다.

2. 2. 의학적 관점

2. 3. 정보 처리 및 통계적 관점

• MAP(Maximum a Posteriori) 검정:
• ''p(H1|y) > p(H2|y)''일 때 ''H1'' 선택, 그 반대의 경우 ''H2'' 선택. (H1: 부재, H2: 존재, y: 관측값)^[14]
• 두 사후 확률이 같으면, 기본 선택(항상 ''H1'' 또는 ''H2'')을 하거나 무작위 선택.
• ''사전 확률'' ''H1''과 ''H2''의 확률은 선택을 안내. (예: 더 높은 ''사전 확률''을 가진 가설 선택)
• 조건부 확률 ''p(y|H1)'', ''p(y|H2)''와 ''사전 확률'' $p(H1)\; =\; \backslash pi\_1$, $p(H2)\; =\; \backslash pi\_2$를 사용.
• $p(H1|y)\; =\; \backslash frac\{p(y|H1)\; \backslash cdot\; \backslash pi\_1\}\{p(y)\}$, $p(H2|y)\; =\; \backslash frac\{p(y|H2)\; \backslash cdot\; \backslash pi\_2\}\{p(y)\}$ (''p(y)'': 사건 ''y''의 총 확률)
• $\backslash frac\{p(y|H2)\}\{p(y|H1)\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{\backslash pi\_1\}\{\backslash pi\_2\}$ 이면 ''H2'' 선택, 그렇지 않으면 ''H1'' 선택.
• $\backslash frac\{\backslash pi\_1\}\{\backslash pi\_2\}$는 $\backslash tau\_\{MAP\}$, $\backslash frac\{p(y|H2)\}\{p(y|H1)\}$는 ''가능도 비'' ''L(y)''
• $L(y)\; \backslash ge\; \backslash tau\_\{MAP\}$ 이면 ''H2'' 선택. (MAP: 최대 ''사후 확률'')
• 발생할 것으로 예상되는 오류 수를 최소화.

• 베이즈 기준(Bayes criterion):
• ''H1'' 대응이 ''H2'' 대응보다 중요할 때 사용. (예: 핵무기 탑재 폭격기 침투 경보)^[14]
• 4가지 상황에 대한 효용을 연관:
• $U\_\{11\}$: H1 참, H1 대응 (예: 폭격기 격추)
• $U\_\{12\}$: H2 참, H1 대응 (예: 전투기 출격, 폭격기 위치 불명)
• $U\_\{21\}$: H1 참, H2 대응 (예: 도시 파괴)
• $U\_\{22\}$: H2 참, H2 대응 (예: 전투기 출격 X, 폭격기 위치 불명)
• 차이($U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\}$, $U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\}$)가 중요.
• 각 경우에 대한 4개의 확률($P\_\{11\}$, $P\_\{12\}$ 등, 의사 결정 전략에 따라 다름)
• 기대 효용 최대화: $E\backslash \{U\backslash \}\; =\; P\_\{11\}\; \backslash cdot\; U\_\{11\}\; +\; P\_\{21\}\; \backslash cdot\; U\_\{21\}\; +\; P\_\{12\}\; \backslash cdot\; U\_\{12\}\; +\; P\_\{22\}\; \backslash cdot\; U\_\{22\}$
• $U\text{'}\; =\; P\_\{11\}\; \backslash cdot\; (U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\})\; -\; P\_\{12\}\; \backslash cdot\; (U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\})$ 최대화
• $P\_\{11\}\; =\; \backslash pi\_1\; \backslash cdot\; \backslash int\_\{R\_1\}p(y|H1)\backslash ,\; dy$, $P\_\{12\}\; =\; \backslash pi\_2\; \backslash cdot\; \backslash int\_\{R\_1\}p(y|H2)\backslash ,\; dy$ 대체 ($\backslash pi\_1$, $\backslash pi\_2$: ''사전'' 확률, $R\_1$: ''H1'' 참으로 대응되는 ''y'' 영역)
• $\backslash Rightarrow\; U\text{'}\; =\; \backslash int\_\{R\_1\}\; \backslash left\; \backslash \{\; \backslash pi\_1\; \backslash cdot\; (U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\})\; \backslash cdot\; p(y|H1)\; -\; \backslash pi\_2\; \backslash cdot\; (U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\})\; \backslash cdot\; p(y|H2)\; \backslash right\; \backslash \}\; \backslash ,\; dy$
• $\backslash pi\_1\; \backslash cdot\; (U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\})\; \backslash cdot\; p(y|H1)\; -\; \backslash pi\_2\; \backslash cdot\; (U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\})\; \backslash cdot\; p(y|H2)\; >\; 0$ 인 영역에서 $R\_1$ 확장
• $\backslash pi\_2\; \backslash cdot\; (U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\})\; \backslash cdot\; p(y|H2)\; \backslash ge\; \backslash pi\_1\; \backslash cdot\; (U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\})\; \backslash cdot\; p(y|H1)$ 이면 H2 결정
• $\backslash Rightarrow\; L(y)\; \backslash equiv\; \backslash frac\{p(y|H2)\}\{p(y|H1)\}\; \backslash ge\; \backslash frac\{\backslash pi\_1\; \backslash cdot\; (U\_\{11\}\; -\; U\_\{21\})\}\{\backslash pi\_2\; \backslash cdot\; (U\_\{22\}\; -\; U\_\{12\})\}\; \backslash equiv\; \backslash tau\_B$ 이면 H2 결정, 그렇지 않으면 H1 결정 (''L(y)'': ''가능도 비'')

2. 4. 수학적 모델