퍼펙토이드

3. 젖히기(Tilting)

K를 표수 0의 완비 비아르키메데스 체라고 하자. K의 표수를 0에서 p로 바꾸는 과정을 젖히기(tilting)라고 한다. K의 젖히기를 K^{\flat}라고 표기한다. K^{\flat}는 K의 "유사체"이며, K와 K^{\flat} 사이에는 여러 가지 흥미로운 관계가 있다.

K^{\flat}는 다음과 같이 구성된다. K의 정수환 K^{\circ}를 생각하자. K^{\circ} 내에서 p로 나눌 수 있는 원소들의 집합을 m이라고 하자. K^{\flat}는 다음과 같이 정의된다.

K^{\flat} := \varprojlim_{x \mapsto x^p} K^{\circ}/p

K^{\flat}는 완비 퍼펙토이드 체가 된다. 즉, K^{\flat}는 표수 p의 체이며, Frobenius 사상 x \mapsto x^p가 K^{\flat} 위에서 전사이다.

K^{\flat}의 중요성은 퍼펙토이드 체의 연구에 있다. 퍼펙토이드 체는 대수 기하학에서 중요한 역할을 하는 대상이며, K^{\flat}는 K의 "거울상" 역할을 한다. K와 K^{\flat} 사이의 관계를 통해, 우리는 K에 대한 정보를 K^{\flat}로 옮기고, K^{\flat}에서 얻은 정보를 다시 K로 가져올 수 있다. 이러한 "젖히기" 과정을 통해, 우리는 퍼펙토이드 체의 구조를 더 깊이 이해할 수 있다.

두 perfectoid K-algebra R과 S가 주어졌을 때, cotangent complex L_{R/K}와 L_{S/K} 사이의 관계는 다음과 같은 정리를 통해 설명된다.

정리: R과 S가 perfectoid K-algebra이고, f: R \to S가 continuous K-algebra의 homomorphism이면, L_{S/R} \simeq L_{S^{\flat}/R^{\flat}}이다.

이 정리는 퍼펙토이드 체의 deformation theory에서 중요한 역할을 한다. 특히, almost mathematics를 이용한 deformation theory를 통해, 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

결과: R이 perfectoid K-algebra이면, R의 cotangent complex는 R^{\flat}의 cotangent complex와 "비슷하다".

다음으로, perfectoid K-algebra와 perfectoid K^{\circ a}/\pi-algebra의 정의를 살펴보자.

정의: K가 perfectoid 체이고, R이 K-algebra이면, R이 perfectoid K-algebra라는 것은 다음 조건을 만족하는 것이다.

• R은 K 위에서 완비이다.
• R^{\circ}는 R의 정수환이고, Frobenius 사상 \phi: R^{\circ}/p \to R^{\circ}/p가 조밀하다.

• R^{\flat} := \varprojlim_{x \mapsto x^p} R^{\circ}/p

4. 틸팅 동치(Tilting Equivalence)

임의의 퍼펙토이드 체 K에 대해, K의 틸트(tilt)는 유한 표수 p를 갖는 퍼펙토이드 체 K^♭이다. 이 틸트는 집합으로서 다음과 같이 정의된다:

$K^\{\backslash flat\}\; :=\; \backslash varprojlim\_x\; K,\; x\; \backslash leftarrow\; x^p$.

여기서 K^♭의 원소는 K의 원소의 시퀀스 (x₀, x₁, x₂, ...)로 구성되며, x_i+1^p = x_i를 만족한다. K^♭의 곱셈은 성분별로 정의되고, 덧셈은 다음과 같이 정의된다. K의 원소 (x₀, x₁, x₂, ...) 및 (y₀, y₁, y₂, ...)에 대해,

$(x\_0,\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash dots)\; +\; (y\_0,\; y\_1,\; y\_2,\; \backslash dots)\; =\; (z\_0,\; z\_1,\; z\_2,\; \backslash dots)$

여기서,

$z\_0\; =\; x\_0\; +\; y\_0$

$z\_1\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (x\_\{n+1\}\; +\; y\_\{n+1\})^p$

$z\_2\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (x\_\{n+2\}\; +\; y\_\{n+2\})^\{p^2\}$

$\backslash dots$

예를 들어, K가 유한 표수를 갖는 경우, K^♭ = K가 된다. 다른 예시로, $\backslash mathbb\{Q\}\_p(p^\{1/p^\backslash infty\})$의 p-진 완비화가 있다.

퍼펙토이드 대수와 퍼펙토이드 공간의 개념도 존재하며, 틸트 연산은 이러한 객체로 확장될 수 있다. 틸트 동치(Tilting Equivalence)는 틸트 함자 (-)^♭가 K 위의 퍼펙토이드 공간과 K^♭ 위의 퍼펙토이드 공간 사이의 범주 동치를 유도한다는 정리이다.

유한 표수를 갖는 퍼펙토이드 체는 여러 개의 비동형 "언틸트(untilt)"를 가질 수 있지만, 그 위에 있는 퍼펙토이드 공간의 범주는 모두 동치이다.

5. 폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger) 정리

갈루아 군의 동형사상에 대한 폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger) 정리에서, 완비 국소체 K의 절대 갈루아 군 $G\_K$는 K의 푸리에화 $K\_\{\backslash mathrm\{fet\}\}$의 절대 갈루아 군 $G\_\{K\_\{\backslash mathrm\{fet\}\}\}$과 동형이다. 여기서 $K\_\{\backslash mathrm\{fet\}\}$는 K의 모든 유한 에탈 대수들의 범주이며, $K\_\{\backslash mathrm\{fet\}\}$의 절대 갈루아 군은 $G\_K$와 동일시될 수 있다. 이 정리는 또한 K의 퍼펙토이드화 $K^\{\backslash flat\}\_\{\backslash text\{fet\}\}$에 대해 $G\_\{K\_\{\backslash mathrm\{fet\}\}\}\backslash cong\; G\_\{K^\{\backslash flat\}\_\{\backslash text\{fet\}\}\}$라는 결과를 제공한다. 이는 퍼펙토이드체 K의 특성 p에서 K와 그 퍼펙토이드화 사이의 관계를 보여준다.

만약 퍼펙토이드체 $K^\{\backslash flat\}$이 대수적으로 닫혀 있다면, 원래 체 K 또한 대수적으로 닫혀 있다는 것을 증명할 수 있다. 이는 퍼펙토이드화가 체의 대수적 구조에 미치는 영향을 보여주는 중요한 결과이다.

젖히기(tilt)의 반대 연산인 untilt는 퍼펙토이드체 $K^\{\backslash flat\}$를 원래 체 K로 되돌리는 과정이다. untilt는 K의 특성 p에서의 구조를 연구하는 데 중요한 도구이다. $K^\{\backslash sharp\}$의 대수적 폐포의 완비화인 M이 있을 때, M의 젖히기 $M^\{\backslash sharp\}$는 대수적으로 닫힌 체이다. 이 결과는 퍼펙토이드 기하학에서 체의 젖히기 연산이 대수적 폐포를 보존함을 보여준다.

6. 팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' Almost Purity Theorem)

유한 에탈 덮개 $S/R$에 대해 $R$이 퍼펙토이드 $K$-대수이면 $S^{\circ a}$는 $R^{\circ a}$ 위의 유한 에탈 대수이다. 이것은 Scheme의 사상의 많은 속성이 adic 공간의 사상에 대한 유추를 갖는다는 것을 보여준다. 거의 순수성 정리는 유한 사상 에탈 사상과 관련이 있으며, 팔팅스의 $p$-adic Hodge 이론에서 거의 순수성 정리의 일반화이다.

K를 완벽한 필드라고 하자. 거의 순수성 정리는 다음과 같은 두 가지 주장을 포함한다.

• 필드로의 유한 에탈 사상이 정확히 유한 차수 분리 확대이므로, 임의의 퍼펙토이드 체 $K$에 대해 $K$의 절대 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$과 $K^{\flat}$의 절대 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(\overline{K^{\flat}}/K^{\flat})$은 동형이다.

7. 퍼펙토이드 공간(Perfectoid Space)

아피노이드 대수(affinoid algebra)의 정의로부터 시작해보자. 테이트 k-대수(Tate k-algebra)와 아피노이드 k-대수(affinoid k-algebra)는 다음과 같이 정의된다. 이제 퍼펙토이드 아피노이드 K-대수(perfectoid affinoid K-algebra)를 정의할 수 있다.

X = Spa(R, R^+)는 다음과 같이 정의된다. 여기서 R은 완비 노름환이고, R^+는 R의 유계 원소들의 집합이다. X의 위상은 다음과 같다. X의 점은 R의 최대 노름에 해당하며, 각 점은 |f| ≤ 1을 만족하는 R의 모든 원소 f에 대한 k의 노름을 가진다. 유리형 집합(rational subset)은 다음과 같다.

U가 X의 열린 집합일 때, U는 다음과 같은 성질을 가진다.

이제 시프(sheaf)를 정의하기 위한 과정을 살펴보자. 먼저, 일반적인 열린 집합 W ⊆ X에 대해 다음과 같이 정의한다.

X 위의 준시프(presheaf) \mathcal{O}_X, \mathcal{O}^+_X를 정의할 수 있다.

\mathcal{O}_X가 시프라는 것을 알 수 있다.

참조

_[1] 논문 Perfectoid spaces
_[2] 웹사이트 Why is Faltings' "almost purity theorem" a purity theorem? https://mathoverflow[...] 2017-12-06
_[3] 논문 Perfectoid spaces
_[4] 웹사이트 Why is Faltings' "almost purity theorem" a purity theorem? https://mathoverflow[...] 2017-12-06