평행각
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1. 개요
평행각은 1840년 니콜라이 로바체프스키에 의해 처음 제시된 개념으로, 쌍곡 기하학에서 평행선의 존재성과 유일성을 증명하는 데 중요한 역할을 한다. 평행각은 직선 r 위에 있지 않은 점 A를 지나고 직선 r에 점근적으로 평행한 직선 s를 작도하는 과정에서 나타나는 각도이다. 쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델에서 유클리드 기하학을 사용하여 평행각 Φ와 거리 a의 관계를 설정할 수 있으며, tanΦ = 1/sinh a 공식을 통해 표현된다.
니콜라이 로바체프스키는 1840년 독일어로 출판된 그의 저서 "평행선의 이론에 대한 기하학적 연구"에서 '''평행각''' 개념을 처음으로 제시하였다.[1]
야노시 볼라이는 직선 ''r'' 위에 있지 않은 점 ''A''를 지나고, 직선 ''r''에 점근적으로 평행한 직선 ''s''를 그리는 작도법을 발견했다.[1] 이 작도법은 다음과 같은 단계를 거친다.
야노시 볼라이는 직선 ''r'' 위에 있지 않은 점 ''A''를 지나고, 직선 ''r''에 점근적으로 평행한 직선 ''s''를 작도하는 방법을 발견했다.[1] 평행각 Π(''p'')는 주어진 점과 직선 사이의 거리 ''p''에 대한 함수로 표현된다. 평행각과 거리 사이의 관계는 다음과 같은 공식으로 나타낼 수 있다.
[1]
서적
Non-Euclidean Geometry
Dover Publications
2. 역사
이 저서는 1891년 텍사스 대학교의 G. B. 할스테드 교수가 "Geometrical researches on the theory of parallels"라는 제목으로 번역하면서 영어권에 널리 알려지게 되었다.[2]
할스테드의 번역본은 쌍곡 기하학에서 평행각을 다음과 같이 정의한다.
:"평행선 HA와 수직선 AD 사이의 각 HAD를 평행각(평행각)이라고 부르며, 여기서는 AD = p에 대해 Π(p)로 표기한다."[3]
3. 작도
1. 점 ''A''에서 직선 ''r''에 수선을 내려 점 ''B''에서 만난다.
2. ''r'' 위의 ''B''와 다른 점 ''C''를 선택한다.
3. ''C''에서 ''r''에 수선 ''t''를 세운다.
4. 점 ''A''에서 ''t''에 수선을 내려 점 ''D''에서 만난다.
5. 그러면, 길이 ''DA''는 ''CB''보다 길지만, ''CA''보다는 짧다.
6. 반지름이 ''DA''와 같은 원을 ''C''를 중심으로 그린다.
7. 이 원은 선분 ''AB''와 점 ''E''에서 교차한다.
8. 그러면 각 ''BEC''는 ''BC''의 길이에 관계없이, 오직 ''AB''에만 의존하며, 이것이 평행각이다.
9. ''AB''에서 ''BEC'' 각도로 점 ''A''를 지나도록 ''s''를 작도한다.
이때, 직선 ''s''는 직선 ''r''에 점근적으로 평행하다.
여기서 사용된 공식은 직각삼각형의 삼각법을 참조하라.
4. 평행각 공식
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여기서 ''Φ''는 평행각, ''a''는 점 (0, ''y'')에서 (0, 1)까지의 쌍곡선 거리, sinh는 쌍곡사인 함수를 나타낸다.
이 공식은 쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델(쌍곡 운동 참조)에서 유클리드 기하학을 이용하여 유도할 수 있다.[4]
5. 푸앵카레 반평면 모델
쌍곡 평면의 푸앵카레 반평면 모델(쌍곡 운동 참조)에서 유클리드 기하학을 사용하여 ''Φ''와 ''a''의 관계를 설정할 수 있다. ''Q''를 (1,0)과 (0,''y'') 점을 통과하고 x축에 지름이 있는 반원이라고 하자(여기서 ''y'' > 1). ''Q''는 원점을 중심으로 하는 단위 반원에 접하므로 두 반원은 ''평행한 쌍곡선''을 나타낸다. y축은 두 반원을 모두 교차하여 단위 반원과는 직각을 이루고, ''Q''와는 가변 각도 ''Φ''를 이룬다. (0, ''y'')까지의 반지름에 의해 만들어지는 ''Q''의 중심에서의 각도도 ''Φ''인데, 이는 두 각도가 왼쪽 변에서 왼쪽 변으로, 오른쪽 변에서 오른쪽 변으로 수직인 변을 갖기 때문이다. 반원 ''Q''는 (''x'', 0) (''x'' < 0)을 중심으로 하므로 반지름은 1 − ''x''이다. 따라서 ''Q''의 반지름 제곱은 다음과 같다.
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따라서
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쌍곡 기하학의 푸앵카레 반평면 모델의 계량은 로그 척도로 {(''y'' > 0 }의 광선에 대한 거리를 매개변수화한다. (0, ''y'')에서 (0, 1)까지의 쌍곡선 거리를 ''a''라고 하면, log ''y'' − log 1 = ''a''이다. 따라서 ''y'' = ''ea'' 이고, 여기서 ''e''는 자연 로그의 밑이다.
''Φ''와 ''a''의 관계는 {(''x'', 0), (0, 0), (0, ''y'')} 삼각형에서 추론할 수 있다.
:
참조
[2]
논문
Geometrical Researches on the Theory of Parallels
https://archive.org/[...]
1840
[3]
서적
Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments
https://archive.org/[...]
Dover
1955
[4]
간행물
Lobachevskian Geometry
Mir Publishers
1982
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