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플라스마 가림효과

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목차

1. 개요

플라스마 가림 효과는 플라스마 내 전하 입자들이 외부 전하에 반응하여 전기장을 가리는 현상이다. Random Phase Approximation (RPA)은 이 효과를 이해하는 데 중요한 개념으로, 전하의 동적 가림을 설명하는 데 사용된다. 린드하드 식은 플라스마 가림 효과를 정량적으로 분석하는 데 사용되며, 3차원 및 2차원 전자 시스템에서 다른 양상을 보인다. 3차원 플라스마에서 가림 길이는 플라스마의 밀도와 온도에 따라 결정되며, 2차원 시스템에서는 린드하드 식의 파수 의존성이 다르다. 이러한 가림 효과는 플라스마 내 전자기파의 전파 특성 및 전하 입자 간 상호 작용을 이해하는 데 중요하다.

2. Random Phase Approximation

Random Phase Approximation (RPA, 무작위 위상 근사)은 어떤 시스템의 동적 전자 반응(Dynamic Electronic Response)을 보기 위한 방법으로 주로 사용된다. RPA에서 전자는 외부 퍼텐셜 V_{ext}(r) \,\! 과 가림효과를 받은 가림 퍼텐셜 V_{sub}(r) \,\! 을 합친 V(r) \,\! 에 의해서만 반응을 한다고 가정한다. 그리고 외부 퍼텐셜 V_{ext}(r) \,\! 이 특정한 단일 주파수 \omega \,\! 로 진동한다고 가정한다. 따라서, 전체 퍼텐셜 V(r) \,\! 이 동적 유전상수에 대한 기여는 평균화되어 특정한 Wave Vector(파수 벡터) k \,\! 만이 기여를 하게 된다.

3. 린드하드 식의 유도

전자 플라스마에서 린드하드 식을 유도하는 과정은 다음과 같다. 우선, 단일 입자에 대한 해밀토니안은 다음과 같이 표현된다.

:

H= \int d^3 r \,\psi^\dagger( \vec{r}) \, \left (-\frac {\nabla^2 \hbar ^2}{2m} \right ) \psi( \vec{r})+\int d^3 r\, V_{eff}(r) \, \psi^\dagger(\vec{r}) \, \psi(\vec{r})\,



여기서 V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\!이며, V(r) \,\! 은 쿨롱 퍼텐셜, V_{ind}(r) \,\! 는 가림을 받는 입자들에 의해 유도된 퍼텐셜이다.

이 해밀토니안을 푸리에 변환하면 다음과 같다.

:

H=\sum_k E_{k}a^\dagger_{k}a_k+\sum_p V_{eff} (p) \sum_k a^\dagger_{k+p}a_k \,



이제 하이젠버그 운동방정식을 이용하여 a^\dagger_{k-q}a_k \,\! 의 운동을 기술하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt}a^\dagger_{k-q}a_k={i \over \hbar}[H,a^\dagger_{k-q}a_k]

:::: =i (E_{k-q}-E_{k})a^\dagger_{k-q}a_k-{i \over \hbar}\sum_p V_{eff}(p)(a^\dagger_{k-q}a_{k-p}-a^\dagger_{k+p-q}a_k)

여기에 Random Phase Approximation을 적용하여 a^\dagger_{k-q}a_k \,\! 의 기대값을 구하면 다음과 같다.

:\frac{d}{dt} = i (E_{k-q}-E_{k}) -{i \over \hbar} V_{eff}(p)(f_{k-q}-f_{k})



전자가 e^{-i(\omega+i\delta)t} \,\! 에 비례해서 움직인다고 가정하면, 즉 \, \propto \, e^{\,\!-i(\omega+i\delta)t} \,\! 라고 가정하면, 다음 식을 유도할 수 있다.

: \hbar(\omega\delta+E_{k-q}-E_{k}) = V_{eff}(q)(f_{k-q}-f_k)

이를 \,\! 에 대해 정리하면 다음과 같다.

:=V_{eff}(q){ {f_{k-q}-f_{k}}\over \ {\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}}

\,\!

다음으로, Polarization Function P^1(q, \omega) \,\! 와 Electron Charge Density Operator <\rho_{q}> \,\! 를 다음과 같이 정의한다.

:P^1(q, \omega)\equiv \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}}

: <\rho_{q}> \equiv - \frac

{L^3} \sum_k { a^\dagger_{k-q}a_k }

이 두 식과 앞서 유도한 식을 이용하면 Electron Charge Density Operator는 다음과 같이 표현된다.

: <\rho_{q}> = - \frac

{L^3} V_{eff}(q) P^1(q, \omega)

가림효과를 받은 입자의 퍼텐셜은 포아송 방정식을 만족하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\nabla^2 V_{ind}(r)= \frac {4\pi |e| \rho (r) }{ \epsilon_o}



이 식을 푸리에 변환하고, 앞서 구한 Electron Charge Denisty Operator을 대입하면,

:

V_{ind}(q)=-\frac {4\pi |e|}{\epsilon q^2}\rho_q = \frac{4\pi |e|^2}{\epsilon_o q^2 L^3} V_{eff}(q)P^1(q, \omega)=V_q V_{eff}(q)P^1(q, \omega)



처음에 정의한 V_{e f f}(r)=V(r)+V_{ind}(r) \,\! 와 위의 결과들을 이용하면, V_{e f f} \,\! 를 가림을 받게 되는 실질적인 퍼텐셜(Dynamically Screened Coulomb Potential)인 V_{s} \,\! 으로 새로 정의할 수 있다.

:

V_{e f f}(q)= V(q)[ 1 + V_{eff}(q)P^1(q, \omega)] = \frac {V_q}{1-V_q P^1(q, \omega)} = \frac {V_q}{\epsilon (q, \omega)}\equiv V_s(q, \omega)



이때, 동적 유전상수(Dynamic Dielectric Funtion) \epsilon \,\! 은 다음과 같이 정의된다.

:

\epsilon (q, \omega) = 1- V_q P^1 (q, \omega) \,\!



따라서, Polarization Function P^1(q, \omega) \,\! 의 꼴을 알고 있으므로, 린드하드 식은 다음과 같이 유도된다.

:\epsilon(q,\omega) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{\hbar(\omega+i\delta+E_{k-q}-E_k)}}.

4. 린드하드 식의 적용 범위

린드하드 식은 3차원과 2차원에 한해서 적용이 가능하다. 이 식은 q \,\!와 \omega \,\!에 대한 의존성이 있어 공간과 시간에 대한 분포를 포함한다. 식에서 사용된 입자의 밀도 함수 f_{k} \,\!는 플라스마의 경우 페르미-디락 함수 f \,\!와 같다.

4. 1. 3차원

3차원 전자 시스템에 린드하드 식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

정적 상태에서는 다음과 같은 유전 함수를 얻는다.

:

\epsilon(q,0) = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv 1 + \frac{\kappa^2}{q^2}.



여기서 \kappa는 3차원 가림 파수(3D Screening Wave Number)로 다음과 같이 정의된다.

:

\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} }



이 결과를 이용하면, 3차원에서 가림효과를 고려한 새로운 쿨롱 퍼텐셜을 구할 수 있다. 이 퍼텐셜은 주파수 도메인으로 표현되었으므로, 푸리에 변환을 통해 공간 상에서 다음과 같은 유카와 퍼텐셜 형태로 나타난다.

:V_s(r) = \frac{e^2}{\epsilon_0 r} e^{-\kappa r}

3차원 가림 파수는 축퇴 상태(Thomas-Fermi Screening)와 비축퇴 상태(Debye-Hückel Screening) 두 가지 경우로 나눌 수 있다. 각각의 경우에 대한 3차원 가림 파수의 구체적인 표현은 하위 섹션에서 자세히 설명되어 있다.

4. 1. 1. 긴파장 영역

긴파장 영역은 q\to0으로 가능한 영역이다. 그 이유는 q는 파수이기 때문에 \lambda가 커지면 0으로 가기 때문이다.

린드하드 식의 분모를 보면,

:E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m}

이고, 린드하드 식의 분자를 보면,

:f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k

이다. 위 식을 린드하드 식에 대입하고 \delta \to 0으로 가는 경우를 취하면,

:

\begin{alignat}{2}

\epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m}} }\\

& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0})\\

& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0}\\

& = 1 - V_q \frac{q^2}{m \omega_0^2} \sum_k{f_k}\\

& = 1 - V_q \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\

& = 1 - \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3} \frac{q^2 N}{m \omega_0^2} \\

& = 1 - \frac{\omega_{pl}^2}{\omega_0^2}

\end{alignat}



가 된다. 여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2 L^3}, \omega_{pl}^2 = \frac{4 \pi e^2 N}{\epsilon_0 L^3 m}이다. 이는 고전적인 유전상수 모델(즉, Drude 모델)과 같은 결과이다.

4. 1. 2. 정적 상태

정적인 상태는 \omega + i\delta \to 0일 때이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 표현된다.

:\epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} = 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}

평형상태의 페르미-디락 분포를 가정하면,

:\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu}}

여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다.

그러므로, 정적 상태인 3차원 린드하드 식은 다음과 같이 유도된다.

:

\begin{alignat}{2}

\epsilon(q,0) & =

1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} =

1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu}} =

1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{1}{L^3} \sum_k{f_k} \\

& = 1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^3} =

1 + \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 q^2} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv

1 + \frac{\kappa^2}{q^2}.

\end{alignat}



여기서 \kappa \,\!는 3D Screening Wave Number (3차원 가림 파수)로 정의된다.

:

\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} }



이 결과를 이용하면, 3차원에서 가림효과를 고려한 새로운 쿨롱 퍼텐셜을 구할 수 있다.

:V_s(q,\omega=0) = \frac{4 \pi e^2}{\epsilon_0 L^3} \frac{1}{q^2 + \kappa^2} = \frac{V_q}{\epsilon(q,\omega=0)}

이 퍼텐셜은 주파수 도메인으로 표현되었으므로, 푸리에 변환을 통해 공간 상에서 다음과 같은 유카와 퍼텐셜 형태로 나타난다.

:V_s(r) = \sum_q{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon_0 L^3 (q^2+\kappa^2)} e^{i \vec{q} \cdot \vec{r}} } = \frac{e^2}{\epsilon_0 r} e^{-\kappa r}

3D Screening Wave Number는 축퇴 상태와 비축퇴 상태 두 가지 경우로 나눌 수 있다.
축퇴 상태 (Thomas-Fermi Screening)온도가 0인 상태를 의미하며, 이때의 가림을 Thomas-Fermi Screening이라고 한다. 축퇴 상태의 전자기체 밀도 함수는 다음과 같다.

: n = \frac{1}{2\pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2} \frac{2}{3} E_f)^{\frac{3}{2}} .

이 상태에서 페르미 에너지는 \mu \,\!와 같으므로,

:\frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f}

따라서 축퇴 상태의 3D Screening Wave Number는 다음과 같으며, Thomas-Fermi Screening Wave Number라고도 불린다.

:\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2}{\epsilon} \frac{\partial n}{\partial \mu} } = \sqrt{ \frac{6\pi e^2 n}{\epsilon_0 E_f} }
비축퇴 상태 (Debye-Hückel Screening)페르미 분포로부터 다음 식을 유도할 수 있다.

:\frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{3}{2}\frac{n}{E_f}

따라서 비축퇴 상태의 3D Screening Wave Number는 다음과 같으며, Debye-Hückel Screening Wave Number라고 불린다.

:\kappa = \sqrt{ \frac{4\pi e^2 n \beta}{\epsilon_0} }

4. 2. 2차원

2차원 전자 시스템에 린드하드 식을 적용하면 플라스마 가림효과를 이해할 수 있다.

린드하드 식을 2차원 시스템에 적용하면, 다음과 같은 두 가지 주요 결과를 얻을 수 있다.

  • 긴파장 영역: 파수(q)가 0으로 수렴하는 영역(장파장)에서 2차원 플라스마 진동수를 정의한다.
  • 정적 상태: ω + iδ → 0영어인 정적 상태에서 2차원 유전 상수를 유도하고, 가림효과를 고려한 쿨롱 퍼텐셜을 계산한다. 2차원 페르미 기체의 화학 퍼텐셜을 이용하여, 2차원 가림 파수(Screening Wave Number)는 밀도에 의존하지 않음을 알 수 있다.

4. 2. 1. 긴파장 영역

긴파장 영역은 파수 q\to0 인 영역이다. q는 파수이기 때문에 파장 \lambda 가 커지면 0으로 수렴한다.

린드하드 식을 q\to0 영역에서 분석하면 다음과 같다. 린드하드 식의 분모는

:E_{k-q} - E_k = \frac{\hbar^2}{2m}(k^2-2\vec{k}\cdot\vec{q}+q^2) - \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \simeq -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m},

린드하드 식의 분자는

:f_{k-q} - f_k = f_k - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k + \cdots - k_k \simeq - \vec{q}\cdot\nabla_k f_k.

위 식을 린드하드 식에 대입하고 \delta \to 0으로 극한을 취하면,

:

\begin{alignat}{2}

\epsilon(0,\omega) & \simeq 1 + V_q \sum_{k,i}{ \frac{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}{\hbar \omega_0 - \frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m}} }\\

& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}(1+\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0})\\

& \simeq 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} \sum_{k,i}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar \vec{k}\cdot\vec{q}}{m \omega_0}\\

& = 1 + \frac{V_q}{\hbar \omega_0} 2 \int d^2 k (\frac{L}{2 \pi})^2 \sum_{i,j}{q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\frac{\hbar k_j q_j}{m \omega_0}\\

& = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} \sum_{i,j}{q_i q_j k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\\

& = 1 + \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_j \frac{\partial f_k}{\partial k_i}}\\

& = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j 2 \int \frac{d^2 k}{(2 \pi)^2} k_k \frac{\partial f_j}{\partial k_i}}\\

& = 1 - \frac{V_q L^2}{m \omega_0^2} \sum_{i,j}{ q_i q_j n \delta_{ij}}\\

& = 1 - \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{L^2}{m \omega_0^2} q^2 n\\

& = 1 - \frac{\omega_{pl}^2(q)}{\omega_0^2},

\end{alignat}



여기서 E_k = \hbar \epsilon_k, V_q = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2}이고, 2차원 플라스마 진동수(2D plasma frequency)는 \omega_{pl}(q) = \sqrt { \frac{2 \pi e^2 n q}{\epsilon_0 m}} 와 같이 정의된다.

4. 2. 2. 정적 상태

정적인 상태는 ω + iδ → 0영어일 때이므로, 린드하드 식은 다음과 같이 된다.

:\epsilon(q,0) = 1 - V_q \sum_k{\frac{f_{k-q}-f_k}{E_{k-q}-E_k}}= 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{-q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{ -\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}

= 1 - V_q \sum_{k,i}{\frac{q_i \frac{\partial f}{\partial k_i} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }}.

평형상태의 페르미-디락 분포를 가정하면,

:\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i \frac{\partial f_k}{\partial \mu} \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} } = -\sum_{i}{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu}}



여기서 \epsilon_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}, \frac{\partial \epsilon_k}{\partial k_i} = \frac{\hbar^2 k_i}{m} 이다.

따라서, 2D 유전상수를 구할 수 있다.

:

\begin{alignat}{2}

\epsilon(q,0) & =

1 + V_q \sum_{k,i}{\frac{ q_i k_i \frac{\hbar^2}{m} \frac{\partial f_k}{\partial \mu} }{\frac{\hbar^2 \vec{k}\cdot\vec{q}}{m} }} =

1 + V_q\sum_k{\frac{\partial f_k}{\partial \mu}} =

1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q L^2} \frac{\partial}{\partial \mu} \sum_k{f_k} \\

& = 1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial}{\partial \mu} \frac{N}{L^2} =

1 + \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 q} \frac{\partial n}{\partial \mu} \equiv

1 + \frac{\kappa}{q}.

\end{alignat}



여기서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} 로 정의했다. 3차원일 때와 마찬가지로 \kappa \,\!를 알면 가림효과를 고려한 쿨롱 퍼텐셜을 쉽게 유도할 수 있다. 그 결과는 아래와 같다.

:V_s(q,\omega=0) = \frac{2 \pi e^2}{\epsilon_0 L^2} \frac{1}{q + \kappa}

2차원 페르미 기체의 Chemical Potenital은 \mu (n,T) = \frac{1}{\beta} \ln{(e^{\hbar^2 \beta \pi n/m}-1)} 이므로 \frac{\partial \mu}{\partial n} = \frac{\hbar^2 \pi}{m} \frac{1}{1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m}}가 된다.

따라서 \kappa = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{\partial n}{\partial \mu} = \frac{2\pi e^2}{\epsilon_0} \frac{m}

{\hbar^2 \pi} (1-e^{-\hbar^2 \beta \pi n / m}) = \frac{2 m e^2}{\epsilon_0 \hbar^2} f_{k=0}가 됨을 알 수 있다. 수식을 보면 2차원 Screening Wave Number는 3차원이 밀도에 의존하는데 반해, 그렇지 않다는 것을 확인할 수 있다.


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