한계대체율

3. 무차별곡선의 기울기

신고전 경제학의 일반적인 가정 아래에서 재화와 서비스가 연속적으로 나뉠 수 있다면, 한계대체율(MRS)은 교환 방향과 상관없이 동일하며, 특정 소비 묶음을 지나는 무차별 곡선의 기울기와 같다. 정확히는 기울기에 -1을 곱한 값이다. 수학적으로 이는 음함수 미분에 해당한다. X재에 대한 Y재의 MRS는 소비자가 X재 1단위를 더 얻기 위해 기꺼이 포기할 용의가 있는 Y재의 양을 의미한다. MRS는 무차별 곡선 위의 어느 점에 있는지에 따라 달라지므로, 어느 지점에서의 MRS인지 명확히 하는 것이 중요하다.

효용이 수량화될 수 있다는 가정 하에서, X재에 대한 Y재의 한계대체율(MRS_xy)은 X재의 한계 효용(MU_X)을 Y재의 한계 효용(MU_Y)으로 나눈 값과 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:$MRS\_\{xy\}\; =\; -m\_\{\backslash mathrm\{indif\}\}\; =\; -\backslash frac\{dy\}\{dx\}$

:$MRS\_\{xy\}\; =\; \backslash frac\{MU\_x\}\{MU\_y\}$

여기서 $m\_\{\backslash mathrm\{indif\}\}$는 무차별 곡선의 기울기를 나타낸다. 동일한 효용 수준을 유지하는 재화 묶음(즉, 무차별 곡선 상의 점들)을 비교할 때, X재의 한계 효용은 포기해야 하는 Y재의 단위로 측정된다는 점에 유의해야 한다.

예를 들어, 만약 MRS_''xy'' = 2라면, 소비자는 X 1단위를 추가로 얻기 위해 Y 2단위를 포기할 것이다.

일반적으로 볼록한 형태의 무차별 곡선을 따라 오른쪽 아래로 이동하면, 한계대체율은 감소한다. 즉, 무차별 곡선 기울기의 절댓값이 작아진다. 이를 한계대체율 체감의 법칙이라고 한다.

무차별 곡선이 원점에 대해 볼록하고 MRS를 무차별 곡선 기울기의 음수 값으로 정의했으므로, MRS는 항상 0보다 크거나 같다.

:$MRS\_\{xy\}\; \backslash ge\; 0$

만약 효용 함수가 $u\; =\; u(x,\; y)$로 주어진다면, 한계대체율은 다음과 같이 편미분을 이용하여 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\; u\; /\; \backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; u\; /\; \backslash partial\; y\}\; =\; -\backslash frac\{u\_x\}\{u\_y\}$

여기서 $u\_x$는 효용 함수 $u$를 $x$에 대해 편미분한 것이고, $u\_y$는 $y$에 대해 편미분한 것이다.

이 관계는 효용 함수 $u$를 전미분하여 유도할 수 있다.

:$du\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; dx\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}\; dy\; =\; u\_x\; dx\; +\; u\_y\; dy$

무차별 곡선 상에서는 효용 수준 $u$가 일정하므로 $du\; =\; 0$이다. 따라서 다음 식이 성립한다.

:$u\_x\; dx\; +\; u\_y\; dy\; =\; 0$

이 식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; -\backslash frac\{u\_x\}\{u\_y\}$

4. 한계대체율 체감

경제학 이론에서 중요한 원리 중 하나는 한 재화(X재)를 다른 재화(Y재)로 더 많이 대체할수록, 즉 소비자가 X재를 더 많이 가지고 Y재를 덜 가지게 될수록 한계대체율(MRS)은 감소한다는 것이다. 다시 말해, 소비자가 X재를 더 많이 보유할수록, 추가적인 X재 1단위를 얻기 위해 포기하려는 Y재의 양은 점점 줄어든다. 이를 한계대체율 체감의 법칙이라고 부른다.

이는 소비자의 X재 보유량이 늘어나고 Y재 보유량이 줄어듦에 따라 발생하는 현상이다. 소비자는 이미 많이 가지고 있는 X재의 추가적인 증가분보다는, 상대적으로 희소해진 Y재를 덜 포기하려 하게 된다. 이러한 한계대체율의 감소는 무차별곡선 상의 서로 다른 지점에서 접선을 그렸을 때, 곡선의 오른쪽 아래로 갈수록 접선의 기울기의 절댓값이 작아지는 것을 통해 시각적으로도 확인할 수 있다.

5. 효용 극대화 조건

소비자가 예산 제약 하에서 효용을 극대화할 때, 무차별곡선은 예산선에 접한다. 이때 ''m''은 기울기를 나타낸다:

:$\backslash \; m\_\backslash mathrm\{indif\}=m\_\backslash mathrm\{budget\}$

:$\backslash \; -(MRS\_\{xy\})=-(P\_x/P\_y)$

:$\backslash \; MRS\_\{xy\}=P\_x/P\_y$

따라서 소비자가 예산선상에서 효용을 극대화하는 시장 바스켓(재화 묶음)을 선택할 때, 다음 조건이 성립한다.

:$\backslash \; MU\_x/MU\_y=P\_x/P\_y$

:$\backslash \; MU\_x/P\_x=MU\_y/P\_y$

이 중요한 결과는 소비자의 예산이 각 재화에 지출된 1원당 한계 효용이 같아지도록 배분될 때 효용이 극대화된다는 것을 의미한다. 만약 이 등식이 성립하지 않으면, 소비자는 1원당 한계 효용이 낮은 재화에 대한 지출을 줄이고, 1원당 한계 효용이 높은 다른 재화에 대한 지출을 늘림으로써 효용을 더 증가시킬 수 있다. 예를 들어, 한계대체율을 감소시키기 위해서는, 소비자는 한계 효용이 감소하기를 원하는 재화(수확 체감의 법칙 때문에)를 더 많이 구매해야 한다.

6. 볼록성 결정

소비자의 효용 함수를 분석하여 그 함수가 볼록한지 여부를 결정할 때, 두 가지 재화만 고려하는 경우에는 한계대체율(MRS)의 도함수를 구하는 간단한 테스트를 적용하여 소비자의 선호가 볼록한지 확인할 수 있다.

MRS의 도함수 값에 따라 효용 곡선의 형태가 달라진다.

• MRS의 도함수가 음수이면 효용 곡선은 위로 볼록한 형태가 되며, 이는 최댓값을 가지고 최댓값의 양쪽에서 감소함을 의미한다. 이 효용 곡선은 소문자 'n'과 유사한 모양을 가질 수 있다. 이는 효용 함수가 비볼록(non-convex)함을 의미한다.
• MRS의 도함수가 0이면 효용 곡선은 선형이 되며, 기울기는 효용 곡선 전체에서 일정하게 유지된다. 이는 효용 함수가 약하게 볼록(weakly convex)함을 나타낸다.
• MRS의 도함수가 양수이면 효용 곡선은 아래로 볼록한 형태가 되며, 이는 최솟값을 가지고 최솟값의 양쪽에서 증가함을 의미한다. 이 효용 곡선은 알파벳 'u'와 유사한 모양을 가질 수 있다. 이는 효용 함수가 강하게 볼록(strictly convex)함을 의미한다.

참조

_[1] 서적 企業経済学 東洋経済新報社
_[2] 웹인용 Marginal Rate of Substitution http://www.investope[...] Investopedia 2017-10-03
_[3] 서적 금융시장의 이해: 자본시장법, 금융투자상품, 코넥스시장의 이해 https://books.google[...] 연암사 2017-10-03
_[4] 서적 미시경제학 범문사 2008-07-15