전미분

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 전미분 가능성
3. 성질
4. 전미분과 선형 변환
5. 전미분과 미분 형식
6. 연쇄 법칙
- 6.1. 직접 종속성이 있는 경우의 예시
- 6.2. 간접 종속성이 있는 경우의 예시
7. 전미분 방정식
8. 방정식 시스템에 대한 응용 (경제학)
참조

1. 개요

전미분은 유클리드 공간에서 정의된 실숫값 함수의 미분 개념으로, 함수의 변화를 나타내는 선형 근사이다. 전미분 가능성은 함수가 미분 가능함을 의미하며, 전미분은 편미분, 방향 미분과 밀접한 관련이 있다. 전미분은 함수가 여러 변수에 의존하는 경우, 변수 간의 종속성을 고려하여 변화율을 정확하게 파악하는 데 사용되며, 연쇄 법칙을 통해 합성 함수의 미분을 계산하는 데 활용된다. 또한 전미분은 미분 형식 및 전미분 방정식으로 표현될 수 있으며, 경제학에서는 연립 방정식을 분석하여 시장 균형의 변화를 연구하는 데 응용된다.

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전미분
수학적 정의
유형	미분
정의
변수	t x y
함수	f(t, x, y)
설명	t에 대한 f의 변화율. x와 y는 t의 함수로 간주됨.
수식
수식	df/dt = ∂f/∂t + (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
설명	각 변수의 변화율을 고려한 전체 변화율
활용
경제학	간접 효과 분석
열역학	상태 함수의 변화 계산
유체역학	유체 입자의 속도 변화 추적
관련 개념
관련 개념	편미분, 전미분

2. 정의

유클리드 공간의 연결 열린집합에 정의된 실숫값 함수 $f\colon D\subseteq\mathbb R^n\to\mathbb R$ 의 점 $\boldsymbol a\in D$ 에서의 '''전미분''' $\mathrm df$ 는 다음과 같다.

: $\mathrm df=\frac{\partial f}{\partial x_1}\mathrm dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\mathrm dx_2+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\mathrm dx_n$

여기서

$\mathrm dx_i$ 는 변수 $x_i$ 의 증분이다.
$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 는 $f$ 의 $x_i$ 에 대한 편미분이다.

다만 이는 다음 조건을 만족해야 한다.

:

\lim_{\Delta\boldsymbol x\to0}\frac{\Delta f-\mathrm df}{\Delta\boldsymbol x}=0

전미분

\mathrm df

는

\mathrm d\boldsymbol x

에 의존한다. 반면

\frac{\partial f}{\partial x_i}

는

\mathrm d\boldsymbol x

에 의존하지 않는다.

만약

D

의 어떤 점이나 모든 점에서

f

의 전미분이 존재한다면, 그 어떤 점이나

D

에서

f

가 '''전미분 가능'''(totally differentiable^영어) 또는 '''미분 가능'''하다고 한다.

U \subseteq \R^n

을 열린 집합이라고 하자. 그러면 함수

f:U \to \R^m

이 점

a\in U

에서 ('''전''') '''미분가능'''하다고 하는 것은 다음을 만족하는 선형 변환

df_a:\R^n \to \R^m

이 존재한다는 것이다.

:

\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.

선형 사상

df_a

는

a

에서의

f

의 ('''전''') '''도함수''' 또는 ('''전''') '''미분'''이라고 한다. 전도함수를 나타내는 다른 표기법으로는

D_a f

와

Df(a)

가 있다. 함수의 전도함수가 정의역의 모든 점에서 존재하면 그 함수는 ('''전''') '''미분가능'''하다고 한다.

개념적으로, 전도함수의 정의는

df_a

가 점

a

에서

f

에 대한 최적의 선형 근사라는 아이디어를 표현한다. 이는

df_a

에 의해 결정되는 선형 근사의 오차를 정량화하여 정확하게 만들 수 있다. 이를 위해 다음과 같이 쓴다.

:

f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),

여기서

\varepsilon(h)

는 근사의 오차와 같다.

a

에서

f

의 도함수가

df_a

라고 말하는 것은 다음과 같은 문장과 동등하다.

:

\varepsilon(h) = o(\lVert h\rVert),

여기서

o

는 스몰 o 표기법이며,

h \to 0

일 때

\varepsilon(h)

가

\lVert h\rVert

보다 훨씬 작다는 것을 나타낸다. 전도함수

df_a

는 오차 항이 이처럼 작은 ''유일한'' 선형 변환이며, 이것이

f

에 대한 최적의 선형 근사인 의미이다.

함수

f

는 각 성분

f_i \colon U \to \R

가 미분가능할 경우에만 미분가능하므로, 전도함수를 연구할 때는 종종 공역에서 한 번에 하나의 좌표로 작업하는 것이 가능하다. 그러나, 정의역의 좌표에서는 동일하지 않다.

f

가

a

에서 미분가능하면 각 편도함수

\partial f/\partial x_i

가

a

에서 존재한다는 것은 사실이다. 역은 성립하지 않는다.

f

의 모든 편도함수가

a

에서 존재하지만,

f

가

a

에서 미분가능하지 않은 경우가 발생할 수 있다. 이는 함수가

a

에서 매우 "거칠어"서, 좌표 방향에서의 동작으로 제대로 설명할 수 없다는 것을 의미한다.

f

가 그렇게 거칠지 않으면 이런 일이 발생할 수 없다. 보다 정확하게,

a

에서

f

의 모든 편도함수가 존재하고

a

의 근방에서 연속이면,

f

는

a

에서 미분가능하다. 이럴 경우, 또한

f

의 전도함수는 그 점에서 편도함수의 야코비 행렬에 해당하는 선형 변환이다.^[2]

2. 1. 전미분 가능성

'''R'''^''n''의 열린 집합 와 의 점 에 대해, 사상 가 에서 전미분가능 또는 단순히 미분가능하다는 것은, 선형 사상 가 존재하여,

:

\lim_{h \to 0} \frac{\|F(p + h) - F(p)- L(h)\|}{\|h\|} = 0

을 만족하는 것을 말한다. 여기서, 는 의 벡터, 각 양 옆의 이중 세로선 은 각각 또는 의 벡터의 노름이다 (나 의 노름은 임의의 노름이 동치이므로, 위의 정의는 노름의 선택에 의존하지 않음에 주의한다).

이 선형 사상 는, 존재한다면 유일하게 정해진다. 이것을 의 에서의 전미분 또는 단순히 미분이라고 부르며, , , , (''p'')}} 등으로 나타낸다. 함수의 전미분은 정의역 내의 모든 점에서 존재할 때, 그 함수는 전미분 가능하다고 하며, 전미분 가능성은 편미분 가능성과 연속성을 포함하는 더 강한 조건이다.

3. 성질

전미분 가능 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

전미분 가능 함수는 항상 연속 함수이다.
전미분 가능 함수는 항상 모든 변수에 대해 편미분 가능하다.
전미분 가능 함수는 항상 모든 방향에 대해 방향 미분 가능하다.

모든 변수에 대해 편미분 가능하고, 모든 편미분이 연속 함수라면, 전미분 가능 함수이다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.

전미분 가능 함수의 성질과 판정은 어떤 점 위에서나 어떤 집합 위에서나 유효하다. 그러나, 이들의 역은 모두 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 모든 변수에 대해 편미분 가능한 함수가 전미분 가능할 필요는 없다.

4. 전미분과 선형 변환

$U \subseteq \R^n$ 을 열린 집합이라고 하자. 함수 $f:U \to \R^m$ 이 점 $a\in U$ 에서 전미분 가능하다는 것은 다음을 만족하는 선형 변환 $df_a:\R^n \to \R^m$ 이 존재한다는 것을 의미한다.

: $\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.$

이러한 선형 사상 $df_a$ 는 $a$ 에서의 $f$ 의 전도함수 또는 전미분이라고 하며, $D_a f$ 또는 $Df(a)$ 와 같이 표기한다. 전도함수의 정의는 $df_a$ 가 점 $a$ 에서 $f$ 에 대한 최적의 선형 근사라는 개념을 나타낸다.^[2] 이는 선형 근사의 오차를 정량화하여 표현할 수 있다.

: $f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),$

여기서 $\varepsilon(h)$ 는 근사의 오차이며, $\varepsilon(h) = o(\lVert h\rVert)$ 를 만족한다. 즉, $h \to 0$ 일 때 $\varepsilon(h)$ 가 $\lVert h\rVert$ 보다 훨씬 작아지는 스몰 o 표기법으로 표현된다. 전도함수 $df_a$ 는 이러한 오차 항을 가지는 유일한 선형 변환이며, 이것이 $f$ 에 대한 최적의 선형 근사라는 의미를 가진다.^[2]

함수 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하면 각 편도함수 $\partial f/\partial x_i$ 가 $a$ 에서 존재한다. 그러나 그 역은 항상 성립하지는 않는다. $f$ 의 모든 편도함수가 $a$ 에서 존재하지만, $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하지 않은 경우가 있을 수 있다.^[2] 만약 $a$ 에서 $f$ 의 모든 편도함수가 존재하고 $a$ 의 근방에서 연속이면, $f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며, 이 때 $f$ 의 전도함수는 그 점에서 편도함수의 야코비 행렬에 해당하는 선형 변환이다.^[2]

}}의 열린 집합 와 의 점 에 대해, 사상 }}가 에서 전미분 가능하다는 것은, 선형 사상 → '''R'''}}가 존재하여,

: $\lim_{h \to 0} \frac{\|F(p + h) - F(p)- L(h)\|}{\|h\|} = 0$

을 만족하는 것을 말한다. 여기서, 는 }}의 벡터, 각 양 옆의 이중 세로선 은 각각 }} 또는 }}의 벡터의 노름이다. }}나 }}의 노름은 임의의 노름이 동치이므로, 위의 정의는 노름의 선택에 의존하지 않는다.

이 선형 사상 는, 존재한다면 유일하게 정해지며, 의 에서의 전미분이라고 부르며, , }}, }}, (''p'')}} 등으로 나타낸다.

5. 전미분과 미분 형식

함수가 실수값을 가질 때, 전미분은 미분 형식을 사용하여 재구성할 수 있다. 예를 들어, $f \colon \R^n \to \R$ 가 변수 $x_1, \ldots, x_n$ 의 미분 가능한 함수라고 하자. $a$ 에서의 $f$ 의 전미분은 야코비 행렬로 표현될 수 있는데, 이 경우 야코비 행렬은 행렬이다.

: $D f_a = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{bmatrix}.$

전미분의 선형 근사 성질은 만약

: $\Delta x = \begin{bmatrix} \Delta x_1 & \cdots & \Delta x_n \end{bmatrix}^\mathsf{T}$

가 작은 벡터라면,

: $f(a + \Delta x) - f(a) \approx D f_a \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot \Delta x_i.$

여기서, $dx_1, \ldots, dx_n$ 이 좌표 방향의 무한소 증분이라면

: $df_a = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot dx_i.$

와 같이 표현할 수 있다.

미분 형식 이론과 같은 기술은 무한소 증분 $dx_i$ 와 같은 객체에 대한 분석적이고 대수적인 설명을 효과적으로 제공한다. 예를 들어, $dx_i$ 는 벡터 공간 $\R^n$ 에 대한 선형 범함수로 표기될 수 있다. $\R^n$ 의 벡터 $h$ 에서 $dx_i$ 를 평가하면 $h$ 가 $i$ 번째 좌표 방향으로 얼마나 가리키는지를 측정한다. 전미분 $df_a$ 는 선형 범함수의 선형 결합이므로, 그 자체로 선형 범함수이다. 평가 $df_a(h)$ 는 $f$ 가 $a$ 에서 $h$ 로 결정되는 방향으로 얼마나 가리키는지를 측정하며, 이 방향은 기울기이다. 이러한 관점에서 전미분은 외미분의 한 예가 된다.

만약 $f$ 가 벡터 값을 갖는 함수, 즉 $f \colon \R^n \to \R^m$ 라고 가정하면, $f$ 의 성분 $f_i$ 는 실수 값을 갖는 함수이므로, 이들은 연관된 미분 형식 $df_i$ 를 갖는다. 전미분 $df$ 는 이러한 형식을 단일 객체로 통합하므로 벡터 값 미분 형식의 한 예가 된다.

6. 연쇄 법칙

두 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, $a$ 에서의 합성 함수 $f \circ g$ 의 전미분은 다음을 만족한다.

: $d(f \circ g)_a = df_{g(a)} \cdot dg_a.$

$f$ 와 $g$ 의 전미분이 야코비 행렬로 식별되는 경우, 우변의 합성은 단순히 행렬 곱셈이다. 이는 응용 분야에서 매우 유용하며, 합성 함수의 인자 간의 본질적으로 임의적인 종속성을 고려할 수 있게 해준다.

함수 는 두 변수 의 함수로 한다. 일반적으로 이들은 서로 독립적이라고 가정하지만, 이들이 종속 관계를 가지는 상황을 고려해야 하는 경우도 존재한다. 예를 들어, 가 의 함수이고, 의 정의역을 }} 내의 곡선으로 제한하면, 이 때 에 관한 의 편미분은 의 변화율을 올바르게 나타내지 못한다. (를 움직이면 도 변하기 때문이다). 그러나 '''전미분'''은 이러한 의존 관계도 고려할 수 있다.

예를 들어 ''xy''}}를 생각해 보자. 에 대한 의 변화율은 일반적으로 에 대한 편미분 상, 즉 이 경우 ''y''}}로 얻을 수 있지만, 가 에 의존한다면, 를 움직일 때 를 고정할 수 없으므로, 이 편미분 상은 의 변분에 대한 의 변화율을 정확히 나타내지 못한다.

이제 제약 조건으로 직선 ''x''}} 위에 국한하면, ''f''(''x'',''x'') ''x''}}이다. 이 경우, 의 에 대한 전미분 상은

: $\frac{\mathit{df}}{\mathit{dx}} = 2 x$

이다. 에 의 식을 실제로 대입하는 대신, 같은 결과를 연쇄 법칙을 사용하여

: $\frac{\mathit{df}}{\mathit{dx}}= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}} = y+x \cdot 1 = x+y$

으로 얻을 수 있다. 이것이 편미분 상과 일치하지 않음에 유의해야 한다.

: $\frac{\mathit{df}}{\mathit{dx}} = 2 x \neq \frac{\partial f}{\partial x} = y = x$

음함수적인 종속 관계를 대입하여 해결하는 것이 종종 유효하지만, 연쇄 법칙을 사용하는 것이 더 범용적이고 효과적인 방법이다. 시각 와 시각 에 의존하는 개의 변수 }}의 함수 을 생각할 때, 의 전미분 상

: ${\mathit{dM} \over \mathit{dt}} = \frac{d}{\mathit{dt}} M(t, p_1(t), \ldots, p_n(t))$

는, 다변수 함수의 미분에 관한 연쇄 법칙에 의해

: ${\mathit{dM} \over \mathit{dt}}= \frac{\partial M}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\mathit{dp}_i}{\mathit{dt}}= \left(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\mathit{dp}_i}{\mathit{dt}}\frac{\partial}{\partial p_i}\right)M$

으로 쓸 수 있다. 예를 들어 의 전미분 상은

: $\frac{\mathit{df}}{\mathit{dt}} = { \partial f \over \partial x}{\mathit{dx} \over \mathit{dt}}+{ \partial f \over \partial y}{\mathit{dy} \over \mathit{dt}}$

가 된다. 여기에 }}의 항이 나타나지 않는 이유는 가 독립 변수 에 직접 의존하지 않기 때문이다.

6. 1. 직접 종속성이 있는 경우의 예시

두 변수 ''x''와 ''y''의 함수 ''f''에서 ''x''와 ''y''가 서로 종속적인 경우, 예를 들어 ''f''가 곡선

y = y(x)

로 제한되는 경우, 합성 함수

f(x, y(x))

의 동작을 이해해야 한다. 이때 ''x''에 대한 ''f''의 편미분은 ''x''의 변화에 따른 ''f''의 실제 변화율을 정확하게 나타내지 못하는데, 이는 ''x''를 변경하면 ''y''도 함께 변하기 때문이다. 그러나 전미분에 대한 연쇄 법칙은 이러한 종속성을 고려하여,

\gamma(x) = (x, y(x))

라고 할 때, 연쇄 법칙에 의해

\frac{df(x, y(x))}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx}

와 같이 표현된다.

예를 들어,

f(x,y)=xy

에서 ''x''에 대한 ''f''의 변화율은 일반적으로 ''x''에 대한 ''f''의 편미분인

\frac{\partial f}{\partial x} = y

로 계산된다. 하지만 ''y''가 ''x''에 의존하는 경우(예:

y=x

), 편미분은 ''f''의 실제 변화율을 제대로 나타내지 못한다. 이 경우

f(x,y) = f(x,x) = x^2

이므로, ''x''에 대한 ''f''의 전미분은

\frac{df}{dx} = 2x

가 되며, 이는 편미분

\partial f/\partial x

와 같지 않다.

''y''를 ''x''로 직접 대입하는 대신 연쇄 법칙을 사용하면,

\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = y+x \cdot 1 = x+y = 2x

로 같은 결과를 얻을 수 있다. 이처럼 연쇄 법칙은 변수 간의 종속 관계를 고려하여 함수의 변화율을 보다 정확하게 파악할 수 있게 해준다.

6. 2. 간접 종속성이 있는 경우의 예시

여러 변수가 서로 간접적으로 종속된 함수의 전미분은 연쇄 법칙을 사용하여 계산할 수 있다. 예를 들어, $f(x(t), y(t))$의 전체 도함수는 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{df}{dt} = { \partial f \over \partial x}{dx \over dt} + {\partial f \over \partial y}{dy \over dt }.

여기서 $f$는 독립 변수 $t$에 직접적으로 의존하지 않기 때문에 $\partial f / \partial t$ 항은 나타나지 않는다.

이러한 표현식은 물리학에서 라그랑지안의 게이지 변환에 자주 사용된다. 시간과 $n$개의 일반화 좌표의 함수에 대한 전체 시간에 대한 도함수만큼만 다른 두 개의 라그랑지안은 동일한 운동 방정식을 유도하기 때문이다.

예를 들어 $f(x, y) = xy$에서 $y$가 $x$에 의존하는 경우, $x$에 대한 $f$의 변화율은 $x$에 대한 편미분만으로는 정확히 나타낼 수 없다. $y = x$라는 제약 조건이 있다면, $f(x, y) = f(x, x) = x^2$이므로 $f$의 $x$에 대한 전미분은 $2x$가 된다. 이는 연쇄 법칙을 사용하여 $\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = y + x \cdot 1 = x + y$와 같이 얻을 수 있으며, $y=x$를 대입하면 $2x$로 동일한 결과를 얻는다.

7. 전미분 방정식

전미분 방정식은 전미분 형태로 표현된 미분 방정식이다. 외미분은 좌표에 무관하므로, 기술적인 의미를 부여할 수 있는 측면에서, 이러한 방정식은 내재적이며 기하학적이다.

8. 방정식 시스템에 대한 응용 (경제학)

경제학에서 전미분은 연립 방정식, 특히 수요-공급 시스템과 같은 시장 균형 분석에 자주 사용된다.^[1] 예를 들어, 수요량 ''q''를 가격 ''p''와 소비자 소득 ''I''(외생 변수)의 함수, 공급량 ''q''를 가격 ''p''와 두 개의 외생 자원 비용 변수 ''r''과 ''w''의 함수로 지정할 수 있다. 이 경우, 시장 균형을 나타내는 연립 방정식은 다음과 같다.

: $q=D(p, I),$

: $q=S(p, r, w),$

이 방정식은 변수 ''p''와 ''q''의 시장 균형 값을 결정한다. 전미분 $dp/dr$ 은 외생 변수 ''r''에 대한 시장 가격의 반응의 부호와 크기를 나타낸다. 이러한 분석은 비교 정태 미분이라고도 불리며, 총 6개의 전미분 (, , , , , )을 구할 수 있다. 전미분은 연립 방정식을 전미분하고, 특정 외생 변수 (예: )로 나눈 후, 미지수 (예: , )에 대해 크라메르 공식을 사용하여 두 개의 완전히 미분된 방정식을 풀어 구할 수 있다. 이때, 다른 외생 변수의 변화는 0으로 설정한다(예: ).

참조

_[1] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 Manifolds, Tensor Analysis, and Applications https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[3] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics McGraw-Hill

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