횡파

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1. 개요
2. 수학적 표현
3. 횡파의 표시
- 3.1. 종파의 횡파 표시
4. 횡파의 예시
5. 횡파와 편극
참조

1. 개요

횡파는 매질의 진동 방향이 파동의 진행 방향과 수직인 파동이다. 횡파는 수학적으로 평면 선형 편광된 정현파로 표현되며, 진폭, 주기, 속도, 위상 등의 변수를 사용하여 파동의 움직임을 나타낸다. 횡파는 원편광과 같은 다양한 형태로 나타날 수 있으며, 중첩 원리를 따른다. 횡파의 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지로 구성되며, 현에서의 횡파는 이 두 에너지의 합으로 표현된다. 횡파는 종파와 달리 정현파로 표시될 수 있으며, 전자기파, 지진파의 S파 등이 횡파의 예시이다. 또한 횡파는 편극 현상을 나타낼 수 있으며, 편광이 그 예시이다.

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횡파
개요
횡파의 애니메이션
정의	진행 방향에 수직으로 진동하는 파동
관련 개념	파동 진동 전자기파 지진파
특징
진동 방향	진행 방향에 수직
매질	고체, 액체 (표면), 기체 (특수한 경우)
예시	전자기파 (빛, 전파 등) 지진파의 S파 줄의 진동 물결파 (깊이가 얕은 경우)
종류
편광	선형 횡파 원형 횡파 타원 횡파
횡파의 수학적 표현
파동 함수	y(x, t) = A * cos(ωt - kx + φ)
변수 설명	y(x, t): 위치 x와 시간 t에서의 파동의 변위 A: 진폭 ω: 각진동수 k: 파수 φ: 위상 상수
참고
관련 링크	Longitudinal and Transverse Wave Motion Physics Tutorial: The Anatomy of a Wave Transverse Waves Explainer: Understanding waves and wavelengths Transverse Waves

2. 수학적 표현

횡파는 수학적으로 가장 간단하게 평면 선형 편광된 정현파로 표현할 수 있다. 여기서 '평면'은 전파 방향이 일정하고 매질 전체에서 동일하다는 뜻이며, 선형 편광은 변위 방향 또한 일정하고 매질 전체에서 동일하다는 의미이다.

2. 1. 평면 선형 편광된 정현파

수학적으로 가장 간단한 횡파는 '''평면 선형 편광된 정현파'''이다. 여기서 "평면"은 전파 방향이 변하지 않고 매질 전체에서 동일하다는 것을 의미하며, "선형 편광"은 변위 방향 또한 변하지 않고 매질 전체에서 동일하다는 것을 의미한다. 그리고 변위의 크기는 시간과 전파 방향의 위치에 대한 정현파 함수일 뿐이다.

이러한 파동의 움직임은 다음과 같이 수학적으로 표현될 수 있다.

\widehat{d}

를 전파 방향(단위 길이를 가진 벡터)으로 하고,

\vec{o}

를 매질 내의 임의의 기준점으로 하자.

\widehat{u}

를 진동 방향(''d''에 수직인 다른 단위 길이 벡터)으로 하자. 매질의 임의의 점

\vec{p}

와 임의의 시간 ''t''(초)에서의 입자 변위는 다음과 같다.

S(\vec{p},t) = A \sin\left( (2\pi)\frac{t-\frac{(\vec{p}-\vec{o})}{v}\cdot\widehat{d}}{T} + \phi\right) \widehat{u}

여기서 ''A''는 파동의 '''진폭''' 또는 '''세기''', ''T''는 '''주기''', ''v''는 전파 '''속도''',

\phi

는

\vec{o}

에서 t = 0초일 때의 '''위상'''이다. 이 모든 매개변수는 실수이다. 기호 "•"는 두 벡터의 내적을 나타낸다.

이 방정식에 따르면 파동은

\widehat{d}

방향으로 이동하고 진동은

\widehat{u}

방향을 따라 앞뒤로 발생한다. 이 파동은

\widehat{u}

방향으로 선형 편광되었다고 한다.

고정된 점

\vec{p}

를 보는 관찰자는 그곳의 입자가 주기 ''T''초로, 각 방향에서 최대 입자 변위 ''A''를 갖는 단순한 조화 (정현파) 운동을 하는 것을 보게 될 것이다. 즉, 매 초 ''f'' = 1/''T''의 완전한 진동 사이클 '''주파수'''를 갖는다. 고정된 시간 ''t''에서의 모든 입자의 스냅샷은

\widehat{d}

에 수직인 각 평면의 모든 입자에 대해 동일한 변위를 보여주며, 연속적인 평면의 변위는 각 완전 사이클이

\widehat{d}

를 따라 '''파장''' ''λ'' = ''v'' ''T'' = ''v''/''f''만큼 연장되는 정현파 패턴을 형성한다. 전체 패턴은 속도 ''V''로

\widehat{d}

방향으로 이동한다.

동일한 방정식은 평면 선형 편광된 정현파 빛을 설명하는데, "변위" ''S''(

\vec{p}

, ''t'')가 점

\vec{p}

와 시간 ''t''에서의 전기장이라는 점을 제외하고는 같다. (자기장은 동일한 방정식으로 설명되지만, "변위" 방향이

\widehat{d}

와

\widehat{u}

모두에 수직이며, 다른 진폭을 갖는다.)

2. 2. 원편광

매질이 선형이고 동일한 진행 방향

\widehat{d}

에 대해 여러 개의 독립적인 변위 방향을 허용한다면, 서로 수직인 두 개의 편광 방향을 선택할 수 있다. 다른 방향으로 선형 편광된 모든 파동은 이 두 파동의 선형 결합(혼합)으로 표현할 수 있다.

같은 주파수, 속도, 진행 방향을 가지지만 위상이 다르고 독립적인 변위 방향을 가진 두 파동을 결합하면 원편광 또는 타원편광 파동을 얻을 수 있다. 이러한 파동에서 입자는 앞뒤로 움직이는 대신 원 또는 타원 궤적을 그린다.

팽팽한 줄에 대한 사고 실험에서, 손을 위아래로 움직이는 대신 좌우로 움직여 줄에 파동을 발사할 수 있다. 파동은 두 개의 독립적인 (직교) 방향으로 이동할 수 있다. 손을 직선으로 움직여 발사된 모든 파동은 선형 편광 파동이다.

손을 원으로 움직이면 줄에 나선형 파동이 발사된다. 좌우 움직임의 최대값은 위아래 움직임의 최대값에서 1/4 파장(90도 또는 π/2 라디안) 떨어진 곳에서 발생한다. 줄을 따라 어느 지점에서든 줄의 변위는 손과 같은 원을 그리지만 파동의 전파 속도에 따라 지연된다. 시계 방향 또는 시계 반대 방향 원으로 손을 움직이면 오른쪽 및 왼쪽 원편광 파동이 생성된다.

원형이 불완전하면 타원 편광 파동이 생성된다. 타원이 직선이 되면 타원의 장축을 따라 선형 편광이 생성된다. 타원 운동은 진폭이 같지 않고 위상이 90도 다른 두 개의 직교 선형 운동으로 분해될 수 있으며, 원편광은 두 선형 운동의 진폭이 같은 특수한 경우이다.

고무줄에 기계적으로 생성된 원편광, 기계적 편광 필터로 선형 편광으로 변환

2. 3. 중첩 원리

균질한 선형 매질에서 복잡한 진동(물질 내의 진동 또는 빛의 흐름)은 횡파 또는 종파에 관계없이 많은 단순한 정현파의 중첩으로 묘사될 수 있다.

예를 들어, 바이올린 현의 진동은 정상파를 생성하며,^[7] 이는 서로 반대 방향으로 움직이는 서로 다른 주파수의 많은 횡파의 합으로 분석할 수 있다. 이때 현은 위아래 또는 좌우로 변위된다. 파동의 마디는 중첩되어 정렬된다.

2. 4. 현에서 횡파의 에너지

현의 선밀도를 μ라고 할 때, 횡파에서 질량 요소의 운동 에너지는 다음과 같다.^[8]

:

dK = \frac 1 2 \ dm \ v_y^2 = \frac12 \ \mu dx \ A^2 \omega^2 \cos^2 \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)

한 파장에서의 운동 에너지는 다음과 같이 계산된다.^[8]

:

K = \frac 1 2 \mu A ^2 \omega^2 \int ^\lambda _0 \cos^2 \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) dx = \frac14 \mu A^2 \omega^2 \lambda

후크의 법칙을 사용하면 질량 요소 내의 위치 에너지를 구할 수 있다.^[8]

:

dU = \frac 1 2 \ dm \omega ^ 2 \ y ^ 2 = \frac 1 2 \ \mu dx \omega ^ 2 \ A^2 \sin^2 \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)

한 파장에 대한 위치 에너지는 다음과 같다.^[8]

:

U = \frac 1 2 \mu A ^2 \omega^2 \int ^\lambda _0 \sin^2 \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) dx = \frac 1 4 \mu A^2 \omega^2 \lambda

따라서 한 파장 내의 총 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지를 합한 값으로, 다음과 같다.^[8]

:

K + U = \frac 1 2 \mu A^2 \omega^2 \lambda

그러므로 평균 출력은 다음과 같이 주어진다.^[8]

:

\frac 1 2 \mu A^2 \omega^2 v_x

3. 횡파의 표시

횡파는 매질의 진동 방향이 파동의 진행 방향에 수직이므로 정현파로 쉽게 표시할 수 있다.

3. 1. 종파의 횡파 표시

종파는 매질의 진동 방향과 파동의 진행 방향이 일치하므로 직접 관찰하기 어렵다. 따라서 그래프(y-x 도표)로 나타낼 때 각 점의 x축 양의 변위를 x축 양의 방향으로, x축 음의 변위를 y축 양의 방향으로 90도 회전시켜 정현파 형태로 표시할 수 있다. 이를 종파의 횡파 표시라고 한다.

종파의 횡파 표시에서, 산에서 골로 이동하는 지점(y=0)은 밀한 부분, 골에서 산으로 이동하는 지점(y=0)은 소한 부분에 해당한다. 종파는 매질의 밀한 상태와 소한 상태가 전파되는 파동이므로, 소밀파 또는 압축파라고도 한다.^[9]

4. 횡파의 예시

전자기파는 횡파이며, 이는 맥스웰 방정식으로 유도된다. 탄성체를 매질로 하는 탄성파(광의의 음파)에는 종파와 횡파가 모두 존재한다. 실제로, 지진파에는 종파인 P파와 횡파인 S파가 존재한다.

5. 횡파와 편극

횡파는 자유도가 2이므로 벡터파이며, 편극 현상이 존재한다. 편극의 예로 편광이 있다. 한편, 종파는 자유도가 1이므로 스칼라파이며, 편극은 존재하지 않는다.

참조

_[1] 웹사이트 Transverse Waves https://www.physics.[...] 2024-03-06
_[2] 웹사이트 Explainer: Understanding waves and wavelengths https://www.snexplor[...] 2020-03-05
_[3] 웹사이트 Transverse Waves https://www.memphis.[...] 2024-03-06
_[4] 웹사이트 Physics Tutorial: The Anatomy of a Wave https://www.physicsc[...] 2024-03-06
_[5] 웹사이트 Fluid Mechanics II: Viscosity and Shear stresses http://www.homepages[...]
_[6] 웹사이트 Longitudinal and Transverse Wave Motion https://www.acs.psu.[...]
_[7] 간행물 Standing Waves and Resonance https://pressbooks.o[...] University of Central Florida
_[8] 웹사이트 16.4 Energy and Power of a Wave - University Physics Volume 1 https://openstax.org[...] 2016-09-19
_[9] 웹사이트 縦波の横波表示 https://w3e.kanazawa[...] 2022-11-23
_[10] 문서 y축 상에 매질의 변위를 표시하고 x축 상에 시간을 표시하는 형태의 그래프를 일반적으로 그리는데 이 그래프는 공간상으로 횡파가 퍼지는 양태를 시각적으로 표현하는 것이 아님에 주의해야한다. 가로축이 공간이 아니고 시간이기 때문이다. 사인파의 특성에 따라 마치 물결파처럼 보여 공간상의 파동의 모습인 것으로 착각하기 쉽다.

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