실수

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1. 개요

실수는 크기를 나타내는 데 사용되는 수의 체계로, 유리수와 무리수를 포함한다. 실수는 데데킨트 완비성을 가지며, 이는 상한 공리를 만족하여 함수의 극한, 미적분 등 다양한 수학적 개념을 정의하는 데 필수적이다. 실수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기본적인 연산을 따르며, 순서 관계를 통해 크기를 비교할 수 있다. 또한, 실수는 물리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 연속적인 양을 표현하는 데 사용되며, 복소수, 초실수 등으로 확장될 수 있다.

2. 정의

실수 체계 $(\R, +, \cdot, <)$ 는 실수의 공리계를 통해 정의하거나, 구체적인 모형을 구성하여 정의할 수 있다.

실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.

체를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 이항 연산을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
순서체를 이룬다. 즉, 전순서를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 호환된다.
완비적이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 상계를 갖는다면, 항상 상한을 갖는다.

마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.

실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 모형을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.

유리수 코시 수열의 "거리가 0으로 수렴"하는 동치 관계에 대한 동치류. 즉, 유리수의 표준 거리 공간에 대한 완비화이다.
유리수에 대한 데데킨트 절단.
십진법 전개의 동치류. 예를 들어, 1과 0.999…는 서로 동치이다.

실수는 순서체를 형성하며, 데데킨트 완비성을 갖는 기본적인 속성으로 완전히 특징지어진다. 여기서 "완전히 특징지어진다"는 것은 임의의 두 데데킨트 완비 순서체 사이에 유일한 동형 사상이 존재하며, 따라서 그 원소들이 정확히 동일한 속성을 갖는다는 것을 의미한다.

미적분학 개발자들은 실수를 사용하고 엄밀한 정의 없이 극한을 사용했다. 오귀스탱 루이 코시는 그의 저서 ''해석학 강의''(1821)에서 미적분학을 엄밀하게 만들었지만, 실수를 정의하지 않고 사용했으며 모든 코시 수열이 극한을 가지며 이 극한이 실수라는 것을 증명 없이 가정했다.

1854년 베른하르트 리만은 푸리에 급수의 방법에서 미적분학의 한계를 강조하며, 실수의 엄밀한 정의의 필요성을 보여주었다.^[17]

리하르트 데데킨트를 시작으로 1858년 여러 수학자들이 실수 정의에 매달렸다. 헤르만 한켈, 샤를 메레, 에두아르트 하이네를 포함한 이들은 1872년에 데데킨트가 데데킨트 절단으로, 게오르크 칸토어가 코시 수열의 동치류로 실수의 두 가지 독립적인 정의를 발표하는 결과를 낳았다.^[18]

1874년 칸토어는 모든 실수의 집합이 비가산 무한임을 보였지만, 모든 대수적 수의 집합은 가산 무한임을 보였다. 칸토어의 첫 번째 비가산성 증명은 1891년에 발표된 그의 유명한 칸토어의 대각선 논법과는 달랐다.

실수체란 순서체이며 공이 아닌 위로 유계인 부분 집합이 상한을 갖는 것을 말한다. 실수체의 원소를 실수라고 한다.

또한 위상적 특징을 정의로 채택할 수도 있다. 자명하지 않은 순서체로서 순서 위상에 관해 연결되어 있는 것은 유일하게 정해진다. 이것을 실수체라고 부른다. 실수체의 원소를 실수라고 한다.

현대 수학 체계에서 실수가 구성될 때는 수의 표시에 직접 의존하지 않는 방법이 사용되지만, 개별 실수를 나타낼 때는 1.13이나 3.14159... 와 같은 (유한하지 않을 수 있는) 소수 표기가 자주 사용된다.

또한, 실수 집합을 기하학적으로 표시하는 방법으로 수직선이 있다.

2. 1. 공리적 정의

실수는 체, 순서체이며 완비성 공리를 만족하는 유일한 수 체계이다.^[19] 이 중 완비성 공리는 실수를 유리수와 구분하는 핵심적인 성질이다.^[17]

체: 덧셈과 곱셈의 두 이항 연산을 가지며, 일반적인 규칙을 따른다.
순서체: 전순서를 가지며, 덧셈 및 곱셈과 호환된다.
완비성: 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 상계를 가지면, 항상 상한을 갖는다.

이러한 공리들을 만족하는 수 체계는 동형의 의미에서 유일하다. 즉, 임의의 두 데데킨트 완비 순서체 사이에는 유일한 동형 사상이 존재하며, 따라서 그 원소들은 정확히 동일한 속성을 갖는다.

데데킨트 완비성은 다음과 같은 중요한 결과를 갖는다.

아르키메데스 성질: 모든 실수 $x$ 에 대해, $x 을 만족하는 정수 n 이 존재한다.$
모든 양의 실수 $x$ 는 양의 제곱근을 갖는다.
실수 계수를 갖는 홀수 차수의 모든 일변수 다항식은 적어도 하나의 실수 근을 갖는다.

실수는 "완비 순서체"로 묘사되기도 하는데, 이는 격자 완비와는 다른 의미이다. 순서체는 최대 원소를 가질 수 없으므로 격자 완비가 될 수 없다. "완비 순서체"에서의 "완비"는 데데킨트 완비성을 의미하며, 이는 데데킨트 컷을 통해 실수를 구성하는 방법과 관련이 깊다.

\mathbb{R}

이 유일한 균등 완비 순서체는 아니지만, 유일한 균등 완비 아르키메데스 체이다. 모든 균등 완비 아르키메데스 체는 데데킨트 완비이며, 그 반대도 마찬가지이다.

2. 2. 구성적 정의

실수 체계는 실수의 공리계를 통해 정의하거나, 구체적인 모형을 구성하여 정의할 수 있다. 실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다.

유리수 코시 수열의 "거리가 0으로 수렴"하는 동치 관계에 대한 동치류. 즉, 유리수의 표준 거리 공간에 대한 완비화이다.
유리수에 대한 데데킨트 절단.
십진법 전개의 동치류. 예를 들어, 1과 0.999…는 서로 동치이다.^[18]

리하르트 데데킨트를 시작으로 1858년 여러 수학자들이 실수 정의에 매달렸다. 헤르만 한켈, 샤를 메레, 에두아르트 하이네를 포함한 이들은 1872년에 데데킨트가 데데킨트 절단으로, 게오르크 칸토어가 코시 수열의 동치류로 실수의 두 가지 독립적인 정의를 발표하는 결과를 낳았다.

유리수 집합에 일반적인 의미의 크기 관계를 생각하고, 이를 바탕으로 한 분할 방법으로 실수를 정의할 수 있으며, 이 방법은 데데킨트 절단이라고 불린다. 이 개념에서는 를 와 로 나누는 조작으로 수 r을 정의한다. 와 같은 유리수가 아닌 r에 의해 주어지는 절단 은 유리수의 범위 내에서 최소의 수보다 r이 작아지므로, 유리수 사이의 수로서 무리수의 실존을 나타낼 수 있다. 한편, 실수 범위 내에서는 그 정의로부터 언제나 r이 의 최소의 수가 된다.

실수의 구성은 유리수 공간 의 완비화라고 불리는 절차를 따르는 방법이 일반적이다. 유리수 공간에는 두 수의 차이의 절댓값으로 정의되는 거리 로 정해지는 점의 근접성을 생각할 수 있다. 이에 대한 코시 열들을 적절한 동치 관계에 의해 동일시한 공간으로서 을 얻는다. 이렇게 구성된 실수 공간에서는 수렴 수열에 의해 근사적으로 주어지는 대상이 실제로 실수로 존재한다. 또한, 상의 거리가 대수 구조와 양립하도록 되어 있으므로, 위에서도 의 대수 구조를 기반으로 한 대수 구조를 생각할 수 있다. 이때, 코시 열 전체가 자연스럽게 환을 이루고, 0으로 수렴하는 코시 열 전체 I가 극대 아이디얼임을 보일 수 있다. 이 I에 의한 잉여환을 생각하면 이것은 그 자체이며, 환론의 일반론으로부터 이것이 체를 이룬다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이렇게 대수 구조를 가지는 것을 비교적 깔끔하게 보일 수 있다. 나머지는 순서 구조를 정의하면 실수체의 완성이 된다.

3. 연산

실수는 순서체를 형성하며, 이는 기초 산술의 방법과 규칙이 적용됨을 의미한다. 실수에는 덧셈과 곱셈이라는 두 이항 연산과 전순서가 존재한다.

덧셈은 두 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 $a+b$ 로 표시되는 실수를 생성하며, 이를 $a$ 와 $b$ 의 합이라고 한다.
곱셈은 두 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 $ab$ , $a\cdot b$ 또는 $a\times b$ 로 표시되는 실수를 생성하며, 이를 $a$ 와 $b$ 의 곱이라고 한다.
전순서는 $a 로 표시된다. 이는 두 실수 a 와 b 에 대해 a, a=b, b 중 정확히 하나만 참이고, a 이고 b 이면 a 임을 의미한다.$
순서는 덧셈, 곱셈과 호환된다. 즉, 모든 실수 $c$ 에 대해 $a 이면 a+c 이고, 0 와 0 이면 0 이다.$

위 속성들로부터 다음을 유도할 수 있다.

모든 실수 $a$ 에 대해 $0\cdot a=0$
$0<1$
모든 0이 아닌 실수 $a$ 에 대해 $0$

뺄셈과 나눗셈과 같은 다른 연산도 덧셈과 곱셈으로부터 유추할 수 있다.

3. 1. 사칙 연산

실수 집합 위에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 정의되어 있으며, 이들은 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙을 만족한다. 0과 1은 각각 덧셈과 곱셈의 항등원이다.

임의의 실수

a

,

b

,

c

에 대해 다음이 성립한다.

덧셈의 교환 법칙: $a+b=b+a$
덧셈의 결합 법칙: $(a+b)+c=a+(b+c)$
곱셈의 교환 법칙: $a\times b=b\times a$
곱셈의 결합 법칙: $(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$
분배 법칙: $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

임의의 실수

a

에 대해 다음이 성립한다.

$0+a=a$
$1\times a=a$
$0\times a=0$

실수

x

와 그 반수

-x

를 더하면 0이 된다.

$x+(-x)=0$

0이 아닌 실수

x

와 그 역수

\frac1x

를 곱하면 1이 된다.

$x\times \frac1x=1$

뺄셈과 나눗셈은 덧셈과 곱셈으로 표현할 수 있다.

$a-b=a+(-b)$
$\frac ab=a\times \frac1b$

3. 2. 거듭제곱과 거듭제곱근

양수(실직선에서 0의 우측의 실수, 즉 0보다 큰 수)를 밑으로 하는, 실수 지수의 거듭제곱은 정의할 수 있다. 실수에 대하여 거듭제곱을 정의할 수 있는 것은 실수의 완비성 때문이다. 대략적인 정의는 다음과 같다.

:

a^n=\overbrace{aa\cdots a}^n\qquad(a>0,\;n\in\mathbb Z^+)

:

a^0=1

:

a^{-n}=\frac1{a^n}=\frac1{\underbrace{aa\cdots a}_n}\qquad(a>0,\;n\in\mathbb Z^+)

:

a^\frac mn=\sup\{x\in\mathbb R\colon x^n 0,\;m,n\in\mathbb Z,\;n>0,\;\gcd\{m,n\}=1)

:

a^r=\sup\{a^q\colon q\in\mathbb Q,\;q 0,\;r\in\mathbb R)

음수(실직선에서 0의 좌측의 실수, 즉 0보다 작은 수)를 밑으로 하는 거듭제곱 역시 정의할 수 있는데, 이는 유리수 지수에 한하며, 이렇게 확장된 거듭제곱은 위의 연산 법칙을 비롯한 좋은 성질들을 만족시키지 못한다.

3. 3. 절댓값

실수 의 절댓값은

|a|

로 표기하며, 0으로부터의 거리를 나타낸다. 절댓값은 다음과 같이 정의된다.

|a|=\max(a,-a).

4. 순서

실수 사이에는 순서, 즉 크기 비교가 가능하다. 두 실수 a, b의 순서는 실직선 위에서 a가 b보다 왼쪽에 있으면 a < b로 나타낸다. a ≤ b는 a < b이거나 a = b라는 의미이다. 실수의 순서는 덧셈, 곱셈과 같은 연산과도 관련이 있다. 예를 들어, a < b 이고 c > 0 이면 ac < bc 가 성립한다.

실수의 순서는 다음과 같은 성질을 가진다.

a < a 일 수 없다.
a < b 이면, b < a 일 수 없다.
a < b < c 이면, a < c 이다.
a < b 이거나, a = b 이거나, a > b 중 하나가 성립한다.

4. 1. 순서 관계

실수들 사이에는 순서(크기 비교)가 존재한다. 두 실수 ''a, b''|a, b^영어의 순서의 직관은 실직선 위에서 가 더 왼쪽에, 가 오른쪽에 있다는 것이다. ≤ 는 < 이거나 = 라는 뜻이다. 이에 따라, 실수의 순서는 다음 성질들을 만족시킨다.

< 일 수 없다.
< 이면 < 일 수 없다.
< < 이면 < 이다.
< 이거나, = 이거나, > 이다.

또한, 실수의 순서는 실수의 연산과 호환된다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

< 이면 + < + 이다.
< , > 0이면 < 이다.
< , < 0이면 > 이다.
0 < < , > 0이면 < 이다.
0 < < , < 0이면 > 이다.

실수는 순서체를 형성한다. 이는 기초 산술의 방법과 규칙이 적용됨을 의미한다. 더 정확하게는 덧셈과 곱셈이라는 두 이항 연산과 전순서가 존재하며 다음과 같은 속성을 가진다.

전순서는 < 로 표시된다. 이것이 전순서라는 것은 두 가지 속성을 의미한다. 두 실수 와 가 주어지면 < , = 또는 < 중 정확히 하나만 참이고, < 이고 < 이면 < 도 성립한다.
순서는 덧셈과 곱셈과 호환되며, 이는 모든 실수 에 대해 < 이면 + < + 이고, 0 < 와 0 < 이면 0 < 임을 의미한다.

양수는 0보다 큰 실수를 뜻하며, '''음수'''는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 위의 성질들에 따라, 모든 실수는 양수, 음수와 0 가운데 하나에 속한다. 또한, 양수 곱하기 양수는 항상 양수이며, 양수 곱하기 음수는 항상 음수이며, 음수 곱하기 음수는 항상 양수이다. 특히, 임의의 실수의 제곱은 항상 음수가 아닌 실수이다.(제곱해서 음수가 되는 수는 허수라고 불리고, 수직선 상에 표시할 수 없다.)^[1]

위에 고려된 전순서 관계는 < 로 표시되며, "는 보다 작다"로 읽는다. 세 가지 다른 순서 관계도 일반적으로 사용된다.

보다 크다: > , 는 보다 크다"로 읽으며, > 는 만약 그리고 오직 만약 < 일 때 정의된다.
작거나 같다: ≤ , "는 보다 작거나 같다" 또는 "는 보다 크지 않다"로 읽으며, ( < ) 또는 ( = ), 또는 동등하게 not ( < )로 정의된다.
크거나 같다: ≥ , "는 보다 크거나 같다" 또는 "는 보다 작지 않다"로 읽으며, ( < ) 또는 ( = ), 또는 동등하게 not ( < )로 정의된다.

4. 2. 양수와 음수

양수(positive number^영어)는 0보다 큰 실수를 뜻하며, '''음수'''(negative number^영어)는 0보다 작은 실수를 뜻한다. 모든 실수는 양수, 음수, 0 중 하나에 속한다. 양수와 양수의 곱은 항상 양수이며, 양수와 음수의 곱은 항상 음수이고, 음수와 음수의 곱은 항상 양수이다. 특히, 실수를 제곱하면 항상 음수가 아닌 실수가 된다. (제곱해서 음수가 되는 수는 허수라고 하며, 수직선에 나타낼 수 없다.)

4. 3. 구간

구간은 특별한 실수 부분 집합으로서, 주어진 두 실수 사이의 모든 실수를 원소로 갖는 집합이다. 또는 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선 위의 모든 실수를 원소로 갖기도 한다. 예를 들어, 임의의 실수

x\in\mathbb R

에 대하여 다음과 같다.

$x\in(3,5)\iff3$
$x\in[-2,10]\iff-2\le x\le10$
$x\in(6,+\infty)\iff6$

퇴화 구간은 구간과 비슷하지만, 두 끝점의 순서가 일반적인 구간과 반대인 집합이다. 예를 들어 다음과 같다.

$x\in[3,3]\iff3\le x\le3\iff x=3$
$x\in(9, 5)\iff9$

위에 언급된 전순서 관계는

a 로 표시하며, "a

^영어는 b^영어보다 작다"라고 읽는다. 이 외에도 세 가지 다른 순서 관계가 일반적으로 사용된다.

보다 크다: $a>b$ 는 "a^영어는 b^영어보다 크다"라고 읽으며, $b 일 때 정의된다.$
작거나 같다: $a\le b$ 는 "a^영어는 b^영어보다 작거나 같다" 또는 "a^영어는 b^영어보다 크지 않다"라고 읽으며, $(a 또는 \text{not } (b 와 같이 정의된다.$
크거나 같다: $a\ge b$ 는 "a^영어는 b^영어보다 크거나 같다" 또는 "a^영어는 b^영어보다 작지 않다"라고 읽으며, $(b 또는 \text{not } (a 와 같이 정의된다.$

5. 완비성

실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질 중 하나이며, 상한 공리 또는 데데킨트 완비성 공리로 표현된다.

유리수나 실수 집합처럼, 수들의 집합에서 모든 수보다 작지 않은 수를 그 집합의 상계라고 한다. 상계는 보통 존재하지 않거나, 여러 개가 함께 존재한다. 만약 수들의 집합에 상계가 존재하고, 그중 가장 작은 상계가 있다면, 이를 상한이라고 한다.

실수의 완비성은 '''데데킨트 절단'''(Dedekind cut|데데킨트 컷^영어)을 통해 설명하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합 $\mathbb R$ 의 두 부분 집합 $D,E\subseteq\mathbb R$ 의 쌍 $(D,E)$ 이 다음 조건들을 만족시키면, $(D,E)$ 를 $\mathbb R$ 의 '''데데킨트 절단'''이라고 한다.

$D,E\ne\varnothing$
$D\cup E=\mathbb R$
임의의 $d\in D$ 및 $e\in E$ 에 대하여, $d$
$D$ 는 최소 원소를 가지지 않는다.

실수의 '''데데킨트 완비성 공리'''는 다음과 같이 서술할 수 있다.

실수 집합 $\mathbb R$ 의 데데킨트 절단 $(D,E)$ 에 대하여, $E$ 는 항상 최소 원소를 가진다.

데데킨트 완비성 공리는 상한 공리와 서로 동치이다.

실수는 순서체를 형성하고 데데킨트 완비성을 갖는다는 기본적인 속성으로 특징지어진다. 여기서 "완전히 특징지어진다"는 것은 임의의 두 데데킨트 완비 순서체 사이에 유일한 동형 사상이 존재하여, 그 원소들이 정확히 동일한 속성을 갖는다는 것을 의미한다.

실수는 종종 "완비 순서체"로 묘사되는데, 이 문구는 여러 가지 방식으로 해석될 수 있다. 순서는 격자 완비일 수 있지만, 어떠한 순서체도 격자 완비일 수 없다. 왜냐하면 최대 원소를 가질 수 없기 때문이다. 또한 순서는 데데킨트 완비일 수 있다. 이러한 의미의 완비성은 데데킨트 컷으로부터 실수를 구성하는 것과 가장 밀접하게 관련되어 있다.

이러한 두 가지 완비성 개념은 체 구조를 무시한다. 그러나 순서군은 균등 구조를 정의하며, 균등 구조는 완비성의 개념을 갖는다.

\mathbb{R}

이 ''유일한'' 균등 완비 순서체는 아니지만, 유일한 균등 완비 ''아르키메데스 체''이며, "완비 순서체" 대신 "완비 아르키메데스 체"라는 문구를 종종 사용한다. 모든 균등 완비 아르키메데스 체는 또한 데데킨트 완비여야 하며 (그 반대도 마찬가지), 이는 "완비 아르키메데스 체"라는 구절에서 "the"를 사용하는 것을 정당화한다. 이러한 완비성 개념은 코시 수열로부터 실수를 구성하는 것과 가장 밀접하게 관련되어 있다.

다비트 힐베르트는 "완비 아르키메데스 체"라는 구절을 통해 실수들이 모든 다른 아르키메데스 체가

\mathbb{R}

의 부분체인 의미에서 ''가장 큰'' 아르키메데스 체를 형성한다는 의미로 사용했다. 따라서

\mathbb{R}

은 아르키메데스 체를 더 이상 만들지 않고서는 더 이상 아무것도 추가할 수 없다는 의미에서 "완비"하다. 이러한 의미의 완비성은 초현실수로부터 실수를 구성하는 것과 가장 밀접하게 관련되어 있다.

5. 1. 상한 공리

유리수나 실수 집합처럼, 수들의 집합에서 모든 수보다 작지 않은 수를 그 집합의 상계라고 한다. 상계는 보통 존재하지 않거나, 여러 개가 함께 존재한다. 만약 수들의 집합에 상계가 존재하고, 그중 가장 작은 상계가 있다면, 이를 상한이라고 한다. 실수는 다음 성질을 만족시킨다.^[17]

공집합이 아닌 실수 부분 집합에 상계가 존재하면, 상한 역시 존재한다.

이를 상한 공리라고 하며, 이는 실수의 완비성을 나타내는 한 가지 표현이다.

실수는 순서체를 형성하고 데데킨트 완비성을 갖는다는 기본적인 속성으로 완전히 특징지어진다. 여기서 "완전히 특징지어진다"는 것은 임의의 두 데데킨트 완비 순서체 사이에 유일한 동형 사상이 존재하여, 그 원소들이 정확히 동일한 속성을 갖는다는 것을 의미한다. 이는 실수에 대한 정의를 몰라도 실수를 다루고 계산할 수 있다는 것을 의미한다. 이는 19세기 후반에 처음으로 공식적인 정의가 제공되기 전 수 세기 동안 수학자와 물리학자들이 해왔던 일이다.^[18]

데데킨트 완비성은 상계를 갖는 모든 실수 집합이 최소 상계를 갖는다고 명시한다. 실수 집합

S

가 '상으로 유계'라는 것은, 모든

s\in S

에 대해

s\le u

를 만족하는 실수

u

가 존재한다는 것을 의미하며, 이러한

u

를

S

의 '상계'라고 부른다. 따라서 데데킨트 완비성은

S

가 상으로 유계일 경우, 다른 어떤 상계보다 작은 상계를 갖는다는 의미이다.

\mathbb{R}

를 모든 실수의 집합으로 나타낼때, 체

\mathbb{R}

은 순서가 정해져 있다. 즉,

\mathbb{R}

의 상계를 갖는

\mathbb{R}

의 모든 비어있지 않은 부분 집합 ''S''는

\mathbb{R}

내에 최소 상계를 갖는다.

이 속성은 실수에는 적용되지만,

\sqrt{2}

가 유리수가 아니기 때문에 ''최소'' 유리수 상한은 없다.

실수체란 순서체이며 공이 아닌 위로 유계인 부분 집합이 상한을 갖는 것을 말한다.

5. 2. 데데킨트 완비성

실수의 완비성은 실수의 가장 중요한 성질 중 하나이며, '''데데킨트 절단'''(Dedekind cut|데데킨트 컷^영어)을 통해 서술하는 것이 가장 간단하다. 실수 집합

\mathbb R

의 데데킨트 절단

(D,E)

에서,

D

는 하집합,

E

는 상집합이라고 할 때, 하집합

D

는 최대 원소를 갖지 않고, 상집합

E

는 항상 최소 원소를 갖는다.

이는 상한 공리와 동치이다. 데데킨트 완비성은 다른 종류의 완비성을 내포하며 다음과 같은 중요한 결과를 갖는다.

아르키메데스 성질: 모든 실수 $x$ 에 대해, $x 을 만족하는 정수 n 이 존재한다.$
모든 양의 실수 $x$ 는 양의 제곱근을 갖는다. 즉, $r^2=x$ 를 만족하는 양의 실수 $r$ 이 존재한다.
실수 계수를 갖는 홀수 차수의 모든 일변수 다항식은 적어도 하나의 실수 근을 갖는다.

6. 기타 성질

실수는 완비된 유리수로 구성될 수 있으며, 소수 또는 이진법 전개로 정의된 수열(3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...)이 수렴하는 고유한 실수(예: )를 나타낸다. 실수에 대한 자세한 내용과 다른 구성은 실수의 구성 문서를 참조하면 된다.

6. 1. 아르키메데스 성질

실수 집합은 아르키메데스 성질을 만족한다. 즉, 두 양의 실수 x, y가 주어졌을 때, x가 아무리 작고 y가 아무리 크더라도, x를 충분히 여러 번(n번) 더하면 y를 초과한다.

:

\underbrace{x + x + \cdots + x}_n > y

이는 모든 실수 x에 대해 x < n을 만족하는 정수 n이 존재함을 의미한다. 예를 들어 n = u + 1로 둘 수 있는데, 여기서 u는 x보다 작은 정수들의 최소 상계이다.

또한, x가 양의 실수인 경우,

0 < \frac{1}{n} < x

를 만족하는 양의 정수 n이 존재한다.

6. 2. 조밀성

실수 집합 위의 순서는 조밀 순서이다. 즉, 임의의 서로 다른 두 실수

x 에 대하여, 항상 그 사이에 또 다른 실수 x 가 존재한다.

7. 위상

실수 집합 위에는 표준적인 위상 공간, 거리 공간, 노름 공간, 내적 공간 구조를 부여할 수 있다.

주어진 두 실수 $x,y\in\mathbb R$ 의 내적은 곱 $xy$ 이다.
주어진 실수 $x\in\mathbb R$ 의 노름은 절댓값 $|x|=\sqrt{x^2}$ 이다.
주어진 두 실수 $x,y\in\mathbb R$ 의 거리는 $|x-y|$ 이다.
실수 집합 위의 표준적인 위상은 거리 위상이자 순서 위상이다.

실수 부분 집합

S\subseteq\mathbb R

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

콤팩트 집합이다. 즉, 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다.
점렬 콤팩트 집합이다. 즉, 그 속의 모든 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.
극한점 콤팩트 집합이다. 즉, 모든 무한 부분 집합이 극한점을 갖는다.
유계 닫힌집합이다.

실수 집합은 분리 가능하다. 이는 가산 집합인 유리수가 실수에서 조밀하기 때문이다. 무리수 역시 실수에서 조밀하지만, 이는 비가산적이며 실수의 기수와 같다. 실수는 국소 콤팩트하지만 콤팩트하지 않다.

7. 1. 위상적 성질

실수 집합은 연결 공간, 경로 연결 공간, 호 연결 공간이다.^[6]

7. 2. 거리 공간으로서의 성질

실수 집합은 완비 거리 공간이다. 구체적으로, 실수 수열 (

x_n

)이 코시 수열이라는 것은 임의의 양수

\varepsilon

에 대해,

|x_n - x_m|

이 N보다 큰 모든 n과 m에 대해

\varepsilon

보다 작게 만드는 정수 N(ε에 의존 가능)이 존재함을 의미한다.^[6]

수열 (

x_n

)이 극한 x로 수렴한다는 것은, 그 항들이 x에 임의로 가까워지고 그 상태를 유지함을 뜻한다. 즉, 임의의 양수

\varepsilon

에 대해,

|x_n - x|

이 N보다 큰 n에 대해

\varepsilon

보다 작게 만드는 정수 N(ε에 의존 가능)이 존재함을 의미한다.^[6]

모든 수렴 수열은 코시 수열이며, 실수의 경우 그 역도 성립한다. 이는 실수 위상 공간의 완비성을 의미한다.^[6] 유리수 집합은 완비가 아니다. 예를 들어, 각 항이 2의 양의 제곱근의 소수점 이하 자릿수를 더해가는 수열 (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...)은 코시 수열이지만 유리수로 수렴하지 않는다. 반면 실수에서는 양의 제곱근 2로 수렴한다.^[6]

실수의 완비성은 미적분학, 더 일반적으로는 수학적 분석의 기반이다. 특히, 수열이 코시 수열인지 확인함으로써 극한을 계산하거나 심지어 알지 못하더라도 수열의 극한 존재를 증명할 수 있다.^[6]

예를 들어, 지수 함수의 표준 급수

:

e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

는 모든 x에 대해 실수로 수렴한다. 왜냐하면 합

:

\sum_{n=N}^{M} \frac{x^n}{n!}

은 N을 충분히 크게 선택함으로써 (M과 무관하게) 임의로 작게 만들 수 있기 때문이다. 이는 해당 급수의 부분합으로 이루어진 수열이 코시 수열임을 증명하고, 따라서 수렴하며,

e^x

가 모든 x에 대해 잘 정의됨을 보여준다.^[6]

실수는 ''x''와 ''y'' 사이의 거리가 절댓값

|x - y|

으로 정의되는 거리 공간을 이룬다. 또한, 전순서 집합이므로 순서 위상을 갖는다. 거리에서 발생하는 위상과 순서에서 발생하는 위상은 동일하지만, 위상에 대해 다른 표현을 제공한다. 즉, 순서 위상에서는 순서 구간으로, 거리 위상에서는 엡실론 공(ε-ball)으로 나타낸다.^[6]

8. 분류

실수는 유리수와 무리수로 분류된다. 예를 들어 1/3 = 0.333... 은 유리수이며, e = 2.7182...와 π = 3.1415...는 무리수이다.

8. 1. 유리수

유리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 있는 수이다. 즉, `x`가 유리수라는 것은 `x = m/n`인 정수 `m`과 0이 아닌 정수 `n`이 존재한다는 의미이다. 예를 들어 1/3 = 0.333...은 유리수이다.

유리수는 유한 소수이거나 무한 순환 소수로 나타낼 수 있다. 또한, 유리수는 유한 연분수로도 표현 가능하다.

실수에서 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다.

8. 2. 무리수

무리수는 정수의 비율로 나타낼 수 없는 수이다. 예를 들어 ''e'' = 2.7182...와 π = 3.1415...는 무리수이다. 데데킨트 완비성에 따르면

\sqrt 2

와 같은 일부 실수는 유리수가 아니며, 이러한 수를 무리수라고 한다.

8. 3. 대수적 수와 초월수

실수는 대수적 수와 초월수로 분류할 수 있다.

9. 집합론적 성질

실수 집합의 크기는 $|\mathbb R|=2^{\aleph_0}$ 이다. 여기서 $\aleph_0$ 은 알레프 0이다. 달리 말해, 실수는 자연수 부분 집합과 일대일 대응한다. 이 둘 사이의 일대일 대응은 여러 가지 만들 수 있다.

모든 실수 집합은 가산이 아니며, 모든 자연수 집합과 모든 실수 집합이 모두 무한 집합이지만, 실수에서 자연수로 가는 일대일 함수는 존재하지 않는다. 모든 실수 집합의 기수는 $\mathfrak c.$ 로 표시되며, 연속체의 기수라고 불린다. 이는 모든 자연수 집합의 기수( $\aleph_0$ 로 표시되며, '알레프-널')보다 엄격하게 크며, 자연수 집합의 멱집합의 기수와 같다.

$\aleph_0$ 보다 엄격하게 크고 $\mathfrak c$ 보다 엄격하게 작은 기수를 가진 실수의 부분 집합이 없다는 주장은 연속체 가설 (CH)로 알려져 있다. 이는 선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZFC)—현대 수학의 표준 기반—의 공리를 사용하여 증명하거나 반증할 수 없다. 실제로, ZFC의 일부 모델은 CH를 만족하는 반면, 다른 모델은 이를 위반한다.^[5]

10. 역사

실수의 개념은 고대부터 점진적으로 발전해 왔다.

17세기에 데카르트는 다항식의 근을 설명하기 위해 "실수"라는 용어를 도입하여 "허수"와 구별했다.

18세기와 19세기에는 무리수와 초월수에 대한 많은 연구가 있었다. 요한 하인리히 람베르트는 1761년에 π(파이)가 유리수가 될 수 없다는 증명을 제시했고, 아드리앵마리 르장드르는 1794년에 이 증명을 완성했으며,^[11] π가 유리수의 제곱근이 아님을 보여주었다.^[12] 조제프 리우빌(1840)은 초월수의 존재를 증명했고, 게오르크 칸토어(1873)는 이 증명을 확장하고 단순화했다.^[13] 샤를 에르미트는 1873년에 e가 초월수임을 증명했고, 페르디난트 폰 린데만은 1882년에 π가 초월수임을 보여주었다. 린데만의 증명은 이후 카를 바이어슈트라스(1885), 다비트 힐베르트(1893), 아돌프 후르비츠,^[14] 파울 고르단^[15]에 의해 단순화되었다.

미적분학 개발자들은 실수를 사용했지만, 엄밀한 정의 없이 극한을 사용했다. 오귀스탱 루이 코시는 1821년 자신의 저서 ''해석학 강의''에서 미적분학을 엄밀하게 만들었지만, 실수를 정의하지 않고 사용했으며 모든 코시 수열이 극한을 가지며 이 극한이 실수라는 것을 증명 없이 가정했다.

1854년 베른하르트 리만은 푸리에 급수의 방법에서 미적분학의 한계를 강조하며, 실수의 엄밀한 정의가 필요함을 보여주었다.^[17]

실수 체계가 갖는 초월적인 성격은 집합론 초창기부터 여러 수학자들에게 혐오의 대상이 되었다. 실수를 정의하는 데 편리한 집합론적 공식화는 많은 수학자들에게 받아들여졌지만, 20세기 초 논리학자 브라우어는 직관주의 논리 체계를 만들었다.

앙리 르베그는 르베그 적분 이론을 통해 적분론을 구조화하는 과정에서 "적분 가능"한 함수의 클래스인 가측함수 개념과, 그것들에 의해 지정되는 실수의 부분 집합인 가측집합 개념을 얻었다.

1960년대에는 초표준 해석이라는 틀 아래에서 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 무한소 개념이 엄밀하게 정식화되었다.

10. 1. 고대

단순 분수는 기원전 1000년경 이집트인들이 사용했으며, 베다의 "슐바 수트라"("현의 규칙")는 무리수의 최초 "사용"일 수 있는 내용을 포함하고 있다. 무리수의 개념은 2와 61과 같은 특정 숫자의 제곱근이 정확하게 결정될 수 없다는 것을 알고 있던 마나바와 같은 초기 인도 수학자들에 의해 암묵적으로 받아들여졌다.^[7]

기원전 500년경, 피타고라스가 이끄는 그리스 수학자들은 2의 제곱근이 무리수라는 것을 깨달았다. 그리스 수학자들에게 숫자는 단지 자연수일 뿐이었다. 실수는 "비율"이라고 불렸으며, 두 길이의 비율, 즉 다른 길이의 관점에서 길이의 척도였다. 두 길이가 정수로 모두 측정되는 단위가 있으면, 즉 현대 용어로는 그 비율이 유리수인 경우 "통약 가능"하다고 하였다. 크니도스의 에우독소스(기원전 390–340년경)는 두 무리수 비율의 동등성에 대한 정의를 데데킨트 컷과 유사한 방식으로 제공했는데(2,000년 이상 후에 도입됨), 길이와 자연수의 곱셈 외에는 어떤 산술 연산도 사용하지 않았다는 점이 다르다. 이것은 실수의 첫 번째 정의로 볼 수 있다.

10. 2. 중세 및 근대

중세 시대에는 인도 수학과 중국 수학에서 0, 음수, 정수, 분수 개념이 도입되었고, 이후 아랍 수학자들에 의해 무리수가 대수적 객체로 취급되었다.^[8] 아랍 수학자들은 "수"와 "크기"의 개념을 실수에 대한 더 일반적인 개념으로 통합했다.^[9] 이집트 수학자 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람(850-930)은 이차 방정식의 해 또는 계수로 무리수를 받아들인 최초의 인물이었다.^[10]

16세기에 시몬 스테빈은 현대 소수 표기법의 기초를 만들었고, 유리수와 무리수 사이에 차이가 없다고 주장했다.

10. 3. 현대

19세기에 카를 바이어슈트라스, 리하르트 데데킨트, 게오르크 칸토어와 같은 수학자들에 의해 실수의 엄밀한 정의가 이루어졌다.^[7] 1872년에 데데킨트는 데데킨트 컷으로, 칸토어는 코시 수열의 동치류로 실수의 두 가지 독립적인 정의를 발표했다.^[18]

칸토어는 집합 연구를 통해 실수 전체의 집합이 유리수 전체의 집합과는 명확히 구분되는 크기(농도)를 가지고 있다는 것(실수의 집합은 가산이 아님)을 보였다. 또한 칸토어는 실수 전체의 집합과 유리수 전체의 집합의 정확히 중간 크기의 집합이 존재하는지에 대한 질문을 제기했는데, 이는 후에 연속체 가설로 불리게 되었고, 결국 일반적으로 사용되는 집합론 체계에서는 증명도 반증도 불가능하다는 것이 밝혀졌다.

11. 응용

실수는 수학, 과학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다.

자연과학에서 연속적으로 변화하는 양을 측정하는 데 실수가 사용된다. 예를 들어 시간은 기준 시점으로부터 경과한 시간을 나타내는 실수로 표현된다. 현실에서 이산적인 값을 갖는 양이라도 단위가 매우 작으면 실수로 연속적으로 근사하여 사용하기도 한다. 화학의 용액 농도나 경제학의 통화 유통량 등은 미분, 적분 가능한 함수로 나타내어 해석한다.

20세기에는 양자역학에서 복소수가 중요하게 사용되고, 물리량이 양자화되어 이산적인 값을 갖는 등, 현실 세계를 기술하는 데 실수가 항상 적합하지 않다는 인식이 생겼다. 베른하르트 리만 등 일부 수학자들은 공간에서 물체의 위치를 나타내는 수 체계로서 실수도 근사에 불과할 수 있다는 의문을 제기했다.

11. 1. 물리학

물리학에서 대부분의 물리 상수와 물리 변수는 실수로 모델링된다. 고전역학, 전자기학, 양자역학, 일반 상대성 이론, 표준 모형과 같은 기본적인 물리 이론은 일반적으로 실수에 기반한 매끄러운 다양체 또는 힐베르트 공간과 같은 수학적 구조를 사용하여 설명된다.^[20]

물리학자들은 실수를 연속체를 형성하지 않는 양으로 대체하는 더 근본적인 이론을 제안하기도 했지만, 그러한 제안은 여전히 추측에 머물러 있다.^[20]

11. 2. 컴퓨터 과학

컴퓨터는 일반적으로 부동 소수점 수를 사용하여 실수를 근사적으로 표현한다. 이는 과학적 표기법과 유사한 방식으로, 유한한 정밀도를 가진다. 이 정밀도는 숫자에 할당된 데이터 저장 공간에 의해 제한되며, 고정 소수점, 부동 소수점, 임의 정밀도 숫자 등 다양한 표현 방식이 사용될 수 있다. 대부분의 계산 과학에서는 이진 부동 소수점 산술을 사용하며, 주로 64비트 표현을 사용하여 대략 16자리의 정밀 자릿수를 갖는다.

실수는 일반적인 산술 규칙을 따르지만, 부동 소수점 수는 그렇지 않다. 수치 해석 분야에서는 근사 산술로 구현된 수치 알고리즘의 안정성과 정확성을 연구한다.

컴퓨터 대수 시스템은 유리수나 십진수 근사치 대신,

\sqrt{2},

\arctan 5,

와 같은 기호를 사용하여 무리수를 정확하게 계산할 수 있다.^[22] 그러나 이러한 정확한 기호 연산에도 한계가 있다. 예를 들어, 계산 비용이 더 많이 들고, 두 기호 표현식이 같은지 판별하는 것이 일반적으로 불가능하며(상수 문제), 산술 연산은 숫자의 표현 크기를 지수적으로 증가시킬 수 있다.^[23]

실수는 그 자릿수를 계산하는 알고리즘이 존재하면 계산 가능하다고 한다. 알고리즘의 수는 가산개인 반면, 실수의 수는 비가산적이므로, 거의 모든 실수는 계산 불가능하다. 또한, 두 계산 가능한 수가 같은지 여부는 결정 불가능한 문제이다. 일부 구성주의자들은 계산 가능한 실수만 존재한다고 주장하기도 한다. 정의 가능한 수의 집합은 더 크지만, 여전히 가산 집합이다.

12. 확장

복소수는 모든 다항식 방정식의 해를 포함하므로 실수와 달리 대수적 닫힌 체이다. 그러나 복소수는 순서체가 아니다.^[1]
초실수와 초현실수는 실수를 확장하는 순서체이며, 둘 다 무한소와 무한히 큰 수를 포함하므로 비아르키메데스 순서체이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Real number https://www.oxfordre[...] 2011-08-03
_[2] 서적 Oxford English Dictionary
_[3] 서적 Clash Of Symbols: A Ride Through The Riches Of Glyphs Springer
_[4] 웹사이트 Real number https://www.britanni[...]
_[5] 서적 The Stanford Encyclopedia of Philosophy Stanford University
_[6] 간행물 Descriptive Set Theory https://archive.org/[...] North-Holland
_[7] 간행물 Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics Springer
_[8] MacTutor Arabic mathematics: forgotten brilliance?
_[9] 간행물 The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics
_[10] 간행물 Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics Springer
_[11] 서적 A History of π (PI) https://archive.org/[...] St. Martin's Press
_[12] 간행물 Pi Unleashed https://books.google[...] Springer 2015-11-15
_[13] 간행물 The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue https://books.google[...] Princeton University Press 2015-02-17
_[14] 학술지 Beweis der Transendenz der Zahl e
_[15] 학술지 Transcendenz von e und π https://zenodo.org/r[...]
_[16] 문서 Real numbers Prentice-Hall, Inc.
_[17] 서적 The Oxford handbook of the history of mathematics https://www.worldcat[...] Oxford University Press 2009
_[18] MacTutor The real numbers: Stevin to Hilbert 2005-10
_[19] 웹사이트 Lecture #1 https://math.mit.edu[...] 2015-01-05
_[20] 학술지 Hermann Weyl and the Unity of Knowledge: In the linkage of four mysteries—the "how come" of existence, time, the mathematical continuum, and the discontinuous yes-or-no of quantum physics—may lie the key to deep new insight 1986
_[20] 학술지 The Number Behind the Simplest SIC-POVM
_[21] 간행물 Constructive analysis Springer-Verlag
_[22] 간행물 Computer algebra and symbolic computation: elementary algorithms A K Peters
_[23] 학술지 Computing numerically with functions instead of numbers https://people.maths[...]
_[24] 간행물 Discrete Structures, Logic, and Computability https://books.google[...] Jones and Bartlett Publishers 2015-11-15
_[25] 서적 Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics https://archive.org/[...] Addison-Wesley
_[26] 웹사이트 Nombres réels http://culturemath.e[...] École Normale Supérieure of Paris 2014-05-08
_[27] 문서 数学の記号(2010年4月) https://ccmath.meijo[...] 名城大学鈴木研究室
_[28] 문서 数学記号の由来について(8) https://www.nli-rese[...]

실수