가군의 깊이

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. Ext 함자를 이용한 정의
- 2.2. 정칙렬을 이용한 정의
3. 성질
- 3.1. 오슬랜더-북스바움 공식
4. 깊이 0의 환
참조

1. 개요

가군의 깊이는 뇌터 가환환 R, R의 아이디얼 a, 유한 생성 R-가군 M에 대해 정의되며, Ext 함자를 이용하거나 정칙렬의 최대 길이를 통해 계산할 수 있다. 가군의 깊이는 크룰 차원 이하이며, 오슬랜더-북스바움 공식은 사영 차원과 깊이 사이의 관계를 나타낸다. 특히 가환 뇌터 국소환 R의 깊이가 0인 것은 최대 아이디얼이 연관 소 아이디얼인 경우와 동치이다.

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가군의 깊이
깊이 (환론)
분야	가환대수학
정의	환의 아이디얼의 깊이
관련 개념	사슬 조건, 정칙환, 코헨-매콜리 환
역사
창시자	모리스 아우스랜더와 데이비드 A. 부크스바움
주요 결과	아우스랜더-부크스바움 공식
추가 정보
참고 문헌	Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960 Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011463 Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41068-1, MR 1251956

2. 정의

뇌터 가환환 $R$ 과 그 아이디얼 $\mathfrak a$ , 그리고 $\mathfrak aM \subsetneq M$ 을 만족하는 $R$ 의 유한 생성 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $M$ 의 ''' $\mathfrak a$ -깊이'''( $\mathfrak a$ -depth^영어) $\operatorname{depth}_{\mathfrak a}(M)$ 는 대수학에서 중요한 불변량 중 하나이다. 이는 가군의 구조를 이해하는 데 도움을 준다.

가군의 깊이는 두 가지 동등한 방식으로 정의할 수 있다. 하나는 Ext 함자를 이용하는 방법이고, 다른 하나는 정칙렬의 최대 길이를 이용하는 방법이다.^[1]^[1] 이 두 정의는 동일한 값을 제공한다. 가군의 깊이는 때때로 '''등급'''(grade^영어)이라고도 불린다.

구체적인 정의 방식과 그 의미는 아래 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다. 특히, 국소환의 경우 그 깊이는 특별한 의미를 가지며, 코헨-매콜리 환과 같은 특정 환에서는 깊이가 환의 크룰 차원과 일치하기도 한다. 또한, 데이비드 리스의 정리는 깊이와 정칙렬 사이의 중요한 관계를 보여준다.

2. 1. Ext 함자를 이용한 정의

뇌터 가환환

R

,

R

의 아이디얼

\mathfrak a

, 그리고

\mathfrak aM\subsetneq M

을 만족하는

R

의 유한 생성 가군

M

이 주어졌다고 하자. 이때

M

의 '''

\mathfrak a

-깊이'''(

\mathfrak a

-depth^영어)

\operatorname{depth}_{\mathfrak a}(M)

는 Ext 함자를 이용하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^[1]

:

\mathrm{depth}_{\mathfrak a}(M) = \min \{i \ge 0 \mid \operatorname{Ext}_R^i(R/\mathfrak a, M) \ne 0\}

즉,

M

의

\mathfrak a

-깊이는 Ext 함자

\operatorname{Ext}_R^i(R/\mathfrak a, M)

가 0이 아니게 되는 가장 작은 음이 아닌 정수

i

이다.^[1]

특히,

R

이 극대 아이디얼

\mathfrak{m}

을 갖는 국소환일 경우, 환

R

자체의 깊이는

R

을 자기 자신 위의 가군으로 보았을 때의

\mathfrak{m}

-깊이, 즉

\operatorname{depth}_{\mathfrak m}(R)

로 정의된다. 만약

R

이 코헨-매콜리 환인 국소환이라면, 그 깊이는 환의 크룰 차원과 같다.

2. 2. 정칙렬을 이용한 정의

뇌터 가환환

R

,

R

의 아이디얼

\mathfrak a

, 그리고

\mathfrak aM\subsetneq M

을 만족하는

R

의 유한 생성 가군

M

이 주어졌다고 하자.

이때 다음 두 값은 서로 같으며, 이를

M

의 '''

\mathfrak a

-깊이'''(

\mathfrak a

-depth|

\mathfrak a

-깊이^eng)

\operatorname{depth}_{\mathfrak a}(M)

라고 한다.

$\mathfrak a$ 에 포함된 $M$ -정칙렬의 최대 길이^[1]
$\min \{n\colon \operatorname{Ext}_R^n(R/\mathfrak a,M)\ne 0\}$ . 즉, Ext 함자가 0이 아니게 되는 가장 작은 차수^[1]

데이비드 리스의 정리에 따르면,

R

이 가환 뇌터 국소환이고

\mathfrak{m}

이 그 극대 아이디얼이며,

M

이 유한 생성

R

-가군일 때,

\mathfrak{m}

에 속하는

M

의 모든 최대 정칙렬

x_1, \ldots, x_n

은 같은 길이

n

을 가지며, 이 길이는

M

의

\mathfrak{m}

-깊이와 같다.

3. 성질

가환 뇌터 국소환 $(R,\mathfrak m)$ 위의 유한 생성 가군 $M$ 의 경우, 그 깊이는 크룰 차원 이하이다.

: $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M\le\dim_RM$

또한, $M$ 의 깊이가 0인 것은 아이디얼 $\mathfrak m$ 이 $M$ 의 연관 소 아이디얼들의 집합 $\operatorname{Ass}_RM$ 에 포함되는 것과 동치이다.

$\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=0\iff \mathfrak m\in\operatorname{Ass}_RM$

여기서

\operatorname{Ass}_RM

은

M

의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

3. 1. 오슬랜더-북스바움 공식

다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

뇌터 가환 국소환 $(R,\mathfrak m)$
$R$ 위의 유한 생성 가군 $M$ . 또한, $M$ 의 사영 차원이 유한하다고 가정한다 ( $-\infty<\operatorname{pd}_RM<\infty$ ).

그렇다면 다음의 '''오슬랜더-북스바움 공식'''(Auslander–Buchsbaum formula^영어)^[2]이 성립한다.

:

\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R

여기서

\operatorname{pd}_RM

은 가군

M

의 사영 차원을,

\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M

은 가군

M

의 깊이를,

\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R

은 환

R

의 깊이를 나타낸다.

이 공식은 가환 뇌터 국소환 위의 유한 생성 가군의 사영 차원과 깊이가 서로 상보적인 관계에 있음을 보여준다. 오슬랜더-북스바움 공식은 기초 이론적으로 중요할 뿐만 아니라, 가군의 깊이를 계산하는 효과적인 방법을 제공한다.

4. 깊이 0의 환

가환 뇌터 환 국소환 $R$ 의 깊이가 0이라는 것은, 그 최대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 이 연관 소 아이디얼이라는 것과 같은 의미이다. 이는 또한, $R$ 안에 0이 아닌 원소 $x$ 가 존재하여 $x\mathfrak{m}=0$ (즉, $x$ 에 $\mathfrak{m}$ 의 모든 원소를 곱하면 0이 되는 경우)인 것과도 동치이다. 기하학적으로 이는 닫힌 점이 임베딩 성분임을 의미한다.

예를 들어, 체 $k$ 에 대해 환 $k[x,y]/(x^2,xy)$ 를 생각해보자. 이 환은 대수기하학적으로 원점에서 이중점을 가지며 직선 $x=0$ 위에 놓인 구조(원점에 임베딩된 이중점을 갖는 선)를 나타낸다. 이 환은 원점에서의 깊이가 0이지만, 차원은 1이다. 따라서 이 환은 코헨-매콜리 환이 아닌 환의 한 예시가 된다.

참조

_[1] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995
_[2] 저널 Homological dimension in local rings

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