정칙렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 정칙 원소
- 2.2. 정칙렬
3. 성질
4. 예
- 4.1. 정칙렬의 예
- 4.2. 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열
5. 응용
- 5.1. 코줄 복합체
- 5.2. 연관된 등급환
6. 한국의 관점
참조

1. 개요

정칙렬은 가환환 R과 R-가군 M에 대해, R의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ이 특정 조건을 만족할 때 M-정칙렬이라고 정의된다. 정칙렬은 기하학, 특히 완전 교차 부분 스킴과 관련이 있으며, 코줄 복합체 및 연관된 등급환과 같은 중요한 대수적 구조를 형성한다. 정칙렬의 개념은 뇌터 환, 국소환, 그리고 깊이와 같은 관련 개념과 연결되어 있으며, 호몰로지 대수학 및 가환대수학에서 중요한 역할을 한다.

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정칙렬
정의
설명	가환환론에서, 주어진 아이디얼에 대해, 그 잉여환에서 영인자가 아닌 원소를 연쇄적으로 곱하여 얻는 열. 대수기하학에서, 주어진 대수다양체의 부분 다양체를 정의하는 데 쓰임.
관련 개념
관련 개념	정칙 함수, 정칙 국소환, 깊이 (가환대수학)

2. 정의

가환환 ''R''과 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, ''R''의 원소 ''r''은 ''r m'' = 0이면 ''m'' = 0을 만족할 때, 즉 ''M''의 모든 ''m''에 대해 ''M''에서 '''영인자가 아님'''이라고 한다.

''R''의 원소 x가 M-정칙 원소라는 것은 x가 M 위의 영인자가 아님을 의미한다.^[5]

가환환/Commutative ring^영어 ''R''과 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, ''R''의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ은 다음 조건을 만족하면 ''M''-'''정칙렬'''이라고 한다.^[5]

임의의 ''i'' = 1, 2, ..., ''n'' 및 ''m'' ∈ ''M''에 대하여, 만약 r_i''m'' ∈ (r₁, ..., r_i-1)''M''이라면, ''m'' ∈ (r₁, ..., r_i-1)''M''이다. 즉, r_i는 ''M''/(r₁, ..., r_i-1)''M''의 영인자가 아니다.
''M''/(''r''₁, ..., ''r''_''d'')''M''이 0이 아니다.

''R''-정칙 수열은 간단히 '''정칙렬'''이라고도 부른다.^[1] 즉, ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 정칙 수열이라는 것은 ''r''₁이 환 ''R''에서 영인자가 아니고, ''r''₂가 환 ''R''/(''r''₁)에서 영인자가 아니며, 이런 식으로 계속된다는 것이다.

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 (r₁, ..., r_n)''M'' ≠ ''M''이라는 조건을 추가하기도 한다.^[1]

정칙 수열이 되는 것은 원소의 순서에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, ''x'', ''y''(1-''x''), ''z''(1-''x'')는 다항식 환 '''C'''[''x'', ''y'', ''z'']에서 정칙 수열이지만, ''y''(1-''x''), ''z''(1-''x''), ''x''는 정칙 수열이 아니다. 하지만 ''R''이 Noether 환이고 국소환이며, 원소 ''r''_''i''가 극대 아이디얼에 속하거나, ''R''이 등급 환이고 ''r''_''i''가 양의 차수를 갖는 동차 원소이면, 정칙 수열의 임의의 순열도 정칙 수열이다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자

\operatorname{Ann}_RM

속의 일련의 부분 스킴들에 대응된다. 특히, 만약

M = R

인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열에 해당한다.

:

\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb

''X''가 아핀 스킴이고 ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 ''X'' 위의 정칙 함수 환에서 정칙 수열이면, 닫힌 부분 스킴 {''r''₁=0, ..., ''r''_''d''=0} ⊂ ''X''를 ''X''의 '''완전 교차''' 부분 스킴이라고 한다.

2. 1. 정칙 원소

R의 원소 x가 M-정칙 원소라는 것은 x가 M 위의 영인자가 아님을 의미한다.^[5] 즉, ''R''의 원소 ''r''은 ''r m'' = 0이면 ''m'' = 0을 만족할 때, 즉 ''M''의 모든 ''m''에 대해 ''M''에서 영인자가 아님을 뜻한다.

2. 2. 정칙렬

가환환/Commutative ring^영어 ''R''과 ''R''-가군 ''M''이 주어졌을 때, ''R''의 원소들로 구성된 유한 수열 r₁, ..., rₙ은 다음 조건을 만족하면 ''M''-'''정칙렬'''이라고 한다.^[5]

임의의 ''i'' = 1, 2, ..., ''n'' 및 ''m'' ∈ ''M''에 대하여, 만약 r_i''m'' ∈ (r₁, ..., r_i-1)''M''이라면, ''m'' ∈ (r₁, ..., r_i-1)''M''이다. 즉, r_i는 ''M''/(r₁, ..., r_i-1)''M''의 영인자가 아니다.
''M''/(''r''₁, ..., ''r''_''d'')''M''이 0이 아니다.

''R''-정칙 수열은 간단히 '''정칙렬'''이라고도 부른다.^[1] 즉, ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 정칙 수열이라는 것은 ''r''₁이 환 ''R''에서 영인자가 아니고, ''r''₂가 환 ''R''/(''r''₁)에서 영인자가 아니며, 이런 식으로 계속된다는 것이다.

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 (r₁, ..., r_n)''M'' ≠ ''M''이라는 조건을 추가하기도 한다.^[1]

정칙 수열이 되는 것은 원소의 순서에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, ''x'', ''y''(1-''x''), ''z''(1-''x'')는 다항식 환 '''C'''[''x'', ''y'', ''z'']에서 정칙 수열이지만, ''y''(1-''x''), ''z''(1-''x''), ''x''는 정칙 수열이 아니다. 하지만 ''R''이 Noether 환이고 국소환이며, 원소 ''r''_''i''가 극대 아이디얼에 속하거나, ''R''이 등급 환이고 ''r''_''i''가 양의 차수를 갖는 동차 원소이면, 정칙 수열의 임의의 순열도 정칙 수열이다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자

\operatorname{Ann}_RM

속의 일련의 부분 스킴들에 대응된다. 특히, 만약

M = R

인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열에 해당한다.

:

\operatorname{Spec}R \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1)} \leftarrow \operatorname{Spec}\frac R{(r_1,r_2)} \leftarrow \dotsb

''X''가 아핀 스킴이고 ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 ''X'' 위의 정칙 함수 환에서 정칙 수열이면, 닫힌 부분 스킴 {''r''₁=0, ..., ''r''_''d''=0} ⊂ ''X''를 ''X''의 '''완전 교차''' 부분 스킴이라고 한다.

3. 성질

$R$ -가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_1,r_2,\dotsc,r_d$ 이 주어졌을 때, 임의의 가역원 $u_1,u_2,\dots,u_d \in R^\times$ 에 대하여 $u_1r_1,\dotsc,u_dr_d$ 역시 정칙렬이다.

==== 국소화 ====

환 준동형 $\phi \colon R \to S^{-1}R$ 에 대하여, $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 는 $S^{-1}M$ 의 정칙렬이다. 가군의 국소화는 완전 함자이므로, 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)$ 가 정칙렬이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.

: $(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M}$

이는 단사 함수이다.

만약 정칙렬의 정의에 $(r_1,\dotsc,r_d)M \ne M$ 이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.

==== 순열 ====

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.^[4]

다만, 뇌터 가환환의 유한 생성 가군에서는 특정 조건 하에서 정칙렬의 순열이 정칙렬이 된다.^[4] 이 조건은 아이디얼이 가군의 근기의 부분 집합이어야 한다는 것이다.

==== 깊이 ====

뇌터 가환환 $R$ 의 아이디얼 $\mathfrak a\subsetneq R$ 및 유한 생성 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $\mathfrak a$ 속에 포함된 $M$ -정칙렬의 최대 길이를 $(\mathfrak a,M)$ 의 '''깊이'''라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 '''코언-매콜리 국소환'''이라고 한다.

3. 1. 국소화

환 준동형

\phi \colon R \to S^{-1}R

에 대하여,

\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)

는

S^{-1}M

의 정칙렬이다. 가군의 국소화는 완전 함자이므로, 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다.

\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_d)

가 정칙렬이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.

:

(\phi(r_i)\cdot)\colon \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M} \to \frac {S^{-1}M}{(\phi(r_1),\dotsc,\phi(r_{i-1}))S^{-1}M}

이는 단사 함수이다.

만약 정칙렬의 정의에

(r_1,\dotsc,r_d)M \ne M

이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.

3. 2. 순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.^[4]

다만, 뇌터 가환환의 유한 생성 가군에서는 특정 조건 하에서 정칙렬의 순열이 정칙렬이 된다.^[4] 이 조건은 아이디얼이 가군의 근기의 부분 집합이어야 한다는 것이다.

3. 3. 깊이

뇌터 가환환

R

의 아이디얼

\mathfrak a\subsetneq R

및 유한 생성 가군

M

이 주어졌을 때,

\mathfrak a

속에 포함된

M

-정칙렬의 최대 길이를

(\mathfrak a,M)

의 '''깊이'''라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 '''코언-매콜리 국소환'''이라고 한다.

4. 예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

정역 $R$ 이 주어지면, 0이 아닌 모든 $f \in R$ 은 정칙열을 이룬다.
소수 ''p''에 대해, 국소환 '''Z'''_(''p'')는 분모가 ''p''의 배수가 아닌 분수로 구성된 유리수의 부분환이다. 원소 ''p''는 '''Z'''_(''p'')에서 영인자가 아니고, ''p''에 의해 생성된 아이디얼에 대한 '''Z'''_(''p'')의 몫환은 체 '''Z'''/(''p'')이다. 따라서 ''p''는 최대 아이디얼 (''p'')에서 더 긴 정칙열로 확장될 수 없으며, 실제로 국소환 '''Z'''_(''p'')는 깊이 1을 가진다.
임의의 체 ''k''에 대해, 다항식환 ''A'' = ''k''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']의 원소 ''x''₁, ..., ''x''_''n''은 정칙열을 이룬다. 이는 최대 아이디얼 ''m'' = (''x''₁, ..., ''x''_''n'')에서 ''A''의 국소화 ''R''이 깊이 ''n'' 이상을 가짐을 의미한다. 사실, ''R''은 깊이 ''n''을 가지며, 즉, ''n''보다 긴 최대 아이디얼의 정칙열은 존재하지 않는다.
더 일반적으로, ''R''을 최대 아이디얼 ''m''을 갖는 정규 국소환이라고 하자. 그러면 ''R''/''m''-벡터 공간으로서의 ''m''/''m''²의 기저에 대응되는 ''m''의 원소 ''r''₁, ..., ''r''_''d''는 정칙열을 이룬다.

가환환에서의 다항식환에서, ''X''₁, ..., ''X''_''n''는 정칙열이다.

4. 1. 정칙렬의 예

길이 1의 정칙렬은 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다. 정역

R

에서 0이 아닌 모든 원소

f \in R

는 정칙렬을 이룬다. 소수 ''p''에 대해, 국소환 '''Z'''_(''p'')에서 원소 ''p''는 정칙렬을 이룬다. 체 ''k''에 대해, 다항식환 ''A'' = ''k''[''x''₁, ..., ''x''_''n'']의 원소 ''x''₁, ..., ''x''_''n''은 정칙렬을 이룬다. 정규 국소환에서 ''m''/''m''²의 기저에 대응되는 ''m''의 원소들은 정칙렬을 이룬다.

4. 2. 정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

\mathbb C[x,y,z]

를 스스로 위의 가군으로 간주하면,

x, y(1-x), z(1-x)

는 정칙렬이다. 그러나 이 순열의 순서를 바꾼

y(1-x),z(1-x),x

는 정칙렬이 아니다.^[4] 구체적으로,

y(1-x)

는

\mathbb C[x,y,z]

의 영인자가 아니지만,

z(1-x)

는

\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))

의 영인자이다. 예를 들어

:

z(1-x)\cdot y \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]

:

y \not \in y(1-x)\mathbb C[x,y,z]

이다.

기하학적으로,

\mathbb C[x,y,z]

는 3차원 아핀 공간이며,

\mathbb C[x,y,z]/(x)

는

x = 0

으로 정의되는

yz

평면이다. 그 속에서

\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y)

는

z

축이며,

\mathbb C[x,y,z]/(x,y(1-x),z(1-x)) \cong \mathbb C[x,y,z]/(x,y,z)

는 그 속의 원점이다.

반면,

\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x))

는

y=0

평면과

x = 1

평면의 합집합이다. 그 속에서

\mathbb C[x,y,z]/(y(1-x),z(1-x))

는

y=z=0

축과

x=1

평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

정칙열의 간단한 반례는

\mathbb{C}[x,y]

의 원소로 구성된 수열

(xy,x^2)

로 주어지는데,

:

\cdot x^2 : \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)} \to \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)}

는 아이디얼

(y) \subset \mathbb{C}[x,y]/(xy)

로 주어지는 자명하지 않은 커널을 가지기 때문이다.

5. 응용

만약 ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 링 ''R''에서의 정칙열이라면, 코줄 복합체는 ''R''/(''r''₁, ..., ''r''_''d'')를 ''R''-가군으로 나타내는 명시적인 자유 분해이며, 다음과 같은 형태를 가진다.

: $0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0$

특히 ''R''이 다항식 링 ''k''[''r''₁, ..., ''r''_''d'']인 경우, 이는 ''k''를 ''R''-가군으로 나타내는 분해를 제공한다.

만약 ''I''가 링 ''R''에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

: $\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}$

은 다항식 링 (''R''/''I'')[''x''₁, ..., ''x''_''d'']와 동형이다. 기하학적으로, 이것은 임의의 스킴 ''X''의 국소 완전 교차 부분 스킴 ''Y''가 비록 ''Y''가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

5. 1. 코줄 복합체

코줄 복합체는 ''r''₁, ..., ''r''_''d''가 링 ''R''에서의 정칙렬일 때, ''R''/(''r''₁, ..., ''r''_''d'')를 ''R''-가군으로 나타내는 명시적인 자유 분해이다.

:

0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0

특히 ''R''이 다항식 링 ''k''[''r''₁, ..., ''r''_''d'']인 경우, 이는 ''k''를 ''R''-가군으로 나타내는 분해를 제공한다.

만약 ''I''가 링 ''R''에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

:

\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}

은 다항식 링 (''R''/''I'')[''x''₁, ..., ''x''_''d'']와 동형이다. 기하학적으로, 이것은 임의의 스킴 ''X''의 국소 완전 교차 부분 스킴 ''Y''가 비록 ''Y''가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

5. 2. 연관된 등급환

''r''₁, ..., ''r''_''d''가 링 ''R''에서의 정칙열이라면, 코줄 복합체는 ''R''/(''r''₁, ..., ''r''_''d'')를 ''R''-가군으로 나타내는 자유 분해이며, 다음과 같은 형태를 가진다.

:

0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrowR^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)\rightarrow 0

만약 ''I''가 링 ''R''에서 정칙열에 의해 생성되는 아이디얼이라면, 연관된 등급 링

:

\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}

은 다항식 링 (''R''/''I'')[''x''₁, ..., ''x''_''d'']와 동형이다. 기하학적으로, 이는 임의의 스킴 ''X''의 국소 완전 교차 부분 스킴 ''Y''가 특이점을 가질 수 있더라도, 노말 번들을 가지며 이는 벡터 번들임을 따른다.

6. 한국의 관점

참조

_[1] 서적 Algèbre. Chapitre 10. Algèbre Homologique. Springer-Verlag 2006
_[2] 간행물 EGA IV, Part 1 1964
_[3] 서적 Algèbre Commutative. Chapitre 10. Springer-Verlag 2007
_[4] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[5] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag 1995

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