가우스 곡률

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1. 개요

가우스 곡률은 곡면의 굽힘 정도를 나타내는 값으로, 두 주곡률의 곱으로 정의된다. 가우스 곡률은 곡면의 모양을 특징짓는 데 사용되며, 양수, 음수, 0의 값을 가질 수 있다. 가우스의 빼어난 정리에 따라 곡면의 내재적인 성질이며, 가우스-보네 정리는 가우스 곡률과 오일러 지표 사이의 관계를 보여준다. 가우스 곡률이 상수인 곡면은 유클리드 기하학, 구면 기하학, 쌍곡 기하학 등 다양한 기하학적 특징을 나타낸다. 가우스 곡률은 제1, 2 기본 형식, 브리오스키 공식, 직교 좌표계, 함수의 그래프, 암묵적 정의, 등온 좌표계, 측지선 원과 원판, 크리스토펠 기호 등 다양한 방법으로 표현될 수 있다.

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가우스 곡률

2. 정의

미분기하학에서 곡면 위의 한 점에서 '''가우스 곡률'''은 그 점에서의 두 주곡률의 곱이다. 주곡률은 주어진 점에서 곡면이 서로 다른 방향으로 굽어지는 정도를 나타내는 값으로, 법선 벡터를 포함하는 평면인 법평면과 곡면의 교선인 법선 단면의 곡률(법곡률)의 최댓값과 최솟값이다. 가우스 곡률 Κ는 두 주곡률 κ₁, κ₂의 곱으로 정의된다.

:Κ = κ₁κ₂

가우스 곡률의 부호는 곡면의 형태를 특징짓는 데 사용된다.

양의 가우스 곡률 (Κ > 0): 두 주곡률이 같은 부호를 갖는 경우이다. 이 경우 곡면은 타원점(elliptic point)을 가지며, 돔 모양과 유사하게 국소적으로 접평면의 한쪽에 위치한다. 모든 법선 단면의 곡률은 같은 부호를 갖는다.
음의 가우스 곡률 (Κ < 0): 주곡률이 서로 다른 부호를 갖는 경우이다. 이 경우 곡면은 쌍곡점 또는 말안장점(hyperbolic point)을 가지며, 말안장 모양과 유사하다. 두 방향에서 법곡률이 0이 되어 점근선을 이룬다.
영의 가우스 곡률 (Κ = 0): 주곡률 중 하나가 0인 경우이다. 이 경우 곡면은 포물점(parabolic point)을 갖는다.

대부분의 곡면은 양의 가우스 곡률 영역과 음의 가우스 곡률 영역을 모두 포함하며, 이 두 영역은 가우스 곡률이 0인 점들의 곡선인 포물선으로 분리된다.^[1]

2. 1. 외재적 정의

3차원 유클리드 공간에 매장된 곡면의 '''가우스 곡률''' ''K''는 그 두 주곡률 κ₁, κ₂의 곱이다.

: ''K'' = κ₁κ₂

가우스 곡률은 모양 연산자의 행렬식으로 정의할 수도 있다. ℝ³ 안에 있는 곡면 위의 점 '''p'''에서 모양 연산자 ''S''가 주어지면, 가우스 곡률 ''K''는 다음과 같다.

: ''K''('''p''') = det(''S''('''p'''))

ℝ³ 안에 있는 곡면의 가우스 곡률은 제1 기본 형식의 행렬식에 대한 제2 기본 형식의 행렬식의 비로 표현할 수도 있다.

: ''K'' = (detⅡ)/(detⅠ)

면 위의 임의의 점에서, 면에 직각인 법선 벡터를 찾을 수 있다. 법선 벡터를 포함하는 평면을 ''법평면''이라고 한다. 법평면과 면의 교선은 ''법선 단면''이라고 하는 곡선을 형성하며, 이 곡선의 곡률을 ''법곡률''이라고 한다. 대부분의 “매끄러운” 면의 대부분의 점에서, 서로 다른 법선 단면은 서로 다른 곡률을 갖는다. 이러한 곡률의 최댓값과 최솟값을 주곡률이라고 하며, κ₁, κ₂라고 한다. '''가우스 곡률'''은 두 주곡률의 곱 ''Κ'' = κ₁κ₂이다.

가우스 곡률의 부호는 면을 특징짓는 데 사용할 수 있다.

두 주곡률이 같은 부호를 갖는 경우(κ₁κ₂ > 0) 가우스 곡률은 양수이고 면은 타원형 점을 갖는다고 한다. 이러한 점에서 면은 국소적으로 접평면의 한쪽에 위치하는 돔과 같다. 모든 단면 곡률은 같은 부호를 갖는다.
주곡률이 다른 부호를 갖는 경우(κ₁κ₂ < 0) 가우스 곡률은 음수이고 면은 쌍곡형 또는 말안장점을 갖는다고 한다. 이러한 점에서 면은 말안장 모양이다. 한 주곡률은 음수이고 다른 하나는 양수이며, 면에 수직인 평면을 면의 법선 주위에서 두 방향으로 회전시키면 법곡률이 연속적으로 변하므로, 법곡률은 0이 되어 그 점에 대한 점근선을 제공한다.
주곡률 중 하나가 0인 경우(κ₁κ₂ = 0) 가우스 곡률은 0이고 면은 포물선형 점을 갖는다고 한다.

대부분의 면에는 양의 가우스 곡률 영역(타원형 점)과 음의 가우스 곡률 영역이 포함되며, 이 영역은 0의 가우스 곡률을 갖는 점들의 곡선인 포물선에 의해 분리된다.

미분기하학에서, 곡면 위의 주어진 점에서 두 개의 '''주곡률'''은 그 점에서의 shape operator|셰이프 작용소^영어의 고유값이다. 이러한 고유값들은 주어진 점에서 서로 다른 방향으로 곡면이 얼마나 많이 굽어 있는지를 측정한다. 음함수 정리에 의해, 두 변수의 함수 ''f''의 그래프로서 곡면이 표현된다. 여기서 점 ''p''는 임계점, 즉 ''f''의 기울기가 0이 되는 점이다. (이는 항상 적절한 엄밀한 운동에 의해 가능해진다.) 따라서, ''p''에서 곡면의 가우스 곡률은 (헤세 행렬의 고유값의 곱인) ''f''의 헤세 행렬의 행렬식이다. (헤세 행렬은 이계 미분의 2 × 2 행렬이라는 것을 상기하라.) 이 정의로부터, 컵 모양/캡 모양과 안장점(saddle point)의 차이를 즉시 이해할 수 있다.

'''R'''^''3'' 속의 정칙곡면 위의 점 '''p'''에서 가우스 곡률은,

: ''K''('''p''') = det(''S''('''p'''))

으로도 주어진다. 여기서 ''S''는 shape operator|셰이프 작용소^영어이다.

2. 2. 내재적 정의

가우스 곡률은 가우스의 빼어난 정리에 따라 내재적인 값이며, 따라서 내재적으로 정의할 수 있다. 2차원 리만 다양체의 리만 곡률 텐서와 리치 곡률 텐서는 오직 하나의 독립된 성분만을 가지며, 다음과 같다.

:

R_{\mu\nu\rho\sigma}=K(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma})

:

\operatorname{Ric}_{\mu\nu}=Kg_{\mu\nu}

이 경우 계수

K

가 '''가우스 곡률'''이다.

:

\Kappa = \frac{\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\rangle}{\det g},

이기도 함을 알 수 있다. 여기서

\nabla_i = \nabla_{{\mathbf e}_i}

는 공변 미분이고, ''g''는 계량 텐서이다.

3. 성질

가우스 곡률은 가우스의 빼어난 정리와 가우스-보네 정리에 의해 중요한 성질들을 가진다.

어떤 곡면 영역에 대한 가우스 곡률의 면적분을 '''전체 곡률'''이라고 한다. 측지 삼각형의 전체 곡률은 π에서 그 삼각형의 내각의 합을 뺀 값과 같다. 양의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 내각의 합은 π보다 크고, 음의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 내각의 합은 π보다 작다. 유클리드 평면과 같이 곡률이 0인 곡면에서는 삼각형의 내각의 합이 정확히 π 라디안이 된다.

: $\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.$

3. 1. 가우스의 빼어난 정리 (Theorema Egregium)

가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 곡면 자체에서의 길이 측정만으로 결정될 수 있다는 정리이다. 즉, 가우스 곡률은 곡면이 유클리드 공간에 어떻게 매장되어 있는지에 관계없이 곡면의 등거리변환에 불변하는 내재적인 양이다.

가우스 곡률은 제1 기본 형식과 그 1차 및 2차 편미분을 통해 구할 수 있으며, 제2 기본 형식의 행렬식도 제1 기본 형식으로 표현 가능하다.

현대 미분 기하학에서 "곡면"은 2차원 미분 다양체로, 리만 메트릭을 갖는다. R³에 매장된 매끄러운 곡면의 가우스 곡률은 국소 등거리 사상에 대해 불변이다.

예를 들어, 원통형 튜브의 가우스 곡률은 0이며, 이는 평평한 면의 곡률과 같다.^[1] 반면, 반지름 R인 구는 R⁻²의 일정한 양의 곡률을 가지므로, 평면과 국소적으로도 등거리가 아니다. 따라서 구의 작은 부분조차도 평면으로 나타내려면 거리를 왜곡해야 하므로, 어떤 지도 투영도 완벽할 수 없다.

3. 2. 가우스-보네 정리 (Gauss-Bonnet Theorem)

가우스-보네 정리는 곡면의 오일러 지표를 가우스 곡률로 나타내는 정리다. 경계가 없는 곡면

M

의 오일러 지표

\chi

는 다음과 같다.

:

2\pi\chi=\int_MdA\;K

.

여기서

K

는 가우스 곡률이다. 이는 국소적인 기하학적 성질인 가우스 곡률과 위상적인 성질인 오일러 지표를 관련짓는다.

경계를 지닌 곡면의 경우로 일반화하면 다음과 같다.

:

2\pi\chi=\int_MdA\;K+\int_{\partial M}ds\;k_\mathrm g

여기서

k_\mathrm g

는 곡면의 경계의 측지적 곡률(geodesic curvature^영어)이다.

어떤 곡면 영역에 대한 가우스 곡률의 면적분을 '''전체 곡률'''이라고 한다. 측지 삼각형의 전체 곡률은 그 삼각형의 각의 합과 π와의 차이와 같다. 양의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 각의 합은 π보다 크고, 음의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 각의 합은 π보다 작다. 유클리드 평면과 같이 곡률이 0인 곡면에서는 각의 합이 정확히 π 라디안이 된다.

:

\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.

가우스-보네 정리는 곡면의 전체 곡률을 그 오일러 지표와 관련짓고, 국소 기하학적 성질과 대역적 위상 기하학적 성질 사이의 중요한 연결고리를 제공한다.

:

\int_M K\,dA+\int_{\partial M}k_g\,ds=2\pi\chi(M), \,

4. 기하학과의 관계

가우스 곡률은 곡면의 기하학을 분류하는 데 중요한 역할을 한다. 어떤 곡면 영역에 대한 가우스 곡률의 면적분을 '''전체 곡률'''이라고 한다. 측지 삼각형의 전체 곡률은 그 삼각형의 각의 합과 π의 차이와 같다. 양의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 각의 합은 π보다 크고, 음의 곡률을 가진 곡면 위의 삼각형의 각의 합은 π보다 작다. 유클리드 평면과 같이 곡률이 0인 곡면에서는 각의 합이 정확히 π 라디안이 된다.

: $\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.$

보다 일반적인 결과는 가우스-보네 정리이다.

가우스의 ''놀라운 정리''(Theorema egregium, 라틴어: "주목할 만한 정리")는 곡면의 가우스 곡률이 곡면 자체에서의 길이 측정만으로 결정될 수 있다는 것을 보여준다. 제1 기본 형식에 대한 완전한 지식이 주어지면 제1 기본 형식과 그 1차 및 2차 편미분을 통해 가우스 곡률을 구할 수 있다.

현대 미분 기하학에서 "곡면"은 2차원 미분 다양체이다. 이 관점을 곡면의 고전 이론과 연결하기 위해, 이러한 추상적인 곡면은 유클리드 공간 에 매장되고 제1 기본 형식에 의해 주어지는 리만 메트릭을 갖는다. ''국소 등거리''는 의 열린 영역 사이의 미분 동형 사상 이며, 에 대한 제한은 그 영상에 대한 등거리 사상이다. 그러면 ''놀라운 정리''는 다음과 같이 명시된다.

: 에 매장된 매끄러운 곡면의 가우스 곡률은 국소 등거리 사상에 대해 불변이다.

예를 들어, 원통형 튜브의 가우스 곡률은 0이며,^[1] "펼쳐진" 튜브(평평한)와 같다. 반면에, 반지름 의 구는 의 일정한 양의 곡률을 가지고 평면은 일정한 곡률 0을 가지므로, 이 두 곡면은 국소적으로도 등거리가 아니다. 따라서 구의 작은 부분조차도 평면으로 나타내려면 거리를 왜곡해야 한다. 따라서 어떤 지도 투영도 완벽할 수 없다.

4. 1. 상수 곡률 곡면

곡면의 가우스 곡률이 일정하게 0이면, 그 곡면은 전개 가능 곡면이며 곡면의 기하학은 유클리드 기하학이다.

곡면의 가우스 곡률이 일정하게 양수이면, 그 곡면의 기하학은 구면 기하학이다. 구와 구의 일부분이 이러한 기하학을 가지지만, 레몬/미식축구공과 같이 다른 예시도 존재한다.

곡면의 가우스 곡률이 일정하게 음수이면, 그 곡면은 유사구면이며 곡면의 기하학은 쌍곡 기하학이다.

4. 2. 민딩의 정리, 리브만의 정리, 힐베르트의 정리

'''민딩의 정리'''(1839)는 같은 상수 곡률을 가지는 모든 곡면은 국소적으로 등거리 사상이 된다는 것을 보여준다. 이 정리의 결과로, 곡률이 항상 0인 모든 곡면은 어떤 평면 영역을 구부림으로써 만들 수 있다. 이러한 곡면을 전개 가능 곡면이라고 한다. 민딩은 또한 양의 상수 곡률을 갖는 폐곡면이 반드시 강체인지에 대한 질문을 제기했다.

'''리브만의 정리'''(1900)는 민딩의 질문에 답했다. 이 정리에 따르면, 에서 양의 상수 가우스 곡률을 갖는 유일한 정칙(C²급) 폐곡면은 구이다.^[2] 구가 변형되면 구로 남아 있지 않으므로 구는 강체임이 증명된다. 표준적인 증명은 극값 주곡률을 갖는 비제점은 음이 아닌 가우스 곡률을 갖는다는 힐베르트의 보조정리를 사용한다.^[3]

'''힐베르트의 정리'''(1901)는 에서 음의 상수 가우스 곡률을 갖는 완전한 해석적(C^ω급) 정칙 곡면은 존재하지 않는다고 명시한다. 사실, 이 결론은 에 침지된 C²급 곡면에도 적용되지만, C¹급 곡면에서는 성립하지 않는다. 슈도구는 경계 원을 제외하고는 음의 상수 가우스 곡률을 가지며, 경계 원에서는 가우스 곡률이 정의되지 않는다.

5. 다른 표현 공식

가우스 곡률은 공변 도함수(∇_''i'')와 계량 텐서(g)를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $K = \frac{\bigl\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\bigr\rangle}{\det g},$

형태 작용소(S)를 이용하면 다음과 같다.

: $K(\mathbf{p}) = \det S(\mathbf{p}),$

가우스 곡률은 등온 좌표계에서 리우빌 방정식의 라플라스 연산자를 사용하여 표현할 수 있다.

5. 1. 제1, 2 기본 형식

3^영어차원 유클리드 공간에 매장된 곡면의 가우스 곡률은 제1 기본 형식의 행렬식에 대한 제2 기본 형식의 행렬식의 비로 표현할 수 있다.

:

K = \frac{\det\text{II}}{\det\text{I}}

다음과 같이 나타낼 수도 있다.

K = \frac{\bigl\langle (\nabla_2 \nabla_1 - \nabla_1 \nabla_2)\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\bigr\rangle}{\det g},

여기서 ∇_''i''는 공변 도함수이고, g는 계량 텐서이다.

R³ 내의 곡면의 가우스 곡률은 제1 기본 형식 I과 제2 기본 형식 II의 행렬식의 비율로 표현할 수 있다.

::

K = \frac{\det(\mathrm{I\!I})}{\det(\mathrm I)} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.

5. 2. 브리오스키 공식 (Brioschi formula)

Francesco Brioschi|프란체스코 브리오스키^영어의 이름을 따서 명명된 브리오스키 공식은 제1 기본 형식만으로 가우스 곡률을 나타낸다.

:

K =\frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2} E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2} E_v & \frac{1}{2} G_u\\\frac{1}{2} E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix}}{\left(EG - F^2\right)^2}

5. 3. 직교 좌표계

직교 매개변수화에서 가우스 곡률은 다음과 같이 표현된다.^[6]

:

K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v} \frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right).

5. 4. 함수의 그래프

함수 의 그래프로 표현되는 곡면의 경우, 가우스 곡률은 다음과 같이 주어진다.^[6]

:

K = \frac{F_{xx}\cdot F_{yy}- F_{xy}^2}{\left(1+F_x^2+ F_y^2\right)^2}

5. 5. 암묵적 정의

암묵적으로 정의된 곡면 F(x,y,z)=0의 경우, 가우스 곡률은 기울기 와 헤세 행렬 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[7]^[8]

K = -\frac{\begin{vmatrix}H(F) & \nabla F^{\mathsf T} \\\nabla F & 0\end{vmatrix}}{ |\nabla F|^4 }=-\frac{\begin{vmatrix}F_{xx} & F_{xy} & F_{xz} & F_x \\F_{xy} & F_{yy} & F_{yz} & F_y \\F_{xz} & F_{yz} & F_{zz} & F_z \\F_{x} & F_{y} & F_{z} & 0 \\\end{vmatrix}}{ |\nabla F|^4 }

5. 6. 등온 좌표계

등온 좌표계에서 가우스 곡률은 라플라스 연산자를 이용하여 리우빌 방정식으로 나타낼 수 있다. 유클리드 공간과 등각인 메트릭을 갖는 곡면, 즉

F = 0

이고

E = G = e^{\sigma}

인 경우, 가우스 곡률은 다음과 같이 주어진다 (

\Delta

는 일반적인 라플라스 연산자임).^[9]

:

K = -\frac{1}{2e^\sigma}\Delta \sigma.

5. 7. 측지선 원과 원판

가우스 곡률은 측지선 원의 둘레와 평면에서의 원의 둘레 차이의 극한값으로 표현할 수 있다.^[9]

:

K = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}

가우스 곡률은 측지선 원판의 넓이와 평면에서의 원판의 넓이 차이의 극한값으로도 표현 가능하다.^[9]

:

K = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4 }

5. 8. 크리스토펠 기호

크리스토펠 기호를 사용하여 가우스 곡률을 표현하면 다음과 같다.^[10]

:

K = -\frac{1}{E} \left( \frac{\partial}{\partial u}\Gamma_{12}^2 - \frac{\partial}{\partial v}\Gamma_{11}^2 + \Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2 - \Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2 + \Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2\right)

참조

_[1] 서적 Geometric Differentiation https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1994
_[2] 서적 Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds American Mathematical Society
_[3] 서적 Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica https://books.google[...] CRC Press
_[4] 서적 Differential geometry of curves and surfaces https://zbmath.org/?[...] Dover Publications 2016
_[5] 서적 Geometry and the Imagination https://archive.org/[...] Chelsea
_[6] 웹사이트 General investigations of curved surfaces of 1827 and 1825 https://archive.org/[...] [Princeton] The Princeton university library
_[7] 학술지 Curvature formulas for implicit curves and surfaces
_[8] 서적 A Comprehensive Introduction to Differential Geometry Publish or Perish
_[9] 문서 Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
_[10] 서적 Lectures on Classical Differential Geometry Courier Dover Publications
_[11] 서적 Geometric Differentiation Cambridge University Press 1994
_[12] 서적 Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds American Mathematical Society
_[13] 서적 Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica https://books.google[...] CRC Press
_[14] 웹사이트 Hilbert theorem http://eom.springer.[...]
_[15] 웹사이트 Gaussian Curvature http://mathworld.wol[...]
_[16] 문서 Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
_[17] 서적 Lectures on Classical Differential Geometry Courier Dover Publications

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