리치 곡률 텐서

3. 성질

준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 리만 곡률 텐서 $\backslash operatorname\{Riem\}(\backslash cdot,\backslash cdot)$을 생각하자. 리만 곡률 텐서는 (1,3)차 텐서장으로, 대칭 및 반대칭 성질에 따라 0이 아닌 대각합은 사실상 하나뿐이다. 이는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{Ric\}(\backslash xi,\backslash eta)=\backslash operatorname\{Tr\}\backslash left[\backslash operatorname\{Riem\}(\backslash cdot,\backslash eta)\backslash xi\backslash right]$

국소 좌표계에서 크리스토펠 기호를 사용하고 아인슈타인 표기법을 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$R\_\{ab\}\; =\; \{R^c\}\_\{acb\}\; =2\; \backslash Gamma^c\_\{a[b,c]\}\; +2\; \backslash Gamma^c\_\{d[c\}\; \backslash Gamma^d\_\{b]a\}$

리치 곡률 텐서의 대각합은 스칼라 곡률이라고 한다.

제2 비앙키 항등식에 따르면 다음이 성립한다.^[2]

:$$\backslash operatorname\{div\}\backslash operatorname\{Ric\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}dR,$$

여기서 $R$은 스칼라 곡률이며, 국소 좌표계에서 $g^\{ij\}R\_\{ij\}$로 정의된다. 이를 축약된 제2 비앙키 항등식이라고도 부른다.

리치 곡률 함수가 단위 접선 벡터의 집합에 대해 상수 함수라면, 그 리만 다양체는 리치 곡률이 상수이거나, 아인슈타인 다양체라고 한다. 이것은 리치 텐서 Ric가 계량 텐서의 상수 배인 경우에만 성립한다.

3. 1. 대칭

4. 역사

그레고리오 리치쿠르바스트로가 리치 곡률 텐서를 도입했으며, 1900년 툴리오 레비치비타와의 공저 논문^[9]에서 "리치"(Ricci^it)로 이름을 줄여 사용했다. 이 때문에 "리치 텐서"로 불리게 되었다. (리치쿠르바스트로는 다른 논문에서는 정식 이름을 사용하였다.)

5. 응용

일반 상대성 이론과 리치 흐름에서 리치 곡률 텐서는 중요한 역할을 한다. 일반 상대성 이론에서 리치 곡률은 아인슈타인 방정식의 핵심 항이며, 리치 흐름에서는 다양체의 기하학적 구조를 변화시키는 역할을 한다.

켈러 다양체에서 리치 곡률은 다양체의 첫 번째 천류를 결정한다. 그러나 일반적인 리만 다양체에서는 이와 같은 위상학적 해석이 나타나지 않는다.

5. 1. 일반 상대성 이론

5. 2. 리치 흐름

5. 3. 이산 리치 곡률

6. 기하학적 의미

측지 정규 좌표를 사용하면, 리만 다양체 \((M, g)\)의 한 점 \(p\) 근처에서 메트릭 텐서 \(g_{ij}\)는 다음과 같이 유클리드 메트릭 \(\delta_{ij}\)으로 근사할 수 있다.

:$g\_\{ij\}\; =\; \backslash delta\_\{ij\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; R\_\{ikjl\}x^kx^l\; +\; O\backslash left(|x|^3\backslash right)\; .$

여기서 \(R_{ikjl}\)은 리만 곡률 텐서의 성분이고, \(x^k\)는 정규 좌표계에서의 좌표이다. 이 좌표계에서 메트릭의 부피 요소는 \(p\)에서 다음과 같이 전개된다.

:$d\backslash mu\_g\; =\; \backslash left[\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; R\_\{jk\}x^j\; x^k+\; O\backslash left(|x|^3\backslash right)\; \backslash right]\; d\backslash mu\_\backslash text\{Euclidean\}\; ,$

이는 메트릭의 행렬식의 제곱근을 전개하여 얻어진다. 이 식은 리치 곡률 텐서 \(R_{jk}\)가 유클리드 공간과 비교했을 때 다양체의 부피 변화를 어떻게 나타내는지 보여준다.

만약 리치 곡률 \(\operatorname{Ric}(\xi, \xi)\)가 벡터 \(\xi\) 방향으로 양수이면, \(p\)에서 시작하여 \(\xi\)를 중심으로 하는 작은 원뿔 내에서 초기 속도를 가지는, 길이 \(\varepsilon\)의 측지선 조각 집합에 의해 휩쓸린 \(M\)의 원뿔 영역은 유클리드 공간의 해당 원뿔 영역보다 부피가 작아진다 (\(\varepsilon\)이 충분히 작을 때).

반대로, 리치 곡률이 \(\xi\) 방향으로 음수이면, 다양체의 원뿔 영역은 유클리드 공간에서보다 더 큰 부피를 갖는다.

리치 곡률은 \(\xi\)를 포함하는 평면에서의 절단 곡률의 평균과 관련된다. 만약 원뿔이 타원으로 왜곡될 때 주축을 따라 왜곡이 상쇄되면 부피 왜곡이 사라질 수 있고, 이 경우 리치 곡률은 \(\xi\)를 따라 0이 된다.

물리적 응용에서, 0이 아닌 절단 곡률이 반드시 국소적 질량의 존재를 의미하지는 않는다. 세계선의 원뿔 단면이 타원형이 되더라도 부피가 변하지 않는다면, 이는 다른 위치의 질량에 의한 조석 효과 때문이다.

7. 대역적 기하와 위상

다음은 양의 리치 곡률을 갖는 다양체에 대한 전역적 결과의 목록이다. 리만 기하학의 고전적인 정리도 참고하라. 간단히 말해, 리만 다양체의 양의 리치 곡률은 강력한 위상적 결과를 갖는 반면, (차원이 3 이상인 경우) 음의 리치 곡률은 위상적 의미가 ''없다''. (리치 곡률은 리치 곡률 함수 $\backslash operatorname\{Ric\}(\backslash xi,\; \backslash xi)$가 0이 아닌 접선 벡터 $\backslash xi$의 집합에서 양수인 경우 '''양수'''라고 한다.) 일부 결과는 유사 리만 다양체에 대해서도 알려져 있다.

# 마이어스 정리(1941)에 따르면, 완비 리만 ''n''-다양체의 리치 곡률이 하한 $(n\; -\; 1)k\; >\; 0$을 가지면, 다양체의 지름은 $\backslash leq\; \backslash pi\; /\; \backslash sqrt\{k\}$를 만족하며, 등호는 다양체가 상수 곡률 $k$의 구와 등장일 때에만 성립한다. 피복 공간에 관한 논의로부터, 양의 리치 곡률을 갖는 임의의 콤팩트 다양체는 유한 기본군을 가져야 함을 이끌어낼 수 있다.

# 비숍-그로모프 부등식은, 완비 $n$-차원 리만 다양체가 비음의 리치 곡률을 갖는 경우, 구의 부피는 반지름을 공통으로 하는 $n$-차원 유클리드 공간상의 구 이하가 된다고 명시한다. 더 나아가, $v\_p(R)$를 다양체상의 $p$를 중심으로 하는 반지름 $R$의 구의 부피로 하고, $V(R)\; =\; c\_n\; R^n$를 $n$-차원 유클리드 공간상의 반지름 $R$의 구의 부피로 하면, 함수 $v\_p(R)\; /\; V(R)$는 비감소 함수이다. (마지막 부등식은 일반적인 하한으로 일반화될 수 있으며, 이것이 그로모프의 콤팩트성 정리의 증명의 핵심이 된다.)

# 치거-그로모어의 분할 정리에 따르면, $\backslash operatorname\{Ric\}\; \backslash geq\; 0$을 만족하는 완비 리만 다양체가 "직선", 즉 모든 $u,\; v\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$에 대해 $d(\backslash gamma(u),\; \backslash gamma(v))\; =\; |u\; -\; v|$가 만족되는 측지선 $\backslash gamma$를 가질 때, 이 다양체는 직적 공간 $\backslash mathbb\{R\}\; \backslash times\; L$과 등거리이다. 결과적으로, 양의 리치 곡률을 갖는 완비 다양체는 많아야 하나의 끝을 가짐을 알 수 있다. 이 정리는, 몇몇 추가적인 가정을 두면, 음이 아닌 리치 텐서를 갖는 완비 로렌츠 다양체 (계량의 부호가 (+−−...)인 다양체)에 대해서도 성립한다.^[1]

# 리치 흐름에 대한 해밀턴의 첫 번째 수렴 정리는 따름정리로, 양의 리치 곡률의 리만 메트릭을 갖는 콤팩트 3-다양체는 SO(4)의 이산 부분군의 몫이며, 이는 적절하게 불연속적으로 작용한다. 그는 나중에 이를 비음의 리치 곡률을 허용하도록 확장했다. 특히, 유일한 단일 연결 가능성은 3-구 자체이다.

이러한 결과들은 양의 리치 곡률이 강한 위상 기하학적 귀결을 갖는다는 것을 보여준다. 대조적으로, 곡면의 경우를 제외하고 음의 리치 곡률에는 위상적 함의가 전혀 알려져 있지 않다. 2차원 보다 큰 차원을 갖는 모든 다양체는 음의 리치 곡률을 갖는 완전한 리만 계량을 허용한다.^[2]

8. 무자취 리치 텐서

리만 기하학과 유사 리만 기하학에서, 의사 리만 다양체 $(M,g)$의 '''무자취 리치 텐서'''는 다음과 같이 정의되는 텐서이다.

:$Z\; =\; \backslash operatorname\{Ric\}-\; \backslash frac\{S\}\{n\}g$

여기서 $\backslash operatorname\{Ric\}$는 리치 텐서, $S$는 스칼라 곡률, $g$는 계량 텐서, $n$은 $M$의 차원이다.

이 텐서의 이름은 그 자취가 자동적으로 0이 된다는 사실에서 유래한다.

:$Z\_\{ab\}g^\{ab\}=\; 0$

리치 텐서는 다음과 같이 무자취 리치 텐서와 스칼라 곡률을 사용하여 분해할 수 있다.

:$\backslash operatorname\{Ric\}\; =\; Z\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\}Rg.$

이 분해에서, $Z$와 $\backslash frac\{1\}\{n\}Rg$는 서로 직교한다. 즉,

:$\backslash left\backslash langle\; Z,\; \backslash frac\{1\}\{n\}Rg\backslash right\backslash rangle\_g\; \backslash equiv\; g^\{ab\}\backslash left(R\_\{ab\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\}Rg\_\{ab\}\backslash right)\; =\; 0.$

$n\backslash geq\; 3$이고 $M$이 연결된 경우, 무자취 리치 텐서 $Z$가 0이 되는 것은 스칼라 곡률이 일정하다는 것을 의미하며, 다음 조건들은 서로 동치이다.

• $Z\; =\; 0$
• 어떤 수 $\backslash lambda$에 대해 $\backslash operatorname\{Ric\}\; =\; \backslash lambda\; g$
• $\backslash operatorname\{Ric\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}Rg$

참조

_[1] 문서 Here it is assumed that the manifold carries its unique [[Levi-Civita connection]]. For a general [[affine connection]], the Ricci tensor need not be symmetric.
_[2] arXiv Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport 2006-06-23
_[3] 서적 The Ricci flow : an introduction https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 2004
_[4] 간행물 Ricci curvature of Markov chains on metric spaces 2009-02-01
_[5] 간행물 Bochner's Method for Cell Complexes and Combinatorial Ricci Curvature 2003-02-01
_[6] Harv Besse 1987
_[7] 문서 多様体が一意な[[レヴィ・チヴィタ接続]]を持つことが仮定されている。
_[8] 저널 The Riemannian and affine differential geometry of product-spaces 1939-04
_[9] 저널 Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 1900-03