강한 정규 그래프

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 성질
3. 예
4. 역사
5. 응용
6. 미해결 문제
- 6.1. 콘웨이의 99-그래프 문제
- 6.2. 무어 그래프
참조

1. 개요

강한 정규 그래프는 그래프 이론의 한 분야로, 정규 그래프이면서 특정 조건을 만족하는 그래프를 의미한다. 이 그래프는 매개변수 간의 관계, 인접 행렬, 고윳값 등 여러 가지 성질을 가지며, 그래프의 구조적 특성과 밀접하게 연관되어 있다. 강한 정규 그래프는 조합론적 설계, 그래프 이론, 암호학 및 정보 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 순환 그래프, 페테르센 그래프, 클레브쉬 그래프 등 다양한 예시가 존재한다. 아직 해결되지 않은 문제로는 콘웨이의 99-그래프 문제와 무어 그래프의 존재 여부 등이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

강한 정규 그래프 - 페일리 그래프
페일리 그래프는 유한체와 제곱수를 기반으로 구성되며, 강하게 정규적이고 자기 여 그래프이며 해밀턴 순환 그래프이다.
강한 정규 그래프 - M22 그래프
M22 그래프는 노드, 간선, 속성, 그래프 구조, 데이터를 요소로 가지며, 슈타이너 계나 히그먼-심스 그래프를 통해 구성될 수 있고, 그래프 스펙트럼과 자기 동형군, 삼각형이 없는 강한 정규 그래프라는 특징을 가진다.
대수적 그래프 이론 - 중심성
중심성은 그래프 이론에서 네트워크 내 노드의 중요성을 평가하기 위한 지표로, 차수 중심성, 근접 중심성 등 다양한 종류가 있으며 네트워크 흐름, 워크 구조 등 다양한 특징에 따라 분류된다.
대수적 그래프 이론 - 거리 정규 그래프
거리 정규 그래프는 지름이 d일 때 특정 조건을 만족하며 교차 배열로 특징지어지는 그래프로, 완전 그래프, 순환 그래프, 홀수 그래프 등이 그 예시이다.
정규 그래프 - 페일리 그래프
페일리 그래프는 유한체와 제곱수를 기반으로 구성되며, 강하게 정규적이고 자기 여 그래프이며 해밀턴 순환 그래프이다.
정규 그래프 - 완전 그래프
완전 그래프는 그래프 내 모든 꼭짓점 쌍이 변으로 연결된 그래프로, 꼭짓점 수 n에 따라 K_n으로 표기되며 n(n-1)/2개의 변을 가지고, 사회 연결망 분석 등 다양한 분야에 응용된다.

강한 정규 그래프
그래프 정보
차수	k
고유값	k, r, s
매개변수	srg(v, k, λ, μ)
정의
특징	t-전이적, t ≥ 2
그래프 G	G = (V, E)
꼭짓점 개수	v
인접점 공유 꼭짓점 개수 (인접한 두 꼭짓점)	λ
인접점 공유 꼭짓점 개수 (인접하지 않은 두 꼭짓점)	μ
예시
λ = 1인 경우	국소 선형 그래프
특징	강한 정규 그래프는 완전 그래프나 완전 이분 그래프가 아님.
보수 그래프	srg(v, v − k − 1, v − 2 − 2k + μ, v − 2k + λ)
관련 항목
관련 그래프	페일리 그래프 거리 정칙 그래프

2. 성질

2. 1. 매개변수 간의 관계

srg(''v'', ''k'', λ, μ)의 4개 매개변수는 서로 독립적이지 않고, 다음 관계식을 만족해야 한다.

:(v - k - 1)μ = k(k - λ - 1)

이 관계식은 그래프의 꼭짓점을 3개의 계층으로 나누어 설명할 수 있다. 먼저 임의의 꼭짓점 하나를 '근'(root)으로 선택하고 계층 0에 배치한다. 이 꼭짓점과 이웃하는 ''k''개의 꼭짓점은 계층 1에, 나머지 꼭짓점들은 계층 2에 배치한다.

계층 1의 꼭짓점들은 근과 직접 연결되므로, 근과 λ개의 공통 이웃을 갖는다. 이때 각 꼭짓점의 차수는 ''k''이므로, 계층 2의 꼭짓점과 연결하기 위해 남아있는 변은 k - λ - 1개이다. 따라서 계층 1과 계층 2 사이에는 k(k - λ - 1)개의 변이 존재한다.

반면 계층 2의 꼭짓점들은 근과 직접 연결되지 않으므로, 근과 μ개의 공통 이웃을 갖는다. 계층 2에는 (v - k - 1)개의 꼭짓점이 있고, 각각은 계층 1의 μ개의 꼭짓점과 연결되므로, 계층 1과 계층 2 사이에는 (v - k - 1)μ개의 변이 존재한다.

결과적으로 계층 1과 계층 2 사이에 있는 변의 개수에 대한 두 식을 같다고 놓으면 위 관계식을 얻을 수 있다.

2. 2. 인접행렬

''I''를 단위행렬, ''J''를 요소가 모두 1인 ''v'' × ''v'' 일 행렬이라고 하자. 강한 정규 그래프의 인접행렬 ''A''는 두 방정식을 만족한다.^[19]^[9]^[14]

$AJ = JA = kJ,$

이는 정규 그래프 조건을 간단하게 다시 기술한 것이다. 이것은 ''k'' 가 all-one 고유 벡터를 갖는 인접 행렬의 고유값임을 보여준다.

$A^2 = kI + \lambda{A} + \mu(J - I - A)$

이는 강한 정규성을 나타내는 이차방정식이다. 좌변의 ''ij'' 번째 요소는 ''i''에서 ''j'' 까지의 길이 2인 경로의 수이다. 우변의 첫 번째 항은 ''i''에서 자기 자신으로의 경로 수, 즉 자신의 각 이웃에 대해 ''i''에서 이웃으로 갔다가 다시 ''i''로 돌아오는 경로 ''k''개이다. 두 번째 항은 ''i'' 와 ''j'' 가 직접 연결된 경우 길이 2인 경로의 수를 나타낸다. 세 번째 항은 ''i'' 와 ''j'' 가 연결되지 않은 경우 길이 2인 경로의 수이다. 세 가지 경우가 상호 배타적이고 집합적으로 완전하므로 위와 같은 등식이 성립한다.

반대로, 인접 행렬이 위의 두 조건을 모두 만족하고 완전 그래프 또는 빈 그래프가 아닌 그래프는 강한 정규 그래프이다.

2. 3. 고윳값

강한 정규 그래프의 인접행렬은 정확히 3개의 고윳값을 갖는다.^[20]^[10] 이 고윳값들은 그래프의 구조적 특성과 밀접하게 관련되어 있으며, 그래프의 스펙트럼을 결정한다.

''k''는 중복도 1을 갖는다.
$r = \frac{1}{2}\left[(\lambda - \mu) + \sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}\,\right]$ 는 중복도 $f = \frac{1}{2}\left[(v - 1) - \frac{2k + (v - 1)(\lambda - \mu)}{\sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}}\right]$ 을 갖는다.
$s = \frac{1}{2}\left[(\lambda - \mu) - \sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k-\mu)}\,\right]$ 는 중복도 $g = \frac{1}{2}\left[(v - 1) + \frac{2k + (v - 1)(\lambda - \mu)}{\sqrt{(\lambda - \mu)^2 + 4(k - \mu)}}\right]$ 을 갖는다.

중복도는 정수여야 하므로, ''v'', ''k'', ''μ'', ''λ'' 값에 대한 추가적인 제약 조건, 즉 크레인 조건이 주어진다.

2k + (v - 1)(\lambda - \mu) = 0

인 강한 정규 그래프는 대칭 회의 행렬과의 연결 때문에 회의 그래프라고 하며, 매개변수는

\operatorname{srg}\left(v, \frac{1}{2}(v - 1), \frac{1}{4}(v - 5), \frac{1}{4}(v - 1)\right)

로 감소한다. 그렇지 않고

2k + (v - 1)(\lambda - \mu) \ne 0

인 경우, 강한 정규 그래프는 중복도가 같지 않은 정수 고유값을 가진다.

반대로, 3개의 고유값만을 가지는 연결된 정규 그래프는 강한 정규 그래프이다.^[20]^[10]

3. 예

길이 5인 순환 그래프는 srg(5, 2, 0, 1)이다.
페테르센 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.
Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.
Shrikhande 그래프는 거리 전이 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.
''n'' × ''n'' 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 ''K''_{''n'', ''n''} 의 선 그래프는 srg(''n''², 2 ''n'' - 2, ''n'' - 2, 2)이다. ''n'' = 4일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.
완전 그래프 ''K_n''의 선 그래프는 $\operatorname{srg}\left(\binom{n}{2}, 2(n - 2), n - 2, 4\right)$ 이다.
Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 ''K''₈의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.
일반화된 사변형 GQ(2, 4)의 선 그래프는 srg(27, 10, 1, 5)이다. 사실 모든 일반화된 차수(s, t)의 사각형은 다음과 같은 방식으로 강한 정규 그래프를 제공한다. 즉, srg((s + 1)(st + 1), s(t + 1), s − 1, t + 1).
Schläfli 그래프는 srg(27, 16, 10, 8)이다.^[21]
호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.
Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.
M₂₂ 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.
Brouwer-Haemers 그래프는 srg(81, 20, 1, 6)이다.
히그먼-심스 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.
국소 매클로플린 그래프는 srg(162, 56, 10, 24)이다.
Cameron 그래프는 srg(231, 30, 9, 3)이다.
Berlekamp-van Lint-Seidel 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.
매클로플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.
차수 ''q'' 의 페일리 그래프는 srg(''q'', (''q'' - 1)/2, (''q'' - 5)/4, (''q'' - 1)/4)이다. 가장 작은 페일리 그래프(''q'' = 5인 경우)는 5-순환 그래프이다.
자기 보완 호 전이 그래프는 강한 정규 그래프이다.

강한 정규 그래프와 그 여 그래프가 모두 연결되어 있는 경우 '''원시적'''이라고 한다. 위에서 제시된 모든 그래프는 원시적이다.

콘웨이의 99-그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 구성을 묻는 문제이다. 이러한 매개변수가 있는 그래프가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않으며 존 호턴 콘웨이는 이 문제에 대한 해결책으로 1000달러의 상금을 제안하였다.^[22]

3. 1. 순환 그래프, 페테르센 그래프, 클레브쉬 그래프

길이 5인 순환 그래프는 srg(5, 2, 0, 1)이다.^[21] 페테르센 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.^[21] Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.^[21]

이 외에도, Shrikhande 그래프는 거리 전이 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.^[21] ''n'' × ''n'' 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 ''K''_{''n'', ''n''} 의 선 그래프는 srg(''n''², 2 ''n'' - 2, ''n'' - 2, 2)이다. 4}}일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.^[21] 완전 그래프 ''K_n''의 선 그래프는

\operatorname{srg}\left(\binom{n}{2}, 2(n - 2), n - 2, 4\right)

이다.^[21] Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 ''K''₈의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.^[21]

호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.^[21] Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.^[21] M₂₂ 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.^[21] 히그먼-심스 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.^[21]

벌리캠프-반 린트-자이델 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.^[21] 맥라플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.^[21]

강한 정규 그래프와 그 여 그래프가 모두 연결되어 있는 경우 '''원시적'''이라고 한다. 위에서 제시된 모든 그래프는 원시적이다.^[21] 원시적이지 않은 강한 정규 그래프는 0}} 또는 ''k''}} 의 매개변수를 가진다.^[21]

콘웨이의 99-그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 구성을 묻는 문제이다. 이러한 매개변수가 있는 그래프가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않으며 존 호턴 콘웨이는 이 문제에 대한 해결책으로 1000달러의 상금을 제안하였다.^[15]

3. 2. 슈리칸드 그래프, 룩 그래프, 창 그래프

Shrikhande 그래프는 srg(16, 6, 2, 2)이며, 거리 전이 그래프가 아니다.^[21] ''n'' × ''n'' 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 ''K''_{''n'', ''n''} 의 선 그래프는 srg(''n''², 2 ''n'' - 2, ''n'' - 2, 2)이다.^[21] 4}}일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.^[21] Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 ''K''₈의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.^[21]

3. 3. 일반화된 사각형, 슐래플리 그래프, 호프만-싱글턴 그래프

일반화된 사각형, 슐래플리 그래프, 호프만-싱글턴 그래프는 더 복잡한 구조를 가진 강한 정규 그래프의 예시들이다.

길이 5인 순환 그래프는 srg(5, 2, 0, 1)이다.
페테르센 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.
Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.
Shrikhande 그래프는 거리 전이 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.
''n'' × ''n'' 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 ''K''_{''n'', ''n''} 의 선 그래프는 srg(''n''², 2 ''n'' - 2, ''n'' - 2, 2)이다. ''n'' = 4일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.
완전 그래프 ''K_n''의 선 그래프는 $\operatorname{srg}\left(\binom{n}{2}, 2(n - 2), n - 2, 4\right)$ 이다.
Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 ''K''₈의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.
일반화된 사변형 GQ(2, 4)의 선 그래프는 srg(27, 10, 1, 5)이다. 사실 모든 일반화된 차수(s, t)의 사각형은 다음과 같은 방식으로 강한 정규 그래프를 제공한다. 즉, srg((s + 1)(st + 1), s(t + 1), s − 1, t + 1).
Schläfli 그래프는 srg(27, 16, 10, 8)이다.^[21]
호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.
Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.
M₂₂ 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.
Brouwer-Haemers 그래프는 srg(81, 20, 1, 6)이다.
히그먼-심스 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.
국소 매클로플린 그래프는 srg(162, 56, 10, 24)이다.
Cameron 그래프는 srg(231, 30, 9, 3)이다.
Berlekamp-van Lint-Seidel 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.
매클로플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.
차수 ''q'' 의 페일리 그래프는 srg(''q'', (''q'' - 1)/2, (''q'' - 5)/4, (''q'' - 1)/4)이다. 가장 작은 페일리 그래프(''q'' = 5인 경우)는 5-순환 그래프이다.
자기 보완 호 전이 그래프는 강한 정규 그래프이다.

강한 정규 그래프와 그 여 그래프가 모두 연결되어 있는 경우 '''원시적'''이라고 한다. 위에 제시된 모든 그래프는 원시적이다.

콘웨이의 99-그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 구성을 묻는 문제이다. 이러한 매개변수가 있는 그래프가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않으며 존 호턴 콘웨이는 이 문제에 대한 해결책으로 1000달러의 상금을 제안하였다.^[22]

\mu = 1

인 강한 정규 그래프는 측지 그래프이며, 이는 모든 두 정점이 고유한 가중치 없는 최단 경로를 갖는 그래프이다.^[6]

\mu = 1

인 것으로 알려진 유일한 강한 정규 그래프는

\lambda

가 0인 그래프, 즉 삼각형이 없는 그래프이다. 이러한 그래프는 무어 그래프라고 불리며, 아래에서 더 자세히 설명한다. (400, 21, 2, 1)과 같은 다른 매개변수 조합은 아직 배제되지 않았다.

\mu=1

인 강한 정규 그래프가 가질 수 있는 특성에 대한 지속적인 연구에도 불구하고,^[7]^[8] 더 많은 그래프가 존재하는지, 또는 그 수가 유한한지조차 알려져 있지 않다.^[6]

1960년, 앨런 호프만과 로버트 싱글턴은 ''λ'' = 0이고 ''μ'' = 1인 무어 그래프에 적용했을 때 고유값의 중복도가 정수가 되어야 한다는 식들을 연구했다. 이러한 그래프는 삼각(그렇지 않으면 ''λ''가 0을 초과할 것이다)과 사변형(그렇지 않으면 ''μ''가 1을 초과할 것이다)이 없으므로 둘레(최소 사이클 길이)가 5이다. 호프만-싱글턴 정리는 위에 나열된 경우를 제외하고는 강한 정규 둘레-5 무어 그래프가 없다고 말한다.

3. 4. 기타 예시 (심스-게비르츠 그래프, M22 그래프, 히그먼-심스 그래프 등)

길이 5인 순환 그래프는 srg(5, 2, 0, 1)이다.^[22]
페테르센 그래프는 srg(10, 3, 0, 1)이다.^[22]
Clebsch 그래프는 srg(16, 5, 0, 2)이다.^[22]
Shrikhande 그래프는 거리 전이 그래프가 아닌 srg(16, 6, 2, 2)이다.^[22]
''n'' × ''n'' 룩 그래프, 즉 균형 잡힌 완전 이분 그래프 ''K''_{''n'', ''n''} 의 선 그래프는 srg(''n''², 2 ''n'' - 2, ''n'' - 2, 2)이다. ''n'' = 4일 때, 매개변수는 Shrikhande 그래프의 매개변수와 같지만 두 그래프는 동형이 아니다.^[22]
완전 그래프 ''K_n''의 선 그래프는 $\operatorname{srg}\left(\binom{n}{2}, 2(n - 2), n - 2, 4\right)$ 이다.^[22]
Chang 그래프는 srg(28, 12, 6, 4)로 매개변수가 ''K''₈의 선 그래프와 같지만 이 4개의 그래프는 동형이 아니다.^[22]
일반화된 사변형 GQ(2, 4)의 선 그래프는 srg(27, 10, 1, 5)이다. 사실 모든 일반화된 차수(s, t)의 사각형은 다음과 같은 방식으로 강한 정규 그래프를 제공한다. 즉, srg((s + 1)(st + 1), s(t + 1), s − 1, t + 1).^[22]
Schläfli 그래프는 srg(27, 16, 10, 8)이다.^[21]
호프만-싱글턴 그래프는 srg(50, 7, 0, 1)이다.^[22]
Sims-Gewirtz 그래프는 (56, 10, 0, 2)이다.^[22]
M₂₂ 그래프는 srg(77, 16, 0, 4)이다.^[22]
Brouwer-Haemers 그래프는 srg(81, 20, 1, 6)이다.^[22]
히그먼-심스 그래프는 srg(100, 22, 0, 6)이다.^[22]
국소 매클로플린 그래프는 srg(162, 56, 10, 24)이다.^[22]
Cameron 그래프는 srg(231, 30, 9, 3)이다.^[22]
Berlekamp-van Lint-Seidel 그래프는 srg(243, 22, 1, 2)이다.^[22]
매클로플린 그래프는 srg(275, 112, 30, 56)이다.^[22]
차수 ''q'' 의 페일리 그래프는 srg(''q'', (''q'' - 1)/2, (''q'' - 5)/4, (''q'' - 1)/4)이다. 가장 작은 페일리 그래프(''q'' = 5인 경우)는 5-순환 그래프이다.^[22]
자기 보완 호 전이 그래프는 강한 정규 그래프이다.^[22]

강한 정규 그래프와 그 여 그래프가 모두 연결되어 있는 경우 '''원시적'''이라고 한다. 위에서 제시된 모든 그래프는 원시적이다. 원시적이지 않은 강한 정규 그래프는 μ = 0 또는 λ = ''k'' 의 매개변수를 가진다.^[22]

콘웨이의 99-그래프 문제는 srg(99, 14, 1, 2)의 구성을 묻는 문제이다. 이러한 매개변수가 있는 그래프가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않으며 존 호턴 콘웨이는 이 문제에 대한 해결책으로 1000달러의 상금을 제안하였다.^[15]

4. 역사

강한 정규 그래프는 1963년 R.C. 보스에 의해 소개되었다.^[3] 이는 당시 새롭게 부상하던 스펙트럼 그래프 이론 분야에서 1950년대에 수행된 초기 연구를 기반으로 구축되었다.

5. 응용

5. 1. 조합론적 설계

5. 2. 그래프 이론

5. 3. 암호학 및 정보 이론

6. 미해결 문제

6. 1. 콘웨이의 99-그래프 문제

6. 2. 무어 그래프

λ = 0이고 μ = 1인 강한 정규 그래프는 둘레 5의 무어 그래프가 된다. 이 조건을 만족하는 그래프는 오각형, 피터슨 그래프, 호프만–싱글턴 그래프가 알려져 있으며, 각각 매개변수는 (5, 2, 0, 1), (10, 3, 0, 1), (50, 7, 0, 1)이다. 알려진 바로는 이들이 전부이다.

무어 그래프를 만드는 매개변수로 남아있는 유일한 후보는 (3250, 57, 0, 1)이지만, 이것을 만족하는 그래프가 존재하는지, 또한 존재한다면 그것이 유일한지는 미해결 상태이다.

참조

_[1] 서적 Spectra of Graphs http://homepages.cwi[...] 2012-03-16
_[2] 서적 Algebraic Graph Theory Springer-Verlag New York
_[3] 논문 Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs https://projecteucli[...]
_[4] MathWorld Schläfli graph
_[5] 간행물 Five $1,000 Problems (Update 2017) https://oeis.org/A24[...] Online Encyclopedia of Integer Sequences 2019-02-12
_[6] 간행물 Geodetic graphs of diameter two
_[7] 간행물 On strongly regular graphs with $\mu=1$
_[8] 간행물 On strongly regular graphs with $\mu=1$ and their automorphisms
_[9] 간행물 Designs, Graphs, Codes and their Links https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[10] 서적 Algebraic Graph Theory Springer-Verlag, New York
_[11] 간행물 A survey on the missing Moore graph
_[12] 논문 Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs https://projecteucli[...]
_[13] 서적 Spectra of Graphs http://homepages.cwi[...] 2012-03-16
_[14] 간행물 Designs, Graphs, Codes and their Links Cambridge University Press
_[15] 간행물 Five $1,000 Problems (Update 2017) https://oeis.org/A24[...] Online Encyclopedia of Integer Sequences 2019-02-12
_[16] 논문 Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs https://projecteucli[...]
_[17] 서적 Spectra of Graphs http://homepages.cwi[...] 2012-03-16
_[18] 서적 Algebraic Graph Theory Springer-Verlag New York
_[19] 서적 Designs, graphs, codes, and their links https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[20] 서적 Algebraic Graph Theory Springer-Verlag, New York
_[21] MathWorld Schläfli graph
_[22] 서적 Five $1,000 Problems (Update 2017) https://oeis.org/A24[...] Online Encyclopedia of Integer Sequences

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com