경계다양체

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 구조
- 4.1. 미분 구조
5. 스토크스 정리
6. 꼭짓점을 갖는 다양체
- 6.1. 정의
7. 예
참조

1. 개요

경계다양체는 특정 조건을 만족하는 하우스도르프 파라콤팩트 공간으로, n차원 경계다양체 X는 $ \mathbb{R}^{n-1}\times\mathbb{R}_{\ge0} $의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방을 가진다. 경계 ∂X는 $ \mathbb{R}^n $의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방이 존재하지 않는 점들로 구성되며, X\∂X는 n차원 다양체, ∂X는 n-1차원 다양체를 이룬다. 경계가 없는 다양체와 달리, 경계다양체는 닫힌 구간과 같이 다양체가 아닌 경우도 있다. 매끄러운 경계다양체는 국소 좌표계를 가지며, 이중 다양체는 경계다양체에서 구성된 다양체이다. 스토크스 정리는 경계다양체에서 미분 형식의 적분에 대한 중요한 정리이며, 꼭짓점을 갖는 다양체는 국소적으로 $\overline{\R^n_+}$ 와 미분 동형인 다양체를 의미한다.

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경계다양체
정의
설명	경계를 갖는 다양체는 국소적으로 유클리드 공간의 반공간과 위상적으로 동일한 공간임.
참고	경계가 없는 다양체는 경계를 갖는 다양체의 특수한 경우로 간주될 수 있음. 다양체의 경계는 그 자체로 경계가 없는 다양체를 이룸.
추가 정보
영어 명칭	Manifold with boundary

2. 정의

임의의 자연수 $n$ 에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 을 정의할 수 있다. $n$ 차원 상반 공간(upper half-space^영어)은 다음과 같이 정의된다.

: $\mathbb{H}^n := \left\{(x^1 , \dotsc , x^n) \in \mathbb{R}^n \mid x^n \geq 0\right\}$

여기에는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분 공간 위상이 부여된다.

임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여, ''' $n$ 차원 경계다양체'''( $n$ -dimensional manifold-with-boundary^영어)는 다음 조건들을 만족시키는 위상 공간 $X$ 이다:

$X$ 는 하우스도르프 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공리를 만족시킨다. (이 조건은 파라콤팩트성으로 대체되기도 한다.)
모든 점 $x\in X$ 는 $n$ 차원 상반 공간 $\mathbb{H}^n$ 의 열린집합과 위상 동형인 열린 근방 $U \subseteq X$ 를 갖는다. 즉, 각 점 $x$ 에 대해, $\mathbb{H}^n$ 안의 열린 집합 $V$ 와 위상동형사상 $\phi: U \to V$ 가 존재한다.

마지막 조건은 각 점

x

가 다음 둘 중 하나임을 의미한다:

$x$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 열린 집합과 위상 동형인 근방을 갖는다 (이 경우 $x$ 는 내부점이다).
$x$ 는 $\mathbb{H}^n$ 의 경계점( $\partial\mathbb{H}^n = \mathbb{R}^{n-1}\times\{0\}$ )에 해당하는 점을 포함하는 근방을 갖는다 (이 경우 $x$ 는 경계점이다). 경계점들의 집합이 경계다양체의 경계 $\partial X$ 를 이룬다.

2. 1. 경계

n차원 상반 공간 '''H'''^''n''의 '''R'''^''n''에서의 경계 ∂'''H'''^''n''는 ''x''^''n'' = 0을 만족하는 점 전체이다. 경계가 있는 다양체 ''M''의 점 ''x'' ∈ ''M''는, ''x''를 포함하는 어떤 국소 좌표계(차트) (''U'', ''φ'')에 대해 ''φ''(''x'')가 ∂'''H'''^''n''의 원소일 때 ''M''의 경계점이라고 불린다. ''M''의 모든 경계점으로 이루어진 집합은 ∂''M''으로 표기된다.

∂''M''의 연결 성분은 경계 성분이라고 불린다.

만약 ∂''M''이 공집합이라면, ''M''은 경계가 없는 일반적인 다양체이다.

2. 2. 매끄러운 경계다양체

n

차원 경계다양체

X

위의 '''국소 좌표계'''(atlas^영어)는 다음 데이터로 구성된다.

열린집합들의 족 $(U_i)_{i\in I}$ . 이들은 $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ 를 만족해야 한다. 즉, $X$ 의 열린 덮개를 이룬다.
각 $i\in I$ 에 대하여, 단사 연속 함수인 사상 $\phi_i: U_i \to \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}_{\ge 0}$ . 여기서 $\mathbb{R}_{\ge 0}$ 은 음이 아닌 실수의 집합이며, $\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}_{\ge 0}$ 은 $n$ 차원 유클리드 반공간 $\mathbb{H}^n$ 의 표준적인 모델이다. 또한, 각 $\phi_i$ 는 $U_i$ 와 $\mathbb{H}^n$ 의 열린집합인 그 상 $\phi_i(U_i)$ 사이의 위상 동형 사상을 정의한다.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 $i, j \in I$ 에 대하여, 만약 교집합 $U_i \cap U_j$ 가 공집합이 아니라면( $U_i \cap U_j \neq \varnothing$ ), 추이 사상(transition map)이라고 불리는 함수 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}: \phi_i(U_i \cap U_j) \to \phi_j(U_i \cap U_j)$ 는 매끄러운 함수이다. 여기서 $\phi_i(U_i \cap U_j)$ 와 $\phi_j(U_i \cap U_j)$ 는 모두 $\mathbb{H}^n$ 의 열린 부분집합이다.

이러한 국소 좌표계가 주어진 경계다양체를 '''매끄러운 경계다양체'''(smooth manifold-with-boundary^영어)라고 한다. 서로 호환되는(즉, 합집합이 여전히 위의 조건을 만족하는) 두 국소 좌표계는 같은 매끄러운 경계다양체 구조를 정의하는 것으로 간주한다.

경계다양체

M

의 열린집합

U \subseteq M

와,

U

에서

n

차원 유클리드 반공간

\mathbb{H}^n

의 열린 부분집합

V

로 가는 위상 동형 사상

\phi: U \to V \subseteq \mathbb{H}^n

의 쌍

(U, \phi)

를 좌표 근방(coordinate neighborhood) 또는 차트(chart)라고 부른다.

2. 3. 이중 다양체

임의의

n

차원 경계다양체

X

가 주어졌을 때,

X

두 개를 복사하여 만든 분리합집합

:

X\sqcup X=X\times\{0,1\}

을 생각할 수 있다. 이 두 복사본의 경계(

\partial X

)에 있는 점들을 서로 동일시하는 동치 관계

:

(x,0)\sim (x,1)\qquad(\forall x\in\partial X)

를 정의한다. 이 동치 관계에 따른 몫공간

:

\tilde X=(X\sqcup X)/\sim

은 경계가 없는

n

차원 다양체가 된다. 이렇게 만들어진

\tilde X

를

X

의 이중 다양체(二重多樣體, double manifold^영어)라고 부른다. 이는 마치 경계다양체 두 개를 경계 부분에서 서로 붙여 만든 것과 같다.

만약 원래의 경계다양체

X

가 매끄러운 경계다양체라면, 그 이중 다양체

\tilde X

역시 자연스럽게 매끄러운 다양체가 된다.

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

: 다양체 ⇒ 경계다양체 ⇒ 오비폴드

즉, 모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 경계다양체는 오비폴드이다. 이름과 달리 다양체가 아닌 경계다양체가 존재한다.

4. 구조

경계가 있는 (미분 가능한) 다양체 M에서 경계 ∂''M''는 M의 부분 다양체이다. M이 가향 가능하다고 가정하면, 경계 ∂''M''도 가향 가능하다.

4. 1. 미분 구조

경계가 없는 다양체와 마찬가지로, 경계가 있는 다양체에도 미분 구조를 정의할 수 있다. 경계가 있는 미분다양체는 임의의 두 차트 (''U'', ''φ'')와 (''V'', ''ψ'')에 대해, 교집합 `U ∩ V` 에서 정의되는 좌표 변환 함수

`φ ∘ ψ⁻¹ : ψ(U ∩ V) → φ(U ∩ V)`

가 미분동형인 경계가 있는 다양체로 정의된다. 이때 `φ ∘ ψ⁻¹`의 정의역 `ψ(U ∩ V)`가 반공간 '''H'''ⁿ의 경계점을 포함하는 경우, 이 함수의 미분 가능성을 확인하려면 `ψ(U ∩ V)`를 포함하는 더 큰 공간인 '''R'''ⁿ의 열린 집합으로 확장하여 생각해야 한다. 물론 모든 경계가 있는 다양체에 미분 구조를 정의할 수 있는 것은 아니다. 또한 일반적인 다양체와 마찬가지로, 하나의 경계가 있는 다양체 위에 여러 가지 서로 다른 미분 구조가 존재할 수도 있다.

5. 스토크스 정리

경계가 있는 다양체를 이용하면 스토크스의 정리를 간결하게 나타낼 수 있다. M을 방향이 주어진 n차원 경계를 갖는 미분 가능 다양체라 하고, ω를 콤팩트 지지 집합을 갖는 (n-1)차 미분 형식이라고 하자. 이때 다음의 스토크스 정리가 성립한다.

: $\int_M \mathrm{d} \omega = \int_{\partial M} \omega$

이 정리는 미분 형식의 외미분 dω를 다양체 M 위에서 적분한 값이, 원래의 미분 형식 ω를 M의 경계 ∂M 위에서 적분한 값과 같다는 것을 보여준다. 이는 미적분학의 기본 정리를 고차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있다.

만약 다양체 M이 경계를 갖지 않으면 우변의 적분 값은 0이 된다. 또한 M이 1차원 다양체일 경우, 우변의 적분은 유한한 합으로 나타난다. 스토크스 정리는 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 중요하게 활용된다.

6. 꼭짓점을 갖는 다양체

꼭짓점을 갖는 다양체는 경계 다양체를 더 일반화한 개념으로 볼 수 있다. 경계 다양체가 국소적으로 유클리드 공간의 반공간('''H'''^''n'')과 위상 동형인 것과 달리, 꼭짓점을 갖는 다양체는 국소적으로 모든 좌표가 0 이상인 점들의 집합( $\overline{\R_+^n}$ )의 열린 부분 집합과 미분 동형인 다양체를 의미한다.

수학적으로 $\overline{\R_+^n}$ 은 '''H'''^''n''과 위상 동형 관계에 있다. 이 때문에 단순히 위상적인 관점에서만 보면 경계 다양체와 꼭짓점을 갖는 다양체를 구별하는 것은 어렵고 큰 의미가 없을 수 있다. 하지만 미분기하학에서는 미분 구조를 고려하기 때문에 두 개념을 구별하는 것이 중요해진다. 직사각형이나 정육면체처럼 모서리나 꼭짓점을 가지는 도형들이 꼭짓점을 갖는 다양체의 대표적인 예시에 해당한다.

6. 1. 정의

\overline{\R_+^n}

은 '''R'''^''n''의 점 중에서 모든 좌표가 0 이상인 점들의 집합이다.

:

\overline{\R_+^n} = \{(x^1, \dotsc, x^n) \in \R^n: x^1 \geq 0, \dotsc, x^n\geq 0\}.

이 부분 집합은 '''H'''^''n''과 위상 동형이지만 미분 동형은 아니다. ''M''을 경계를 가진 (위상) 다양체라고 하자. 꼭짓점을 갖는 다양체란 국소적으로

\overline{\R^n_+}

의 열린 부분 집합과 미분 동형인 다양체를 말한다. 이때 ''M''의 차트는 "꼭짓점 차트"라고 불린다. 꼭짓점 차트는 쌍

(''U'', ''φ'')

로 이루어지며, 여기서 ''U'' ⊂ ''M''은 ''M''의 열린 부분 집합이고,

\phi \colon U \to \tilde{U} \subset \overline{\R_+^n}

는 위상 동형 사상이다. 두 꼭짓점 차트

(''U'', ''φ'')

와

(''V'', ''ψ'')

가 정합적이라는 것은, 사상

\phi \circ \psi^{-1} \colon \psi(U \cap V) \to \phi(U \cap V)

가 매끄러움을 의미한다.

경계가 있는 위상 다양체의 꼭짓점 매끄러운 구조란 ''M''을 덮개하는 꼭짓점 정합적 차트들로 이루어진 극대 집합이다. 꼭짓점 매끄러운 구조를 가진 경계가 있는 위상 다양체를 꼭짓점 다양체라고 부른다.

7. 예

모든 다양체는 경계다양체이며, 모든 매끄러운 다양체는 매끄러운 경계다양체이다.

유클리드 공간 $\mathbb R^n$ 속의 닫힌 공

: $\operatorname{cl}\left(\operatorname{ball}(\mathbf x,r)\right)\qquad(\mathbf x\in\mathbb R^n,\;r\in\mathbb R^+)$

은 자연스럽게 $n$ 차원 매끄러운 경계다양체를 이루며, 그 경계는 $n-1$ 차원 초구이다. 이는 경계가 존재하므로 다양체는 아니다.

특히, $n=1$ 일 때, 닫힌구간은 항상 경계다양체를 이룬다. 닫힌구간 $[a,b]$ 의 경계는 양 끝점 $\{a,b\}$ 이다.

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