정육면체

3. 그래프 표현

정육면체의 뼈대는 8개의 꼭짓점과 12개의 모서리를 갖는 그래프를 이룬다. 초입방체 그래프의 특수한 경우이다.^[51] 슈타이니츠의 정리에 따르면, 그래프는 다면체의 골격으로 나타낼 수 있다. 정육면체의 골격은 플라톤 그래프인 '''정육면체 그래프'''라고 불리며, 정육면체와 같은 수인 8개의 꼭짓점과 12개의 모서리를 가지고 있다.

정육면체 그래프는 초입방체 그래프의 특수한 경우이며, 두 개의 정사각형 그래프($Q\_2$)를 곱하여 만들 수 있다. 즉, 두 개의 정사각형의 각 꼭짓점을 모서리로 연결하여 구성된다. 정육면체 그래프는 $Q\_3$으로 표시할 수 있다.

정육면체 그래프는 평면 그래프이면서 3-연결 그래프이다. 즉, 그래프의 모서리는 다른 모서리를 교차하지 않고 모든 꼭짓점에 연결되며, 세 개 이상의 꼭짓점을 가진 그래프에서 두 개의 꼭짓점을 제거해도 모서리는 연결된 상태를 유지한다. 또한, 정육면체 그래프는 단위 거리 그래프와 프리즘 그래프의 예시이다.

4. 전개도

5. 역사 및 문화

플라톤 다면체는 고대부터 알려진 다면체의 집합이다. 플라톤은 『티마이오스』에서 정육면체를 지구의 원소와 연관시켰고,^[1] 유클리드는 『원론』에서 정육면체를 포함한 플라톤 다면체를 정의하고 그 성질을 연구했다.^[2]

요하네스 케플러는 우주의 조화에서 정육면체를 포함한 플라톤 다면체들을 스케치했고, 우주 신비에서는 플라톤 다면체를 이용한 태양계 모형을 제시했다. 케플러의 태양계 모형에서 다면체들은 안쪽에서 바깥쪽으로 정팔면체, 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 정육면체 순으로 배열되었다.^[1]

5. 1. 고대

5. 2. 근대

6. 관련 다면체

7. 응용

정육면체는 유일하게 단독으로 공간 채우기가 가능하며, 이때의 배치는 단순 입방 격자 구조가 된다.^[1] 1m³와 같이 부피 단위의 정의에도 사용된다. 1m³는 한 변이 1m인 정육면체의 부피로 정의되며, 1dm³(=1L), cm³ 등도 마찬가지이다.^[1] 정육면체는 건축, 디자인, 결정학 등 다양한 분야에서 활용된다.

8. 추가 정보

정육면체는 구조 행렬로 나타낼 수 있다. 구조 행렬은 행과 열이 다면체의 요소(꼭짓점, 모서리, 면)에 대응하는 행렬이다. 행렬의 대각선은 다면체에 나타나는 각 요소의 개수를 나타내고, 대각선이 아닌 부분은 열 요소가 행 요소에 포함되거나 위치하는 개수를 나타낸다. 정육면체는 8개의 꼭짓점, 12개의 모서리, 6개의 면을 가지고 있으며, 행렬 대각선의 각 요소는 8, 12, 6으로 표시된다. 가운데 행의 첫 번째 열은 각 모서리에 (즉, 양 끝에) 2개의 꼭짓점이 있음을 나타내며, 2로 표시된다. 첫 번째 행의 가운데 열은 각 꼭짓점에서 3개의 모서리가 만남을 나타내며, 3으로 표시된다. 구조 행렬은 다음과 같다.^[11]

참조

_[1] 서적 Convex Polyhedra Springer
_[2] 서적 The Princeton Companion to Mathematics https://books.google[...] Princeton University Press
_[3] 서적 Gems of Geometry https://books.google[...] Springer
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_[5] 학술지 Finite 3-orbit polyhedra in ordinary space, II
_[6] 서적 Polyhedra https://archive.org/[...] Cambridge University Press
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_[8] 서적 Mathematical models Clarendon Press
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_[13] 학술지 Isogonal Prismatoids
_[14] 서적 Convex Polytopes Springer-Verlag
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_[24] 학술지 Facetting Diagrams
_[25] 학술지 Mathematics Hiding in the Nets for a CUBE
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_[48] 서적 The Beauty of Geometry: Twelve Essays https://books.google[...] Dover Publications
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_[51] 웹인용 Cubical graph https://mathworld.wo[...]