고유 시간

3. 성질

항등적으로 (x, y, z) = 0일 때, 당연히 τ = t이다. 항상 (x, y, z) = 0이 성립한다는 것은 관측 대상의 물체와 함께 이동하는 좌표계에서 대상을 관측하고 있다는 것과 다름없다. 이것이 τ가 고유시(固有時)라고 불리는 이유이다. 즉, 고유시란 물체 고유의 시간이라는 의미이다.

특수상대성이론에서는 역학 법칙이 로렌츠 변환에 대해 불변인 것이 요구되므로, 역학 법칙의 기술은 상대론 이전의 절대시간에 고유시를 사용한다. 예를 들어, 뉴턴 역학에서 $\backslash boldsymbol\{F\}=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{p\}\}\{dt\}$로 기술된 운동방정식은 특수상대성이론에서는 $\backslash boldsymbol\{F\}=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{p\}\}\{d\backslash tau\}$로 기술된다 (F: 물체에 가해진 합력, p: 운동량, t: 절대시간, τ: 고유시).

4. 수학적 형식

고유 시간의 공식적인 정의는 시계, 관측자 또는 시험 입자를 나타내는 시공간을 통과하는 경로와 그 시공간의 계량 구조를 설명하는 것을 포함한다. 고유 시간은 4차원 시공간에서 세계선의 유사 리만 아크 길이다. 수학적 관점에서 좌표 시간은 미리 정의된 것으로 가정되며 좌표 시간의 함수로서 고유 시간에 대한 표현이 필요하다. 반면에 고유 시간은 실험적으로 측정되고 좌표 시간은 관성 시계의 고유 시간으로부터 계산된다.

고유 시간은 물리적 자와 시계의 동반 집합을 구성할 수 있는 시공간을 통과하는 시간적 경로에 대해서만 정의될 수 있다. 공간적 경로에 대한 동일한 형식은 고유 시간이 아니라 고유 거리의 측정으로 이어진다. 빛과 같은 경로의 경우, 시공간 간격이 0이므로 고유 시간의 개념이 존재하지 않으며 정의되지 않는다. 대신 시간과 무관한 임의적이고 물리적으로 무관한 어파인 매개변수를 도입해야 한다.^{[4][5][6][7][8][9]}

==== 특수 상대성 이론 ====

특수 상대성 이론에서 고유 시간은 민코프스키 메트릭을 사용하여 정의된다.^[10] 시간적 기준에 따른 메트릭 시그니처를 사용하면, 민코프스키 메트릭은 다음과 같다.

$$\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$$

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1

\end{pmatrix} ,

좌표는 임의의 로렌츠 좌표계에 대해 다음과 같이 주어진다.

$$(x^0,\; x^1,\; x^2,\; x^3)\; =\; (ct,\; x,\; y,\; z)$$

이러한 좌표계에서 두 사건 사이의 미소 시간 간격(시간적 간격으로 가정)은 다음과 같이 표현된다.^[10]

$$ds^2\; =\; c^2\; dt^2\; -\; dx^2\; -\; dy^2\; -\; dz^2\; =\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; dx^\backslash mu\; dx^\backslash nu,$$

이는 입자(예: 시계)의 궤적 상의 점들을 구분한다. 같은 간격은 각 순간에 입자가 정지해 있는 좌표계(순간 정지 좌표계)로 표현될 수 있으며, 각 순간에 대해 $(c\backslash tau,x\_\backslash tau,y\_\backslash tau,z\_\backslash tau)$ 좌표로 나타낸다. 간격의 불변성으로 인해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ds^2\; =\; c^2\; d\backslash tau^2\; -\; dx\_\backslash tau^2\; -\; dy\_\backslash tau^2\; -\; dz\_\backslash tau^2\; =\; c^2\; d\backslash tau^2,$$

순간 정지 좌표계에서 입자는 정지해 있기 때문에, $dx\_\backslash tau\; =\; dy\_\backslash tau\; =\; dz\_\backslash tau\; =\; 0$이다. $ds^2\; >\; 0$ (시간적 간격)이라고 가정하면, 위 식의 제곱근을 취하여

$$ds\; =\; cd\backslash tau,$$

또는

$$d\backslash tau\; =\; \backslash frac\{ds\}\{c\}.$$

를 얻는다. 에 대한 이 미분 표현을 고려하면, 고유 시간 간격은 다음과 같이 정의된다.

$\backslash Delta\backslash tau\; =\; \backslash int\_P\; d\backslash tau\; =\; \backslash int\_P\; \backslash frac\{ds\}\{c\}.$

여기서 는 초기 사건에서 최종 사건까지의 세계선이며, 사건의 순서는 시계에 따라 최종 사건이 초기 사건보다 나중에 발생한다는 요구 사항에 의해 고정된다.

간격의 불변성을 다시 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.^[11]

$\backslash begin\{align\}$

\Delta\tau

&= \int_P \frac{1}{c} \sqrt{\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}

\\

&= \int_P \sqrt {dt^2 - {dx^2 \over c^2} - {dy^2 \over c^2} - {dz^2 \over c^2}}

\\

&= \int_a^b \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right] }dt

\\

&= \int_a^b \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} dt

\\

&= \int_a^b \frac{dt}{\gamma(t)},\end{align}

여기서

$$(x^0,\; x^1,\; x^2,\; x^3\; )\; :\; [\; a\; ,\; b\; ]\; \backslash rightarrow\; P$$

는 세계선 의 임의의 전단사 매개변수화이며,

$$(x^0(a),\; x^1(a),\; x^2(a),\; x^3(a))\backslash quad\backslash text\{and\}\backslash quad\; (x^0(b),\; x^1(b),\; x^2(b),\; x^3(b))$$

는 의 끝점을 나타내고 a < b이다; 는 좌표 시간 에서의 좌표 속도이며; , , 그리고 는 공간 좌표이다.

가 매개변수 에 의해 매개변수화되면, 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\backslash Delta\backslash tau$$

= \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right] } \,d\lambda.

입자의 운동이 일정하면, 표현은 다음과 같이 단순화된다.

$$\backslash Delta\; \backslash tau\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash Delta\; t\backslash right)^2\; -\; \backslash frac\{\backslash left(\backslash Delta\; x\backslash right)^2\}\{c^2\}\; -\; \backslash frac\{\backslash left(\backslash Delta\; y\backslash right)^2\}\{c^2\}\; -\; \backslash frac\{\backslash left(\backslash Delta\; z\backslash right)^2\}\{c^2\}\},$$

여기서 Δ는 초기 사건과 최종 사건 사이의 좌표 변화를 의미한다.

(x, y, z) = 0일 때, τ = t이다. 이는 관측 대상과 함께 이동하는 좌표계에서 대상을 관측하고 있다는 의미이다. 즉, 고유시는 물체 고유의 시간이다.

특수 상대성 이론에서는 역학 법칙이 로렌츠 변환에 대해 불변해야 하므로, 뉴턴 역학에서 $\backslash boldsymbol\{F\}=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{p\}\}\{dt\}$로 기술된 운동 방정식은 $\backslash boldsymbol\{F\}=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{p\}\}\{d\backslash tau\}$로 기술된다 (F: 물체에 가해진 합력, p: 운동량, t: 절대 시간, τ: 고유 시간).

==== 일반 상대성 이론 ====

일반 상대성 이론에서 고유 시간은 다음과 같이 정의된다. 국소 좌표 x/x^영어''μ''를 가지고 메트릭 텐서 g/g^영어_''μν''가 장착된 유사 리만 다양체가 주어지면, 시간적 경로 P/P^영어를 따라 두 사건 사이의 고유 시간 간격 Δ''τ''는 선 적분으로 주어진다.^[12]

:Δ''τ'' = ∫_P d''τ'' = ∫_P 1/c√(g_μν dx^μ dx^ν).

이 표현은 좌표 변환에 대해 불변이다. 이는 (적절한 좌표계에서) 평평한 시공간의 특수 상대성 이론 표현으로 축소된다.

특수 상대성 이론에서 1=''x''/1=''x''^영어1, ''x''², ''x''³ = const가 되도록 좌표를 선택할 수 있는 것과 같은 방식으로, 일반 상대성 이론에서도 이것을 수행할 수 있다.^[13]

:Δτ = ∫_P dτ = ∫_P 1/c√(g₀₀ dx⁰).

4. 1. 특수 상대성 이론

4. 2. 일반 상대성 이론

5. 특수 상대성 이론에서의 예시

5. 1. 예시 1: 쌍둥이 역설

5. 2. 예시 2: 회전하는 원판

6. 일반 상대성 이론에서의 예시

일반 상대성 이론에서 슈바르츠실트 해는 다음과 같은 미소 고유 시간 방정식을 갖는다.

:$d\backslash tau\; =\; \backslash sqrt\{$

\left( 1 - \frac{2m}{r} \right) dt^2

• \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right)^{-1} dr^2
• \frac{r^2}{c^2} d\phi^2
• \frac{r^2}{c^2} \sin^2(\phi ) \, d\theta^2

• ''t''는 지구에 대해 관성적으로 정지해 있고 지구로부터 멀리 떨어진 시계로 측정한 시간이다.
• ''r''은 좌표 거리이며, 실질적으로 지구 중심으로부터의 거리이다.
• ''ɸ''는 공동위도 좌표로, 북극으로부터의 각도(라디안 단위)이다.
• ''θ''는 경도 좌표로, 지구 표면의 경도와 유사하지만 지구의 자전과는 무관하다. 이 또한 라디안으로 주어진다.
• ''m''은 지구의 기하학화된 질량이며, ''m'' = ''GM''/''c''²이다.
• ''M''은 지구의 질량이다.
• ''G''는 중력 상수이다.

6. 1. 예시 3: 지구에서의 시간

• \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right)^{-1} dr^2
• \frac{r^2}{c^2} d\phi^2
• \frac{r^2}{c^2} \sin^2(\phi ) \, d\theta^2

• ''t''는 지구에 대해 관성적으로 정지해 있고 지구로부터 멀리 떨어진 시계로 측정한 시간이다.
• ''r''은 좌표 거리이며 (실질적으로 지구 중심으로부터의 거리이다.)
• ''ɸ''는 공동위도 좌표로, 북극으로부터의 각도(단위: 라디안)이다.
• ''θ''는 경도 좌표로, 지구 표면의 경도와 유사하지만 지구의 자전과는 무관하다. 이 또한 라디안으로 주어진다.
• ''m''은 지구의 기하학화된 질량이며, ''m'' = ''GM''/''c''²이다.
• ''M''은 지구의 질량이다.
• ''G''는 중력 상수이다.

7. 활용

참조

_[1] harvnb
_[2] 서적 Foundations of Modern Cosmology https://books.google[...] Oxford University Press
_[3] harvnb
_[4] harvnb
_[5] harvnb
_[6] harvnb
_[7] harvnb
_[8] harvnb
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] harvnb
_[12] harvnb
_[13] harvnb
_[14] harvnb