곱셈 역원

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 복소수
- 4.2. 무리수
5. 알고리즘
6. 응용
7. 한국의 교육과정 및 사회적 활용
참조

1. 개요

곱셈 역원은 모노이드의 원소 m에 대해, m과 곱했을 때 곱셈 항등원이 되는 원소 m⁻¹을 의미한다. 군에서는 모든 원소가 곱셈 역원을 가지며, 환에서 가역원은 정칙원이지만 그 역은 성립하지 않는다. 0이 아닌 복소수, 실수, 유리수 등은 곱셈 역원을 가지며, 모듈러 산술, 행렬, 삼각 함수 등 다양한 수학적 개념과 연관된다. 역수는 나눗셈 알고리즘, 특히 뉴턴의 방법을 통해 계산할 수 있으며, 나눗셈 연산 및 의사 난수 생성 등 다양한 분야에 응용된다. 한국 교육 과정에서는 초등학교 6학년 때 분수의 곱셈과 나눗셈을 배우면서 역수의 개념을 도입한다.

더 읽어볼만한 페이지

초등 특수 함수 - 지수 함수
지수 함수는 양의 상수 *a*를 밑으로 하는 *y = a^x* 형태의 함수이며, 특히 자연로그의 역함수인 *e^x*는 다양한 정의와 응용을 가지며 복소수로 확장될 수 있다.
초등 특수 함수 - 제곱근
제곱근은 x² = a를 만족하는 x 값으로, a가 양수일 때 두 개의 제곱근을 가지며, 수학, 물리학, 기하학 등 다양한 분야에서 중요한 개념이고, 무리수와도 관련되어 행렬이나 연산자에도 확장된다.
곱셈 - 구구단
구구단은 곱셈을 간편하게 계산하도록 곱셈 결과를 표로 정리한 것이며, 1단부터 9단까지 외우는 곱셈 구구가 일반적이고, 덧셈, 뺄셈, 나눗셈 구구 등 다양한 형태가 존재하며, 수학적 개념 이해의 기초가 되고 실생활에도 응용된다.
곱셈 - 네이피어의 뼈
네이피어의 뼈는 존 네이피어가 1617년에 발명한 계산 도구로, 곱셈을 덧셈으로 변환하여 계산을 간편하게 하고 나눗셈과 제곱근 계산에도 활용되며, 계산 기반과 막대 세트로 구성되어 막대에 표시된 숫자를 이용하여 복잡한 곱셈을 단순화한다.
단항 연산 - 1의 보수
1의 보수는 이진수에서 양수는 일반적인 이진수로, 음수는 양수의 각 비트를 반전시켜 표현하며, 덧셈 시 자리올림수가 발생하면 결과값에 더해야 하고, 0을 중복 표현하는 단점으로 현대에는 2의 보수가 주로 사용된다.
단항 연산 - 제곱근
제곱근은 x² = a를 만족하는 x 값으로, a가 양수일 때 두 개의 제곱근을 가지며, 수학, 물리학, 기하학 등 다양한 분야에서 중요한 개념이고, 무리수와도 관련되어 행렬이나 연산자에도 확장된다.

곱셈 역원
수학적 정의
정의	어떤 수 x에 곱했을 때 1이 되는 수 y
수식	'y = 1/x'
다른 이름	곱셈의 역원
성질	'x의 역수는 y이고, y의 역수는 x이다.'
예시
2의 역수	1/2
0.5의 역수	2
-5의 역수	-1/5
특수한 경우
1의 역수	1
-1의 역수	-1
0의 역수	존재하지 않음 (정의되지 않음)
일반화
행렬의 역행렬	행렬 A에 곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬 B
함수의 역함수	함수 f에 적용했을 때 원래 입력값을 반환하는 함수 g
표기법
일반적인 표기	'x^-1 또는 1/x'
삼각함수의 역수	'1/(sin x) = (sin x)⁻¹ (코시컨트)'
삼각함수의 역함수	'sin⁻¹ x (아크사인)'
주의사항
교환 법칙	곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않는 경우 (예: 행렬 곱셈) 역원의 순서가 중요함

2. 정의

모노이드 $(M,\cdot,1_M)$ 에서, 어떤 원소 $m\in M$ 의 '''곱셈 역원'''은 다음 조건을 만족시키는 원소 $m^{-1}\in M$ 이다.

: $mm^{-1}=m^{-1}m=1_M$

곱셈 역원은 유일하게 존재한다. 이는 각 원소 $m\in M$ 의 두 곱셈 역원 $m',m''\in M$ 이 모노이드의 결합 법칙에 따라 다음을 만족시키기 때문이다.

: $m'mm''=m'(mm'')=m'1_M=m'$

: $m'mm''=(m'm)m''=1_Mm''=m''$

3. 성질

군에서는 모든 원소가 곱셈 역원을 가지며, 이는 반대 자기 동형을 이룬다. 즉, 다음 식이 성립한다.

: $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ ^[1]

환에서 가역원은 항상 정칙원이다.^[1] 만약 $r\in R$ 가 가역원이고 $rs=0_R$ 이라면, 양변의 왼쪽에 역원 $r^{-1}$ 을 곱해 $s=0_R$ 을 얻는다.^[1] 마찬가지로 $sr=0_R$ 인 경우에도 $s=0_R$ 이다.^[1]

그러나 환의 정칙원이 항상 가역원인 것은 아니다.^[1] 예를 들어 정수환에서 -1, 0, 1을 제외한 모든 원소는 정칙원이지만 가역원이 아니다.^[1] 반면 유한환의 모든 정칙원은 가역원인데, 이는 정칙원에 의한 왼쪽 곱셈이 단사 함수이고, 유한 집합 위의 단사 함수는 항상 전사 함수이기 때문이다.^[1] 특히, 유한 정역은 항상 체를 이룬다.^[1]

자명환이 아닌 환에서 0의 곱셈 역원은 존재하지 않는다.^[1] 이는 모든 가역원이 정칙원이라는 명제의 특수한 경우이다.

4. 예시

''e''의 곱셈 역원 $1/e$ 는 함수 $f(x)=x^x$ 가 최솟값을 취하는 점이다.
황금비 $\varphi$ 의 곱셈 역원 $1/\varphi$ 은 소수 부분이 같다.
$\sqrt{n+1}+\sqrt n$ 의 곱셈 역원은 $\sqrt{n+1}-\sqrt n$ 이다. 특히 $\sqrt{n^2+1}+n$ 의 곱셈 역원은 $\sqrt{n^2+1}-n$ 인데, 이 둘은 같은 소수 부분을 갖는다.
사인, 코사인, 탄젠트의 곱셈 역원은 각각 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트이다.
유리수 $m/n$ 의 곱셈 역원은 $n/m$ 이다.
정사각 행렬의 곱셈 역원을 역행렬이라고 한다.
모듈러 산술에서 ''a''의 모듈러 곱셈 역원은 $ax \equiv 1 \pmod n$ 을 만족하는 수 ''x''이다. 이 곱셈 역원은 ''a''와 ''n''이 서로소일 때 존재한다. 예를 들어, 3 모듈로 11의 역수는 4인데, $4 \cdot 3 \equiv 1 \pmod {11}$ 이기 때문이다.

합동식에서 역수를 생각할 수 있다.

a \times b

를

m

으로 나눌 때 1이 남을 때,

b

를

a

의

m

을 법으로 하는 역수라고 부른다. 합동식으로 나타내면 다음과 같다.

:

a \times b \equiv 1 \pmod{m}.

예를 들어,

4 \times 2 \equiv 1 \pmod 7

이므로, 법 7에서 2는 4의 역수이다.

정의상,

a

는

m

과 서로소여야 한다. 즉, 일반적으로 합동식에서의 역수는 존재하지 않을 수 있다.

소수

p

를 법으로 하는 경우, 0 이외의 모든 원소가 역수를 가진다. 법 17을 예로 들면 다음과 같다.

원소	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
역수	없음	1	9	6	13	7	3	5	15	2	12	14	10	4	11	8	16

4. 1. 복소수

0이 아닌 복소수

z = a + bi

(여기서

a

,

b

는 실수,

i

는 허수 단위)의 곱셈 역원은 다음 공식을 통해 구할 수 있다.

:

\frac{1}{z} = \frac{\bar z}

4. 2. 무리수

0을 제외한 모든 실수 또는 복소수는 역수를 가지며, 특정 무리수의 역수는 중요한 특별한 성질을 가질 수 있다. 예시로는 e의 역수(≈ 0.367879)와 황금비의 역수(≈ 0.618034)가 있다. 첫 번째 역수는 다른 어떤 양수도 자신을 거듭제곱했을 때 더 작은 수를 만들 수 없기 때문에 특별하다. 즉,

f(1/e)

는

f(x) = x^x

의 전역 최소값이다. 두 번째 수는 자신의 역수에 1을 더한 값과 같은 유일한 양수이다:

\varphi = 1/\varphi + 1

. 그것의 덧셈 역원은 자신의 역수에서 1을 뺀 값과 같은 유일한 음수이다:

-\varphi = -1/\varphi - 1

.

함수

f(n) = n + \sqrt{n^2 + 1}, n \in \N, n > 0

는 정수와 역수의 차이가 정수인 무한히 많은 무리수를 제공한다. 예를 들어,

f(2)

는 무리수

2 + \sqrt{5}

이다. 이 수의 역수

1 / (2 + \sqrt{5})

는

-2 + \sqrt{5}

이며, 정확히

4

만큼 작다. 이러한 무리수들은 명백한 성질을 공유하는데, 그 이유는 정수만큼 차이가 나기 때문에 역수와 동일한 소수 부분을 갖기 때문이다.

역수 함수는 (유리수와) 무리수의 표현과 관련된 놀라운 성질들을 가지고 있는 단순 연분수에서 중요한 역할을 한다.

5. 알고리즘

역수는 나눗셈 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다. 몫 *a*/*b*는 먼저 1/*b*를 계산한 다음 *a*를 곱하여 계산할 수 있기 때문에, 역수를 계산하는 것은 많은 나눗셈 알고리즘에서 중요하다. 뉴턴의 방법( Newton's method|뉴턴의 방법^영어)은 초기 추측 $x_0$ 에서 시작하여 다음 규칙을 사용하여 반복함으로써 해당 영점을 찾을 수 있다.^[1]

: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{1/x_n - b}{-1/x_n^2} = 2x_n - bx_n^2 = x_n(2 - bx_n).$

이것은 원하는 정밀도에 도달할 때까지 계속된다. 예를 들어, 1/17 ≈ 0.0588을 정밀도 3자리로 계산하려고 한다고 가정해 보자. ''x''₀ = 0.1을 취하면 다음 시퀀스가 생성된다.^[1]

:''x''₁ = 0.1(2 − 17 × 0.1) = 0.03

:''x''₂ = 0.03(2 − 17 × 0.03) = 0.0447

:''x''₃ = 0.0447(2 − 17 × 0.0447) ≈ 0.0554

:''x''₄ = 0.0554(2 − 17 × 0.0554) ≈ 0.0586

:''x''₅ = 0.0586(2 − 17 × 0.0586) ≈ 0.0588

일반적인 초기 추측은 ''b''를 2의 인접한 거듭제곱으로 반올림한 다음 비트 시프트를 사용하여 역수를 계산함으로써 찾을 수 있다.^[1]

6. 응용

임의의 기수에서 역수 1/''q''의 전개는 ''q''가 "적절한" 안전 소수, 즉 ''p''가 소수인 2''p'' + 1 형태의 소수인 경우 의사 난수의 소스로도 작용할 수 있다.^[3] 길이 ''q'' − 1의 의사 난수열이 전개에 의해 생성된다.

7. 한국의 교육과정 및 사회적 활용

한국의 초등학교 교육과정에서는 6학년 때 분수의 곱셈과 나눗셈을 배우면서 역수의 개념을 도입한다.^[1] 중학교 과정에서는 덧셈에 대한 역원인 음수의 개념을 배우는 데 기초가 된다.^[1]

참조

_[1] 인용 "In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes" Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34
_[2] 웹사이트 Proof that INT(1/x)dx = lnx http://mathforum.org[...] Drexel University 2013-03-22
_[3] 간행물 A nonlinear random number generator with known, long cycle length 1993-01

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com