구적법

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 미분방정식의 해법
4. 현대적 의미
참조

1. 개요

구적법은 고대 그리스 수학자들이 도형의 면적을 결정하기 위해 사용했던 방법으로, 동일한 면적을 가진 정사각형을 기하학적으로 구성하는 과정을 의미한다. 고대 그리스 시대에는 히포크라테스의 월형과 포물선 등 곡선으로 이루어진 도형의 구적법이 시도되었으며, 아르키메데스는 구체의 표면적과 포물선 segment의 면적을 구하는 데 성공했다. 중세 시대에는 불가분량 방법을 사용하여 면적을 계산했으며, 근대에 들어서 존 월리스, 아이작 배로 등이 구적법을 대수화하고, 그레고리 드 생-뱅상과 A. A. 데 사라사의 쌍곡선 구적법은 자연 로그 함수의 탄생에 기여했다. 적분법의 발명으로 면적 계산을 위한 보편적인 방법이 확립되면서, 현대에는 구적법이라는 용어 대신 단변량 정적분의 계산을 의미하는 "면적 구하기"라는 표현이 더 일반적으로 사용된다. 또한, 구적법은 미분방정식의 해법으로도 활용되며, 특정 형태의 1계 상미분 방정식은 구적법을 통해 해를 구할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

수치적분 - 사다리꼴 공식
사다리꼴 공식은 적분 구간을 나누어 각 구간에서 함수를 일차 함수로 근사하고 사다리꼴 면적을 합산하여 정적분의 근삿값을 구하는 방법이다.
수치적분 - 뉴턴-코츠 공식
뉴턴-코츠 공식은 함수의 값을 샘플링하여 다항식으로 보간하는 수치적분 방법으로 정적분의 근사값을 구하며, 폐쇄형과 개방형 공식으로 나뉘고, 룬게 현상으로 인한 오차는 합성 적분 공식을 통해 보완한다.

구적법
개요
정의	평면 도형의 넓이를 구하는 것
유래	그리스어 "τετραγωνισμός" (tetragonismos, 정사각형 만들기)
역사적 의미	주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 기하학 문제
기하학적 구적법
방법	자와 컴퍼스만을 사용하여 도형의 넓이와 동일한 정사각형을 작도
불가능성	원의 구적법은 불가능함 (1882년 페르디난트 폰 린데만에 의해 증명)
수학적 구적법
정의	넓이, 부피 등의 측도 계산
현대적 의미	적분과 동의어
응용	수치 적분 몬테카를로 적분
구적법의 예
원의 구적법	주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제 (불가능)
뤼눌의 구적법	히포크라테스의 뤼눌을 자와 컴퍼스만으로 구적하는 방법
포물선 구적법	아르키메데스가 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구한 방법
같이 보기
관련 항목	원의 구적 문제 피적분함수 적분법 수치 적분

2. 역사

히포크라테스의 월형은 수학적으로 정확한 면적을 계산한 최초의 곡선 도형이었다.

구적법의 역사는 고대 그리스 시대부터 시작되어 현대에 이르기까지 수학의 발전과 밀접하게 관련되어 있다. 영어 단어 'quadrature'는 정사각형을 의미하는 라틴어 'quadratum'에서 유래했는데,^[8] 이는 구적법이 주어진 영역과 동일한 면적을 가진 정사각형을 찾는 것을 의미했기 때문이다.^[8]

2. 1. 고대 그리스

그리스 수학자들은 도형의 면적을 결정하는 것을 동일한 면적을 가진 정사각형을 기하학적으로 구성하는 과정(''제곱화'')으로 이해했고, 따라서 이 과정을 '구적법'이라고 불렀다. 그리스 기하학자들은 모든 경우에 성공하지는 못했지만(원적 문제 참조), 히포크라테스의 월형과 포물선처럼 단순한 선분이 아닌 곡선으로 이루어진 도형의 구적법을 수행하기도 했다.

기하 평균을 사용하여 주어진 직사각형과 동일한 면적을 가진 정사각형을 구성

변이 ''a''와 ''b''인 직사각형의 구적법은 변

x =\sqrt {ab}

(''a''와 ''b''의 기하 평균)를 갖는 정사각형을 구성하면 된다. 이를 위해, 길이가 ''a''와 ''b''인 선분을 연결하여 지름으로 하는 원을 그리고, 이들의 연결 지점에서 원과 교차하는 지점까지 지름에 수직으로 그린 선분(도표의 ''BH'')의 높이는 ''a''와 ''b''의 기하 평균과 같다. 평행 사변형과 삼각형의 구적법 문제도 유사한 방법으로 해결할 수 있다.

아르키메데스는 포물선 segment의 면적이 내접 삼각형의 면적의 4/3임을 증명했다.

곡선 도형의 구적법 문제는 훨씬 어려웠다. 컴퍼스와 자를 사용한 원의 구적법은 19세기에 불가능하다는 것이 증명되었다.^[1]^[2] 그럼에도 불구하고, 일부 도형에 대해서는 구적법을 수행할 수 있었다. 아르키메데스가 발견한 구체의 표면과 포물선 segment의 구적법은 고대 분석의 가장 큰 업적으로 평가받는다.

구체의 표면적은 이 구체의 대원에 의해 형성된 원의 면적의 4배와 같다.
직선이 자르는 포물선의 segment의 면적은 이 segment에 내접하는 삼각형의 면적의 4/3이다.

아르키메데스는 이러한 결과를 증명하기 위해 에우독소스의 소진법을 사용했다.^[3]

2. 2. 중세

중세 유럽에서 구적법은 어떤 방법으로든 면적을 계산하는 것을 의미했다. 대개 불가분량 방법이 사용되었는데, 이는 그리스인들의 기하학적 작도보다 덜 엄밀했지만 더 간단하고 강력했다. 이 방법을 사용하여 갈릴레오 갈릴레이와 질 드 로베르발은 사이클로이드 아치의 면적을 구했고, 그레고리 드 생-뱅상은 쌍곡선 아래의 면적을 연구했으며(《기하학 논문(Opus Geometricum)》, 1647)^[3], 생-뱅상의 제자이자 해설자인 알퐁스 안토니오 데 사라스는 이 면적과 로그 사이의 관계를 언급했다.^[3]^[4]

2. 3. 근대

존 월리스는 이 방법을 대수화했다. 그는 그의 저서 ''무한대수학'' (1656)에서 현재 정적분이라고 불리는 것과 동등한 몇몇 급수를 작성하고 그 값을 계산했다. 아이작 배로와 제임스 그레고리는 더 발전된 성과를 거두었다. 이들은 몇몇 대수 곡선과 나선에 대한 구적법을 제시했다. 크리스티안 호이겐스는 몇몇 회전체의 표면적에 대한 구적법을 성공적으로 수행했다.

그레고리 드 생-뱅상과 A. A. 데 사라사의 쌍곡선의 구적법은 중요한 새로운 함수인 자연 로그를 제공했다. 적분법의 발명으로 면적 계산을 위한 보편적인 방법이 나왔다. 이에 따라, "구적법"이라는 용어는 전통적인 용어가 되었으며, 대신 현대적인 구문인 "면적 구하기"가 기술적으로 "단변량 정적분의 계산"에 더 일반적으로 사용된다.^[8]

3. 미분방정식의 해법

미분방정식의 해를 구하는 방법 중 하나인 구적법은 특정한 형태의 미분방정식에 적용될 수 있다.

하위 섹션에서 이미 구적법으로 풀 수 있는 여러 형태의 1계 상미분 방정식들과 그 해법을 상세하게 설명하고 있으므로, 이 섹션에서는 해당 내용을 간략하게 언급하고 추가적인 방정식 형태는 다루지 않는다.

3. 1. 용어

求積法|구적법^일본어으로 풀 수 있다는 표현은, 주어진 미분방정식의 해를 초등 함수와 적분(정적분 또는 부정적분)의 조합으로 나타낼 수 있다는 의미이다.^[9]

3. 2. 1계 상미분 방정식

다음의 1계 상미분 방정식( ''F''는 임의의 함수)

:

\frac{ d y }{ d x } = F ( y )

는 구적법으로 풀 수 있다.^[9] 위 식을

\frac{ dy }{ F ( y ) } = dx

로 다시 쓰고 (변수 분리 참조), 양변의 부정적분을 구하면

:

\int \frac{ d y }{ F ( y ) } = x - x_0

를 얻는다(''x''₀는 적분 상수). 좌변의 부정적분의 역함수를 ''φ''라고 하면,

y = \phi ( x - x_0 )

가 구해진다.^[9]

3. 3. 구적법으로 풀 수 있는 주요 1계 상미분 방정식

다음의 1계 상미분 방정식 (''F''는 임의의 함수)

:

\frac{ d y }{ d x } = F ( y )

는 구적법으로 풀 수 있다^[9]。 위 식을

\frac{ dy }{ F ( y ) } = dx

로 다시 쓰고 (변수 분리도 참조), 양변의 부정적분을 구함으로써

:

\int \frac{ d y }{ F ( y ) } = x - x_0

를 얻는다(''x''₀는 적분 상수). 좌변의 부정적분의 역함수를 ''φ''라고 하면, 양해의 표시

y = \phi ( x - x_0 )

가 구해진다^[9]。

:

\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x) = 0.

일반해는, ''C''를 적분 상수라고 하면,

:

y = \exp\left(-\int p(x)\,dx\right) \left[\, C - \int \left\{ q(x)\exp\left(\int p(x)\,dx\right) \right\} dx \right]

로 주어진다.

:

\frac{\,dy\,}{dx}=f\left(\frac{\,y\,}{x}\right).

이 동차 상미분 방정식 ''dy/dx=f''(''y/x'')에 대해, ''y=ux''로 놓으면, 동차 상미분 방정식이

::

\frac{\,du\,}{dx}=\frac{\,f(u)-u\,}{x}

가 되어, 변수 분리형이 된다. 이 적분을 계산하면, 동차 상미분 방정식의 일반해는,

:

x=C\exp\left[\int \frac{du}{\;f(u)-u\;}\, \right], \; \; \; \; \; \left( u=\frac{\,y\,}{x} \right)

로 주어진다. ''C''는 적분 상수이다.

:

\frac{\,dy\,}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0, \; \; \; \; \; (n \ne{} 0, \; 1).

이 식에 대해, ''z'' = ''y''^{1 − n}라고 두면,

::

\frac{\,dz\,}{dx}+(1-n)p(x)z+(1-n)q(x)=0

이 되어, ''z''에 관한 1계 선형 상미분 방정식으로 귀착된다.

:

y=xp+f(p), \; \; \; \; \Bigl(p \equiv \frac{\,dy\,}{dx}\Bigr).

일반해는 ''y=Cx+f''(''C'') 형태의 직선족이다. 특이해는 이 직선족의 포락선이며, 원래 방정식 ''y = xp + f''(''p'')와 ''x'' + = 0에서 ''p''를 소거하여 얻을 수 있다.^[11]

:

y=x\varphi(p)+\psi(p), \; \; \; \; \Bigl(p \equiv \frac{\,dy\,}{dx}\Bigr).

이 식의 양변을 ''x''로 미분하면, ''x'', ''p''에 관한 1계 선형 상미분 방정식,

::

[\varphi(p)-p]\frac{\,dx\,}{dp}+ \frac{\,d\varphi(p)\,}{dp}x + \frac{\,d\psi(p)\,}{dp} =0

이 되고, 이 해와 원래 방정식 ''y=x''φ(''p'')+ψ(''p'')에서 ''p''를 소거하면 일반해를 얻을 수 있다. 또는 ''p''를 매개변수로 생각해도 좋다. 또한 이 방정식은 달랑베르(d'Alembert) 미분 방정식이라고도 불린다.

:

\frac{\,dy\,}{dx}+ay^2 = bx^m.

이 상미분 방정식은, ''m'' = −2, ''m'' = 인 경우 구적법으로 풀 수 있다. 단, ''k''는 정수이다.

:

P(x,\; y)dx+Q(x,\; y)dy=0.

위의 미분 방정식에서, ''P''(''x'', ''y'')''dx''+''Q''(''x'', ''y'')''dy''=0의 좌변이 완전 미분식(완전 미분 형식)인 경우, 해를 구할 수 있는 조건은,

::

\frac{\;\partial{P}\;}{\partial{y}} = \frac{\;\partial{Q}\;}{\partial{x}}

이다. 일반해는,

::

\int P \, dx + \int \left(Q - \frac{\partial}{\partial{y}} \int P \, dx \right)\,dy =C

로 표시할 수 있다. ''C''는 적분 상수이다.

4. 현대적 의미

적분법의 발명으로 면적 계산을 위한 보편적인 방법이 나왔다. 이에 따라, "구적법"이라는 용어는 전통적인 용어가 되었으며, 대신 현대적인 구문인 "면적 구하기"가 "단변량 정적분의 계산"에 더 일반적으로 사용된다.

참조

_[1] 학술지 Über die Zahl π https://babel.hathit[...] 1882
_[2] 학술지 The transcendence of {{pi}} has been known for about a century—but who was the man who discovered it?
_[3] 서적 A History of Mathematics: An Introduction https://archive.org/[...] Addison Wesley Longman
_[4] 문서 Journey through Mathematics
_[5] 서적 マグローヒル数学用語辞典日刊工業新聞社
_[6] 문서 岩波数学辞典
_[7] 문서
_[8] 서적 The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English Mathematical Association of America 1994
_[9] 문서
_[10] 문서 岩波数学辞典
_[11] 문서 岩波数学辞典

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com