대원

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1. 개요
2. 정의 및 성질
- 2.1. 정의
- 2.2. 성질
3. 최단 경로 증명
- 3.1. 변분법 적용
- 3.2. 오일러-라그랑주 방정식 해
4. 응용
5. 한국의 역사와 문화 속 대원
참조

1. 개요

대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교차로 생기는 원으로, 구면에서 그릴 수 있는 가장 큰 원이다. 이는 구면기하학에서 유클리드 공간의 직선에 대응하는 개념이며, 두 점 사이의 최단 표면 경로인 단호의 길이는 대원 거리로 측정된다. 대원은 지구과학, 천문학, 항법 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 대원 항법은 항공 및 해상에서 최단 경로를 계산하는 데 사용된다.

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대원
지도
개요
정의	구의 표면에서 반지름이 가장 큰 원
다른 이름	정형권 측지선 대권 오르토드롬
영어 이름	Great Circle
일본어 이름	大円 (だいえん)
로마자 표기	Daen
한자 표기	大圓
관련 개념	구면 기하학, 구면 삼각형, 구면 과잉, 반지름
특징
중심	구의 중심과 일치
지름	구의 지름과 동일
길이	2πr (r은 구의 반지름)
구면상의 직선	구면상 두 점을 잇는 최단 경로
대척점	대원의 두 교차점
활용
항해	대권 항법, 대권 경로
항공	대권 경로, 대권 비행
지도 제작	대권 표기
천문학	천구 좌표계, 천구 대원
지리학	지구본, 지리 좌표
GPS	거리 계산 및 경로 설정
예시
지구의 예	적도, 경선 (자오선)
수학적 정의
R^n+1	R^n+1 공간에서 구면을 정의할 때, 구면의 부분 공간으로 정의될 수 있음
추가 정보
리만 원	리만 원과 관련

2. 정의 및 성질

대원은 구면기하학에서 유클리드 공간의 직선에 대응되는 개념으로, 구면에서 그릴 수 있는 가장 큰 원이다. 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구면이 만나서 생기는 원이다.

구면 위에서 서로 대척점(구의 중심에 대해 정반대에 위치한 두 점)이 아닌 두 점을 지나는 유일한 대원이 존재한다. 대척점을 지나는 대원은 무한히 많다. 구면 위의 두 점 사이를 잇는 두 대원호 중 짧은 쪽을 '단호'라고 하며, 이는 두 점 사이의 최단 경로이다. 단호의 길이는 두 점 사이의 대원 거리이며, 두 점과 구의 중심이 이루는 중심각의 크기에 비례한다.

대원의 모든 지름은 구의 지름과 일치하며, 대원으로 둘러싸인 원판을 '대원판'이라고 한다. 더 높은 차원에서는 ''n''-구면의 대원은 유클리드 공간에서 원점을 지나는 2차원 평면과 ''n''-구면의 교집합이다. 대원의 절반은 '대반원'이라고 할 수 있다(예: 천문학에서 자오선의 일부).

2. 1. 정의

구면기하학에서 대원은 유클리드 공간의 직선에 대응되는 개념이다. 대원은 구면에서 그릴 수 있는 가장 큰 원이며, 구와 같은 중심과 반지름을 갖는다. 구의 중심을 지나는 평면과 구면이 만나서 생기는 원이 대원이다. 소원은 구의 중심을 지나지 않는 평면과 구면의 교집합이다.

3차원 유클리드 공간의 모든 원은 정확히 하나의 구면의 대원이 된다.

2. 2. 성질

구면기하학에서 대원은 유클리드 공간의 직선에 대응되는 개념이다. 구면 위에서 서로 대척점(구의 중심에 대해 정반대에 위치한 두 점)이 아닌 두 점을 지나는 유일한 대원이 존재한다. 대척점을 지나는 대원은 무한히 많다. 구면 위의 두 점 사이를 잇는 두 대원호 중 짧은 쪽을 '단호'라고 하며, 이는 두 점 사이의 최단 경로이다. 단호의 길이는 두 점 사이의 대원 거리이며, 두 점과 구의 중심이 이루는 중심각의 크기에 비례한다.

대원은 주어진 구면에 그릴 수 있는 가장 큰 원이다. 대원의 모든 지름은 구의 지름과 일치하므로, 모든 대원은 구와 같은 중심을 가지며 반지름도 같다. 대원으로 둘러싸인 원판을 '대원판'이라고 하며, 이는 구와 그 중심을 지나는 평면의 교집합이다.

3. 최단 경로 증명

변분법을 이용하면 대원의 짧은 호가 구면 위의 두 점을 잇는 최단 경로임을 증명할 수 있다.

3. 1. 변분법 적용

점 p에서 점 q로 가는 모든 정칙 경로의 집합을 고려하고, 구면 좌표계를 도입하여 p를 북극과 일치시킨다. 극점을 제외하고 양쪽 극점과 교차하지 않는 구면 위의 임의의 곡선은 다음과 같이 매개변수화할 수 있다.

:

\theta = \theta(t),\quad \phi = \phi(t),\quad a\le t\le b

여기서

\phi

는 임의의 실수 값을 가질 수 있다. 이 좌표계에서 미소 호 길이는 다음과 같다.

:

ds=r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.

따라서 p에서 q까지의 곡선

\gamma

의 길이는 다음과 같이 주어지는 곡선의 함수형이다.

:

S[\gamma]=r\int_a^b\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt.

오일러-라그랑주 방정식에 따르면,

S[\gamma]

는 다음과 같은 경우에만 최소화된다.

:

\frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C

여기서

C

는

t

에 독립적인 상수이고,

:

\frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}.

이 두 방정식의 첫 번째 방정식에서 다음을 얻을 수 있다.

:

\phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}

.

양변을 적분하고 경계 조건을 고려하면,

C

의 실수 해는 0이다. 따라서

\phi'=0

이고

\theta

는 0과

\theta_0

사이의 임의의 값일 수 있으며, 이는 곡선이 구의 자오선 위에 있어야 함을 나타낸다. 데카르트 좌표계에서 이것은 다음과 같다.

:

x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0

이는 원점(즉, 구의 중심)을 통과하는 평면이다.

3. 2. 오일러-라그랑주 방정식 해

오일러-라그랑주 방정식에 따르면,

S[\gamma]

는 다음 조건에서 최소화된다.

:

\frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C

(여기서

C

는

t

에 독립적인 상수)

:

\frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}

첫 번째 방정식에서 다음을 얻는다.

:

\phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}

양변을 적분하고 경계 조건을 고려하면,

C

의 실수 해는 0이다. 따라서

\phi'=0

이고,

\theta

는 0과

\theta_0

사이의 임의의 값일 수 있으며, 이는 곡선이 구의 자오선 위에 있어야 함을 의미한다. 데카르트 좌표계에서는 다음과 같다.

:

x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0

이는 원점(구의 중심)을 지나는 평면이다.

4. 응용

대원은 지구과학, 천문학, 항법 등 다양한 분야에서 활용된다.

천구에서 대원의 예로는 천구의 지평선, 천구 적도, 황도가 있다. 대원은 지구 표면의 측지선에 대한 매우 정확한 근사로 사용되며, 구형의 천체에서도 마찬가지로 사용된다.^[1]

이상적인 지구의 적도는 대원이며, 모든 자오선과 그 반대편 자오선은 대원을 이룬다. 육지와 해양 반구를 나누는 것도 대원이다. 대원은 지구를 두 반구로 나누며, 한 점을 지나는 대원은 반드시 그 대척점도 지난다.^[1]

Funk transform^영어은 함수를 구면상의 대원 위에서 적분한다.^[1]

4. 1. 지구과학 및 측지학

지구는 완벽한 구는 아니지만, 대원은 지구 타원체 상의 측지선을 근사하는 데 사용될 수 있다.^[1] 육지와 해양 반구를 나누는 경계선은 대원이다.^[1] 적도는 대원의 한 예시이며, 모든 자오선과 그 반대편 자오선은 대원을 이룬다.^[1] 대원은 지구를 두 반구로 나누며, 한 점을 지나는 대원은 반드시 그 대척점도 지난다.^[1]

4. 2. 천문학

천구에서 대원의 예로는 천구의 지평선, 천구 적도, 황도가 있다.^[1] 이들은 천체의 위치와 운동을 나타내는 데 사용되며, 한국 전통 천문학에서도 중요한 역할을 했다.

4. 3. 항법

대원은 지구 표면에서의 최단 경로를 나타내므로, 항공 및 해상 대원 항법에 활용된다.^[1] 특히, 장거리 비행이나 항해 시 연료 효율을 높이고 시간을 단축하기 위해 대원 경로를 이용한다. 지구를 포함한 천체는 회전 타원체이기 때문에 완벽한 구는 아니지만, 지표 등의 타원체 위의 측지선의 고정밀 근사치로서도 대원이 사용되며, 항공로나 해상로의 대권항로가 설정된다.

4. 4. 기타 응용

Funk transform^영어은 함수를 구면상의 대원 위에서 적분한다.^[1]

5. 한국의 역사와 문화 속 대원

한국의 역사와 문화 속에서 대원은 다양한 형태로 나타난다.

참조

_[1] 웹사이트 Great Circle -- from Wolfram MathWorld https://mathworld.wo[...] 2022-09-30
_[2] 서적 Loxodrome (Rhumb Line), Orthodrome (Great Circle), Great Ellipse and Geodetic Line (Geodesic) in Navigation https://dl.acm.org/d[...] CRC Press, Inc. 2014

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