CW 복합체

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1. 개요

CW 복합체는 위상 공간의 일종으로, 세포라고 불리는 기본 요소들을 접착하여 구성된다. CW 복합체는 하우스도르프 공간이며, 콤팩트 생성 공간이다. CW 복합체는 뼈대를 사용하여 귀납적으로 정의될 수 있으며, 다양한 연산에 대해 닫혀 있다. CW 복합체는 호모토피 이론에서 중요한 역할을 하며, 세포 호몰로지, 화이트헤드 정리, 세포 근사 정리와 같은 개념과 관련이 있다. 다양한 공간들이 CW 복합체 구조를 가지며, n차원 구, n차원 사영 공간, 그라스만 다양체 등이 그 예시이다. CW 복합체는 1949년 존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드에 의해 정의되었으며, 이름의 "C"는 폐포 유한성, "W"는 약한 위상을 의미한다.

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CW 복합체
CW 복합체
분야	대수적 위상수학
유형	위상 공간
명명 유래	J. H. C. Whitehead의 논문에서 "closure-finite"와 "weak topology"의 약자
관련 개념	단체 복합체 핸들 분해 포함 축퇴 공간 호모토피 특이 호몰로지 특이 코호몰로지

2. 정의

CW 복합체는 세포들로 구성된 위상 공간으로, 각 세포는 유클리드 공간의 열린 공과 위상 동형이다. CW 복합체는 세포(cell)라고 불리는 기본 요소로 구성되며, 세포가 어떻게 위상적으로 접착되는지를 규정한다. CW 복합체의 C는 "폐포 유한성"(closure finite)^[17]을 나타내고, W는 "약한 위상"(weak topology)을 나타낸다.

$n$ 차원 닫힌 세포는 $n$ 차원 유클리드 공간상의 닫힌 구체 $D^n$ 와 위상동형인 공간을 가리킨다. 예를 들어, $n$ 차원 공간에서의 단순체(3차원 공간이면 사면체)는 닫힌 세포이며, 더 일반적으로 말하면, 볼록 초다면체가 닫힌 세포에 대응한다. 한편, $n$ 차원 열린 세포는 $D^n$ 의 내부에 위상동형인 공간을 가리킨다. 0차원 열린 (그리고 닫힌) 세포는 점 공간으로 정의한다.

CW 복합체는 하우스도르프 공간 $X$ 와, 다음의 두 가지 성질을 만족하는 열린 세포로의 분할 $\{ e^k_{\alpha} \}$ 를 가리킨다.

각 열린 세포 $e^n_\alpha$ 에 대해, $n$ 차원 닫힌 구체로부터의 연속 사상 $f:D^n\to X$ 가 존재하며, 다음의 두 조건을 만족한다.
$f$ 의 정의역을 $D^n$ 의 내부에 제한했을 때, 이는 $e^n_\alpha$ 로의 위상동형 사상이다.
$D^n$ 의 경계 $\partial D^n$ 는 $\{ e^k_{\alpha} \}$ 에 포함된 유한 개의 세포의 합집합으로 사상되며, 이 유한 개의 세포의 차원은 모두 $n$ 이하이다 (이 조건이 폐포 유한성에 대응한다).
$X$ 의 부분 집합 $A$ 에 대해, $X$ 에 포함된 임의의 세포의 폐포와 $A$ 와의 교차 $\bar e^n_\alpha \cap A$ 가 $\bar e^n_\alpha$ 에서의 닫힌 집합이 되는 경우, 그리고 그 경우에만, $A$ 가 닫힌 집합이 된다 (이 조건이 약한 위상에 대응한다).

CW 복합체의 정의는 직접적 정의, 귀납적 정의, 추상적 정의 등 세 가지 방식으로 설명될 수 있다.

2. 1. 직접적 정의

하우스도르프 공간

X

위의 '''CW 복합체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[23]

각 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 연속 함수 $\mathbb D^n\to X$ 들의 집합 $\Phi_n$ . $\Phi_n$ 의 원소를 $n$ 차원 '''세포'''(cell^영어)라고 한다.

이들은 다음 네 조건들을 만족시켜야 한다.

각 $n$ 차원 세포 $\phi\in\Phi_n$ 에 대하여, $\phi|_{\operatorname{int}\mathbb D^n}$ 은 그 치역과의 위상 동형이다.
각 $x\in X$ 에 대하여, $x\in \phi(\operatorname{int}\mathbb D^n)$ 인 유일한 $(n\in\mathbb N,\phi\in\Phi_n)$ 이 존재한다.
(C) 각 $n$ 차원 세포 $\phi\in\Phi_n$ 에 대하여, 그 경계 $\partial(\Phi_n)$ 은 $n$ 미만 차원의 유한 개의 세포들의 내부와 교차한다.
(W) $X$ 의 부분 집합 $C\subseteq X$ 이 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 $n\in\mathbb N$ 및 $\phi\in\Phi_n$ 에 대하여 $\phi^{-1}(C)\subseteq\mathbb D^n$ 가 닫힌집합인 것이다.

위 정의에서

\operatorname{int}\mathbb D^n=\mathbb D^n\setminus\partial\mathbb D^n

은

n

차원 닫힌 공의 내부, 즉

n

차원 열린 공이다.

2. 2. 귀납적 정의

CW 복합체는 뼈대(skeleton)를 이용하여 귀납적으로 정의할 수 있다.

n

차원 뼈대는

n-1

차원 뼈대에

n

차원 세포들을 붙여서 만들어진다.^[23]

n

차원 뼈대는 다음과 같이 정의되는 위상 공간이다.

# −1차원 뼈대는 공집합이다.

#

n-1

차원 뼈대가 주어졌을 때,

n

차원 뼈대를 구성하기 위하여, 임의의 기수

\kappa_n

및 연속 함수

\phi_n \colon (\mathbb S^{n-1})^{\sqcup \kappa_n} \to X

에 대하여, 붙임 공간

X_n = X_{n-1} \cup_{\phi_n}(\mathbb D^n){\sqcup \kappa_n}

을 취한다.

위 정의에서,

\mathbb S^n

은

n

차원 초구이며

\mathbb D^n \supsetneq \mathbb S^{n-1}

은

n

차원 닫힌 공이다. 특히

\mathbb S^{-1} = \varnothing

이며

\mathbb D^0 = \{\bullet\}

이다 (한원소 공간).

n

차원 뼈대

X_n

이 주어졌다면, 낮은 차원의 뼈대에 대한 포함 사상

:

X_0\hookrightarrow X_1\hookrightarrow X_2\hookrightarrow\cdots

이 존재한다. '''CW 복합체'''는 유한 차원 뼈대들의 귀납적 극한이다. 즉, 뼈대들의 포함 관계

:

X_0\hookrightarrow X_1\hookrightarrow\cdots

의 귀납적 극한

:

X_\infty=\varinjlim_{n\to\infty}X_n

이다.

이 귀납적 정의에서, 세포의 폐포가 콤팩트 공간이기 때문에 무한 개의 세포들을 포함할 수 없다는 조건은 자동적으로 성립한다. 또한 귀납적 극한의 정의에 약한 위상 조건이 포함돼 있다.^[23]

2. 3. 추상적 정의

CW 복합체는 쌍대 완비 범주, 사상들의 집합, 시작 대상 등을 이용하여 추상적으로 정의할 수 있다.

쌍대 완비 범주

\mathcal C

,

\mathcal C

속의 사상들의 집합

\mathfrak M\subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal C)

,

\mathcal C

속의 대상

X_0

가 주어졌을 때,

\mathcal C

속에서

X_0

위의 '''세포 복합체'''는 다음과 같은 데이터로 정의된다.

순서수 $\eta \in\operatorname{Ord}$
각 순서수 $\alpha < \eta$ 에 대하여, 사상 $\iota_\alpha\colon S_\alpha\to D_\alpha$ . ( $\iota_\alpha\in\mathfrak M$ ) 이를 ''' $\alpha$ 번째 세포'''라고 한다.
각 순서수 $\alpha < \eta$ 에 대하여, 사상 $\phi_\alpha \colon S_\alpha \to X_\alpha$ . 이를 '''접착 사상'''이라고 한다.

여기서

X_\alpha

는 모든

\alpha\le\eta

에 대하여 초한 귀납법으로 정의된다.

$\alpha=\beta+1$ 가 극한 순서수가 아닐 때, $X_{\beta+1}$ 는 다음과 같은 밂에 등장하는 사상이다.
:

:

\begin{matrix}S_\beta & \overset{\iota_\beta}\to & D_\beta \\{\scriptstyle\phi_\beta} \downarrow {\color{White}\scriptstyle\phi_\beta} && \downarrow \\X_\beta & \underset{f_{\beta+1}}\to & X_{\beta+1}\end{matrix}

$\alpha$ 가 극한 순서수라면, $X_\alpha$ 는 $(f_\beta)_{\beta<\alpha}$ 들에 대한 귀납적 극한(쌍대극한)이다.
: $X_\alpha = \varinjlim_{\beta<\alpha} X_\beta$

0은 극한 순서수이며,

X_0

는 빈 그림의 쌍대극한이므로

\mathcal C

의 시작 대상이다.

이러한 과정을 통해 대상

X_\eta

를 얻는다. 이는 시작 대상

X_0

위에

D_\alpha

들을 “경계”

S_\alpha

를 통해

\eta

번 “붙여서” 얻는 것으로 이해할 수 있다.

위상 공간의 범주

\operatorname{Top}

에서 CW 복합체를 정의하면 다음과 같다.

:

\eta = \omega

:

\iota_n \colon (\mathbb S^{n-1})^{\sqcup \kappa_n} \to (\mathbb D^n)^{\sqcup \kappa_n}

$(\kappa_n)_{n<\omega}$ 는 임의의 (0 또는 유한 또는 무한) 기수들의 수열이다.
$\phi_n \colon (\mathbb D^n)^{\sqcup\kappa_n} \to X_n$ 은 임의의 연속 함수이다.
$\mathbb S^{-1}=\varnothing$ 이며 $\mathbb D^0 = \{\bullet\}$ (한원소 공간)이다.

(단, 차수가 1만큼 다르다. 이 정의에서

X_0=\varnothing

이며,

X_1

은 이산 공간이며,

X_n

은

n-1

차원까지의 세포들로 구성된다.)^[23]

2. 4. 정규 CW 복합체

붙임 사상이 위상 동형인 CW 복합체를 정규 CW 복합체라고 한다. 따라서 ''X''의 분할을 '''정규 세포 분할'''이라고도 한다.^[23]

어떤 n차원 닫힌 공에서 CW 복합체 전체로의 연속 사상에 대해, 그 사상의 치역을 X의 분할에 포함되는 각 열린 세포 C의 폐포로 한정했을 때, 그 사상 f가 동형 사상이 되는 경우, 이 CW 복합체를 정규 CW 복합체라고 한다.

2. 5. 상대 CW 복합체

상대 CW 복합체는 CW 복합체와는 다르게 세포 구조를 꼭 갖지 않아도 되는 구성 요소를 추가로 허용한다. 이 추가되는 요소는 이전 정의에서 (-1)차원 세포로 취급할 수 있다.^[23]

CW 복합체의 정의에서는 X의 분할에 나타나는 X의 부분 집합은 모두 세포여야 했다. 즉, 각 부분 집합은 어떤 n차원 공간 위의 열린 공과 위상 동형이어야 했다. 반면, 상대 CW 복합체에서는 X의 분할에 나타나는 부분 집합 중 하나만 세포의 성질을 유지할 필요가 없으며, 이 세포의 성질을 갖지 않는 부분 집합을 특히 -1차원 세포로 취급한다.^[23]

3. 연산

CW 복합체들의 모임은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.

두 CW 복합체의 콤팩트 생성 공간으로서의 곱은 CW 복합체이다. 집합으로서 이는 항상 곱집합이지만 그 위의 위상은 곱위상보다 더 섬세할 수 있다. 구체적으로, 곱공간이 비가산 개의 세포를 포함하고 또 원래의 두 CW 복합체가 모두 국소 콤팩트 공간이 아닐 경우 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상을 갖는다.
CW 복합체의 피복 공간은 CW 복합체이다.
만약 $X$ 와 $Y$ 가 CW 복합체이며, $X$ 가 유한 개의 세포로 구성되었다면, 콤팩트-열린집합 위상을 부여한 함수 공간 $\hom(X,Y)$ 는 CW 복합체와 호모토피 동치이다.^[24]

4. 성질

CW 복합체는 다음과 같은 성질을 갖는다.

하우스도르프 공간이며 정규 공간이다.^[23]
국소 축약 가능 공간이다.^[23]
파라콤팩트 공간이다.
콤팩트 생성 공간이다.^[23]
유한 개의 세포들로 구성된 CW 복합체는 콤팩트 공간이다.
모든 세포의 폐포는 오직 유한 개의 세포들과 공집합이 아닌 교집합을 갖는다.
국소적으로 수축 가능하다.^[9]
호모토피 동치인 공간은 좋은 열린 덮개를 갖는다.^[10]
덮개 공간은 CW 복합체이다.^[13]
화이트헤드 정리를 만족시킨다.
세포 근사 정리가 성립한다.
두 CW 복합체의 곱은 약한 위상을 부여하여 CW 복합체로 만들 수 있다. (콤팩트 생성 공간 범주에서는 두 위상이 일치)
함수 공간 Hom(''X'',''Y'') (콤팩트-열린 위상)은 일반적으로 CW 복합체가 아니지만, ''X''가 유한하면 CW 복합체와 호모토피 동치이다.^[14]

4. 1. 호모토피 이론적 성질

CW 복합체는 파라콤팩트이며 하우스도르프 공간이다. 유한 CW 복합체는 콤팩트이며, CW 복합체의 콤팩트 부분 공간은 항상 유한 부분 복합체에 포함된다.^[11]^[12] CW 복합체는 국소 축약 공간이기도 하다.^[9]

두 CW 복합체의 곱은 CW 복합체로 만들 수 있다. ''X''와 ''Y''가 CW 복합체이면, 각 세포가 ''X''의 세포와 ''Y''의 세포의 곱인 CW 복합체 ''X'' × ''Y''를 형성할 수 있으며, 이는 약한 위상을 갖는다. 그러나 약한 위상은 곱 위상보다 더 미세할 수 있다. 콤팩트 생성 공간 범주에서 ''X''와 ''Y''의 곱은 약한 위상과 일치하므로 CW 복합체를 정의한다.

함수 공간 Hom(''X'',''Y'') (콤팩트-열린 위상을 갖는)는 일반적으로 CW 복합체가 아니다. 하지만, ''X''가 유한하면 Hom(''X'',''Y'')는 존 밀너의 정리에 의해 CW 복합체와 호모토피 동치이다.^[14]

CW 복합체의 덮개 공간 또한 CW 복합체이다.^[13]

4. 1. 1. 세포 호몰로지

단체 복합체에 대하여 단체 호몰로지를 정의할 수 있는 것처럼, CW 복합체에 대하여 그 CW 구조를 사용하여 '''세포 호몰로지'''(cellular homology^영어)라는 호몰로지 이론을 정의할 수 있다. CW 복합체에 대한 세포 호몰로지는 특이 호몰로지와 일치한다.

CW 복합체

X

의

n

차원 뼈대가

X_n

이라고 하면,

:

\varnothing=X_{-1}\subseteq X_0\subseteq X_1\subseteq X_2\subseteq\cdots\subseteq X_\infty=X

이다. 임의의

n

에 대하여, 상대 호몰로지

:

\operatorname H_n(X_n,X_{n-1})

는 자유 아벨 군이며, 그 생성원들은

X

의

n

차원 세포

\{e_\alpha^n\}_{\alpha\in I_n}

들과 표준적으로 대응한다.

그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 생각할 수 있다.

:

C_n=\operatorname H_n(X_n,X_{n-1})

:

\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}

:

\partial_n\colon e_\alpha^n\mapsto\sum_\beta(\deg \chi_n^{\alpha\beta})e^{n-1}_\beta

여기서

\deg

는 브라우어르 차수이며,

\chi_n^{\alpha\beta}

는 다음과 같다.

:

\chi_{n}^{\alpha \beta}\colon\partial e_\alpha^n \hookrightarrow X_{n - 1}  \twoheadrightarrow X_{n - 1} /( X_{n - 1} \setminus e^{n - 1}_\beta)

이 경우

\partial e_\alpha^n\cong\mathbb S^{n-1}\cong X_{n - 1} /( X_{n - 1} \setminus e^{n - 1}_\beta)

이므로, 브라우어르 차수가 잘 정의된다.

이 CW 복합체에 대하여 취한 호몰로지를

X

의 '''세포 호몰로지'''라고 한다. 세포 복합체를 쌍대화하여, '''세포 코호몰로지'''(cellular cohomology^영어) 역시 정의할 수 있다.

4. 1. 2. 화이트헤드 정리

두 CW 복합체 사이의 연속 함수가 호모토피 동치가 될 필요충분조건은 이 함수가 약한 호모토피 동치(모든 호모토피 군의 동형을 유도하는 연속 함수)를 이루는 것이다.^[23] 따라서, CW 복합체의 경우 호모토피 동치와 약한 호모토피 동치를 구별할 필요가 없다.

4. 1. 3. 세포 근사 정리

세포 근사 정리(細胞近似定理, cellular approximation theorem^영어)에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 임의의 연속 함수

f\colon X\to Y

는 세포 함수와 호모토픽하다. 또한, 부분 CW 복합체

A\subseteq X

에 대하여

f|_A\colon A\to Y

가 세포 함수라면, 이 호모토피는

A

에 대하여 고정되게 잡을 수 있다. 따라서, 호모토피 이론에서는 CW 복합체 사이의 모든 연속 함수를 세포 함수로 가정할 수 있다.

4. 2. 모형 범주 이론적 성질

추상적으로, 모든 위상 공간의 범주에 올뭉치가 세르 올뭉치이며, 약한 동치가 약한 호모토피 동치인 모형 범주 구조를 줄 수 있다. 이 모형 범주에서, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다. CW 복합체의 화이트헤드 정리는 일반적인 모형 범주에서의 화이트헤드 정리의 특수한 경우이다.

5. 예시

CW 복합체는 세포(cell)라고 불리는 기본 요소로 구성되며, 세포가 위상적으로 어떻게 접착되는지를 규정한다. 일반적으로 위상 공간의 CW 복합체 구조는 단체 복합체 구조보다 더 간단하다.

다양한 위상 공간에 CW 복합체 구조를 부여할 수 있다. 다면체는 CW 복합체이며, 그래프는 1차원 CW 복합체이다. n차원 구는 0차원 세포 하나와 n차원 세포 하나로 구성된 CW 구조를 갖는다. n차원 실수 사영 공간은 각 차원에 하나의 세포를 갖는 CW 구조를 가지며, 그라스만 다양체는 슈베르트 세포(Schubert cell^영어)라는 CW 구조를 갖는다. 미분 가능 다양체와 대수 및 사영 다양체는 CW 복합체의 호모토피 유형을 갖는다.

5. 1. 낮은 차원의 CW 복합체

(유한 또는 무한) 이산 공간은 0차원 CW 복합체이다.

(유한 또는 무한) 다중 그래프는 1차원 CW 복합체와 동치이다. 이 경우, 그래프 이론과 위상수학의 개념은 다음과 같이 대응된다.

다중 그래프 $\Gamma$	CW 복합체 $X$
꼭짓점 집합 $\operatorname V(\Gamma)$	0차원 뼈대 $X_0$
변 $e\in \operatorname E(\Gamma)$	$X_0$ 에 연결된 1차원 세포 $e_a\cong[0,1]$
변 $e$ 의 양끝점 $u,v\in \operatorname V(\Gamma)$ ( $u=v$ 일 수 있음)	$e_a$ 의 접착 사상 $\phi_a \colon \{0,1\} \to X_0$ 의 치역
연결 다중 그래프	연결 공간

1차원 CW 복합체의 몇 가지 예는 다음과 같다.

'''원''': 단일 점 ''x''와 1차원 공 ''B''에서 구성할 수 있으며, ''B''의 ''두'' 끝점 모두 ''x''에 붙는다.
'''그래프''': 그래프가 주어지면, 0-세포가 그래프의 꼭짓점이고 1-세포가 그래프의 변인 1차원 CW 복합체를 구성할 수 있다.
3-정규 그래프는 ''일반적인'' 1차원 CW 복합체로 간주될 수 있다.^[21]

5. 2. 유클리드 공간

유클리드 공간 $\mathbb R^n$에는 다음과 같은 CW 구조를 줄 수 있다.

0-뼈대는 격자 $\mathbb Z^n\subset\mathbb R^n$이다.
1-뼈대는 $\mathbb R^n$ 속의, 격자점들에 대한 선분들이다.
2-뼈대는 $\mathbb R^n$ 속의, 격자점들에 대한 정사각형들이다.
⋮
$n$-뼈대는 격자점들에 대한 $n$차원 초입방체들이다.

5. 3. 초구

n\ge1

차원 초구

\mathbb S^n

위에는 두 개의 세포만을 갖는 CW 구조를 줄 수 있다.^[7]^[21]

하나의 0차원 세포 $\bullet$
하나의 $n$ 차원 세포 (이 세포의 경계 전체는 $\bullet$ 으로 이어붙여진다.)

5. 4. 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간에는 각 짝수 차원에 하나의 세포를 갖는 CW 구조가 존재한다.

5. 5. 실수 사영 공간

실수 사영 공간에는 각 차원에 하나의 세포를 갖는 CW 구조가 존재한다.^[7]

5. 6. 그라스만 다양체

그라스만 다양체는 '''슈베르트 세포'''(Schubert cell^영어)라는 표준적인 CW 구조를 갖는다.^[7]

5. 7. 다양체

다양체는 모두 CW 복합체의 호모토피 유형을 갖는다. 모스 이론을 이용하여 다양체에 CW 복합체 구조를 줄 수 있다.

미분 가능 다양체는 CW 복합체의 호모토피형을 갖는다.^[7]

5. 8. C · W 조건이 성립하지 않는 복합체

일부 저자들은 C 조건 및 W 조건이 성립하지 않을 수 있는 복합체를 "화이트헤드 복합체"나 "세포 복합체"라고 부른다.^[23]

2차원 원판

\mathbb D^2

위에 다음과 같은 화이트헤드 복합체 구조를 정의할 수 있다.

2차원 세포 $\mathbb D^2\to\mathbb D^2$ (항등 함수)
각 $x\in\partial\mathbb D^2$ 에 대하여, 0차원 세포 $\mathbb D^0\to \mathbb D^2$

이는 CW 복합체의 정의에서 W 조건을 따르지만 C 조건만을 따르지 않아 CW 복합체가 아니다.

임의의 위상 공간

X

위에, 다음과 같이 자명한 화이트헤드 복합체 구조를 줄 수 있다.

각 점 $x\in X$ 에 대하여 0차원 세포 $\mathbb D^0\hookrightarrow X$

이는 CW 복합체의 정의에서 C 조건을 (자명하게) 따르지만 (

X

가 이산 공간이 아니라면) W 조건을 따르지 않아 CW 복합체를 이루지 않는다.

다른 예시들은 다음과 같다.

무한 차원 힐베르트 공간은 CW 복합체가 아니다. 이는 베어 공간이므로, 각각 내부가 비어있는 닫힌 집합인 ''n''-골격의 가산 합으로 표현될 수 없다. 이 논증은 다른 많은 무한 차원 공간으로 확장된다.
고슴도치 공간 $\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subseteq \mathbb C$ 는 CW 복합체(점)와 호모토피 동치이지만, 국소 수축 가능하지 않기 때문에 CW 분해를 허용하지 않는다.
하와이안 이어링은 원점에서 국소 수축 가능하지 않기 때문에 CW 분해를 가지지 않는다. 또한 좋은 열린 덮개를 갖지 않기 때문에 CW 복합체와 호모토피 동치도 아니다.

5. 9. CW 복합체와 위상 동형이 아닌 공간

모든 CW 복합체는 하우스도르프 공간이므로, 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간은 CW 복합체와 위상 동형일 수 없다.

다음과 같은 공간은 국소 축약 가능 공간이 아니므로, CW 복합체와 위상 동형이지 않다.^[1]

:re|re^영어2πiθ|2πiθ^영어 : 0|0^영어 ≤ r|r^영어 ≤ 1|1^영어, θ|θ^영어 ∈ ℚ} ⊂ ℂ

그러나 이는 축약 가능 공간이므로, CW 복합체와 호모토피 동치이다.

고슴도치 공간 re|re^영어2πiθ|2πiθ^영어 : 0|0^영어 ≤ r|r^영어 ≤ 1|1^영어, θ|θ^영어 ∈ ℚ} ⊆ ℂ는 CW 복합체(점)와 호모토피 동치이지만, 국소 수축 가능하지 않기 때문에 CW 분해를 허용하지 않는다.^[1]

하와이안 이어링은 원점에서 국소 수축 가능하지 않기 때문에 CW 분해를 가지지 않는다.^[1] 또한 좋은 열린 덮개를 갖지 않기 때문에 CW 복합체와 호모토피 동치도 아니다.

5. 10. CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는 공간

하와이 귀고리는 CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는 공간의 예시이다. 하와이 귀고리는 완비 거리 공간이자 콤팩트 공간이며 경로 연결 공간이지만, CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는다.^[1] 이는 원점에서 국소 수축 가능하지 않기 때문이다.^[1]

5. 11. 다른 범주에서의 세포 복합체

임의의 범주

\mathcal C

에서 사용되는 세포

\iota_\alpha\colon S_\alpha \to D_\alpha

의 정의역들이 모두 시작 대상

S_\alpha = \varnothing

이라면, 얻는 세포 복합체

X_\eta

는 단순히 쌍대곱이다.

:

X_\eta = \bigsqcup_{\alpha<\eta} D_\alpha

표수 0의 체

K

가 주어졌다고 가정하고,

K

-가환 미분 등급 대수의 범주

\operatorname{CDGA}_K

를 생각해보자.

만약 세포들을 다음과 같이 잡을 경우,

:

S_n = K[x],\;\deg x = n,\;\mathrm dx=0\qquad (n\ge0)

:

D_n = K[y,\mathrm dy],\;\deg y=n-1 \qquad (n > 0)

:

\iota_n\colon S_n \to D_n

:

\iota_n\colon x \mapsto \mathrm dy \qquad (n > 0)

의 꼴의

K

-가환 미분 등급 대수 준동형들과

:

\iota_0 \colon K \to S_0

:

\kappa \colon S_0 \to K,\; x\mapsto 0

으로 잡을 경우, 이로부터 얻는 세포 복합체를 '''설리번 대수'''라고 한다.^[25] 이러한 준동형들을 세포로 잡는 이유는 이들이

\operatorname{CDGA}_K

의 표준적 모형 범주 구조를 생성하는 쌍대올뭉치들이기 때문이다.

6. 역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1949년에 화이트헤드 정리를 증명하기 위하여 정의하였다.^[26]^[27] "CW 복합체"라는 이름에서, C는 "폐포 유한"(closure-finite^영어)을 뜻하고, W는 약한 위상(weak topology^영어)을 뜻한다.^[23]

“폐포 유한성”이란 $n$ 차원 세포 $c_n$ 의 폐포는 오직 유한 개의 다른 세포들과 교차한다는 것이다.^[23]
“약한 위상”이란 CW 복합체가 그 뼈대들의 귀납적 극한 $\textstyle X=\varinjlim_{n\to\infty}X_n$ 임을 뜻한다.^[23]

참조

_[1] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press
_[2] 논문 Combinatorial homotopy. I. https://projecteucli[...]
_[3] 간행물 The 3-Sphere Regular Cellulation Conjecture https://twiki.di.uni[...]
_[4] 서적 Lecture Notes in Algebraic Topology American Mathematical Society 2001
_[5] 웹사이트 CW complex in nLab https://ncatlab.org/[...]
_[6] 웹사이트 CW-complex - Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...]
_[7] 웹사이트 1.3 Introduction to Algebraic Topology. Examples of CW Complexes. https://www.youtube.[...] 2020
_[8] 서적 Quantum invariants of knots and 3-manifolds Walter de Gruyter & Co. 1994
_[9] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press
_[10] 논문 On Spaces Having the Homotopy Type of a CW-Complex http://dx.doi.org/10[...] 1959-02
_[11] 문서 Algebraic topology Cambridge University Press
_[12] 문서 Vector bundles and K-theory
_[13] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press
_[14] 논문 On spaces having the homotopy type of a CW-complex
_[15] 웹사이트 Compactly Generated Spaces http://neil-strickla[...] 2012-08-26
_[16] 문서 CW-complex
_[17] 웹사이트 近代ホモトピー論（1940年代から1960年代まで） https://www.ms.u-tok[...] 2020-05-30
_[18] 서적 Lecture Notes in Algebraic Topology American Mathematical Society 2001
_[19] 웹사이트 https://ncatlab.org/[...]
_[20] 웹사이트 https://www.encyclop[...]
_[21] 문서 Quantum invariants of knots and 3-manifolds Walter de Gruyter & Co.
_[22] 서적 The topology of CW complexes Van Nostrand Reinhold Company 1970
_[23] 서적 Algebraic topology http://www.math.corn[...] Cambridge University Press
_[24] 저널
_[25] 저널 https://archive.org/[...]
_[26] 저널 Combinatorial homotopy Ⅰ 1949
_[27] 저널 Combinatorial homotopy Ⅱ 1949

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