그로텐디크 스펙트럼 열

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 그로텐디크 스펙트럼 열
- 2.2. 유도 범주와의 관계
3. 성질
- 3.1. 5항 완전열
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

그로텐디크 스펙트럼 열은 아벨 범주 사이의 함자에 대한 스펙트럼 열의 한 종류이다. 아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$ 와 왼쪽 완전 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$ 가 주어졌을 때, $A$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열 $E^{\bullet\bullet}_\bullet$ 은 $E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)$ 로 주어지며, 합성 함자 $G\circ F$ 의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다. 르레 스펙트럼 열, 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열 등이 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다. 장 르레가 1946년에 층 코호몰로지를 계산하기 위해 르레 스펙트럼 열을 도입한 것이 스펙트럼 열의 시초이며, 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 아벨 범주 이론을 통해 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입했다.

2. 정의

아벨 범주 $\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주이고, $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ 가 왼쪽 완전 함자일 때, $F$ -'''비순환 대상'''(acyclic object^영어)은 모든 양의 정수 $i$ 에 대해 $\operatorname R^iF(A)=0$ 을 만족시키는 대상 $A\in\mathcal A$ 이다.

2. 1. 그로텐디크 스펙트럼 열

단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주

\mathcal A,\mathcal B

사이의

\operatorname{Ab}

-풍성한 왼쪽 완전 함자

F\colon\mathcal A\to\mathcal B

가 주어졌다고 하자.

F

-'''비순환 대상'''(acyclic object^영어)은 다음 조건을 만족시키는 대상

A\in\mathcal A

이다.

:

\forall i\in\mathbb Z^+\colon \operatorname R^iF(A)=0

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

아벨 범주 $\mathcal A,\mathcal B, \mathcal C$
왼쪽 완전 함자 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ , $G\colon\mathcal B\to\mathcal C$
$\mathcal A$ 의 대상 $A\in\mathcal A$

이들은 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\mathcal A$ 와 $\mathcal B$ 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.
$F$ 는 $F$ -비순환 대상을 $G$ -비순환 대상으로 대응시킨다.
$A$ 는 $F$ -비순환 대상들로의 분해를 갖는다.

그렇다면,

A

에 대한 '''그로텐디크 스펙트럼 열'''

E^{\bullet\bullet}_\bullet

은 다음과 같은 제1 사분면 스펙트럼 열이다.

:

E_2^{pq} = (\operatorname R^p G \circ\operatorname R^q F)(A)

이 스펙트럼 열은 합성 함자의

G\circ F

의 오른쪽 유도 함자로 수렴한다.

:

E_2^{p,q} \Rightarrow \operatorname R^{p+q} (G\circ F)(A)

그로텐디크 스펙트럼 열의 쪽들은 표준적이지 않으며,

A

와

F(A)

의 단사 분해에 의존한다.

만약

F \colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}

와

G \colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}

가 아벨 범주 간의 가법적이고 좌 완전 함자이고,

\mathcal{A}

와

\mathcal{B}

둘 다 충분한 단사 대상을 가지며,

F

가 단사 대상을

G

-비순환 대상으로 보낸다면,

\mathcal{A}

의 각 대상

A

에 대해 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

:

E_2^{pq} = ({\rm R}^p G \circ{\rm R}^q F)(A) \Longrightarrow {\rm R}^{p+q} (G\circ F)(A),

여기서

{\rm R}^p G

는

G

의 ''p''번째 우 유도 함자를 나타내며, '

\Longrightarrow

' 화살표는 스펙트럼 열의 수렴을 의미한다.

2. 2. 유도 범주와의 관계

유도 범주 위의 전체 유도 범주를 사용하면, 표준적인 자연 변환

:

\operatorname R(G\circ F)\Rightarrow\operatorname RG\circ\operatorname RF\colon\operatorname D(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal C)

이 존재한다.^[3] 그로텐디크 스펙트럼 열은 이 유도 범주 사이의 함자의 성분을 표시한다.^[3]

3. 성질

함자 $F$ , $G$ 에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 중요한 성질 중 하나는 5항 완전열이다.^[1]

3. 1. 5항 완전열

함자

F

,

G

에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 5항 완전열은 다음과 같다.^[1]

:

0\to(\operatorname R^1G\circ F)(A)\to(\operatorname R^1(G\circ F))(A)\to (G\circ\operatorname R^1F)(A)\to(\operatorname R^2G\circ F)(A)\to(\operatorname R^2(G\circ F))(A)

낮은 차수의 완전 순열은 다음과 같다.^[1]

:

0\to {\rm R}^1G(FA)\to {\rm R}^1(GF)(A) \to G({\rm R}^1F(A)) \to {\rm R}^2G(FA) \to {\rm R}^2(GF)(A).

4. 예

그로텐디크 스펙트럼 열은 다양한 예시를 통해 그 추상적인 정의를 구체화할 수 있다.

'''르레 스펙트럼 열''': 연속 함수로 유도되는 층의 직상과 대역 단면 함자에 대한 스펙트럼 열이다.
'''국소-대역 Ext 스펙트럼 열''': 환 달린 공간에서 정의되는 가군층들의 Ext 함자를 계산하는 스펙트럼 열이다.
'''밑 전환''': 가환환 사이의 환 준동형과 가군이 주어졌을 때, Tor 함자의 밑 전환을 계산하는 스펙트럼 열이다.
'''군 코호몰로지''': 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 통해 군 코호몰로지를 계산할 수 있다.

4. 1. 르레 스펙트럼 열

연속 함수

f\colon X\to Y

에 의하여 유도되는 층의 직상

f_*

와 층의 대역 단면 함자

\Gamma_X

(즉, 한원소 공간 위의 층 범주

\operatorname{Sh}(\{\bullet\},\operatorname{Ab})\simeq\operatorname{Ab}

로의 직상)에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이다.^[7]^[8] 층의 직상

f_*\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})

은 완전 함자인 왼쪽 수반 함자인 층 역상

:

f^*\colon\operatorname{Sh}(Y;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab}

:

f^*\dashv f_*

을 가지므로, 직상

f_*

은 단사층을 단사층에 대응시키며 따라서 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 충족된다.

만약

X

와

Y

가 위상 공간이라면,

\mathcal{A} = \mathbf{Ab}(X)

와

\mathcal{B} = \mathbf{Ab}(Y)

를 각각

X

와

Y

위의 아벨 군의 층의 범주라고 하자.

연속 함수

f \colon X \to Y

에 대해 (좌 완전) 직상 함자

f_* \colon \mathbf{Ab}(X) \to \mathbf{Ab}(Y)

가 존재한다. 또한, 전역 단면 함자

:

\Gamma_X \colon \mathbf{Ab}(X)\to \mathbf{Ab}

와

\Gamma_Y \colon \mathbf{Ab}(Y) \to \mathbf {Ab}

가 있다.

그러면

\Gamma_Y \circ f_* = \Gamma_X

이고 함자

f_*

와

\Gamma_Y

는 가설을 만족하므로 (직상 함자는 정확한 왼쪽 수반 함자

f^{-1}

를 가지며, 주입 사상의 밀어내기는 주입적이며, 특히 전역 단면 함자에 대해 비순환적이므로) 이 경우의 열은 다음과 같다.

:

H^p(Y,{\rm R}^q f_*\mathcal{F})\implies H^{p+q}(X,\mathcal{F})

여기서

\mathcal{F}

는

X

위의 아벨 군의 층이다.

4. 2. 국소-대역 Ext 스펙트럼 열

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의 두

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

,

\mathcal G

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자들을 정의할 수 있다.

:

\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\xrightarrow{\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)}\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\xrightarrow{\Gamma_X}\operatorname{Ab}

이에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열은 다음과 같다.^[4]

:

E^{p,q}_2(\mathcal G) = \operatorname H^p(X; \mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(\mathcal F,\mathcal G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\Gamma_X(\mathcal O_X)}\left(\Gamma_X(\mathcal F),\Gamma_X(\mathcal G)\right)

여기서

:

\mathcal{Ext}^q_{\mathcal O_X}(F,-)=\operatorname R^q\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)

는 가군층의 국소 Ext 함자이다. (가군층의

\hom_{\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}}(\mathcal F,-)

함자는 단사층을 말랑한 층으로 대응시키며 말랑한 층은 항상 비순환층이므로 그로텐디크 스펙트럼 열의 조건이 성립한다.)

\operatorname{Ext}

는 가군의 (대역) Ext 함자이다. 즉, 이는 대역 Ext 함자를 국소 Ext 함자로부터 계산하는 스펙트럼 열이다.

전역 Ext와 층 Ext를 연관시키는 스펙트럼 열이 있다.

(X, \mathcal{O})

의 환 달린 공간 위의 ''F'', ''G''를 가군층이라고 하자. 예를 들어, 스킴이라고 하자. 그러면 다음과 같다.

:

E^{p,q}_2 = \operatorname{H}^p(X; \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\mathcal{O}}(F, G).

^[1]

이는 그로텐디크 스펙트럼 열의 한 예시이다. 실제로,

:

R^p \Gamma(X, -) = \operatorname{H}^p(X, -)

,

R^q \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -) = \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, -)

이고

R^n \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)) = \operatorname{Ext}^n_{\mathcal{O}}(F, -)

이다.

게다가,

\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)

는 단사

\mathcal{O}

-가군을

\Gamma(X, -)

-비순환적인 플라스크 층으로 보낸다.^[2] 따라서, 가설이 충족된다.

4. 3. 밑 전환

가환환 환 준동형

f\colon R\to S

와

S

위의 가군

N

이 주어졌을 때, Tor 함자의 밑 전환(base change^영어)을 계산하는 그로텐디크 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

함자들은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Mod}_R\xrightarrow{\otimes_RS} \operatorname{Mod}_S\xrightarrow{\otimes_SN}\operatorname{Mod}_S

R

위의 가군

M

에 대하여, 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.

:

E^{p,q}_2(M)=\operatorname{Tor}^S_p(\operatorname{Tor}^R_q(M,S),N)\Rightarrow\operatorname{Tor}^R_{p+q}(M,N)

만약

S

가

R

-평탄 가군이라면, 스펙트럼 열은 다음과 같이 퇴화한다.

:

\operatorname{Tor}^R_q(M,S)=\begin{cases}M\otimes_RS&q=0\\0&q>0\end{cases}

:

\operatorname{Tor}^S_p(M\otimes_RS,N)\cong\operatorname{Tor}^R_p(M,N)

4. 4. 군 코호몰로지

'''린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열'''(Lyndon–Hochschild–Serre spectral sequence^영어)^[5]^[6]은 군 코호몰로지를 계산하는 데 사용되며, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

유한군

G

와 그 정규 부분군

N\vartriangleleft G

, 그리고

G

-가군

M

이 있다고 가정하자. 그러면 다음과 같은 함자들이 존재한다.

:

\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G]}\xrightarrow{(-)^N}\operatorname{Mod}_{\mathbb Z[G/N]}\xrightarrow{(-)^{G/N}}\operatorname{Ab}

여기서

(-)^N

은

N

의 작용에 대한 불변 원소들로 구성된 부분 가군을 의미한다.

이 함자들에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열이 바로 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이며, 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname H^p(G/N;\operatorname H^q(N,M))\Rightarrow\operatorname H^{p+q}(G;M)

이에 대응하는 5항 완전열은 '''팽창-제한 완전열'''(inflation–restriction exact sequence^영어)이라고 불리며, 다음과 같다.

:

0\to\operatorname H^1(G/N;M^N)\to\operatorname H^1(G;M)\to\operatorname H^1(N;M)^{G/N}\to\operatorname H^2(G/N;M^N)\to\operatorname H^2(G;M)

여기서 "팽창"은

:

\operatorname H^\bullet(G/N;M)\to\operatorname H^\bullet(G/N;M)

이고, "제한"은

:

\operatorname H^\bullet(G;M)\to\operatorname H^\bullet(N;M)^{G/M}

이다.

5. 역사

1946년에 장 르레는 층 코호몰로지를 계산하는 르레 스펙트럼 열을 도입하여 스펙트럼 열의 최초의 예를 제시하였다.^[7]^[8] 1948년에는 로저 코넌트 린던(Roger Conant Lyndon^영어)^[5]이 군 코호몰로지를 계산하는 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 발견하였고, 1953년에 게르하르트 호흐실트와 장피에르 세르^[6]가 이를 개량하였다.

이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 도호쿠 대학 저널 논문^[9]에서 아벨 범주의 이론 및 그로텐디크 스펙트럼 열을 도입하였고, 르레 스펙트럼 열과 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열이 사실 임의의 왼쪽 완전 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우라는 것을 보였다.

참조

_[1] harvnb
_[2] harvnb
_[3] 서적 Residues and duality: lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64 Springer 1966
_[4] 서적 Topologie algébrique et théorie des faisceaux Hermann
_[5] 저널 The cohomology theory of group extensions
_[6] 저널 Cohomology of group extensions
_[7] 저널 L’anneau d’homologie d’une représentation 1946
_[8] 저널 Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation 1946
_[9] 저널 Sur quelques points d’algèbre homologique

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