스펙트럼 열

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1. 개요

스펙트럼 열은 아벨 범주의 대상에 두 개의 정수 등급을 부여하여 정의되는 일련의 대상과 사상으로 구성된다. 이는 호몰로지 또는 코호몰로지 계산에 사용되며, 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 유도된다. 스펙트럼 열은 여러 페이지로 구성되며, 각 페이지는 대상들의 행렬 형태로 표현된다. 스펙트럼 열은 수렴, 퇴화, 곱셈 구조, 변 사상 등의 개념을 갖는다. 스펙트럼 열은 세르 스펙트럼 열, 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열 등 다양한 형태로 나타나며, 위상수학 및 대수기하학에서 널리 사용된다. 이 개념은 장 르레에 의해 처음 도입되었으며, 이후 장피에르 세르, 알렉산더 그로텐디크 등에 의해 발전되었다.

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스펙트럼 열

2. 정의

아벨 범주 $\mathcal C$ 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) $(p,q) \in \mathbb Z^2$ 을 가진다고 할 때, '''(코호몰로지) 스펙트럼 열''' $E^{p,q}_r$ 은 다음 요소들로 이루어진다.

어떤 정수 $r_0 \in \mathbb Z$
모든 $r \ge r_0$ 에 대하여, $\mathcal C$ 의 대상 $E_r^{p,q}$
공경계 사상 $d_r^{p,q} \colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q+1-r}$

이들은 다음 성질을 만족한다.

모든 정수 $r \ge r_0$ 에 대하여, $d_r \circ d_r = 0$ 이다.

::

\cdots \to E_r^{p-2r,q-2+2r} \xrightarrow{d_r} E_r^{p-r,q-1+r} \xrightarrow{d_r} E_r^{p,q} \xrightarrow{d_r} E_r^{p+r,q+1-r} \xrightarrow{d_r} E_r^{p+2r,q+2-2r} \to \cdots

$H(E^{p,q}_r) = \ker d_r^{p,q} / \operatorname{im} d_r^{p-r,q-1+r} \cong E^{p,q}_{r+1}$ 이다.

'''호몰로지 스펙트럼 열'''은

E^r_{p,q}

로 쓰고, 공경계 사상 대신 경계 사상

\partial_r \colon E^r_{p,q} \to E^r_{p-r,q-1+r}

을 사용한다.

스펙트럼 열은 보통 주어진

r

에 대한 2차원 행렬들로 표현한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이

r_0, r_0+1, \dots

인 "책"과 같으며,

r \ge r_0

번째 쪽에는

(p,q)

로 지표화된 2차원 행렬이 있다.

아벨 범주를 고정하고, 예를 들어 환 위 가군 범주와 음이 아닌 정수

r_0

를 고정하면, '''코호몰로지 스펙트럼 열'''은 대상

E_r

과 자기 준동형사상

d_r \colon E_r \to E_r

의 수열

\{E_r, d_r\}_{r \ge r_0}

이며, 다음을 만족한다.

#

d_r \circ d_r = 0

#

E_{r+1} \cong H_*(E_r, d_r)

(

d_r

에 대한

E_r

의 호몰로지)

보통 동형사상은 생략하고

E_{r+1} = H_*(E_r, d_r)

로 쓴다.

E_r

는 '시트', '페이지', '항' 등으로 불리고,

d_r

는 '경계 사상' 또는 '미분'으로 불린다.

E_{r+1}

은

E_r

의 '도출된 대상'이라고도 한다.

스펙트럼 열은 주로 환 ''R'' 위 이중 등급 가군 범주(또는 환층 위 가군 층)에서 발생하며, 모든 시트는 이중 등급 R-가군

E_r = \bigoplus_{p,q \in \mathbb{Z}^2} E_r^{p,q}

이다.

이 경우 코호몰로지 스펙트럼 열은 이중 등급 R-가군

\{E_r^{p,q}\}_{p,q}

의 수열

\{E_r, d_r\}_{r \ge r_0}

이고, 각 가군에 대해 차수

(r, 1-r)

인 엔도몰피즘 직합

d_r = (d_r^{p,q} \colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1})_{p,q \in \mathbb{Z}^2}

가 존재하며, 다음이 성립한다.

#

d_r^{p+r,q-r+1} \circ d_r^{p,q} = 0

#

E_{r+1} \cong H_*(E_r, d_r)

''보완 차수'' 표기법에서

E_r^{d,q}

(

d = p + q

, ''총 차수'')로 쓰기도 한다. 첫 시트 경계 사상은 ''r'' = 0, 1, 2에 해당 차수를 가질 수 있다. (예: 그로텐디크 스펙트럼 열은 ''r''₀ = 2). 비등급 상황에서 ''r''₀는 관련 없다.

사슬 복합체에서 감소/증가 순서로 발생하는데, 후자는

E_r^{p,q}

를

E^r_{p,q}

로,

d_r^{p,q} \colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}

를

d^r_{p,q} \colon E^r_{p,q} \to E^r_{p-r,q+r-1}

(이중 차수

(-r, r-1)

)로 바꿔 코호몰로지와 유사하게 '''호몰로지 스펙트럼 열'''을 정의한다.

빨간색 화살표는 제1 사분면 수열(예: 스펙트럼 열#제1 사분면 시트)을 나타내며, 제1 사분면 객체만 0이 아니다. 페이지를 넘기면서 모든 미분 정의역/공역이 0이 된다.

코호몰로지 스펙트럼 열 집합은 범주를 이룬다. 스펙트럼 열 사상

f \colon E \to E'

은 미분과 호환되는 사상

f_r \colon E_r \to E'_r

모음이다. 즉,

f_r \circ d_r = d'_r \circ f_r

이며, ''E'', ''E' '' ''r''번째 단계 코호몰로지와 ''(r+1)''번째 시트 사이 주어진 동형 사상과 호환된다.

f_{r+1}(E_{r+1}) = f_{r+1}(H(E_r)) = H(f_r(E_r))

. 이중 계수 경우, 사상은 계수를 존중한다:

f_r(E_r^{p,q}) \subset {E'_r}^{p,q}

.

2. 1. 수렴과 퇴화

스펙트럼 열

E_r^{p,q}

이 주어졌을 때, 각

(p,q)

에 대해 다음 조건을 만족하는 정수

r_0(p,q)

가 존재한다고 가정한다.

$d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)$
$d_r^{p,q}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)$

그러면 주어진

(p,q)

에 대하여

E^{p,q}_r

는 충분히 큰

r

에 대하여 같아진다. 이를

E^{p,q}_\infty

라고 하고,

E_r^{p,q}

가 '''여과 지표'''(濾過指標, filtration index^영어)

p

에 대하여

E^{p,q}_\infty

로 '''수렴'''(收斂, converge^영어, abut^영어)한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.

:

E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^{p,q}_\infty

보통

E^{p,q}_\infty

는 여과

F^\bullet E^n_\infty

가 갖추어져 있는 대상

E^n_\infty

으로부터 다음과 같이 얻어진다.

:

E^{p,q}_\infty=\frac{F^p E^{p+q}_\infty}{F^{p+1}E^{p+q}_\infty}

이 경우 마찬가지로 다음과 같이 표기한다.

:

E^{p,q}_r\Rightarrow_p E^n_\infty

스펙트럼 열

E_r^{p,q}

이 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 정수

r_0

가 존재한다면,

E_r^{p,q}

가

r_0

에서 '''퇴화'''(退化, degenerate^영어)한다고 한다.

:

d_r^{p,q}=0\qquad\forall p,q\in\mathbb Z,\;r\ge r_0

스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.

스펙트럼 열

E_r^{p,q}

가

E_\infty^{p,q}

에 '''수렴'''하거나, 가까워진다(abuts to)는 것은 어떤 ''r''(''p'', ''q'')가 존재하여 모든 ''r'' ≥ ''r''(''p'', ''q'')에 대해 미분

d_r^{p-r,q+r-1}

과

d_r^{p,q}

이 영 사상이라는 것을 말한다. 이 때, 큰 ''r''에 대해 필연적으로

E_r^{p,q}

는

E_\infty^{p,q}

와 동형이다.

:

E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}

''p''는 여과 지표를 나타낸다. 보통 수렴의 좌변에

E_2^{p,q}

항을 쓰는데, 이는 대부분의 스펙트럼 열에서 가장 유용한 항이기 때문이다.

E_\infty

항은 자연스럽게 이중 차수 붙은 대상이 되지 않는다. 그 대신

E_\infty^n

항에는 자연스러운 여과

F^\bullet E_\infty^n

이 있는 경우가 많다. 이 상황에서는

E_\infty^{p,q} = \mbox{gr}_p E_\infty^{p+q} = F^pE_\infty^{p+q}/F^{p+1}E_\infty^{p+q}

로 설정한다. 이 경우에도 수렴을 앞서와 마찬가지로 정의하지만, 이 경우에는 다음과 같이 표기한다.

:

E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^n

위 식은 ''p'' + ''q'' = ''n''인 경우에

E_r^{p,q}

가

E_\infty^{p,q}

에 수렴하고 있음을 의미한다.

수렴을 결정할 수 있는 가장 간단한 상황은 스펙트럼 열이 퇴화할 때이다. 스펙트럼 열이 '''시트 r에서 퇴화'''한다는 것은 임의의 ''s'' ≥ ''r''에 대해 미분 ''d_s''가 영 사상임을 말한다. 이것은 ''E_r'' ≅ ''E''_''r''+1 ≅ ''E''_''r''+2 ≅ ...임을 의미한다. 특히, ''E_r''는 ''E_∞''와 동형이 된다.

2. 2. 제1 사분면 스펙트럼 열

'''제1 사분면 스펙트럼 열'''(第一四分面spectrum列, first-quadrant spectral sequence^영어)은 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.

$p<0$ 또는 $q<0$ 이면 $E^{p,q}_r=0$

즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다.

r

번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서도 마찬가지이므로, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.

제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 코호몰로지 및 호몰로지 스펙트럼 열에서 다음이 성립한다.

:

E^{p,q}_\infty=E^{p,q}_{\max\{p+1,q+2\}}

(코호몰로지)

:

E_{p,q}^\infty=E_{p,q}^{\max\{p+1,q+2\}}

(호몰로지)

이는

r>p

이고

r>q+1

인 모든

i\geq 0

에 대해

E_{r+i}^{p,q} = E_r^{p,q}

가 성립하여,

E_r^{p,q}

값이 일정하게 유지되기(에봇) 때문이다.

2. 2. 1. 코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열

:

E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}

이 주어졌다고 하자. 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

:

\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\E^{0,2}_3&E^{1,2}_3&E^{2,2}_3&E^{3,2}_3&\cdots\\E^{0,1}_3&E^{1,1}_3&E^{2,1}_3&E^{3,1}_3&\cdots\\E^{0,0}_3&E^{1,0}_3&E^{2,0}_3&E^{3,0}_3&\cdots\end{matrix}}\right.\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ker d_2^{0,2}&\ker d_2^{1,2}&\tfrac{\ker d_2^{2,2}}{\operatorname{im}d_2^{0,3}}&\tfrac{\ker d_2^{3,2}}{\operatorname{im}d_2^{1,3}}&\cdots\\\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\tfrac{\ker d_2^{3,1}}{\operatorname{im}d_2^{1,2}}&\cdots\\E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_2^{1,1}&\cdots\end{matrix}}\right.

넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.

:

\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\E^{0,2}_4&E^{1,2}_4&E^{2,2}_4&E^{3,2}_4&\cdots\\E^{0,1}_4&E^{1,1}_4&E^{2,1}_4&E^{3,1}_4&\cdots\\E^{0,0}_4&E^{1,0}_4&E^{2,0}_4&E^{3,0}_4&\cdots\end{matrix}}\right.\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots\end{matrix}}\right.

즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.

:

\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\E^{0,2}_\infty&E^{1,2}_\infty&E^{2,2}_\infty&E^{3,2}_\infty&\cdots\\E^{0,1}_\infty&E^{1,1}_\infty&E^{2,1}_\infty&E^{3,1}_\infty&\cdots\\E^{0,0}_\infty&E^{1,0}_\infty&E^{2,0}_\infty&E^{3,0}_\infty&\cdots\end{matrix}}\right.\qquad=\qquad\left|\underline{\begin{matrix}\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\\ker d_3^{0,2}&\ker d_3^{1,2}&\ker d_3^{2,2}&\tfrac{\ker d^{3,2}_3}{\operatorname{im}d^{0,4}_3}&\cdots\\\ker d_2^{0,1}&\ker d_2^{1,1}&\tfrac{\ker d_2^{2,1}}{\operatorname{im}d_2^{0,2}}&\operatorname{coker}d_3^{0,3}&\cdots\\E^{0,0}_2&E^{1,0}_2&\operatorname{coker}d_2^{0,1}&\operatorname{coker}d_3^{0,2}&\cdots\end{matrix}}\right.

수렴한 성분들이

E_\infty^\bullet

의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

:

E_\infty^{p,q}=\frac{F^pE_\infty^{p+q}}{F^{p+1}E_\infty^{p+q}}

그렇다면 다음이 성립한다.

:

E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1

:

\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}

:

\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2

따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

:

0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty

여기서

\ker d_2^{0,1}

와

\operatorname{coker} d_2^{0,1}

을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다.

:

0\to E_2^{1,0}\to E_\infty^1\to E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0}\to E^2_\infty

이를 '''5항 완전열'''(五項完全列, five-term exact sequence^영어)이라고 한다.

모든

p

가 어떤

p_0

보다 작고 모든

q

가 어떤

q_0

보다 작은 경우

E_r^{p,q}

는 0이 되는 스펙트럼 열을 고려해 보자.

p_0

와

q_0

를 0으로 선택할 수 있다면, 이를 '''제1사분면 스펙트럼 열'''이라고 부른다.

이 수열은

r>p

이고

r>q+1

인 모든

i\geq 0

에 대해

E_{r+i}^{p,q} = E_r^{p,q}

가 성립하므로 에봇한다. 이를 확인하려면 고려된 경우에 미분의 정의역 또는 공역이 0이라는 점에 주목해야 한다. 시각적으로 보면, 시트는 커지는 직사각형 내에서 안정화된다. 그러나 미분 매핑이 한 번에 모두 0이 아닐 수 있으므로 스펙트럼 열이 퇴화될 필요는 없다. 마찬가지로,

E_r^{p,q}

가 모든

p

가 어떤

p_0

보다 크고 모든

q

가 어떤

q_0

보다 큰 경우 0이 되면 스펙트럼 열도 수렴한다.

2. 2. 2. 호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열

수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열

:

E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}

이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이

E^\infty_\bullet

의 여과에 의하여 주어진다고 하자.

:

E^\infty_{p,q}=\frac{F_pE^\infty_{p+q}}{F_{p-1}E^\infty_{p+q}}

그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.

:

E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}

:

\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}

:

\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2

따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.

:

E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0}\hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0

여기서

\ker\partial^2_{2,0}

와

\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}

을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열을 얻는다.

:

E_2^\infty \to E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}}  E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0

모든

p

가 어떤

p_0

보다 작고 모든

q

가 어떤

q_0

보다 작은 경우

E_r^{p,q}

는 0이 되는 스펙트럼 열을 고려해 보자.

p_0

와

q_0

를 0으로 선택할 수 있다면, 이를 제1사분면 스펙트럼 열이라고 부른다.

이 수열은

r>p

이고

r>q+1

인 모든

i\geq 0

에 대해

E_{r+i}^{p,q} = E_r^{p,q}

가 성립하므로 에봇한다. 이를 확인하려면 고려된 경우에 미분의 정의역 또는 공역이 0이라는 점에 주목해야 한다.

3. 구성

어떤 아벨 범주 $\mathcal C$ 의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) $(p,q)\in\mathbb Z^2$ 을 가진다고 할 때, '''(코호몰로지) 스펙트럼 열''' $E^{p,q}_r$ 은 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

어떤 정수 $r_0\in\mathbb Z$
모든 $r\ge r_0$ 에 대하여, $\mathcal C$ 의 대상 $E_r^{p,q}$
공경계 사상 $d_r^{p,q}\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q+1-r}$

이들은 다음을 만족시킨다.

모든 정수 $r\ge r_0$ 에 대하여, $d_r\circ d_r=0$ 이다.

::

\cdots\to E_r^{p-2r,q-2+2r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p-r,q-1+r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p,q}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+r,q+1-r}\xrightarrow{d_r}E_r^{p+2r,q+2-2r}\to\cdots

$H(E^{p,q}_r) = \ker d_r^{p,q} / \operatorname{im}d_r^{p-r,q-1+r}\cong E^{p,q}_{r+1}$ 이다.

'''호몰로지 스펙트럼 열'''의 경우 대신

E^r_{p,q}

로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상

\partial_r\colon E^r_{p,q}\to E^r_{p-r,q-1+r}

을 사용한다.

보통 스펙트럼 열은 주어진

r

에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이

r_0,r_0+1,\dots

인 "책"을 이루며, 책의

r\ge r_0

번째 쪽에는

(p,q)

에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.

스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.

3. 1. 완전쌍

스펙트럼 열을 구성하는 방법 중 윌리엄 매시의 완전쌍을 사용하는 방법이 있다. 완전쌍은 특히 대수적 위상수학에서 자주 사용된다.

완전쌍은 아벨 범주를 사용하여 정의한다. 여기서 아벨 범주는 환상의 2중 차수 가군 범주이다. '''완전쌍'''은 대상 ''A''와 ''C''의 쌍과, 이 대상들 사이의 세 개의 준동형사상: ''f'' : ''A'' → ''A'', ''g'' : ''A'' → ''C'', ''h'' : ''C'' → ''A''로 구성되며, 다음의 완전성 조건을 만족한다.

상 ''f'' = 핵 ''g''
상 ''g'' = 핵 ''h''
상 ''h'' = 핵 ''f''

이 데이터는 (''A'', ''C'', ''f'', ''g'', ''h'')로 표기한다. 완전쌍은 보통 삼각형 그림으로 표현된다. 여기서 ''A''는 보조적인 데이터를 나타내고, ''C''는 스펙트럼 열의 ''E''₀ 항에 해당한다.

스펙트럼 열의 다음 항을 얻기 위해, '''도출된 쌍'''(derived couple)을 만든다. 다음과 같이 정의한다.

''d'' = ''g'' o ''h''
''A''' = ''f''(''A'')
''C''' = Ker ''d'' / Im ''d''
''f''' = ''f''|_''A''', 즉 ''f''의 ''A'''로의 제한
''h''' : ''C''' → ''A''', ''h''로부터 유도됨.
''g''' : ''A''' → ''C''는 다음과 같이 정의한다. ''A'''의 원소 ''a''에 대해, ''A''의 원소 ''b''가 존재하여 ''a'' = ''f''(''b'')로 쓸 수 있다. 이때, ''g'''(''a'')는 ''C'''에서 ''g''(''b'')의 상으로 정의한다.

( ''A''', ''C''', ''f''', ''g''', ''h''')가 완전쌍이 됨을 확인할 수 있다. 여기서 ''C'''는 스펙트럼 열의 ''E₁'' 항에 해당한다.

이 과정을 반복하여 완전쌍의 열 (''A''^(''n''), ''C''^(''n''), ''f''^(''n''), ''g''^(''n''), ''h''^(''n''))을 얻는다. 그리고 ''C''^(''n'')을 ''E_n'' 항으로 하고, ''d_n''을 ''g''^(''n'') o ''h''^(''n'')으로 놓으면 스펙트럼 열이 구성된다.

3. 2. 여과 복합체의 스펙트럼 열

어떤 아벨 범주의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading)을 가진다고 할 때, 이 경우, '''(코호몰로지) 스펙트럼 열'''은 다음과 같은 대상들로 이루어진다.

어떤 정수
모든 에 대하여, 아벨 범주의 대상
공경계 사상

이들은 다음을 만족시킨다.

모든 정수 에 대하여, 이다.

이다.

사슬 복합체 에 증가하는 여과 가 주어졌다고 하자. 즉,

라고 하자. 또한, 경계 가 여과와 호환된다고 하자. 즉,

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.

여기에

를 정의한다면,

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.

4. 곱셈 구조

컵 곱은 환 구조를 코호몰로지군에 제공하여 이를 코호몰로지 환으로 만든다. 따라서 환 구조를 가진 스펙트럼 열을 고려하는 것이 자연스럽다. $E^{p, q}_r$ 을 코호몰로지 유형의 스펙트럼 열이라고 하자. (i) $E_r$ 이 (이중 등급) 미분 등급 대수이고 (ii) $E_{r+1}$ 의 곱셈이 코호몰로지로의 이동을 통해 $E_r$ 의 곱셈에 의해 유도되는 경우, 이를 곱셈 구조를 갖는다고 말한다.

전형적인 예는 계수군이 환 ''R''일 때, 올 공간 $F \to E \to B$ 에 대한 코호몰로지 세르 스펙트럼 열이다. 이는 $E_{2}$ -페이지에서 올과 기저의 컵 곱에 의해 유도되는 곱셈 구조를 갖는다. 그러나 일반적으로 극한 항 $E_{\infty}$ 은 H(''E''; ''R'')과 등급 대수로서 동형이 아니다. 곱셈 구조는 시퀀스에서 미분을 계산하는 데 매우 유용할 수 있다.

5. 예

스펙트럼 열의 몇 가지 예를 살펴보자.

CW 복합체

X

가 CW 복합체이고,

X_p

가 그

p

차원 뼈대라고 하면, 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.^[1]

:

\begin{matrix}&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\cdots\to&H_{n+1}(X_p)&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_p,X_{p-1})&\xrightarrow h&H_n(X_{p-1})&\xrightarrow g&H_n(X_{p-1},X_{p-2})&\to\cdots\\&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\\cdots\to&H_{n+1}(X_{p+1})&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_{p+1},X_p)&\xrightarrow h&H_n(X_p)&\xrightarrow g&H_n(X_p,X_{p-1})&\to\cdots\\&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\end{matrix}

여기서,

:

A=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p)

:

E=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p, X_{p-1})

로 놓으면,

$f\colon A\to A$
$g\colon A\to E$
$h\colon E\to A$

를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은

E^2_{p,q}

에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.

층 코호몰로지

장 르레이는 대수적 위상수학 문제의 동기로 층 개념을 도입했고, 층 코호몰로지를 계산해야 했다. 르레이는 층 코호몰로지를 계산하기 위해 현재 르레이 스펙트럼 열로 알려진 계산 기법을 도입했다. 이는 층의 코호몰로지 군과 층의 밀어내기의 코호몰로지 군 사이의 관계를 나타낸다.

사슬 복합체

가장 기본적인 예는 사슬 복합체 ''C_•''이다. ''E''₀을 ''C_•''로 두면, ''E''₁은 복합체 ''H''(''C_•'')가 된다. 즉, ''i''번째 위치에서 ''C_•''의 ''i''번째 호몰로지 군이다. 이 새로운 복합체에 대한 유일한 자연 미분은 영 사상이므로, ''d''₁ = 0으로 둔다. 따라서 다음과 같은 항을 가진 스펙트럼 열을 얻는다.

''E''₀ = ''C_•''
모든 ''r'' ≥ 1에 대해 ''E_r'' = ''H''(''C_•'')

이 스펙트럼 열은 첫 번째 시트에서 안정화된다.

정확한 쌍

윌리엄 매시의 정확한 쌍 방법을 이용하여 스펙트럼 열을 구성할 수 있다.

정확한 쌍은 객체 (''A'', ''C'')의 쌍과 세 개의 준동형사상 ''f'' : ''A'' → ''A'', ''g'' : ''A'' → ''C'', ''h'' : ''C'' → ''A''로 구성되며, 다음 조건을 만족한다.

이미지 ''f'' = 커널 ''g''
이미지 ''g'' = 커널 ''h''
이미지 ''h'' = 커널 ''f''

기타 스펙트럼 열

세르 스펙트럼 열: 올다발의 (코)호몰로지를 계산하는 데 사용된다.
아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열: K-이론과 같은 특이 코호몰로지 이론의 (코)호몰로지를 계산하는 데 사용된다.
복스테인 스펙트럼 열
여과 복합체의 스펙트럼 열

여과 복합체, Tor 함자, 제1사분면 스펙트럼 열, 구 위의 올다발, 다섯 항 완전 시퀀스

이들은 각각 여과 복합체의 스펙트럼 열, 긴 완전열 유도, Tor 함자 계산, 제1사분면 스펙트럼 열, 구 위의 올다발을 이용한 Gysin 수열 유도, 다섯 항 완전 시퀀스 유도 등에 사용되는 개념들이다.

스펙트럼 열을 처음 접할 때는 간단한 예시를 통해 직접 계산해 보는 것이 좋다.

5. 1. 인접한 두 열만 0이 아닌 경우

E^r_{p, q}

를 호몰로지적인 스펙트럼 열이라고 하고, 0, 1 이외의 ''p''에 대해

E^2_{p, q} = 0

이라고 하자. 시각적으로, 이 스펙트럼 열의

E^2

페이지는 다음과 같다.

	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$\cdots$	0	$E^2_{0,2}$	$E^2_{1,2}$	0	$\cdots$
$\cdots$	0	$E^2_{0,1}$	$E^2_{1,1}$	0	$\cdots$
$\cdots$	0	$E^2_{0,0}$	$E^2_{1,0}$	0	$\cdots$
$\cdots$	0	$E^2_{0,-1}$	$E^2_{1,-1}$	0	$\cdots$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

이 두 번째 페이지의 미분의 차수는 (-2, 1)이므로, 미분은

: $d^2_{p,q}:E^2_{p,q} \to E^2_{p-2,q+1}$

의 형태이며,

: $d^2_{0,q}:E^2_{0,q} \to 0$ , $d^2_{1,q}:E^2_{1,q} \to 0$

이므로, 미분은 모두 영사상이다. 따라서 $E^{\infty} = E^2$ 이 성립하고, 이 스펙트럼 열은 "퇴화"된다.

이 스펙트럼 열이 $H_*$ 에 수렴하고, 그 여과가

: $0 = F_{-1} H_n \subset F_0 H_n \subset \dots \subset F_n H_n = H_n$

로 주어지고, $E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}/F_{p-1} H_{p+q}$ 가 성립한다고 하자. 이 때, $F_0 H_n = E^2_{0, n}$ , $F_1 H_n / F_0 H_n = E^2_{1, n -1}$ , $F_2 H_n / F_1 H_n = 0$ , $F_3 H_n / F_2 H_n = 0$ 등이 성립한다. 여기에서 다음의 완전열을 얻는다.

: $0 \to E^2_{0, n} \to H_n \to E^2_{1, n - 1} \to 0$ ^[8]

스펙트럼 열 $E^r_{p, q}$ 에서 두 번째 페이지에서 ''q'' = 0, 1의 두 행 이외에는 0인 것을 생각한다. 이 스펙트럼 열은 두 번째 페이지에서 퇴화한다고는 할 수 없지만, 세 번째 페이지에서는 미분의 차수가 (-3, 2)이므로 그 페이지에서 퇴화한다. 분모가 0이라는 것에 주의하면, $E^3_{p, 0} = \operatorname{ker} (d: E^2_{p, 0} \to E^2_{p - 2, 1})$ 임을 알 수 있다. 마찬가지로, $E^3_{p, 1} = \operatorname{coker}(d: E^2_{p+2, 0} \to E^2_{p, 1})$ 임을 알 수 있다. 따라서, 다음이 성립한다.

: $0 \to E^{\infty}_{p, 0} \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p-2, 1} \to E^{\infty}_{p-2, 1} \to 0$

앞선 예와 마찬가지로, 스펙트럼 열이 여과 ''F''를 갖는 ''H''에 수렴한다고 하자. $F_{p-2} H_{p} / F_{p-3} H_{p} = E^{\infty}_{p-2, 2} = 0$ , $F_{p-3} H_p / F_{p-4} H_p = 0$ 등이 성립하므로, $0 \to E^{\infty}_{p - 1, 1} \to H_p \to E^{\infty}_{p, 0} \to 0$ 이 성립한다. 이것들을 모두 합하면, 다음의 완전열을 얻는다.

: $\cdots \to H_{p+1} \to E^2_{p + 1, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 1, 1} \to H_p \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 2, 1} \to H_{p-1} \to \dots$ ^[9]

5. 2. Wang 열

주어진 원본 소스에는 'Wang 열'에 대한 직접적인 언급이나 내용이 포함되어 있지 않습니다. 따라서 'Wang 열' 섹션에 작성할 내용이 없습니다. 섹션 제목과 관련된 내용을 찾을 수 없으므로, 빈 문자열을 반환하는 것이 적절합니다.

5. 3. 낮은 차수의 항

E_r^{p, q}

를 감소하는 여과를 가진 ''H''로 수렴하는 제1사분면 스펙트럼 열이라고 하자.

:

0 = F^{n+1} H^n \subset F^n H^n \subset \dots \subset F^0 H^n = H^n

따라서

E_{\infty}^{p,q} = F^p H^{p+q}/F^{p+1} H^{p+q}

이다.

''p'' 또는 ''q''가 음수이면

E_2^{p, q}

는 0이므로 다음과 같다.

:

0 \to E^{0, 1}_{\infty} \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to E^{2, 0}_{\infty} \to 0.

같은 이유로

E_{\infty}^{1, 0} = E_2^{1, 0}

이고

F^2 H^1 = 0

이므로,

:

0 \to E_2^{1, 0} \to H^1 \to E^{0, 1}_{\infty} \to 0

이다.

F^3 H^2 = 0

이므로

E^{2, 0}_{\infty} \subset H^2

이다. 시퀀스를 쌓아 올리면 소위 다섯 항 완전 시퀀스를 얻는다.

:

0 \to E^{1, 0}_2 \to H^1 \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to H^2.

지금 예에서 수행한 계산은 코호몰로지적인 스펙트럼 열에도 쉽게 적용할 수 있다.

E_r^{p, q}

를 제1사분면 스펙트럼 열로 하고, 감소 필터링

:

0 = F^{n+1} H^n \subset F^n H^n \subset \dots \subset F^0 H^n = H^n

을 갖는 ''H''에 수렴한다고 하자. 즉,

E_{\infty}^{p,q} = F^p H^{p+q}/F^{p+1} H^{p+q}

가 성립한다고 하자. ''p'' 또는 ''q''가 음수이면

E_2^{p, q}

는 0이므로

:

0 \to E^{0, 1}_{\infty} \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to E^{2, 0}_{\infty} \to 0.

이 성립한다. 같은 이유로

E_{\infty}^{1, 0} = E_2^{1, 0}

이고,

F^2 H^1 = 0

이므로

:

0 \to E_2^{1, 0} \to H^1 \to E^{0, 1}_{\infty} \to 0

이 된다.

F^3 H^2 = 0

이므로,

E^{2, 0}_{\infty} \subset H^2

이다. 열을 연결하여

:

0 \to E^{1, 0}_2 \to H^1 \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to H^2

을 얻는다.

6. 변 사상과 전입

$E^r_{p, q}$ 를 스펙트럼 열이라고 하자. 모든 ''q'' < 0에 대해 $E^r_{p, q} = 0$ 이면, 단사 사상의 수열 $E^{r}_{p, 0} \to E^{r-1}_{p, 0} \to \dots \to E^3_{p, 0} \to E^2_{p, 0}$ 이 존재한다. 마찬가지로, 모든 ''p'' < 0에 대해 $E^r_{p, q} = 0$ 이면, 전사 사상의 수열 $E^2_{0, q} \to E^3_{0, q} \to \dots \to E^{r-1}_{0, q} \to E^r_{0, q}$ 이 존재한다. 이들은 모두 변 사상이라고 부른다.

전이는 부분적으로 정의된 사상 $\tau: E^2_{p, 0} \to E^2_{0, p - 1}$ 으로, $E^2_{p, 0} \to E^p_{p, 0} \overset{d}\to E^p_{0, p-1} \to E^2_{0, p - 1}$ 의 합성으로 주어지며, 처음과 마지막 사상은 변 사상의 역이다.

코호몰로지형 스펙트럼 열의 경우에도 유사하게, 모든 ''q'' < 0에 대해 $E_r^{p, q} = 0$ 이면 전사 사상의 수열이, 모든 ''p'' < 0에 대해 $E_r^{p, q} = 0$ 이면 단사 사상의 수열이 존재한다. 전이는 $d: E_q^{0, q-1} \to E_q^{q, 0}$ 에 의해 유도되는 사상 $\tau: E_2^{0, q-1} \to E_2^{q, 0}$ 으로 나타난다.

6. 1. 호몰로지 스펙트럼 열

E^r_{p, q}

를 스펙트럼 열이라고 하자. 모든 ''q'' < 0에 대해

E^r_{p, q} = 0

이면, ''r'' ≥ 2에 대해,

:

E^{r+1}_{p, 0} = \operatorname{ker}(d: E^r_{p, 0} \to E^r_{p-r, r-1})

이다. 분모가 0이기 때문이다. 따라서 단사 사상의 수열이 존재한다.

:

E^{r}_{p, 0} \to E^{r-1}_{p, 0} \to \dots \to E^3_{p, 0} \to E^2_{p, 0}

.

이것들을 변 사상이라고 부른다.

마찬가지로, 모든 ''p'' < 0에 대해

E^r_{p, q} = 0

이면, 전사 사상의 수열(변 사상이라고도 부름)이 존재한다.

:

E^2_{0, q} \to E^3_{0, q} \to \dots \to E^{r-1}_{0, q} \to E^r_{0, q}

.

전이는 부분적으로 정의된 사상(더 정확히는, 부분 대상에서 몫으로의 사상)으로 주어진다.

:

\tau: E^2_{p, 0} \to E^2_{0, p - 1}

이것은

E^2_{p, 0} \to E^p_{p, 0} \overset{d}\to E^p_{0, p-1} \to E^2_{0, p - 1}

의 합성으로 주어지며, 처음과 마지막 사상은 변 사상의 역이다.

E^r_{p, q}

를 스펙트럼 열이라고 할때, 만약 모든 ''q'' < 0에 대해

E^r_{p, q} = 0

이라면, ''r'' ≥ 2에 대해

:

E^{r+1}_{p, 0} = \operatorname{ker}(d: E^r_{p, 0} \to E^r_{p-r, r-1})

이다(분모가 0이 되기 때문). 따라서 단사 준동형의 열

:

E^{r}_{p, 0} \to E^{r-1}_{p, 0} \to \dots \to E^3_{p, 0} \to E^2_{p, 0}

이 존재한다. 이것은 에지 사상(edge map)이라고 불린다. 마찬가지로, 모든 ''p'' < 0에 대해

E^r_{p, q} = 0

이라면 전사 준동형의 열

:

E^2_{0, q} \to E^3_{0, q} \to \dots \to E^{r-1}_{0, q} \to E^r_{0, q}

.

이 존재한다. 이것 또한 에지 사상이라고 불린다.

전입 사상은 일부분만 정의되어 있는 사상(더 정확히는, 부분 대상에서 몫으로의 사상)

:

\tau: E^2_{p, 0} \to E^2_{0, p - 1}

으로, 합성

E^2_{p, 0} \to E^p_{p, 0} \overset{d}\to E^p_{0, p-1} \to E^2_{0, p - 1}

에 의해 정의된다. 여기서, 처음과 마지막 사상은 에지 사상의 역사상이다.

6. 2. 코호몰로지 스펙트럼 열

코호몰로지형 스펙트럼 열

E_r^{p, q}

에 대해서도 유사한 명제가 성립한다. 만약 모든 ''q'' < 0에 대해

E_r^{p, q} = 0

이면, 다음과 같은 전사 사상의 수열이 존재한다.

:

E_{2}^{p, 0} \to E_{3}^{p, 0} \to \dots \to E_{r-1}^{p, 0} \to E_r^{p, 0}

.

그리고 만약 모든 ''p'' < 0에 대해

E_r^{p, q} = 0

이면, 다음과 같은 단사 사상의 수열이 존재한다.

:

E_{r}^{0, q} \to E_{r-1}^{0, q} \to \dots \to E_{3}^{0, q} \to E_2^{0, q}

.

전이는 반드시 잘 정의된 함수는 아니지만, 다음의 사상으로 유도된다.

:

\tau: E_2^{0, q-1} \to E_2^{q, 0}

이것은

d: E_q^{0, q-1} \to E_q^{q, 0}

에 의해 유도된다.

코호몰로지적 스펙트럼 열

E_r^{p, q}

에 대해서도 마찬가지로 성립한다. 모든 ''q'' < 0에 대해

E_r^{p, q} = 0

이라면, 전사 준동형의 열

:

E_{2}^{p, 0} \to E_{3}^{p, 0} \to \dots \to E_{r-1}^{p, 0} \to E_r^{p, 0}

이 존재한다. 또한, 모든 ''p'' < 0에 대해

E_r^{p, q} = 0

이라면, 단사 준동형의 열

:

E_{r}^{0, q} \to E_{r-1}^{0, q} \to \dots \to E_{3}^{0, q} \to E_2^{0, q}

이 존재한다.

d: E_q^{0, q-1} \to E_q^{q, 0}

에서 유도되는 전입 사상

:

\tau: E_2^{0, q-1} \to E_2^{q, 0}

은 반드시 well-defined 사상은 아니다.

6. 3. 응용

이러한 맵을 결정하는 것은 세르 스펙트럼 열에서 많은 미분을 계산하는 데 필수적이다. 예를 들어, 추월 맵은 호몰로지 스펙트럼 열에 대한 미분

:

d_n:E_{n,0}^n \to E_{0,n-1}^n

을 결정하며, 따라서 섬유화

F \to E \to B

에 대한 세르 스펙트럼 열에서 다음 맵을 제공한다.

:

d_n:H_n(B) \to H_{n-1}(F)

.

이러한 사상의 결정을 바탕으로, Serre spectral sequence|세르 스펙트럼 계열^영어에서의 많은 미분을 계산할 수 있다. 예를 들어, 전입 사상은 호몰로지 스펙트럼 열에 대한 미분

:

d_n:E_{n,0}^n \to E_{0,n-1}^n

을 결정하며, 이를 파이버레이션

F \to E \to B

에 대한 세르 스펙트럼 계열에 적용하면

:

d_n:H_n(B) \to H_{n-1}(F)

을 얻을 수 있다.

7. 역사

장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.^[14]^[15] 이는 오늘날 '''르레 스펙트럼 열'''로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.^[16]

르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"(anneau spectral^프랑스어)라는 용어를 사용하였고,^[17]^[18]^[19] 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"(suite spectrale^프랑스어)으로 개량하였다.^[18]^[20] 존 매클리어리(John McCleary^영어)에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다.^[19] 라비 바킬(Ravi Vakil^영어)은 스펙트럼 열(spectral sequence|스펙트럴 시퀀스^영어)이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신(specter|스펙터^영어)처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"(terrifying, evil, and dangerous^영어) 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.^[21]

1952년에 윌리엄 슈마허 매시(William Schumacher Massey^영어)는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다.^[22]^[23] 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다.

곧 애덤스 스펙트럼 열, 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열, 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.

대수적 위상수학 연구 과정에서 장 르레이는 층의 개념을 도입했고, 층 계수 코호몰로지를 계산하는 문제에 직면하게 되었다. 층 계수 코호몰로지를 계산하기 위해 르레이는 현재 르레이 스펙트럼 열이라고 불리는 계산 기법을 고안했다. 이는 층의 코호몰로지 군과 그 층의 순상(밀어내기라고도 불린다)의 코호몰로지 군을 무한히 반복되는 계산 과정을 통해 연결하는 것이다.

르레이의 계산 기법이 광범위한 상황에 적용될 수 있다는 것은 곧 명백해졌다. 파이버묶음과 같은 기하학적인 상황이나, 유도관수가 관계하는 대수적인 상황에서, 여러 (코)호몰로지 군을 우회적으로나마 연결해주는 스펙트럼 열이 많이 발견되었다. 유도 범주의 도입으로 그 이론적인 중요성은 줄었지만, 지금도 스펙트럼 열은 가장 유효한 계산 도구로 남아있다.

참조

_[1] 간행물 Algebra Springer Science+Business Media 2002
_[2] arXiv Mixed Hodge Structures 2013-02-23
_[3] harvnb
_[4] harvnb
_[5] harvnb
_[6] 저널 Differentials in the homological homotopy fixed point spectral sequence 2005
_[7] harvs
_[8] harvnb
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] arXiv Mixed Hodge Structures 2013-02-23
_[12] 저널 Differentials in the homological homotopy fixed point spectral sequence 2005
_[13] 서적 Differential forms in algebraic topology
_[14] 저널 L’anneau d’homologie d’une représentation
_[15] 저널 Structure de l’anneau d’homologie d’une représentation
_[16] 저널 Homologie singulière des espaces fibrés
_[17] 서적 Topologie algébraique
_[18] 서적 Jean Leray (1906–1998) http://smf4.emath.fr[...] 2014-11-13
_[19] 저널 You could have invented spectral sequences http://www.ams.org/n[...]
_[20] 저널 Homologie singulière des espaces fibrés I. La suite spectrale http://gallica.bnf.f[...]
_[21] 웹인용 Spectral sequences: friend or foe? http://math.stanford[...]
_[22] 저널 Exact couples in algebraic topology (parts I and II) 1952-09
_[23] 저널 Exact couples in algebraic topology (parts III, IV, and V) https://archive.org/[...] 1953-03

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