그로텐디크 아벨 범주

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. AB5 아벨 범주
3. 성질
- 3.1. 가브리엘-포페스쿠 정리 (Gabriel–Popescu theorem)
4. 예
5. 추가적인 그로텐디크 범주 구성
6. 특수한 대상과 그로텐디크 범주
7. 역사
참조

1. 개요

그로텐디크 아벨 범주는 생성 대상(generating object)을 갖는 AB5 아벨 범주를 의미한다. 이는 아벨 범주이며, 모든 대상의 코프로덕트(coproduct)를 가지며, 직접 극한의 짧은 완전 순서가 완전하다는 특징을 갖는다. 그로텐디크 아벨 범주는 완비 및 쌍대 완비 범주이며, 주입적 덮개를 가지는 등 다양한 성질을 갖는다. 또한, 가브리엘-포페스쿠 정리를 통해 가군 범주의 반사 부분 범주로 여겨질 수 있다. 대표적인 예시로는 환 위의 가군 범주, 아벨 군 값의 층 범주 등이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

가법적 범주 - 아벨 범주
아벨 범주는 다양한 수학적 구조를 통합하는 범주론의 중요한 개념으로, 영 대상, 곱과 쌍대곱, 정규 단사 및 전사 사상을 가지며, 완전열, 유도 함자 등을 정의하고, 호몰로지 대수학의 기본 환경을 제공한다.
가법적 범주 - 완전열
완전열은 핵과 여핵을 가지는 범주에서 정의되는 대상과 사상들의 열로, 인접한 사상들의 상과 핵이 일치하며, 아벨 범주나 군의 범주에서 짧은 완전열, 긴 완전열 등 다양한 형태로 나타나 단사, 전사, 동형 사상과 관련되고 분할 보조정리, 뱀 보조정리 등 수학적 성질을 가진다.
호몰로지 대수학 - 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다.
호몰로지 대수학 - 가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다.

그로텐디크 아벨 범주

2. 정의

그로텐디크 아벨 범주 $\mathcal{A}$ 는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.

$\mathcal{A}$ 는 아벨 범주이다.
$\mathcal{A}$ 의 모든 (무한할 수도 있는) 대상들은 $\mathcal{A}$ 에서 코프로덕트(직합)를 갖는다.
직접 극한의 짧은 완전 순서는 완전하다. 즉, $\mathcal{A}$ 에서 짧은 완전 순서의 직접 시스템이 주어지면, 유도된 직접 극한의 순서도 짧은 완전 순서이다. (직접 극한은 항상 오른쪽 완전이며, 여기서 중요한 점은 왼쪽 완전도 요구한다는 것이다.)
$\mathcal{A}$ 는 생성자를 갖는다. 즉, $\operatorname{Hom}(G,-)$ 가 $\mathcal{A}$ 에서 집합 범주로의 충실한 함자가 되도록 하는 $\mathcal{A}$ 의 대상 $G$ 가 존재한다.

"그로텐디크 범주"라는 이름은 그로텐디크의 도호쿠 논문^[1]에도, 가브리엘의 논문^[2]에도 나타나지 않았다. 이 이름은 1960년대 후반 얀-에릭 로스, 보 스텐스트룀, 울리히 오버스트, 보도 파라이기스 등의 여러 저자들의 연구에서 사용되기 시작했다.

2. 1. AB5 아벨 범주

'''AB5 아벨 범주'''는 다음 조건들을 만족시키는 아벨 범주이다.

쌍대 완비 범주이다.
완전열의 여과 쌍대 극한이 존재하며, 완전열을 이룬다. 즉, 상향 원순서 집합 $I$ 의 첨자를 가진 짧은 완전열들 $\{0\to A_i\to B_i\to C_i\to0\}_{i\in I}$ 이 주어졌을 때, 그 쌍대 극한 $\textstyle 0\to\varinjlim_{i\in I}A_i\to \varinjlim_{i\in I}B_i\to \varinjlim_{i\in I}C_i\to0$ 이 존재하며 역시 짧은 완전열을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 완전열을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 완전열이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)

쌍대 완비 아벨 범주에서 다음 두 조건이 서로 동치이다.

생성 대상을 갖는다.
생성 집합을 갖는다.

이는 생성 집합

\mathfrak G

를 갖는 쌍대 완비 아벨 범주의 경우,

\mathfrak G

의 쌍대곱

G=\coprod\mathfrak G

가 생성 대상을 이루기 때문이다.

'''그로텐디크 아벨 범주'''는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상

G\in\mathcal C

가 존재한다.

$\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}$ 는 충실한 함자이다.

3. 성질

모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.

완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다.
단사 대상을 충분히 가지는 범주이며,^[15] 모든 대상이 단사 껍질을 갖는다. (그러나 일반적으로 사영 대상을 충분히 가지는 범주가 아니며, 사영 덮개가 존재하지 않을 수 있다.)
단사 대상인 쌍대 생성 대상을 갖는다.
대상 $X$ 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 $\operatorname{Sub}(X)$ 은 완비 격자이다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.

정의에 따르면, 그로텐디크 범주

\mathcal{A}

는 AB5 범주이며 생성자를 갖는다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

$\mathcal{A}$ 는 아벨 범주이다.
$\mathcal{A}$ 에 있는 모든 (무한할 수도 있는) 대상의 모임은 $\mathcal{A}$ 에서 코프로덕트 (직합이라고도 함)를 갖는다.
직접 극한의 짧은 완전 순서는 완전하다. 즉, $\mathcal{A}$ 에서 짧은 완전 순서의 직접 시스템이 주어지면, 유도된 직접 극한의 순서도 짧은 완전 순서이다. (직접 극한은 항상 오른쪽 완전이다. 여기서 중요한 점은 그것들이 왼쪽 완전이 되도록 요구한다는 것이다.)
$\mathcal{A}$ 는 생성자를 갖는다. 즉, $\operatorname{Hom}(G,-)$ 가 $\mathcal{A}$ 에서 집합 범주로의 충실한 함자가 되도록 하는 $\mathcal{A}$ 의 대상 $G$ 가 존재한다. (이 경우, 이것은 $\mathcal{A}$ 의 모든 대상 $X$ 가 전사 사상 $G^{(I)}\rightarrow X$ 를 갖는다는 것과 동등하며, 여기서 $G^{(I)}$ 는 (무한할 수도 있는) 집합 $I$ 의 각 원소에 대해 $G$ 의 복사본의 직합을 나타낸다.)

"그로텐디크 범주"라는 이름은 그로텐디크의 도호쿠 논문^[1]에도, 가브리엘의 논문^[2]에도 나타나지 않았다. 이 이름은 1960년대 후반에 얀-에릭 로스, 보 스텐스트룀, 울리히 오버스트, 보도 파라이기스를 포함한 여러 저자의 연구에서 사용되기 시작했다. (일부 저자는 생성자의 존재를 요구하지 않는 다른 정의를 사용한다.)

그로텐디크 범주는 모두 주입적 코제너레이터를 포함한다. 예를 들어, 아벨 군 범주의 주입적 코제너레이터는 몫군

\mathbb{Q}/\mathbb{Z}

이다.

그로텐디크 범주

\mathcal{A}

의 모든 대상은

\mathcal{A}

에서 주입적 덮개를 갖는다.^[1]^[2] 이를 통해 주입적 분해를 구성하고, 이를 통해 유도 함자를 정의하기 위해

\mathcal{A}

에서 호몰로지 대수학의 도구를 사용할 수 있다. (모든 그로텐디크 범주가 모든 대상에 대해 사영적 분해를 허용하는 것은 아니다. 예로는 실수 공간과 같은 많은 위상 공간에서 아벨 군의 층 범주가 있다.)

그로텐디크 범주에서 주어진 대상

X

의 부분대상

(U_i)

의 모든 집합은 상한 (또는 "합")

\sum_i U_i

와 하한 (또는 "교집합")

\cap_i U_i

를 가지며, 둘 다 다시

X

의 부분대상이다. 또한, 집합

(U_i)

가 방향성을 가지고 (즉, 집합 내의 두 대상에 대해 두 대상을 모두 포함하는 세 번째 대상이 존재한다)

V

가

X

의 다른 부분대상인 경우, 다음이 성립한다.^[6]

:

\sum_{i}(U_i\cap V) = \left(\sum_{i}U_i\right) \cap V.

그로텐디크 범주는 잘 갖춰진 (때로는 "국소적으로 작다"라고도 불리지만, 이 용어는 다른 개념에도 사용된다) 즉, 주어진 대상의 부분대상 모임은 집합을 형성한다 ( 고유한 집합이 아닌).^[5]

모든 그로텐디크 범주

\mathcal{A}

가 완비되어 있다는 것은 상당히 심오한 결과이다.^[7] 즉, 임의의 극한 (특히 곱)이

\mathcal{A}

에 존재한다. 이와 대조적으로,

\mathcal{A}

가 코완비, 즉 임의의 코극한과 코곱 (직합)이

\mathcal{A}

에 존재한다는 것은 정의에서 직접적으로 따른다. 그로텐디크 범주에서 코곱은 정확하지만 (즉, 짧은 완전열의 코곱은 다시 짧은 완전열이다) 곱은 정확할 필요가 없다.

그로텐디크 범주

\mathcal{A}

에서 임의의 범주

\mathcal{X}

로 가는 함자

F \colon {\cal A} \to {\cal X}

는 모든 극한과 가환하면 왼쪽 수반을 갖고, 모든 코극한과 가환하면 오른쪽 수반을 갖는다. 이는 Peter J. Freyd의 ''특수 수반 함자 정리''와 그 쌍대에서 따른다.^[8]

모든 작은 아벨 범주

\mathcal{C}

는 다음과 같은 방식으로 그로텐디크 범주에 포함될 수 있다. 왼쪽 정확 가법 (공변) 함자

\mathcal{C}^{op}\rightarrow\mathrm{Ab}

(여기서

\mathrm{Ab}

는 아벨 군의 범주를 나타냄)의 범주

\mathcal{A}:=\operatorname{Lex}(\mathcal{C}^{op},\mathrm{Ab})

는 그로텐디크 범주이고,

C\mapsto h_C=\operatorname{Hom}(-,C)

인 함자

h\colon\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{A}

는 충실하고, 정확하다.

\mathcal{A}

의 생성자는

C\in\mathcal{C}

인 모든

h_C

의 코곱에 의해 주어진다.^[2] 범주

\mathcal{A}

는

\mathcal{C}

의 ind-대상의 범주

\text{Ind}(\mathcal C)

와 동치이며, 포함

h

는 자연스러운 포함

\mathcal{C}\to\text{Ind}(\mathcal C)

에 해당한다. 따라서

\mathcal{A}

를

\mathcal{C}

의 코완비로 볼 수 있다.

3. 1. 가브리엘-포페스쿠 정리 (Gabriel–Popescu theorem)

Gabriel–Popescu theorem^영어^[14]에 따르면,

\mathcal A

의 임의의 생성 대상

G

에 대하여, 표현 가능 가법 함자

\mathcal A\to\operatorname{Mod}_{\operatorname{End}_{\mathcal A}(G)},\;X\mapsto\hom_{\mathcal A}(G,X)

는 충실충만한 함자이며, 왼쪽 수반 함자를 가지고, 이 왼쪽 수반 함자는 완전 함자이다.^[14] 즉, 그로텐디크 아벨 범주는 가군 범주의 반사 부분 범주로 여길 수 있다.

4. 예

1을 가진 환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군들과 가군 준동형들의 범주 $_R\operatorname{Mod}$ (또는 오른쪽 가군들의 범주 $\operatorname{Mod}_R\cong{}_{R^{\operatorname{op}}}\operatorname{Mod}$ )은 그로텐디크 아벨 범주이다.
임의의 위치 $\mathcal X$ 위의, 아벨 군 값의 층의 범주 $\operatorname{Sh}(\mathcal X;\operatorname{Ab})$ 는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.
임의의 환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 가군층들의 범주 $\mathcal O_X\text{-Mod}$ 는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 만약 $X$ 가 추가로 스킴을 이룬다면, 준연접층의 범주 $\operatorname{QCoh}(X)$ 역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.
그로텐디크 범주의 전형적인 예는 아벨 군의 범주이며, 정수 $\Z$ 의 아벨 군은 생성자이다.
더 일반적으로, 임의의 환 $R$ (결합적이며 $1$ 을 가지지만, 반드시 가환일 필요는 없음)이 주어지면, $R$ 위의 모든 오른쪽(또는 왼쪽) 가군들의 범주 $\operatorname{Mod}(R)$ 는 그로텐디크 범주이며, $R$ 자체는 생성자이다.
위상 공간 $X$ 가 주어지면, $X$ 위의 모든 층 아벨 군의 범주는 그로텐디크 범주이다.^[1] (더 일반적으로: $X$ 위의 모든 오른쪽 $R$ -가군 층의 범주는 임의의 환 $R$ 에 대해 그로텐디크 범주이다.)
환 달린 공간 $(X,\mathcal{O}_X)$ 가 주어지면, ''O_X''-가군 층의 범주는 그로텐디크 범주이다.^[1]
(아핀 또는 사영) 대수다양체 $V$ (또는 더 일반적으로: 임의의 scheme 또는 대수적 스택)가 주어지면, $V$ 위의 준연접층의 범주 $\operatorname{Qcoh}(V)$ 는 그로텐디크 범주이다.^[4]
작은 사이트 (''C'', ''J'') (즉, 그로텐디크 위상 ''J''와 함께 작은 범주 ''C'')가 주어지면, 사이트 위의 모든 아벨 군 층의 범주는 그로텐디크 범주이다.

5. 추가적인 그로텐디크 범주 구성

다음은 그로텐디크 범주로부터 새로운 그로텐디크 범주를 만드는 방법이다.

범주 동치인 임의의 범주는 그로텐디크 범주 자체이다.
주어진 그로텐디크 범주 $\mathcal{A_1},\ldots,\mathcal{A_n}$ 에 대해, 곱 범주 $\mathcal{A_1}\times\ldots\times\mathcal{A_n}$ 는 그로텐디크 범주이다.
작은 범주 $\mathcal{C}$ 와 그로텐디크 범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면, $\mathcal{C}$ 에서 $\mathcal{A}$ 로 가는 모든 공변성 함자로 구성된 함자 범주 $\operatorname{Funct}(\mathcal{C},\mathcal{A})$ 는 그로텐디크 범주이다.
작은 가법적 범주 $\mathcal{C}$ 와 그로텐디크 범주 $\mathcal{A}$ 가 주어지면, $\mathcal{C}$ 에서 $\mathcal{A}$ 로 가는 모든 가법적 공변성 함자의 함자 범주 $\operatorname{Add}(\mathcal{C},\mathcal{A})$ 는 그로텐디크 범주이다.
만약 $\mathcal{A}$ 가 그로텐디크 범주이고 $\mathcal{C}$ 가 $\mathcal{A}$ 의 국소화 부분 범주이면, $\mathcal{C}$ 와 세르 몫 범주 $\mathcal{A}/\mathcal{C}$ 둘 다 그로텐디크 범주이다.

6. 특수한 대상과 그로텐디크 범주

그로텐디크 범주는 내부 대상들이 특수한 성질을 가질 수 있는데, 이러한 성질들은 범주의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 유한 생성 가군, 유한 표시 가군, 코히어런트 층, 노에터리안 환 및 Noetherian 가군 등의 개념을 일반화한 유한 생성, 국소 유한 생성, 유한 표시, 코히어런트, 노에터리안 등의 개념이 그 예시이다.

6. 1. 유한 생성 대상

그로텐디크 범주

X

의 대상은

X

가

X

의 부분 대상들의 모임의 합으로 표현될 때, 유한 부분 모임의 합으로 표현될 수 있으면 "유한 생성"이라고 한다. (모듈 범주

{\cal A} = \operatorname{Mod}(R)

의 경우, 이 개념은 유한 생성 가군의 개념과 동일하다.)^[11] 유한 생성 대상의 전사 사상은 다시 유한 생성이다. 만약

U\subseteq X

이고

U

와

X/U

가 모두 유한 생성되면,

X

도 유한 생성된다. 대상

X

가 유한 생성일 필요충분조건은, 각 사상이 단사 사상인 방향족 시스템

(A_i)

가

{\cal A}

에 있을 때 자연 사상

\varinjlim \mathrm{Hom}(X,A_i)\to \mathrm{Hom}(X,\varinjlim A_i)

가 동형 사상인 것이다.^[11] 그로텐디크 범주는 영이 아닌 유한 생성 대상을 포함하지 않을 수도 있다.

6. 2. 국소 유한 생성 범주

어떤 그로텐디크 범주가 유한 생성 생성자 집합을 가지면 "국소 유한 생성"이라고 한다. 다시 말해, 모든 대상

X

에 대해

i\in I

와 영이 아닌 사상

G_{i}\rightarrow X

가 존재하도록 유한 생성 대상의 모임

(G_i)_{i\in I}

이 존재하는 경우이다. 이는

X

가

G_{i}

의 복사본들의 직합의 전사 사상인 것과 동등하다. 이러한 범주에서 모든 대상은 유한 생성 부분 대상의 합이다.^[5] 모든 가군 범주

{\cal A} = \operatorname{Mod}(R)

은 국소 유한 생성이다.

6. 3. 유한 표시 대상

그로텐디크 범주에서 대상

X

가 유한 생성이고, 유한 생성 정의역

W

를 갖는 모든 전사 사상

W\to X

가 유한 생성 핵을 가지면 "유한 표시"라고 한다. 이는 유한 표시 가군의 개념을 일반화한다.

U\subseteq X

이고

U

와

X/U

가 모두 유한 표시이면,

X

도 유한 표시된다. 국소 유한 생성 그로텐디크 범주

{\cal A}

에서 유한 표시 대상은 다음과 같이 특징지을 수 있다.^[12]

{\cal A}

에서

X

가 유한 표시일 필요충분조건은 모든 방향족 시스템

(A_i)

가

{\cal A}

에 있을 때, 자연 사상

\varinjlim \mathrm{Hom}(X,A_i)\to \mathrm{Hom}(X,\varinjlim A_i)

가 동형 사상인 것이다.

6. 4. 코히어런트 대상

그로텐디크 범주

\mathcal{A}

에서 대상

X

가 유한 표시되고, 각 유한 생성 부분 대상 또한 유한 표시되면 "코히어런트"라고 한다.^[13] 이는 환 달린 공간에서의 코히어런트 층의 개념을 일반화한다.

\mathcal{A}

에서 모든 코히어런트 대상의 전체 부분 범주는 아벨 범주이고 포함 함자는 정확 함자이다.^[13]

6. 5. 노에터리안 대상

그로텐디크 범주에서 대상은 부분 대상의 집합이 오름 사슬 조건을 만족하면, 즉 부분 대상의 모든 수열

X_1\subseteq X_2 \subseteq \cdots

이 결국 정지하면 "Noetherian"이라고 한다. 이는 X의 모든 부분 대상이 유한 생성될 때와 같다. (

{\cal A} = \operatorname{Mod}(R)

의 경우, 이 개념은 Noetherian 가군의 익숙한 개념과 동일하다.)^[11]

6. 6. 국소 노에터리안 범주

그로텐디크 범주가 노에터리안 생성자 집합을 가지면 "국소 노에터리안"이라고 한다.^[11] 예를 들어 왼쪽 노에터리안 환 위의 왼쪽 가군 범주는 국소 노에터리안 범주에 해당하며, 이는 Noetherian 가군의 개념과 동일하다.

7. 역사

1957년에 알렉산더 그로텐디크^[15]는 범주가 만족시킬 수 있는 일련의 조건들 AB1~AB6들을 정의하였다. 이 가운데, AB1 및 AB2를 만족시키는 범주는 오늘날 "아벨 범주"로 불리며, AB1~AB3를 만족시키는 범주는 쌍대 완비 아벨 범주와 같은 개념이다. AB5는 AB4와 AB3을 함의하며, 이 때문에 AB5 공리를 만족시키는 아벨 범주를 "AB5 아벨 범주"라고 한다. 같은 논문에서 그로텐디크는 생성 대상을 갖는 AB5 아벨 범주는 단사 대상을 충분히 가지는 범주임을 증명하였으며,^[15] 이 때문에 이러한 범주가 "그로텐디크 범주"로 불리게 되었다.

가브리엘-포페스쿠 정리는 1964년에 피에르 가브리엘(Pierre Gabriel^프랑스어, 1933~2005)과 니콜라에 포페스쿠(Nicolae Popescu^ro, 1937~2010)가 증명하였다.^[14] (이 논문은 포페스쿠의 이름에 "Popesco"로 오타를 포함한 채 인쇄되었다.)

참조

_[1] 논문 Sur quelques points d'algèbre homologique http://projecteuclid[...]
_[2] 논문 Des catégories abéliennes http://www.maths.ed.[...]
_[3] 논문 Non-commutative deformations and quasi-coherent modules
_[4] Citation Stacks Project, Tag 077P http://stacks.math.c[...]
_[4] Citation Stacks Project, Tag 0781 http://stacks.math.c[...]
_[5] 서적 Algebra: Rings, Modules and Categories I https://books.google[...] Springer
_[6] 문서 Stenström, Prop. V.1.1
_[7] 문서 Stenström, Cor. X.4.4
_[8] 서적 Categories for the Working Mathematician, 2nd edition Springer
_[9] 간행물 Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes
_[10] 간행물 Deconstructibility and the Hill Lemma in Grothendieck categories 2013-01-01
_[11] 문서 Stenström, Prop. V.3.2
_[12] 문서 Stenström, Prop. V.3.4
_[13] 간행물 The Ziegler Spectrum of a Locally Coherent Grothendieck Category https://www.research[...] 1997
_[14] 저널인용 Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes http://gallica.bnf.f[...] 1964-04-27
_[15] 저널인용 Sur quelques points d’algèbre homologique

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com