아벨 범주

3. 성질

아벨 범주는 자기 쌍대적이어서, 아벨 범주의 반대 범주는 항상 아벨 범주이다. 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이지만, 완비 범주나 쌍대 완비 범주일 필요는 없다.

아벨 범주에서는 완전열, 분할 완전열, 완전 함자, 유도 함자 등의 개념을 정의할 수 있다.

임의의 대상 ''A'', ''B''가 아벨 범주에 주어지면, ''A''에서 ''B''로 가는 특별한 영 사상이 존재한다. 이는 hom-set Hom(''A'',''B'')의 영 원소로 정의될 수 있는데, 이는 아벨 군이기 때문이다. 또는, 0이 아벨 범주의 영 대상일 때, 유일한 합성 ''A'' → 0 → ''B''로 정의할 수 있다.

아벨 범주에서 모든 사상은 전사상과 단사상의 합성으로 나타낼 수 있다. 이 전사상은 사상의 코이미지라 불리고, 단사상은 사상의 이미지라 불린다. 자세한 내용은 #사상의 분해에서 확인할 수 있다.

부분 대상과 몫 대상은 아벨 범주에서 잘 동작한다. 예를 들어, 주어진 대상 ''A''의 부분 대상들의 포셋은 유계 격자이다.

모든 아벨 범주 '''A'''는 유한 생성 아벨 군의 모노이드 범주에 대한 가군이다. 즉, 유한 생성 아벨 군 ''G''와 '''A'''의 임의의 대상 ''A''의 텐서 곱을 형성할 수 있다. 아벨 범주는 또한 코가군이기도 하다. Hom(''G'',''A'')는 '''A'''의 대상으로 해석될 수 있다. '''A'''가 완비된 경우, ''G''가 유한 생성될 필요는 없으며, 일반적으로 '''A'''에서 유한 풍부한 극한을 형성할 수 있다.

아벨 범주에서 대상 $A$가 주어지면, '''평탄성'''은 $-\; \backslash otimes\; A$가 완전 함자라는 아이디어를 말한다. 평탄 가군 또는 더 일반적인 경우 평탄 사상을 참조하라.

아벨 범주 $\backslash mathcal\{C\}$에서는 사상 $f~:~A\; \backslash to\; B$의 핵과 여핵의 존재가 보장되므로, 상과 여상을 정의할 수 있다. 상과 여상의 자세한 정의는 #사상의 분해에서 확인할 수 있다.

아벨 범주에서는 단사 사상과 전사 사상을 정의할 수 있으며, 이는 각각 모닉 사상과 에픽 사상과 일치한다.

• $f~:~A\; \backslash to\; B$가 '''단사 사상'''(injective)이라는 것은, $\backslash mathrm\{Ker\}\; f=0$임을 의미한다.
• $f~:~A\; \backslash to\; B$가 '''전사 사상'''(surjective)라는 것은, $\backslash mathrm\{Coker\}\; f=0$임을 의미한다.

• 다섯 원 보조정리^[28]
• 뱀의 보조정리^[29]
• 지그재그 보조정리^[30]
• Horseshoe lemma^[31]

3. 1. 사상의 분해

3. 2. 부분 대상

3. 3. 크기

• 작은 아벨 범주이다.
• 포함 함자 $\backslash iota\_\{\backslash mathcal\; A\text{'},\; \backslash mathcal\; A\}\backslash colon\; \backslash mathcal\; A\text{'}\; \backslash hookrightarrow\; \backslash mathcal\; A$가 완전 함자이다.
• $S\; \backslash subset\; \backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; A\text{'})$

• 단사 대상(사영 대상)을 충분히 가진다.
• 포함 함자 $\backslash iota\_\{\backslash mathcal\; A\text{'},\; \backslash mathcal\; A\}\backslash colon\; \backslash mathcal\; A\text{'}\; \backslash hookrightarrow\; \backslash mathcal\; A$는 단사 대상(사영 대상)을 보존하며 반사한다.

3. 4. 미첼 매장 정리

• $I$는 충실충만한 함자이다.
• $I$는 완전 함자이다.

4. 가법 범주

아벨 범주의 중요한 성질은 가법 범주가 된다는 것이다.^[26] 아벨 범주의 정의에서 영 대상의 존재성과 곱의 존재성은 자동적으로 보장되므로, 임의의 대상 A, B에 대해 Hom(A,B)에 아벨 군의 구조가 들어간다는 것만 보이면 충분하다.

아벨 범주에서 Hom(A,B)는 다음과 같은 성질을 만족한다.

• Hom(A,B)에는 특별한 영 사상이 존재한다. 이는 hom-set Hom(A,B)의 영 원소로 정의될 수 있는데, 이는 아벨 군이기 때문이다. 또는, 0이 아벨 범주의 영 대상일 때, 유일한 합성 ''A'' → 0 → ''B''로 정의할 수 있다.
• Hom(A,B) 상의 덧셈이 정의되어 있으며, 이 덧셈은 아벨 군의 공리를 만족한다.

전가법 범주에서 영 대상은 시작 대상이자 종 대상이다.^[16] 가법 범주에서 곱, 쌍대곱은 모두 일치한다.^[21]

4. 1. 정의

• 범주가 가법적이려면, 단항 범주 Ab|아벨 군^영어의 가환군에 대해 풍부해야 한다. 즉, 모든 사상 집합은 가환군이고 사상의 합성은 쌍선형 연산자이다.
• 가법적 범주는 모든 유한 집합의 대상에 대해 쌍대곱을 가지면 ''가법적''이다. 즉, 유한 가군들의 직합과 직접곱을 형성할 수 있다. ^[6] 정의 1.2.6에서 가법적 범주는 영 객체(공집합 쌍대곱)를 가져야 한다.
• 가법적 범주는 모든 사상이 핵과 여핵을 모두 가지면 ''준아벨적''이다.
• 마지막으로, 준아벨 범주는 모든 단사 사상과 모든 전사 사상이 정규 사상이면 '''아벨'''이다. 즉, 모든 단사 사상은 어떤 사상의 핵이고, 모든 전사 사상은 어떤 사상의 여핵이다.

4. 2. 특징

전가법 범주에서 영 대상은 시작 대상이자 종 대상이다.^[16] 가법 범주에서 곱, 쌍대곱, 쌍대곱은 모두 일치한다.^[21]

아벨 범주는 가법 범주이다.^[26] 아벨 범주의 정의로부터 영 대상의 존재성과 곱의 존재성은 자동적으로 보장되므로, $\backslash mathrm\{Hom\}(A,B)$에 아벨 군의 구조가 들어간다는 것만 보이면 충분하다.

5. 예

아벨 군과 군 준동형들의 범주 $\backslash operatorname\{Ab\}$는 그로텐디크 아벨 범주를 이루는 대표적인 아벨 범주이다. 유한 생성 아벨 군들의 범주 $\backslash operatorname\{fgAb\}$와 유한 아벨 군들의 범주 $\backslash operatorname\{finAb\}$도 아벨 범주이다.

1을 가진 환 $R$에 대한 왼쪽 가군들과 가군 준동형들의 범주 $\_R\backslash operatorname\{Mod\}$ (또는 오른쪽 가군들의 범주 $\backslash operatorname\{Mod\}\_R\backslash cong\{\}\_\{R^\{\backslash operatorname\{op\}\}\}\backslash operatorname\{Mod\}$)은 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 아벨 군은 정수 $\backslash mathbb\; Z$에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다. $R$가 왼쪽 뇌터 환이면, 그 위의 유한 생성 왼쪽 가군들의 범주 $\_R\backslash operatorname\{fgMod\}$ 역시 아벨 범주이다.

위상 공간 위에 아벨 군 값을 가진 층들의 범주 $\backslash operatorname\{Sh\}\_X^\{\backslash operatorname\{Ab\}\}$는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 환 달린 공간 $(X,\backslash mathcal\; O\_X)$에서, $\backslash mathcal\; O\_X$-가군층들의 범주 $\backslash mathcal\; O\_X\backslash text\{-Mod\}$는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 스킴 $X$에서, 준연접층의 범주 $\backslash operatorname\{QCoh\}(X)$는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

아벨 범주 $\backslash mathcal\; A$와 작은 범주 $\backslash mathcal\; C$가 주어졌을 때, 함자 범주 $\backslash mathcal\; A^\{\backslash mathcal\; C\}=\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Cat\}\}(\backslash mathcal\; C,\backslash mathcal\; A)$는 아벨 범주이다. $\backslash operatorname\{Ab\}$-풍성한 작은 범주 $\backslash mathcal\; C$에 대해, $\backslash operatorname\{Ab\}$-풍성한 함자들의 범주 $\backslash hom\_\{\backslash operatorname\{Ab-Cat\}\}(\backslash mathcal\; C,\backslash mathcal\; A)$ 역시 아벨 범주이다.

환 ''R'' 위의 모든 왼쪽 (또는 오른쪽) 가군의 범주는 아벨 범주이다. ''R''이 왼쪽-노에터 환이라면, ''R'' 위의 유한 생성 왼쪽 가군의 범주는 아벨 범주이다. 고정된 체 ''k'' 위의 벡터 공간의 범주와 ''k'' 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주는 아벨 범주이다. 위상 공간 ''X'' 위의 모든 층의 아벨 군 범주는 아벨 범주이다. 작은 범주 '''C'''와 아벨 범주 '''A'''에서, '''C'''에서 '''A'''로 가는 모든 함자의 범주는 아벨 범주를 이룬다.

환 $R$에 대해 왼쪽 $R$-가군의 범주는 아벨 범주이며^[35], 특히 아벨 군의 범주는 아벨 범주이다^[35]。 또한 유한 생성 아벨 군의 범주도 아벨 범주이다.^[35] 아벨 범주 위의 사전층과 층도 아벨 범주가 되므로, 층 계수의 코호몰로지도 아벨 범주 위에서 전개할 수 있다.^[38] $\backslash mathcal\{C\}$를 아벨 범주, $\backslash mathcal\{D\}$를 작은 범주라고 하면 $\backslash mathcal\{D\}$에서 $\backslash mathcal\{C\}$로의 관자의 범주$\backslash mathcal\{C\}^\{\backslash mathcal\{D\}\}$는 아벨 범주이다.^[39]

6. 그로텐디크의 공리

그로텐디크는 그의 도호쿠 논문에서 아벨 범주가 만족할 수 있는 네 가지 추가 공리(및 그 쌍대)를 제시했다. 이 공리들은 오늘날에도 여전히 널리 사용되고 있다.

• AB3) '''A'''의 객체의 모든 인덱싱된 족 (''A''_''i'')에 대해, '''A'''에서 쌍대곱(코프로덕트) *''A''_i가 존재한다(즉, '''A'''는 코완비 범주이다).
• AB4) '''A'''는 AB3)을 만족하며, 단사 사상의 족의 쌍대곱은 단사 사상이다.
• AB5) '''A'''는 AB3)을 만족하며, 필터된 코극한의 완전열은 완전하다.

• AB3*) '''A'''의 객체의 모든 인덱싱된 족 (''A''_''i'')에 대해, '''A'''에서 곱 P''A''_''i''가 존재한다(즉, '''A'''는 완비 범주이다).
• AB4*) '''A'''는 AB3*)을 만족하며, 전사 사상의 족의 곱은 전사 사상이다.
• AB5*) '''A'''는 AB3*)을 만족하며, 완전열의 필터된 극한은 완전하다.

• AB1) 모든 사상은 핵과 여핵을 갖는다.
• AB2) 모든 사상 ''f''에 대해, coim ''f''에서 im ''f''로의 정규 사상은 동형 사상이다.

• AB6) '''A'''는 AB3)을 만족하며, 필터된 범주 $I\_j,\; j\backslash in\; J$의 족과 맵 $A\_j\; :\; I\_j\; \backslash to\; A$가 주어지면, $\backslash prod\_\{j\backslash in\; J\}\; \backslash lim\_\{I\_j\}\; A\_j\; =\; \backslash lim\_\{I\_j,\; \backslash forall\; j\backslash in\; J\}\; \backslash prod\_\{j\backslash in\; J\}\; A\_j$가 성립하며, 여기서 lim은 필터된 코극한을 나타낸다.
• AB6*) '''A'''는 AB3*)을 만족하며, 코필터된 범주 $I\_j,\; j\backslash in\; J$의 족과 맵 $A\_j\; :\; I\_j\; \backslash to\; A$가 주어지면, $\backslash sum\_\{j\backslash in\; J\}\; \backslash lim\_\{I\_j\}\; A\_j\; =\; \backslash lim\_\{I\_j,\; \backslash forall\; j\backslash in\; J\}\; \backslash sum\_\{j\backslash in\; J\}\; A\_j$가 성립하며, 여기서 lim은 코필터된 극한을 나타낸다.

7. 관련 개념

호몰로지 대수학에서 아벨 범주는 완전열, 짧은 완전열, 유도 함자 등 주요 구성 및 다섯 개의 보조정리, 뱀의 보조정리를 포함한 중요 정리가 적용되는 일반적인 환경을 제공한다.^[28][29]

아벨 범주 $\backslash mathbf\{A\}$가 '''반단순'''이라는 것은, 모든 대상이 단순 대상들의 직합(아벨 범주의 코프로덕트)으로 분해될 수 있음을 의미한다. 단순 대상은 영 대상 $0$과 자기 자신만을 부분 대상으로 갖는 대상이다. 이러한 조건은 반단순환 위의 가군 범주 등 많은 경우를 제외한다.

반단순 아벨 범주의 예시는 다음과 같다:

아벨 범주에서는 사슬 복합체와 그 완전열을 정의할 수 있어, 호몰로지 대수학을 전개할 수 있다. 특히, 지그재그 보조정리, Horseshoe lemma와 같은 호몰로지 대수학의 보조정리들이 아벨 범주에서 성립한다.^[30][31]

7. 1. 아벨 범주의 부분 범주

• '''C'''가 자체적으로 정확한 범주이고 포함 함자 ''I''가 정확한 함자인 경우 '''정확한 부분 범주'''라고 한다. 이는 '''C'''가 에피모르피즘의 풀백과 모노모르피즘의 푸시 아웃에 대해 닫혀 있을 때 발생한다. 따라서 '''C'''의 정확 수열은 모든 대상이 '''C'''에 속하는 '''A'''의 정확 수열이다.
• '''C'''가 자체적으로 아벨 범주이고 포함 함자 ''I''가 정확한 함자인 경우 '''아벨 부분 범주'''라고 한다. 이는 '''C'''가 커널과 코커널을 취하는 것에 대해 닫혀 있을 때 발생한다. 아벨 범주의 전체 부분 범주 중 자체적으로 아벨 범주이지만 포함 함자가 정확하지 않아 아벨 부분 범주가 아닌 예시가 있다.
• '''C'''가 직접 덧셈 직합을 취하는 것에 대해 닫혀 있고 단사 수열에 대한 2-out-of-3 속성을 만족하는 경우 '''두꺼운 부분 범주'''라고 한다. 즉, $0\; \backslash to\; M\text{'}\; \backslash to\; M\; \backslash to\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; 0$가 '''A'''의 단사 수열이고 $M\text{'},\; M,\; M\text{'}\text{'}$ 중 두 개가 '''C'''에 속하면 세 번째도 '''C'''에 속한다. 다시 말해, '''C'''는 에피모르피즘의 커널, 모노모르피즘의 코커널, 그리고 확장에 대해 닫혀 있다. P. 가브리엘은 여기서 우리가 ''세르 부분 범주''라고 부르는 것을 설명하기 위해 ''두꺼운 부분 범주''라는 용어를 사용했다.
• '''C'''가 부분 몫에 대해 닫혀 있는 경우 '''위상화 부분 범주'''라고 한다.
• '''C'''가 '''A'''의 모든 단사 수열 $0\; \backslash to\; M\text{'}\; \backslash to\; M\; \backslash to\; M\text{'}\text{'}\; \backslash to\; 0$에 대해 ''M''이 '''C'''에 속하는 것은 $M\text{'},\; M\text{'}\text{'}$ 둘 다 '''C'''에 속하는 경우와 동일한 경우 세르 부분 범주라고 한다. 다시 말해, '''C'''는 확장과 부분 몫에 대해 닫혀 있다. 이러한 부분 범주는 '''A'''에서 다른 아벨 범주로 가는 정확한 함자의 커널과 정확히 일치한다.
• '''C'''가 몫 함자 $Q\backslash colon\backslash mathbf\; A\; \backslash to\; \backslash mathbf\; A/\backslash mathbf\; C$가 오른쪽 수반을 허용하는 세르 부분 범주인 경우 국소화 부분 범주라고 한다.
• '''넓은 부분 범주'''에 대한 두 가지 개념이 있다. 한 버전은 '''C'''가 '''A'''의 모든 대상을 (동형까지) 포함하는 것이다. 전체 부분 범주의 경우 이는 흥미롭지 않다. 다른 버전은 '''C'''가 확장에 대해 닫혀 있는 것이다.

8. 역사

데이비드 북스바움은 1955년에^[41] "완전 범주"(exact category^영어)라는 이름으로 이 개념을 도입하였다. (오늘날 이 용어는 다른 개념을 뜻한다.)

이후 1957년에 알렉산더 그로텐디크^[42]가 "아벨 범주"(catégorie abélienne^프랑스어)라는 이름으로 독자적으로 다시 도입하였다. 그로텐디크는 이 논문에서 층 코호몰로지와 군 코호몰로지를 아벨 범주의 개념을 사용하여 일관되게 다루는 데 성공하였다. 이 논문은 도호쿠 대학 저널에 출판되었으므로 흔히 "도호쿠 논문"이라고 불린다. 곧 1960년에 피에르 가브리엘(Pierre Gabriel^프랑스어)은 박사 학위 논문에서 아벨 범주의 이론을 정리하였다.^[43]

이후 솔 루브킨(Saul Lubkin^영어)^[44]과 피터 존 프레이드(Peter John Freyd^영어)^[45]는 모든 아벨 범주가 어떤 가군 범주 속에 충실한 완전 함자로 매장될 수 있다는 것을 보였으며, 곧 배리 미첼(Barry Mitchell^영어)^[40]은 이 함자를 항상 충실충만한 함자로 잡을 수 있음을 보였다. 아벨 범주는 그로텐디크가 다양한 코호몰로지 이론을 통합하기 위해 도입하였다. 당시에는 층에 대한 코호몰로지 이론과 군에 대한 코호몰로지 이론이 존재했다. 두 이론은 다르게 정의되었지만, 유사한 성질을 가지고 있었다. 실제로, 범주론의 많은 부분이 이러한 유사성을 연구하기 위한 언어로서 개발되었다. 그로텐디크는 이 두 이론을 통합했다. 두 이론 모두 아벨 범주에 대한 유도 함자로 나타난다. 즉, 위상 공간 상의 가환군의 층의 아벨 범주, 그리고 주어진 군 ''G''에 대한 ''G''-가군의 아벨 범주로 나타난다.

참조

_[1] 서적 Categories for the Working Mathematician Springer Science+Business Media 2013-04-17
_[2] 문서 Grothendieck 1957
_[3] 웹사이트 MEMORIAL TRIBUTE Remembering David Buchsbaum https://www.ams.org/[...] American Mathematical Society 2023-12-22
_[4] 문서 Buchsbaum 1955
_[5] 웹사이트 Abelian Categories http://www.tac.mta.c[...]
_[6] 서적 Handbook of categorical algebra, vol. 2
_[7] 웹사이트 algebraic geometry - Tangent space in a point and First Ext group https://math.stackex[...] 2020-08-23
_[8] 서적 Linear algebraic groups http://worldcat.org/[...] Springer 2004
_[9] 문서 アーベル
_[10] 문서 MacLane
_[11] 문서 アーベル圏 1957
_[12] 웹사이트 MEMORIAL TRIBUTE Remembering David Buchsbaum https://www.ams.org/[...] American Mathematical Society 2023-12-22
_[13] 웹사이트 David Buchsbaum https://ncatlab.org/[...] 2023-12-22
_[14] 문서 Buchsbaum 1955
_[15] 문서 MacLane
_[16] 문서 MacLane
_[17] 문서 河田
_[18] 웹사이트 additive category https://ncatlab.org/[...] 2023-12-19
_[19] 웹사이트 additive category https://encyclopedia[...] 2023-12-19
_[20] 문서 Rotman
_[21] 문서 河田
_[22] 문서 河田
_[23] 문서 Rotman
_[24] 문서 河田
_[25] 웹사이트 12.5 Abelian categories https://stacks.math.[...] Columbia University 2024-01-09
_[26] 문서 河田
_[27] 문서 河田
_[28] 문서 河田
_[29] 문서 河田
_[30] 웹사이트 12.13 Complexes https://stacks.math.[...] Columbia University 2024-01-09
_[31] 문서 Rotman
_[32] 문서 玉木
_[33] 문서 Mitchell
_[34] 문서 Rotman
_[35] 문서 Rotman
_[36] 문서 Rotman
_[37] 문서 Rotman
_[38] 문서 Rotman
_[39] 문서 Rotman
_[40] 저널 The full imbedding theorem 1964-07
_[41] 저널 Exact categories and duality
_[42] 저널 Sur quelques points d’algèbre homologique
_[43] 저널 Des catégories abéliennes http://www.numdam.or[...] 1962
_[44] 저널 Imbedding of abelian categories 1960-12
_[45] 서적 Abelian categories: An introduction to the theory of functors http://www.tac.mta.c[...] Harper and Row 1964