완전열

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1. 개요
2. 정의
3. 완전열의 종류와 성질
4. 예시
5. 응용
6. 관련 정리
참조

1. 개요

완전열은 핵과 여핵을 가진 범주에서 정의되는 일련의 대상과 사상들의 수열로, 인접한 사상의 핵과 상이 일치하는 특징을 갖는다. 특히, 짧은 완전열, 긴 완전열, 그리고 특수한 경우들이 존재하며, 군론, 환론 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 완전열은 확대 문제, 사슬 복합체, 완전 함자 등과 관련 있으며, 분할 보조정리, 뱀 보조정리, 다섯 개 보조정리와 같은 관련 정리를 통해 분석된다.

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완전열

2. 정의

핵과 여핵을 가지는 범주에서 '''완전열'''은 다음과 같은 꼴의 대상들과 사상들로 구성된다.

: $\cdots\to A_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}A_i\xrightarrow{f_i}A_{i+1}\xrightarrow{f_{i+1}}A_{i+2}\to\cdots$

이 열이 완전열을 이루려면, 인접한 사상들 각각에 대해 뒷쪽 사상의 핵과 앞쪽 사상의 상이 일치하여야 한다.^[2]

: $\operatorname{im}f_{i-1} = \ker f_i$

: $\operatorname{coker}f_{i-1} = A_i/\ker f_i$

모든 아벨 범주(아벨 군의 범주 등)에서는 핵과 여핵이 존재하므로, 완전열을 정의할 수 있다. 군의 범주 $\operatorname{Grp}$ 는 아벨 범주가 아니지만 핵과 여핵이 존재하므로, 이 범주에서도 역시 완전열을 정의할 수 있다.

군론의 맥락에서,

: $G_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; G_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; G_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; G_n$

의 군 준동형사상들의 수열은 $G_i$ 에서 $\operatorname{im}(f_i)=\ker(f_{i+1})$ 일 때 '''완전'''하다고 한다. 수열은 각 $1\leq i 에 대한 각 G_i 에서 완전할 경우, 즉 각 준동형사상의 상이 다음 준동형사상의 핵과 같을 경우 '''완전'''하다고 한다.$

군과 준동형사상의 수열은 유한하거나 무한할 수 있다.

유사한 정의는 다른 대수적 구조에 대해서도 만들 수 있다. 예를 들어, 벡터 공간과 선형 사상 또는 가군과 가군 준동형사상의 완전열을 가질 수 있다. 더 일반적으로, 완전열의 개념은 핵 (범주론)과 여핵을 갖는 모든 범주에서, 특히 널리 사용되는 아벨 범주에서 의미가 있다.

R 가군 ''X''_''i''와 사상 ''f''_''i'': ''X''_''i'' → ''X''_''i''+1 (''i'' ∈ '''Z''')로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots$

에서, ${\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n$ 이 될 때, 수열은 ''X''_''n''에서 '''완전(exact)'''하다고 한다. 특히, 다음 사실이 성립한다^[2]：

수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M$ 이 완전한 것은, f가 단사 사상인 것과 동치이다.
수열 $M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0$ 이 완전한 것은, g가 전사 사상인 것과 동치이다.
수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0$ 이 완전한 것은, f가 단사 사상이고 g가 전사 사상이며, 또한 g가 동형 사상 $M/f(M')\xrightarrow{\simeq}M''$ 을 유도하는 것과 동치이다.

수열이 모든 R 가군 ''X''_''i''에서 완전할 때, 그 수열을 '''완전 수열(exact sequence)'''이라고 부르며,

:

\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots\quad\text{(exact)}

등으로 표기한다. 또한, 수열이 ''X''_''n''에서 완전하다면, 그 정의로부터 명백하게

:

f_{n}\circ f_{n-1}(x) = 0_{n+1} \;\; \forall \, x \in X_{n-1}

(단,

0_{n+1}

은

X_{n+1}

의 영원)

이 성립한다(역은 일반적으로 성립하지 않는다).

3. 완전열의 종류와 성질

완전열은 그 길이에 따라 짧은 완전열, 긴 완전열 등으로 분류될 수 있다.

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 완전열의 개념은 핵 (범주론)과 여핵을 갖는 모든 범주에서, 특히 널리 사용되는 아벨 범주에서 의미가 있다.

군론의 맥락에서, 군 준동형사상들의 수열

: $G_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; G_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; G_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; G_n$

은 $G_i$ 에서 $\operatorname{im}(f_i)=\ker(f_{i+1})$ 일 때 '''완전'''하다고 한다. 즉, 각 준동형사상의 상이 다음 준동형사상의 핵과 같을 경우 완전하다고 한다. 이 수열은 유한하거나 무한할 수 있다.

유사한 정의는 다른 대수적 구조에 대해서도 만들 수 있다. 예를 들어, 벡터 공간과 선형 사상 또는 가군과 가군 준동형사상의 완전열을 가질 수 있다.

R 가군 ''X''_''i''와 사상 ''f''_''i'': ''X''_''i'' → ''X''_''i''+1 (''i'' ∈ '''Z''')로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열

: $\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots$

에서, ${\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n$ 이 될 때, 수열은 ''X''_''n''에서 '''완전(exact)'''하다고 한다. 수열이 모든 R 가군 ''X''_''i''에서 완전할 때, 그 수열을 '''완전 수열(exact sequence)'''이라고 한다.

분할 보조정리는 짧은 완전열에 대한 조건들을 설명하고 있으며, 뱀 보조정리는 두 개의 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 더 긴 완전열을 생성하는 방법을 제시한다. 나인 렘마는 뱀 보조정리의 특별한 경우이다. 다섯 개 보조정리는 길이가 5인 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 가운데 사상이 동형사상이 되는 조건을 제공하며, 짧은 다섯 개 보조정리는 짧은 완전열에 적용되는 특수한 경우이다.

3. 1. 짧은 완전열 (Short Exact Sequence)

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, '''짧은 완전열'''(short exact sequence^영어)은 다음과 같은 모양의 완전열이다.^[2]

:

0 \to A \xrightarrow f B \xrightarrow g C \to 0

여기서

f

는 단사 사상이며

g

는 전사 사상이다. 이 경우,

A

를

B

의 부분 대상으로,

C

를 몫 대상

B/A

로 생각할 수 있으며, 다음과 같은 동형이 성립한다.

:

C\cong B/A

0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\,

와 같은 짧은 완전열에서,

g \circ h

가

C

에 대한 항등 사상이 되도록 하는 준동형 사상

h : C \to B

가 존재할 경우, 이 짧은 완전열을 '''분할'''이라고 한다. 만약 이들이 아벨 군이라면,

B

는

A

와

C

의 직합과 동형이다.

:

B \cong A \oplus C.

3. 2. 긴 완전열 (Long Exact Sequence)

일반적인 완전열은 짧은 완전열과 구별하기 위해 긴 완전열이라고도 불린다.^[1]

긴 완전열은 일련의 짧은 완전열과 동등하다. 즉, 긴 완전열

:

A_0\;\xrightarrow{\ f_1\ }\; A_1 \;\xrightarrow{\ f_2\ }\; A_2 \;\xrightarrow{\ f_3\ }\; \cdots \;\xrightarrow{\ f_n\ }\; A_n

가 주어졌을 때 (''n ≥'' 2), 이를 다음과 같은 짧은 완전열들로 분해할 수 있다.

:

\begin{align}0 \rightarrow K_1 \rightarrow {} & A_1 \rightarrow  K_2 \rightarrow  0 ,\\0 \rightarrow K_2 \rightarrow {} & A_2 \rightarrow  K_3 \rightarrow  0 ,\\& \ \,\vdots \\0 \rightarrow K_{n-1} \rightarrow {} & A_{n-1} \rightarrow  K_n \rightarrow  0 ,\\\end{align}

여기서

K_i = \operatorname{im}(f_i)

(모든

i

에 대해)로 정의된다.

반대로, 짧은 완전열들을 조합하여 긴 완전열을 만들 수도 있다. (자세한 내용은 엮음 보조정리 참고)^[1]

예를 들어, 다음과 같은 완전열을 생각해 보자.

:

A_1\to A_2\to A_3\to A_4\to A_5\to A_6

이는 다음을 만족하는 객체 ''C_k''가 존재함을 의미한다.

:

C_k \cong \ker (A_k\to A_{k+1}) \cong \operatorname{im} (A_{k-1}\to A_k)

.

이와 같이, 겹쳐진 짧은 완전열의 중간 항들은 긴 완전열을 형성한다.

체인 복합체의 짧은 완전열에 뱀 보조정리 또는 지그재그 보조정리를 적용하면, 호몰로지 사이의 긴 완전열을 얻을 수 있다.

3. 3. 특수한 경우

영 대상 및 핵과 여핵이 존재하는 범주에서, 다음 명제들이 성립한다.

열 $0\to A\to B$ 가 완전열이라는 것은 사상 $A\to B$ 가 단사 사상이라는 것과 동치이다.
열 $B\to C\to 0$ 가 완전열이라는 것은 사상 $B\to C$ 가 전사 사상이라는 것과 동치이다.
열 $0\to A\to B\to0$ 가 완전열이라는 것은 사상 $A\to B$ 가 동형 사상이라는 것과 동치이다.^[2]

정의를 이해하기 위해서는, 그룹 준동형 사상의 수열이 유한하고 자명군으로 시작하거나 끝나는 비교적 간단한 경우를 고려하는 것이 도움이 된다. 일반적으로 이는 단일 항등원과 함께 0 (가법 표기, 그룹이 아벨 군일 때 주로 사용) 또는 1 (곱셈 표기)로 표시된다.

수열 0 → ''A'' → ''B''를 고려해 보자. 가장 왼쪽 사상의 이미지는 0이다. 따라서 수열이 완전할 필요충분조건은 가장 오른쪽 사상(''A''에서 ''B''로의 사상)의 커널이 {0}인 것이다. 즉, 해당 사상이 단사 사상 (주입, 또는 일대일)일 필요충분조건이다.
쌍대 수열 ''B'' → ''C'' → 0을 고려해 보자. 가장 오른쪽 사상의 커널은 ''C''이다. 따라서 수열이 완전할 필요충분조건은 가장 왼쪽 사상(''B''에서 ''C''로의 사상)의 이미지가 ''C'' 전체인 것이다. 즉, 해당 사상이 전사 사상 (전사, 또는 위로)일 필요충분조건이다.
따라서, 수열 0 → ''X'' → ''Y'' → 0은 ''X''에서 ''Y''로의 사상이 단사 사상이자 전사 사상(즉, 양사상)일 필요충분조건이며, 따라서 일반적으로 ''X''에서 ''Y''로의 동형 사상이다 (이것은 '''Set'''과 같은 완전 범주에서 항상 성립한다).

R 가군 ''X''_''i''와 사상 ''f''_''i'': ''X''_''i'' → ''X''_''i''+1 (''i'' ∈ '''Z''')로 이루어진 (유한 또는 무한) 수열

:

\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots

에서,

{\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n

이 될 때, 수열은 ''X''_''n''에서 '''완전(exact)'''하다고 한다. 특히, 다음 사실이 성립한다^[2]：

수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M$ 이 완전한 것은, f|f^영어가 단사 사상인 것과 동치이다.
수열 $M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0$ 이 완전한 것은, g|g^영어가 전사 사상인 것과 동치이다.
수열 $0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0$ 이 완전한 것은, f|f^영어가 단사 사상이고 g|g^영어가 전사 사상이며, 또한 g|g^영어가 동형 사상 $M/f(M')\xrightarrow{\simeq}M''$ 을 유도하는 것과 동치이다.

수열이 모든 R 가군 ''X''_''i''에서 완전할 때, 그 수열을 '''완전 수열(exact sequence)'''이라고 부르며,

:

\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}X_n\stackrel{f_n}X_{n+1} \to \cdots\quad\text{(exact)}

등으로 표기한다. 또한, 수열이 ''X''_''n''에서 완전하다면, 그 정의로부터 명백하게

:

f_{n}\circ f_{n-1}(x) = 0_{n+1} \;\; \forall \, x \in X_{n-1}

(단,

0_{n+1}

은

X_{n+1}

의 영원)

이 성립한다(역은 일반적으로 성립하지 않는다).

4. 예시

아벨 군의 범주에서 짧은 완전열의 예시를 살펴보자.

: $0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0$

여기서 0은 자명군이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z$ 로 가는 사상은 2를 곱하는 것이고, $\mathbb Z$ 에서 $\mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}$ 은 정수를 2로 나눈 나머지로 정의한다. 인접한 사상을 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.

사상 $0\to \mathbb Z$ 의 상은 자명군이고, $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $\mathbb Z$ 에서 열은 완전열이다.
$\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 상은 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이며, $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이다. 따라서 두 번째 $\mathbb Z$ 에 대해서도 완전열이다.
$\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 상은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이기 때문에, 열은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 에서도 완전열이다.

이 예시는 아벨 군의 완전열을 보여주는 전형적인 예시이며, 군론을 공부하는 학생들에게 유용한 참고자료가 될 수 있다.

'''Z'''의 무한한 특성 때문에, 유한군이 자체의 진부분군으로 포함(즉, 단사 사상에 의해)될 수는 없다. 대신 제1 동형 정리에서 나오는 열은 다음과 같다.

:

1 \to N \to G \to G/N \to 1

(여기서 자명군은

1,

로 표시되며, 이 그룹은 아벨 군이 아닌 것으로 간주된다).

유한군에 대한 완전열의 더 구체적인 예는 다음과 같다.

:

1 \to C_n \to D_{2n} \to C_2 \to 1

여기서

C_n

은 차수가 ''n''인 순환군이고

D_{2n}

은 차수가 2''n''인 이변수군이며, 이는 비아벨 군이다.

일반적으로, 생각하고 있는 아벨 범주에서의 영 대상을 0으로 나타낼 때,

:

0 \to A\stackrel{f}B,\quad A\stackrel{g}B\to 0

가 완전하다는 것은 각각 ''f''가 단사, ''g''가 전사인 것과 동치이다.

''f'': ''A'' → ''B''가 아벨 범주의 사상 (예를 들어 군의 범주에서의 군 준동형, 가군 범주에서의 준동형 등)일 때

:

0\to \ker f \to A \stackrel{f} B\to\mathrm{coker\,}f \to 0

는 완전열이다.

환

R

의 두 아이디얼

I

와

J

가 있을 때, 다음을 얻을 수 있다.

:

0 \to I\cap J \to I\oplus J \to I + J \to 0

이는

R

-가군의 완전열이며, 여기서 가군 준동형사상

I\cap J \to I\oplus J

는

I\cap J

의 각 원소

x

를 직합

I\oplus J

의 원소

(x,x)

로 매핑하고, 준동형사상

I\oplus J \to I+J

는

I\oplus J

의 각 원소

(x,y)

를

x-y

로 매핑한다.

4. 1. 아벨 군의 완전열

아벨 군의 범주에서 다음과 같은 짧은 완전열을 생각할 수 있다.

:

0\to\mathbb Z\xrightarrow{2\cdot}\mathbb Z\xrightarrow{\mod2}\mathbb Z/2\mathbb Z\to 0

여기서 0은 자명군이고,

\mathbb Z

에서

\mathbb Z

로 가는 사상은 2를 곱하는 것이고,

\mathbb Z

에서

\mathbb Z/2\mathbb Z\simeq \{0,1\}

은 정수를 2로 나눈 나머지로 정의한다. 인접한 사상을 살펴보면 이것이 완전열임을 알 수 있다.^[1]

사상 $0\to \mathbb Z$ 의 상은 자명군이고, $\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 핵(두 배를 해서 0이 되는 수들의 부분집합) 또한 자명군이다. 따라서 첫 번째 $\mathbb Z$ 에서 열은 완전열이다.^[1]
$\cdot2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 상은 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이며, $\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 의 핵 또한 짝수의 부분군 $2\mathbb Z$ 이다. 따라서 두 번째 $\mathbb Z$ 에 대해서도 완전열이다.^[1]
$\bmod2\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 에 대한 상은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이고, 0으로 가는 상의 핵도 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 이기 때문에, 열은 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 에서도 완전열이다.^[1]

다음과 같이 아벨 군의 열을 고려해 보자.

:

\mathbf{Z} \mathrel{\overset{2\times}{\,\hookrightarrow}} \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}

첫 번째 준동형 사상은 정수 집합 '''Z'''의 각 원소 ''i''를 '''Z'''의 원소 2''i''에 매핑한다. 두 번째 준동형 사상은 '''Z'''의 각 원소 ''i''를 몫군에 있는 원소 ''j''에 매핑한다. 즉, ''j'' = ''i'' mod 2^영어이다. 여기서 갈고리 화살표

\hookrightarrow

는 '''Z'''에서 '''Z'''로의 2× 맵이 단사 사상임을 나타내고, 두 개의 머리 화살표

\twoheadrightarrow

는 전사 사상(mod 2 맵)을 나타낸다. 이것은 단사 사상의 이미지 2'''Z'''가 전사 사상의 핵이기 때문에 완전열이다.^[2] 본질적으로 "동일한" 열은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

2\mathbf{Z} \mathrel{\,\hookrightarrow} \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}

이 경우 단사 사상은 2''n'' ↦ 2''n''이며 항등 함수처럼 보이지만 이는 전사 사상이 아니다. 왜냐하면 홀수는 2'''Z'''에 속하지 않기 때문이다. 그러나 이 단사 사상을 통한 2'''Z'''의 이미지는 이전 열에서 사용된 ''n'' ↦ 2''n''을 통한 '''Z'''의 이미지와 정확히 동일한 '''Z'''의 하위 집합이다. 후자의 열은 두 그룹이 동형이지만 2'''Z'''가 '''Z'''와 동일한 집합이 아니기 때문에 첫 번째 객체의 구체적인 본질에서 이전 열과 다르다.^[2]

첫 번째 열은 단사 사상과 전사 사상에 대한 특수 기호를 사용하지 않고도 쓸 수 있다.

:

0 \to \mathbf{Z} \mathrel{\overset{2\times}{\longrightarrow}} \mathbf{Z} \longrightarrow \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \to 0

여기서 0은 자명군을 나타내고, '''Z'''에서 '''Z'''로의 맵은 2를 곱한 것이며, '''Z'''에서 몫군 '''Z'''/2'''Z'''로의 맵은 정수를 2로 모듈로 감소시켜 제공된다. 이것은 실제로 완전열이다.^[2]

0 → '''Z''' 맵의 이미지는 {0}이고, 2를 곱한 것의 핵도 {0}이므로, 열은 첫 번째 '''Z'''에서 정확하다.^[2]
2를 곱한 것의 이미지는 2'''Z'''이고, 모듈로 2를 줄인 것의 핵도 2'''Z'''이므로, 열은 두 번째 '''Z'''에서 정확하다.^[2]
모듈로 2를 줄인 것의 이미지는 '''Z'''/2'''Z'''이고, 영 맵의 핵도 '''Z'''/2'''Z'''이므로, 열은 '''Z'''/2'''Z''' 위치에서 정확하다.^[2]

아벨 군의 열

:

0 \hookrightarrow \mathbb{Z} \stackrel{f} \mathbb{Z} \stackrel{p} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\twoheadrightarrow 0

에서, ''f'': '''Z''' → '''Z''' 가 2배 사상 (''x'' → 2''x''), ''p''를 표준 사영이라고 하면, 이것은 완전하다. 실제로, 2''x'' = 0이 되는 ''x''는 0이며, 0으로 제한된다 (''f''는 단사이다) 따라서 0 → '''Z'''는 완전하다. 또한, ''f'', ''p''는 아벨 군의 준동형이고, im(''f'') = 2'''Z''' = ker(''p'')임은 명백하다. 마지막으로 '''Z'''/2'''Z''' → 0는 '''Z'''/2'''Z'''의 모든 원소를 0으로 하는 준동형이며, 그 핵은 '''Z'''/2'''Z''' 전체가 되지만, ''p''는 전사이므로 이것도 완전하다.

4. 2. 군의 완전열

1을 단위군으로 하고, 군 ''G''에 대해, Aut(''G'')를 그 자기 동형군, ''Z''(''G'')를 중심, Inn(''G'')를 내부 자기 동형군, Out(''G'') = Aut(''G'')/Inn(''G'')를 외부 자기 동형군이라고 하면 다음과 같은 완전열을 얻는다.^[1]

:

1\to Z(G)\hookrightarrow G\stackrel{\text{Ad}}\mathrm{Aut\,}G\twoheadrightarrow\mathrm{Out\,}G\to 1

4. 3. 환의 아이디얼

환

R

의 두 아이디얼

I

와

J

가 있을 때, 다음을 얻을 수 있다.

:

0 \to I\cap J \to I\oplus J \to I + J \to 0

이는

R

-가군의 완전열이며, 여기서 가군 준동형사상

I\cap J \to I\oplus J

는

I\cap J

의 각 원소

x

를 직합

I\oplus J

의 원소

(x,x)

로 매핑하고, 준동형사상

I\oplus J \to I+J

는

I\oplus J

의 각 원소

(x,y)

를

x-y

로 매핑한다.

5. 응용

확대 문제는 짧은 완전열에서 양 끝 항인 A와 C가 주어졌을 때, 중간 항 B가 될 수 있는 모든 경우를 찾는 문제이다. 군의 범주에서는, 이는 군 B가 A를 정규 부분군으로, C를 해당 몫군으로 가질 때 B가 무엇인지를 묻는 것과 같다. 이 문제는 유한 단순군 분류에서 중요하게 다루어진다. 외부 자기 동형 군 또한 참고할 수 있다.

완전열은 사슬 복합체의 호몰로지를 계산하는 데 사용된다. 모든 완전열은 사슬 복합체이며, 그 호몰로지는 완전열이 비순환 복합체임을 나타낸다. 주어진 사슬 복합체의 호몰로지는 완전성에서 벗어나는 정도를 측정하는 것으로 이해할 수 있다.

지그재그 보조정리를 통해, 사슬 복합체로 연결된 짧은 완전열들로부터 긴 완전열을 유도할 수 있다. 이는 대수적 위상수학에서 상대 호몰로지를 연구하거나 마이어-비토리스 열을 구성하는 데 사용된다. 또한, 짧은 완전열에서 유도된 긴 완전열은 유도 함자의 특징을 나타낸다.

완전 함자는 완전열을 보존하는 함자이다. 즉, 완전열을 다른 완전열로 변환한다.^[2]

6. 관련 정리

분할 보조정리는 다음과 같은 짧은 완전열에 대해

: $0 \to A \;\xrightarrow{\ f\ }\; B \;\xrightarrow{\ g\ }\; C \to 0,$

다음 조건들이 동치임을 말한다.^[2]

가 존재하여 가 에 대한 항등사상이다.
가 에 대한 항등사상이 되도록 하는 사상 가 존재한다.
가 와 의 직합이 되도록 하는 사상 가 존재한다.

비가환군에 대해, 분할 보조정리는 적용되지 않으며, 마지막 두 조건 사이의 동치 관계만 존재하며, "직합"은 "반직접곱"으로 대체된다.

이러한 짧은 완전열을 ''분할''이라고 한다.

뱀 보조정리는 두 개의 완전열을 가진 가환 다이어그램이 어떻게 더 긴 완전열을 생성하는지 보여준다. 나인 렘마는 특별한 경우이다.

다섯 개 보조정리는 길이가 5인 완전열을 가진 가환 다이어그램에서 가운데 사상이 동형사상이 되는 조건을 제공한다; 짧은 다섯 개 보조정리는 짧은 완전열에 적용되는 특수한 경우이다.

참조

_[1] 웹사이트 exact sequence in nLab, Remark 2.3 https://ncatlab.org/[...] 2021-09-05
_[2] 서적 Introduction to commutative algebra https://www.worldcat[...] Addison-Wesley Pub. Co 1969

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