내부곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 공리적 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 성질
- 3.1. 리 미분과의 관계
4. 역사
참조

1. 개요

내부곱은 매끄러운 다양체 위의 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 생성하는 연산이다. 이는 텐서 축약의 미분 형식과 벡터장으로 정의되며, 차수를 1 감소시키는 유일한 반도함수이다. 내부곱은 1차 미분 형식에 대해 벡터장과의 축약으로 나타나며, 외대수에서 곱 규칙을 따른다. 내부곱은 미분 형식의 외미분과 리 미분을 연결하는 카르탕 마법 공식에 중요한 역할을 한다. 헤르만 그라스만이 내부곱의 개념을 도입했다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 '''내부곱'''은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산으로, $X\lrcorner\alpha$ 또는 $\iota_X\alpha$ 로 표기된다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.

2. 1. 공리적 정의

매끄러운 다양체

M

위의 '''내부곱'''

:

\lrcorner\colon\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet-1}(M)

:

\lrcorner\colon X\otimes\alpha\mapsto X\lrcorner\alpha

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다. (

X\lrcorner\alpha

는 간혹

\iota_X\alpha

로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

(차수 −1) 벡터장 $X$ 및 동차 미분 형식 $\alpha$ 에 대하여, $\deg(X\lrcorner\alpha)=\deg\alpha-1$ 이다.
(곱 규칙) 벡터장 $X$ 에 대하여, $(\Omega^\bullet(M),X\lrcorner)$ 는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 $\alpha\in\Omega^p(M)$ 및 $\beta\in\Omega^q(M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $X\lrcorner(\alpha\wedge\beta)=(X\lrcorner\alpha)\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedge(X\lrcorner\beta)$
(1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 $X$ 와 1차 미분 형식 $\alpha\in\Omega^1(M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $X\lrcorner\alpha=\alpha(X)$

내부곱은 1차수 감소의 유일한 반도함수이며, 외대수에서 1-형식

\alpha

에 대해 다음을 만족한다.

:

\displaystyle\iota_X \alpha = \alpha(X) = \langle \alpha, X \rangle,

여기서

\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle

는

\alpha

와 벡터

X

사이의 쌍대성 쌍이다. 구체적으로,

\beta

가

p

-형식이고

\gamma

가

q

-형식이라면, 다음이 성립한다.

:

\iota_X(\beta \wedge \gamma) = \left(\iota_X\beta\right) \wedge \gamma + (-1)^p \beta \wedge \left(\iota_X\gamma\right).

위 관계는 내부곱이 차수별 라이프니츠 규칙을 따른다는 것을 나타낸다. 선형성과 라이프니츠 규칙을 만족하는 연산을 도함수라고 한다.

2. 2. 구체적 정의

매끄러운 다양체

M

위의 '''내부곱'''

:

\lrcorner\colon\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet-1}(M)

:

\lrcorner\colon X\otimes\alpha\mapsto X\lrcorner\alpha

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이다.

X\lrcorner\alpha

는 간혹

\iota_X\alpha

로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.

M

위의 내부곱은 임의의

p

차 미분 형식

\alpha

에 대하여 다음과 같이 정의된다.^[6]^[7]

:

X\lrcorner\alpha\colon (Y_1,Y_2,\ldots,Y_{p-1})\mapsto \alpha(X,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{p-1})\qquad\forall Y_1,Y_2,\dots,Y_{p-1}\in\Gamma(\mathrm TM)

내부곱은 축약의 미분 형식과 벡터장으로 정의된다. 따라서

X

가 다양체

M

위의 벡터장이라면,

\iota_X : \Omega^p(M) \to \Omega^{p-1}(M)

는

p

-형식

\omega

를

(p - 1)

-형식

\iota_X \omega

로 보내는 사상이며, 이 형식은 임의의 벡터장

X_1, \ldots, X_{p-1}

에 대해 다음 속성을 가진다.

(\iota_X\omega)\left(X_1, \ldots, X_{p-1}\right) = \omega\left(X, X_1, \ldots, X_{p-1}\right)

\omega

가 스칼라장(0-형식)일 때, 관례상

\iota_X \omega = 0

이다.

내부곱은 1차수 감소의 유일한 반도함수이며, 외대수에서 1-형식

\alpha

에 대해 다음을 만족한다.

\displaystyle\iota_X \alpha = \alpha(X) = \langle \alpha, X \rangle,

여기서

\langle \,\cdot, \cdot\, \rangle

는

\alpha

와 벡터

X

사이의 쌍대성 쌍이다. 구체적으로,

\beta

가

p

-형식이고

\gamma

가

q

-형식이라면, 다음 식이 성립한다.

\iota_X(\beta \wedge \gamma) = \left(\iota_X\beta\right) \wedge \gamma + (-1)^p \beta \wedge \left(\iota_X\gamma\right).

위 관계는 내부곱이 차수별 라이프니츠 규칙을 따른다는 것을 나타낸다. 선형성과 라이프니츠 규칙을 만족하는 연산을 도함수라고 한다.

3. 성질

내부곱은 반대칭성을 가지며, 동일한 벡터장에 대한 반복적인 내부곱은 0이 된다. 임의의 미분 형식 $\alpha\in\Omega(M)$ 및 두 벡터장 $X,Y\in\Gamma(\mathrm TM)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $X\lrcorner(Y\lrcorner\alpha)+Y\lrcorner(X\lrcorner\alpha)=0$

특히,

: $X\lrcorner X\lrcorner\alpha=0$

이다.

국소 좌표 $(x_1,...,x_n)$ 에서 벡터장 $X$ 가 다음과 같이 주어질 경우,

: $X = f_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \cdots + f_n \frac{\partial}{\partial x_n}$

내부곱은 다음과 같이 주어진다.

: $\iota_X (dx_1 \wedge ...\wedge dx_n) = \sum_{r=1}^{n}(-1)^{r-1}f_r dx_1 \wedge ...\wedge \widehat{dx_r} \wedge ... \wedge dx_n,$

여기서 $dx_1\wedge ...\wedge \widehat{dx_r} \wedge ... \wedge dx_n$ 는 $dx_1 \wedge ...\wedge dx_n$ 에서 $dx_r$ 을 생략하여 얻은 형식이다.

형식의 반대칭성에 의해,

: $\iota_X \iota_Y \omega = - \iota_Y \iota_X \omega,$

따라서 $\iota_X \circ \iota_X = 0.$ 이는 외미분 $d$ 와 비교될 수 있으며, $d \circ d = 0$ 의 성질을 갖는다.

3. 1. 리 미분과의 관계

'''카르탕 마법 공식'''(Cartan’s magic formula^영어)에 따르면, 임의의 벡터장

X\in\Gamma(\mathrm TM)

와 미분 형식

\alpha\in\Omega(M)

에 대하여 다음이 성립한다.^[2]

:

\mathcal L_X\alpha=\mathrm d(X\lrcorner\alpha)+X\lrcorner\mathrm d\alpha

여기서

\mathcal L

은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장

X,Y\in\Gamma(\mathrm TM)

및 미분 형식

\alpha\in\Omega(M)

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

[X,Y]\lrcorner\alpha=\mathcal L_X(X\lrcorner\alpha)-X\lrcorner\mathcal L_X\alpha

두 벡터장

X,

Y

의 교환자와 관련된 내부곱은 다음 항등식을 만족한다.^[3]

:

\iota_{[X,Y]} = \left[\mathcal{L}_X, \iota_Y\right] = \left[\iota_X, \mathcal{L}_Y\right].

내부곱은 미분 형식의 외미분과 리 미분을 '''카르탕 공식''' ('''카르탕 항등식''', '''카르탕 호모토피 공식'''이라고도 함)으로 연결한다.^[4]

:

\mathcal L_X\omega = d(\iota_X \omega) + \iota_X d\omega = \left\{ d, \iota_X \right\} \omega.

여기서 반교환자가 사용되었다. 이 항등식은 외미분과 내부 미분 사이의 이중성을 정의한다. 카르탕 항등식은 심플렉틱 기하학과 일반 상대성 이론에서 중요하다. 카르탕 호모토피 공식은 엘리 카르탕의 이름을 따서 명명되었다.^[5]

4. 역사

내부곱의 개념과 용어(inner Produkt^de)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.^[8]

참조

_[1] Unicode The character ⨼ is U+2A3C INTERIOR PRODUCT
_[2] 문서 Tu, Sec 20.5.
_[3] Steenrod algebra There is another formula called "Cartan formula".
_[4] MathOverflow Is "Cartan's magic formula" due to Élie or Henri? https://mathoverflow[...] MathOverflow 2010-09-21
_[5] Elementary Proof Elementary Proof of the Cartan Magic Formula https://web.ma.utexa[...]
_[6] 서적 Geometry, topology, and physics https://www.crcpress[...] CRC Press 2003-06-04
_[7] 서적 Riemannian manifolds: an introduction to curvature Springer-Verlag 1997
_[8] 서적 Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form bearbeitet https://archive.org/[...] Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin 1862

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