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심플렉틱 기하학

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목차

1. 개요

심플렉틱 기하학은 짝수 차원 매끄러운 다양체에서 정의되며, 방향성을 가진 넓이를 측정하는 심플렉틱 형식을 다룬다. 이는 리만 기하학의 리만 계량과 유사한 역할을 하며, 고전역학의 연구에서 시작되어 양자역학, 위상수학, 이론물리학 등 다양한 분야에 응용된다. 심플렉틱 기하학은 2차원 심플렉틱 형식과 심플렉틱 다양체의 예시, 주요 정리 등을 포함하며, 리만 기하학과 비교하여 곡률과 같은 국소적 불변량의 부재, 특정 위상을 가진 미분다양체에만 심플렉틱 형식을 줄 수 있다는 제한 등의 차이점을 가진다. 주요 관련 수학자로는 블라디미르 아르놀트, 미하일 그로모프, 윌리엄 로언 해밀턴 등이 있다.

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심플렉틱 기하학
심플렉틱 기하학
분야미분기하학, 미분위상수학

2. 역사

심플렉틱 기하학은 짝수 차원 미분다양체에서 정의되며, 리만 기하학의 리만 계량이 길이와 각도를 정의하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 주어진 넓이를 정의한다.[12]

심플렉틱 기하학은 고전역학의 수리물리학적 연구에서 발생했다. 1차원에서 물체의 운동 궤적을 나타내기 위해 위치 ''q''와 운동량 ''p''가 모두 필요하며, 이는 유클리드 평면 ℝ2에서 점 (''p'', ''q'')로 표시할 수 있다. 이 경우 심플렉틱 형식은 \omega = dp \wedge dq 와 같고, 이는 적분을 통해 평면에서 영역 ''S''의 넓이 ''A''를 측정하는 넓이 형식이다.

:A = \int_S \omega.

이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 불변이기 때문에 중요하며, 고전 역학의 주요 부분 역시 보존적 동적계에 해당한다.[12]

더 높은 차원의 심플렉틱 기하학은 이와 비슷하게 정의된다. 2''n'' 차원의 심플렉틱 기하학은 2''n'' 차원 미분다양체에 주어지는 방향 쌍과 심플렉틱 형식으로 형성된다. 이 심플렉틱 형식은 공간에서 2''n'' 차원 영역 ''V''의 크기를 방향 쌍에 의해 형성된 각 평면에 대한 ''V''의 사영 면적의 합으로 산출한다.[12]

2. 1. 해석역학과 심플렉틱 기하학의 발전

심플렉틱 기하학은 고전역학의 수리물리학적 연구에서 발생했다. 해밀턴은 뉴턴에서 시작되어 오일러, 라그랑주를 거쳐 변분법을 기초로 한 해석역학을 발전시켰다. 뉴턴의 운동 방정식에서 오일러-라그랑주 방정식으로의 이행이 이루어졌다.

오일러-라그랑주 방정식은 배위 공간의 접다발 위에서 위치 좌표를 변수로 사용하는 반면, 해밀턴 형식은 여접다발 위에서 위치 좌표와 운동량을 변수로 사용하여 방정식을 1계 상미분 방정식으로 만들었다.

여기서 속도와 운동량은 일반화 좌표 변환 규칙이 다르므로 구별해야 한다.[12]

해밀턴의 변분 원리에 따르면, 운동은 작용 적분의 정류점을 만족하는 상 공간 위의 곡선으로 주어지며, 이는 해밀턴의 정준 방정식을 만족한다. 심플렉틱 형식을 사용하면 변분 원리를 거치지 않고도 방정식을 쓸 수 있다.

\omega_0 = \sum_i d p_i \wedge d q_i를 심플렉틱 형식(정준 2형식)이라고 하면 해밀턴의 정준 방정식은

\frac{d \gamma}{dt} = X_H ,\,\,\, \gamma (t)=( q_1 (t), \cdots q_n (t), p_1 (t),\cdots , p_n (t))

로 표시된다. 여기서 X_H는 해밀토니안 H로부터 정해지는 해밀턴 벡터장이다.

해석역학의 상 공간 위의 심플렉틱 형식 \omega_0에 의한 정식화는 심플렉틱 다양체 상으로 확장된다. 심플렉틱 다양체 위에서 해밀턴의 정준 방정식은

\frac{d\gamma}{dt} = X_H

로 정의된다. 다만, 심플렉틱 다양체로 확장하면 해밀턴 형식에 대응하는 라그랑주 형식은 일반적으로 찾을 수 없다.

라그랑주 역학 형식에서는 일반화 좌표와 일반화 속도를 사용하여 2계 상미분 방정식계(오일러-라그랑주 방정식)로 운동 방정식을 기술했다. 해밀턴 역학 형식에서는 일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하고 1계 상미분 방정식계(해밀턴 정준 방정식)로 운동을 기술했다. 해밀턴 형식은 방정식이 대칭적이고, 일반화 좌표와 일반화 운동량을 독립적으로 취급하여 계의 대칭성이나 가적분성을 조사하는 데 더 편리하다.

운동 방정식을 구적하기 위해서는 제1적분(보존량)이 필요하며, 제1적분을 사용하여 방정식의 자유도를 줄이는 방법을 간약화라고 한다. 제1적분을 찾는 것은 계의 대칭성을 찾는 것과 같으며, 에미 뇌터는 뇌터 정리를 통해 계의 대칭성과 제1적분의 존재 관계를 연구했다.

2. 2. 대칭성과 가적분계

해밀턴 역학 형식에서는 일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하고 1계 상미분 방정식계(해밀턴 정준 방정식)에 의해 운동이 기술되는데, 방정식이 대칭적이고 일반화 좌표와 일반화 운동량 두 개가 독립적으로 취급된다는 것이 특징적이다. 이 사실은 계의 대칭성이나 가적분성을 조사하는 데 해밀턴 계가 더 편리하다는 것을 의미한다. 왜냐하면 라그랑주 역학 형식은 배위 공간상의 대칭성밖에 다루지 않는 데 반해, 해밀턴 형식은 위상 공간(=배위 공간의 여접번들)상의 대칭성도 다루기 때문이다. 즉, 해밀턴 형식이 더 많은 변환을 허용한다.

운동 방정식을 구적하기 위해서는 제1적분(보존량)이 필요하다. 제1적분을 사용하여 방정식의 자유도를 줄이는 방법을 일반적으로 간약화라고 한다.

제1적분을 찾는 것은 계의 대칭성을 찾는 것과 같다. 계가 대칭성을 가지면, 그 대칭성에 대응하는 보존량을 찾을 수 있기 때문이다. 예를 들어, 병진 대칭성이 있으면 운동량이 보존되고, 회전 대칭성을 가지면 각운동량이 보존된다. 이처럼, 계의 대칭성과 제1적분의 존재와의 관계를 일반적인 상황에서 연구한 것은 에미 뇌터가 처음이라고 여겨진다. 그녀는 현재 뇌터 정리라고 불리는 정리를 제시했다. 뇌터 정리는 해밀턴 형식에 대해서도 마찬가지로 성립한다.

함수 G가 해밀턴 계의 제1 적분이라는 것과, G가 해밀토니안 H와 푸아송 가환이라는 것은 동치이다.

반대로, 해밀토니안 H와 푸아송 가환인 함수 G가 존재하고, G가 H와 함수적 독립이라고 하면, G가 정하는 해밀턴 벡터장의 플로우는 해밀토니안 H를 불변으로 한다. 즉, 제1 적분(보존량)으로부터 해밀턴 계의 대칭성을 얻게 된다. 이 의미에서, 계의 대칭성과 제1 적분의 존재는 등가이다. 그러나 어떤 보존량에 대한 대칭성이 눈에 보이는 형태로 나타난다고는 할 수 없다. 자명하지 않은 대칭성을 '''숨겨진 대칭성'''이라고 한다.

해밀턴 계가 완전 적분가능하다는 것은, H=G_1와 푸아송 가환인 함수 G_1,\cdots,G_n가 존재하고, 그들 n개의 함수가 함수적으로 독립이라는 것을 말한다. 완전 적분가능하다는 것을 단순히 적분가능하다고도 한다.

대표적인 적분가능계에는 다음과 같은 것들이 있다.

또한, 적분가능계에서 중요한 결과로, 아르놀트-요스트 정리('''리우빌-아르놀트 정리''')나 KAM 이론이 있다. 여기서, KAM 이론의 '''KAM'''은 Kolmogorov-Arnold-Moser (콜모고로프・아르놀드・모저)의 머리글자이다.

2. 3. 양자역학과의 관련성

해석역학과 심플렉틱 기하학의 역사는 해밀턴에서 시작한다. 20세기 초, 하이젠베르크와 슈뢰딩거 등에 의해 양자역학이 시작되면서 심플렉틱 기하는 또 다른 전환점을 맞이했다. 하이젠베르크의 행렬역학은 푸아송 괄호에서, 슈뢰딩거의 파동역학은 해밀턴-야코비 방정식에서 출발하기 때문에 이 분야에서도 심플렉틱 기하가 중요했다. 이후 여러 양자화 방법이 제안되었다.

  • 정준 양자화
  • 파인만의 경로 적분법에 의한 양자화
  • 넬슨에 의한 확률 역학


n차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n 에서는 정준 양자화가 충분히 정당성 높은 양자화 방법으로 사용되었다. 위치 \, x_j\,와 운동량 \, p_j\ (j=1,\cdots,n) \,에 대응하는 물리량을 힐베르트 공간 L^2 ( \mathbb{R}^n ) 위의 자기 수반 작용소로 바꾼다.

:\begin{aligned}

( \hat{x}_j f)(x)&= x_j f(x),\\

( \hat{p}_j f)(x)&=-i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_j} (x)

\end{aligned}\quad(j=1,\cdots n)

여기서, \hbar는 플랑크 상수이다. 이러한 작용소에 대해, 정준 교환 관계(하이젠베르크의 교환 관계, 본-하이젠베르크-요르단의 교환 관계라고도 한다)가 성립한다.

:[ \hat{x}_j , \hat{x}_k ]=[ \hat{p}_j, \hat{p}_k ]=0, \,\,

[ \hat{x}_j , \hat{p}_k ]=i \hbar \delta_{jk}

폰 노이만은 바일 관계식을 만족하는 정준 교환 관계 표현이 유니터리 동치인 것을 제외하고 유일하게 정해진다는 것을 보였다. 이는 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학의 동치성을 설명한다.

그러나 정준 양자화는 유클리드 공간에서는 잘 작동하지만, 일반적인 다양체에서는 쉽게 수행할 수 없다. 디랙은 기하학적 양자화 문제를 제기했다.

;기하학적 양자화：

:심플렉틱 다양체 (M,\omega)로부터 어떤 힐베르트 공간 \mathfrak{H}을 만들고, M 위의 매끄러운 함수로 구성된 함수 환 C^{\infty} (M)에서 \mathfrak{H} 위의 선형 작용소로의 대응Q을 구성하고 다음 성질을 만족시켜라:

::[ Q(f), Q(g) ]=i \hbar Q( \{ f,g \}), \,\,\,\, f, g \in C^{\infty} (M),

:여기서, [X,Y]=XY-YX 이다.

문제는 일반적인 심플렉틱 다양체에 대해 위와 같은 양자화가 가능한가 하는 것이다.

2. 4. 기하학적 양자화와 비가환 기하학

해석역학과 심플렉틱 기하학의 역사는 해밀턴에서 시작한다. 20세기 초, 하이젠베르크와 슈뢰딩거 등에 의해 양자역학이 시작되면서 심플렉틱 기하는 또 다른 전환점을 맞이했다. 하이젠베르크의 행렬역학은 푸아송 괄호에서, 슈뢰딩거의 파동역학은 해밀턴-야코비 방정식에서 출발하기 때문에 이 분야에서도 심플렉틱 기하학은 중요했다. 이후 여러 양자화 방법이 제안되었는데, 그 예시는 다음과 같다.

  • 정준 양자화
  • 파인만의 경로 적분법에 의한 양자화
  • 넬슨에 의한 확률 역학


n차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n 에서는 정준 양자화가 충분히 정당성 높은 양자화 방법으로 사용되었다. 그러나 정준 양자화는 유클리드 공간에서는 잘 작동하지만, 일반적인 다양체에서는 쉽게 수행할 수 없다. 다양체에서 좌표는 국소적인 것이며, 그것을 대역적으로 사용할 수 없기 때문이다. 또한, 정준 양자화 방법을 심플렉틱 다양체 위에 일반화하는 것도 어렵다. 이러한 어려움에 대해 디랙은 기하학적 양자화 문제를 제기했다.

기하학적 양자화 문제는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

;기하학적 양자화：

:심플렉틱 다양체 (M,\omega)로부터 어떤 힐베르트 공간 \mathfrak{H}을 만들고, M 위의 매끄러운 함수로 구성된 함수 환 C^{\infty} (M)에서 \mathfrak{H} 위의 선형 작용소로의 대응Q을 구성하고 다음의 성질을 만족시켜라:

::[ Q(f), Q(g) ]=i \hbar Q( \{ f,g \}), \,\,\,\, f, g \in C^{\infty} (M),

:여기서, [X,Y]=XY-YX 이다.

기하학적 양자화는 공간의 양자화를 생각하는 비가환 기하학과도 깊은 관련을 가진다. 다양체 M 위에 비가환 함수환 (C^\infty(M), * ) 을 구성할 수 있다면, 그것은 비가환 다양체를 구성한 것과 같다는 것이 비가환 기하학의 정신이다. 비가환 함수환의 구성 중 하나가 변형 양자화이다. 기하학적 양자화는 C^{\infty} (M)에 비가환 곱을 정의함으로써 다양체 M의 "비가환화"를 수행한다고 생각할 수 있다.

2. 5. 심플렉틱 위상수학의 발전

모든 켈러 다양체는 심플렉틱 다양체이다. 1970년대까지 심플렉틱 기하학 전문가들은 켈러 다양체가 아닌 콤팩트 심플렉틱 다양체가 존재하는지 확신하지 못했지만, 윌리엄 서스턴이 최초로 예시를 발표한 이후로 많은 예시가 발견되었다. 특히, 로버트 곰프는 유한 표현 군이 어떤 심플렉틱 4-다양체의 기본군으로 나타난다는 것을 보였는데, 이는 켈러 다양체와는 대조적이다.[13]

대부분의 심플렉틱 다양체는 켈러 다양체가 아니며, 심플렉틱 형식과 호환되는 적분 가능한 복소 구조를 갖지 않는다. 그러나 미하일 그로모프는 심플렉틱 다양체가 호환 가능한 버금 복소 구조를 풍부하게 허용하여, 전이 함수가 정칙 함수여야 한다는 요구 사항을 제외하고 켈러 다양체의 모든 공리를 만족한다는 중요한 사실을 발견했다.[13]

그로모프는 심플렉틱 다양체에 버금 복소 구조가 존재한다는 점을 이용하여 유사정칙 곡선 이론을 개발했고,[13] 이는 그로모프-위튼 불변량을 포함하여 심플렉틱 위상수학의 발전에 크게 기여했다. 이후 유사정칙 곡선 기법을 활용하여 안드레아스 플로어는 플로어 호몰로지라는 중요한 개념을 발명했다.[14]

후카야 겐지는 그로모프 이후의 심플렉틱 기하학이 대역적 위상수학의 한 분야인 '심플렉틱 위상수학'으로 도약하게 되었다고 평가하며, 이를 "보통의 대역 심플렉틱 기하학"이라고 표현했다.[7]

그로모프는 다음의 비압축 정리(non-squeezing theorem)를 제시했다.[6]

'''정리 (non-squeezing):'''　 r,R>0 이다. 또한,

::\begin{align}

B^{2n} (r)&= \left\{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n}\mid \sum_i (q_i^2 + p_i^2 ) \leq r \right\},\\

Z^{2n} (R)&= \{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n} \,|\, p_1^2 + p_1^2 \leq R \}

\end{align}

::라고 하고, 각각에 \, \mathbb{R}^{2n} \,의 표준적인 심플렉틱 구조 \omega_0 = \sum_{i=1}^n d p_i \wedge d q_i 로부터 유도되는 심플렉틱 구조를 넣는다. 만약, \, ( B^{2n} (r),\omega_0 ) \,에서 \, ( Z^{2n} (R), \omega_0) \,로의 심플렉틱 매장이 존재한다면, r\leq R 이다.

이 정리는 n=1 일 때는 자명하지만, n\geq 2 일 때는 그렇지 않다. 그로모프는 이 정리의 증명에 유사 정칙 곡선을 사용했다. 유사 정칙 곡선은 리만 곡면 \Sigma에서 심플렉틱 다양체 (M,\omega)로의 매끄러운 사상 \, u : \Sigma \to M \,으로, \, J \circ du=du \circ i \,를 만족하는 것이다. (여기서 i와 J는 각각 \Sigma와 M의 개복소 구조이다.)

2. 6. 아르놀드 추측과 플뢰어 호몰로지

아르놀트는 1960년대에 해밀턴 역학계의 1주기 해의 개수를 평가하는 추측을 제시했다.[8]

'''아르놀트 추측'''

  • 다음 부등식이 성립한다.

::\# \{ x : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to M \,|\, \dot{x} = X_{H_t} \} \geq \min \{ \#Cr(F) \,|\, F \in C^{\infty} (M) \}

::여기서 Cr(F)는 F의 임계점 집합이다.

  • 모든 주기해가 비퇴화적이라면 다음이 성립한다.

::\, \# \{ x : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to M \,|\, \dot{x} = X_H \} \geq \sum_k b_k (M) \,

::여기서 b_k (M)은 k차 베치 수이다.

이 추측은 해밀턴계의 주기해에 관한 것이지만, 심플렉틱 다양체 위의 부동점 정리로도 이해할 수 있다. \{ \phi_t \}_{t \in\mathbb{R}}를 해밀턴 벡터장 X_{H_t}의 플로우, \gamma : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \to M 을 해밀턴계의 주기해라고 하면, \gamma(0)\in M는 해밀턴 미분동형사상의 부동점이 된다.

이러한 관점에서 아르놀트 추측은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

'''아르놀트 추측'''

:\, \phi \,가 (M, ω) 위의 해밀턴 미분동형사상일 때, 다음이 성립한다.

::\,

\# \{ p\in M \,|\, \phi(p)=p \} \geq \min \{ \#Cr(F) \,|\, F \in C^{\infty}(M) \}

\,

플레어는 심플렉틱 다양체가 단조(monotone)일 때 아르놀드 추측을 해결했다.[9] 심플렉틱 다양체 (M,\omega)가 단조라는 것은, 양수 \tau >0가 존재하여 \, c_1 (M)|_{\pi_2 (M)} = \tau[\omega]|_{\pi_2 (M)} \,가 성립하는 것을 의미한다. 여기서 \, c_{1}(M) \,은 제1 천(陳)류, [\omega]는 심플렉틱 형식이 정하는 2차 코호몰로지 류이다.

플레어는 플레어 호몰로지를 구성하여 아르놀드 추측을 해결했다. 이후 호퍼-살라몬과 오노는 심플렉틱 다양체가 반정(약단조)이라는 조건에서 아르놀드 추측의 베치 수 평가 버전을 증명했다. Liu-Tian 및 후카야・오노는 일반적인 콤팩트 심플렉틱 다양체에서 아르놀드 추측 베치 수 평가 버전을 증명했다.

플레어 호몰로지는 해밀턴계의 주기해뿐만 아니라, 저차원 다양체 위의 SU(2) 게이지 이론이나 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체의 교차 이론에도 응용된다.

플레어는 다음 사슬 복합체를 고안했다.

: \mathrm{CF}_* (H)= \bigoplus_{x \in \mathrm{Cr}(\mathcal{A}_H)} \mathbb{Z}_{2} \langle x \rangle .

사슬 복합체의 차수는 콘리-체젠더 지수(Conley-Zehnder index) \mu_H : \mathrm{Cr}(\mathcal{A}_{H}) \to \mathbb{Z}로 주어진다. 경계 작용소는 다음과 같이 정의된다.

:\delta \langle x \rangle =

\sum_{\mu_H (x)- \mu_H (y)=1} \# \mathcal{M} (x,y) \langle y \rangle \mod 2

여기서 \mathcal{M} (x,y)는 임계점 x에서 y로 향하는 기울기 곡선의 모듈라이 공간이다.

플레어 방정식(섭동된 코시-리만 방정식)은 다음과 같다.

: \frac{\partial u}{\partial s} + J(u)\left( \frac{\partial u}{\partial t} - X_{H_t}(u) \right) =0

여기서 s,t는 각각 \mathbb{R} \times S^1의 제1, 제2 성분 좌표이다.

플레어는 다음 정리를 통해 사슬 복합체 (CF_{\ast}(H), \delta)를 구성했다.

'''정리'''(플레어): (M,\omega)가 단조이면, \delta \circ \delta =0이 성립한다.

'''정의:''' 사슬 복합체 (\mathrm{CF}_{\ast}(H,J), \delta)의 호몰로지를 해밀턴계의 주기 궤도에 대한 '''플레어 호몰로지'''라 하고, \mathrm{HF}_{\ast} (H,J)로 표기한다.

심플렉틱 다양체가 단조인 경우의 아르놀드 추측은 다음 정리로부터 유도된다.

'''정리'''(플레어): 플레어 호몰로지 \mathrm{HF}_{\ast} (H, J)는 해밀턴 함수 H 및 개복소 구조 J와 관계없이 M의 호몰로지와 동형이다.

3. 정의 및 기본 개념

심플렉틱 기하학은 짝수 차원의 미분다양체에서 정의되며, 이 다양체에는 방향을 반영하여 2차원 대상의 크기를 측정할 수 있는 기하적 대상인 심플렉틱 제2 미분 형식이 정의되어 있다. 심플렉틱 형식은 리만 기하학의 리만 계량과 대응하는 역할을 하는데, 리만 계량이 길이와 각도를 정의하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 주어진 넓이를 정의한다.[12]

심플렉틱 기하학은 고전역학의 수리물리학적 연구에서 비롯되었다. 위치 ''q''와 운동량 ''p''를 사용하여 1차원 물체의 운동 궤적을 나타낼 수 있으며, 이는 유클리드 평면 ℝ2에서 점 (''p'', ''q'')로 표현할 수 있다. 고전 역학의 주요 부분은 보존적 동적계에 해당하며, 이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화하면서 불변하기 때문에 중요하다.[12]

해석역학과 심플렉틱 기하학의 역사는 해밀턴에서 시작한다. 뉴턴에서 시작된 역학은 오일러, 라그랑주에 의해 변분법을 기초로 한 해석역학으로 발전했다. 해밀턴 형식은 운동 방정식을 배위 공간의 여접다발 위의 방정식으로 간주하였다.

심플렉틱 다양체상으로 확장하면, (M,\omega)를 심플렉틱 다양체로 하고, H를 M 위의 매끄러운 함수로 할 때, 해밀턴의 정준 방정식이 정의된다. 다만 심플렉틱 다양체까지 확장해 버리면, 해밀턴 형식에 대응하는 라그랑주 형식은 일반적으로는 찾을 수 없다.

3. 1. 심플렉틱 형식

짝수 차원 미분다양체에서 정의되는 심플렉틱 기하학에서는 방향을 반영하여 2차원 대상의 크기를 측정할 수 있는 기하적 대상인 심플렉틱 제2 미분 형식이 정의된다. 심플렉틱 기하학의 심플렉틱 형식은 리만 기하학의 리만 계량에 대응하는 역할을 한다. 리만 계량이 길이와 각도를 정의하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 주어진 넓이를 정의한다.[12]

고전역학의 수리물리학적 연구에서 발생한 심플렉틱 기하학은 1차원에서 물체의 운동 궤적을 나타내기 위해 위치 ''q''와 운동량 ''p''가 모두 필요하며, 이는 유클리드 평면 ℝ2에서 점 (''p'', ''q'')로 표시할 수 있다. 이 경우 심플렉틱 형식은

:\omega = dp \wedge dq

과 같으며, 이는 적분을 통해 평면에서 영역 ''S''의 영역 ''A''를 측정하는 넓이 형식이다.

:A = \int_S \omega.

이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 불변이기 때문에 중요하며, 고전 역학의 주요 부분 역시 보존적 동적계에 해당한다.[12]

더 높은 차원의 심플렉틱 기하학은 비슷하게 정의된다. 2''n'' 차원의 심플렉틱 기하학은 2''n'' 차원 미분다양체에 주어지는 방향 쌍

:((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))

과 심플렉틱 형식

:\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.

으로 형성된다. 이 심플렉틱 형식은 공간에서 2''n'' 차원 영역 ''V''의 크기를 방향 쌍에 의해 형성된 각 평면에 대한 ''V'' 의 사영 면적의 합으로 산출한다.[12]

:A = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.

해석역학과 심플렉틱 기하학의 역사에서 해밀턴은 뉴턴에서 시작된 역학을 오일러, 라그랑주에 의해 변분법을 기초로 한 해석역학으로 발전시켰다. 해밀턴 형식은 운동 방정식을 배위 공간의 여접다발 위의 방정식

:\dot{q_i} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \,\,\,\,\, \dot{p_i} =- \frac{\partial H}{\partial q_i}

으로 간주하는 것이었다.

'''심플렉틱 형식'''을 사용하면 변분 원리를 거치지 않고도 방정식을 쓸 수 있다.

:\omega_0 = \sum_i d p_i \wedge d q_i

를 심플렉틱 형식(정준 2형식)이라고 하면 해밀턴의 정준 방정식은

:\frac{d \gamma}{dt} = X_H ,\,\,\, \gamma (t)=( q_1 (t), \cdots q_n (t), p_1 (t),\cdots , p_n (t))

로 표시된다. 여기서 X_H는 해밀토니안 H로부터 정해지는 해밀턴 벡터장이다.

3. 2. 심플렉틱 다양체의 예

켈러 다양체는 심플렉틱 다양체이기도 하다. 1970년대까지 심플렉틱 기하학 전문가들은 켈러 다양체 이외의 콤팩트 심플렉틱 다양체가 존재하는지 확신하지 못했지만, 그 이후 윌리엄 서스턴이 발표한 첫 번째 예시를 포함하여 많은 예가 구성되었다.[12] 특히, 로버트 곰프는 유한 표현 군이 어떤 심플렉틱 4-다양체의 기본군으로 발생함을 보여주었는데, 이는 켈러 다양체 예시와는 현저히 대조적이다.

대부분의 심플렉틱 다양체는 켈러 다양체가 아니라고 말할 수 있다. 따라서 일반적으로 심플렉틱 형식과 호환되는 적분 가능한 복소 구조가 없다. 그러나 미하일 그로모프는 심플렉틱 다양체가 호환되는 버금 복소 구조를 풍부하게 허용하므로 추이 사상이 정칙이어야 한다는 요구 사항을 ''제외하고'' 켈러 다양체의 모든 공리를 충족한다는 중요한 관찰을 했다.

4. 주요 성질 및 정리

리만 기하학과 달리, 심플렉틱 다양체는 곡률과 같은 국소 불변량을 갖지 않는다. 이는 2''n'' 차원 심플렉틱 다양체의 임의의 점의 이웃이 ℝ2''n''의 열린 집합에서 표준 심플렉틱 구조와 동형이라는 다르부 정리의 결과이다.

리만 기하학과 심플렉틱 기하학의 또 다른 차이점은, 심플렉틱 형식은 특정 위상을 가진 미분다양체에만 주어질 수 있다는 제약이 있다는 것이다. 예를 들어, 모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원이며 가향이다. 또한, 닫힌 심플렉틱 다양체 ''M''에 대해 2차 드 람 코호몰로지 군 ''H''2(''M'' )은 자명하지 않다. 이러한 성질은 심플렉틱 형식을 허용하는 n차원 구가 2차원 구뿐임을 보여준다.

리만 기하학의 측지선과 심플렉틱 기하학의 준 정칙 곡선은 서로 유사한 개념이다. 리만 기하학에서 측지선이 길이가 극소값인 곡선인 반면, 심플렉틱 기하학에서 준 정칙 곡선은 극소 곡면이다. 두 개념 모두 각 분야에서 중요한 역할을 한다.

그로모프는 유사 정칙 곡선을 사용하여 r\leq R 이면, \, ( B^{2n} (r),\omega_0 ) \,에서 \, ( Z^{2n} (R), \omega_0) \,로의 심플렉틱 매장이 존재한다는 '''그로모프의 비압축 정리(Non-squeezing theorem)'''를 제시했다.[6]

그로모프는 준 정칙 곡선 이론을 개발하여[13] 그로모프-위튼 불변량 등 심플렉틱 위상수학의 발전을 이끌었다. 이후 안드레아스 플로어는 준 정칙 곡선 기법을 활용하여 플뢰어 호몰로지라는 중요한 개념을 발명했다.[14] 플레어는 심플렉틱 다양체가 단조(monotone)일 때 아르놀드 추측을 해결했다.[9]

4. 1. 다르부 정리

리만 기하학과 달리, 심플렉틱 다양체는 곡률과 같은 국소 불변량을 갖지 않는다. 이는 다르부 정리에 따른 결과인데, 2''n''차원 심플렉틱 다양체의 모든 점 근방은 \mathbb{R}^{2n}의 열린 집합에 대한 표준 심플렉틱 구조와 동형이다.

4. 2. 그로모프의 비압축 정리

그로모프는 다음 정리를 제시했다.[6]

'''그로모프의 비압축 정리(Non-squeezing theorem):'''　 r,R>0 이다. 또한,

::\begin{align}

B^{2n} (r)&= \left\{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n}\mid \sum_i (q_i^2 + p_i^2 ) \leq r \right\},\\

Z^{2n} (R)&= \{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n} \,|\, p_1^2 + p_1^2 \leq R \}

\end{align}

::라고 하고, 각각에 \, \mathbb{R}^{2n} \,의 표준적인 심플렉틱 구조 \omega_0 = \sum_{i=1}^n d p_i \wedge d q_i 로부터 유도되는 심플렉틱 구조를 넣는다. 만약, \, ( B^{2n} (r),\omega_0 ) \,에서 \, ( Z^{2n} (R), \omega_0) \,로의 심플렉틱 매장이 존재한다면, r\leq R 이다.

이 정리는 n=1 일 때는 자명하다. n=1일 때, \, Z^2 (R) \,는 2차원 원반 \, B^2 (R) \,이고, 심플렉틱 매장은 면적을 보존하므로, \, B^2 (r) \,이 \, Z^2 (R) = B^{2} (R) \,에 매장될 수 있으려면, \, B^2 (r) \,의 면적이 \, Z^2 (R)= B^2 (R) \,의 면적보다 작지 않아야 한다. 즉, r\leq R 이어야 한다. 이 설명을 보면 알 수 있듯이, n=1 일 때 (공간의 차원은 2차원)는 심플렉틱 매장이 면적을 보존한다는 것이 포인트이며, 심플렉틱 구조를 보존한다는 것은 직접적으로 사용되지 않는다. 그러나, n\geq 2 일 때는 상황이 다르다. 이 때, \, B^2 (r) \,에서 \, Z^2 (R) \,로의 체적을 보존하는 매장은, r,R 의 대소 관계에 관계없이 얼마든지 존재한다. 그럼에도 불구하고, 심플렉틱 구조를 보존한다는 조건을 더하기만 하면, 그 매장이 존재하는지는 r,R 의 대소 관계에 따라 달라진다. 이 의미에서, 그로모프가 제시한 이 비압축 정리는 자명하지 않다. 그로모프에 의한 이 정리의 증명에는, 유사 정칙 곡선이 사용되고 있다. 여기서, 유사 정칙 곡선의 정의를 설명한다. \Sigma 를 리만 곡면, (M,\omega) 를 심플렉틱 다양체라고 하고, 각 개복소 구조를 i 및 J라고 하자. 이 때, 매끄러운 사상 \, u : \Sigma \to M \,이 유사 정칙 곡선(유사 정칙 사상, J －정칙 곡선)이라는 것은, \, J \circ du=du \circ i \,를 만족하는 것을 말한다.

4. 3. 플뢰어 호몰로지

미하일 그로모프는 심플렉틱 다양체에 버금 복소 구조의 존재를 사용하여 준 정칙 곡선 이론을 개발했으며[13], 이는 그로모프-위튼 불변량으로 알려진 심플렉틱 불변량을 포함하여 심플렉틱 위상수학에서 많은 발전을 가져왔다. 나중에 준 정칙 곡선 기법을 사용하여 안드레아스 플로어는 플뢰어 호몰로지로 알려진 심플렉틱 기하학에서 또 다른 중요한 개념을 발명했다.[14]

플레어는 심플렉틱 다양체가 단조(monotone)일 때 아르놀드 추측을 해결했다.[9] 여기서 심플렉틱 다양체 (M, \omega)가 단조란, 양수 \tau > 0가 존재하여 \, c_1 (M)|_{\pi_2 (M)} = \tau[\omega]|_{\pi_2 (M)} \,가 성립하는 것을 말한다. 여기서 \, c_1(M) \,은 제1 천(陳)류, [\omega]는 심플렉틱 형식이 정하는 2차 코호몰로지 류이다. 플레어는 현재 플레어 호몰로지라고 불리는 호몰로지를 구성했다. 그 후, 호퍼-살라몬과 오노에 의해, 심플렉틱 다양체가 반정(약단조라고도 한다)이라는 조건 하에서, 아르놀드 추측의 베치 수 평가 버전이 증명되었다. 더욱이, Liu-Tian 및 후카야・오노에 의해, 일반적인 콤팩트 심플렉틱 다양체에서 아르놀드 추측 베치 수 평가 버전이 증명되었다.

플레어 호몰로지의 개념은 해밀턴계의 주기해뿐만 아니라, 저차원 다양체 위의 SU(2) 게이지 이론이나 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체의 교차 이론에도 응용된다. 이들에 공통적인 것은 무한 차원 다양체 위에서의 모스 이론의 적용이다.

해밀턴계의 주기 궤도에 대한 플레어 이론은 다음과 같이 설명할 수 있다. 심플렉틱 다양체 M 위의 닫힌 곡선 전체 \mathcal{L}M을 M 위의 자유 루프 공간이라고 한다. 그중에서 1점에 연속 변형 가능한(가역) 것 전체를 X = \mathcal{L}_0 M이라고 쓴다. S^1은 \mathbb{R} / \mathbb{Z}로 파라미터화되어 있다고 가정한다. 시간에 의존하는 해밀턴 함수 H \in C^{\infty}(S^1 \times M)에 대해 X 위의 범함수가 다음과 같이 정의된다.

:\,

\mathcal{A}_H(\gamma) =

\int_{D^2} u^* \omega - \int_{\gamma} Hdt,

\,\,\,\, \gamma \in X.

\,

여기서 u: D^2 \to M은 2차원 원반 D^2에서 M으로의 사상으로, \gamma를 경계로 가지는 것이다. 단, u는 유일하게 정해지지 않으며, \mathcal{A}_H는 X 위의 다가 범함수가 된다. 만약 \pi_2(M) = 0이라고 가정하면, 범함수의 값은 u의 선택에 관계없이 \gamma에만 의존한다.

범함수 \mathcal{A}_H에 대한 변분 원리는, \gamma \in X가 해밀턴 방정식의 주기 1의 주기해인 것은 \gamma가 범함수 \mathcal{A}의 임계점일 때이며 그 때에 한정된다는 것을 주장한다.

플레어는 다음과 같은 사슬 복합체를 생각했다.

: \mathrm{CF}_* (H)= \bigoplus_{x \in \mathrm{Cr}(\mathcal{A}_H)} \mathbb{Z}_{2} \langle x \rangle .

사슬 복합체의 차수 부여는 콘리-체젠더 지수(Conley-Zehnder index) \mu_H : \mathrm{Cr}(\mathcal{A}_{H}) \to \mathbb{Z}로 주어진다. 경계 작용소는

:\delta \langle x \rangle =

\sum_{\mu_H (x)- \mu_H (y)=1} \# \mathcal{M} (x,y) \langle y \rangle \mod 2

로 정의된다. 여기서 \mathcal{M}(x, y)는 임계점 x에서 y로 향하는 (음의) 기울기 곡선의 모듈라이 공간을 나타낸다.

M 위의 개복소 구조 J로, 심플렉틱 형식 \omega와 양립하는 것이 존재한다. 즉, (M, J, \omega)는 개켈러 다양체가 된다. 이 때, 리만 계량 g_J = \omega(\bullet, J\bullet)으로부터 가역 루프로 이루어진 「다양체」 X 위의 L^2-계량을 정할 수 있으므로, 범함수 \mathcal{A}_H의 (형식적인) 기울기 벡터장이 X 위에 정의된다. X 위의 곡선 u : \mathbb{R} \to X를 생각하면, 그것은 실린더 \mathbb{R} \times S^1에서 M으로의 사상과 동일시할 수 있다. 이 동일시를 사용해서 \mathcal{A}_H의 기울기 방정식을 쓰면, 플레어 방정식(섭동된 코시-리만 방정식이라고도 한다)

: \frac{\partial u}{\partial s} + J(u)\left( \frac{\partial u}{\partial t} - X_{H_t}(u) \right) =0

가 된다. 여기서 s, t는 각각 \mathbb{R} \times S^1의 제1, 제2 성분의 좌표이다. 이 방정식의 해 u로, s \to -\infty의 극한에서 u(s, \bullet): S^1 \to M가 해밀턴 방정식의 1주기 해 x에, s \to \infty의 극한에서 주기해 y에 수렴하는 것의 모듈라이 공간을 \mathcal{M}(x, y)라고 쓴다. \mu_H (x)- \mu_H (y)=1이면, 이 모듈라이 공간은 유한 집합임을 증명할 수 있다. 따라서 위에서 정의한 경계 작용소 \delta는 well-defined이다.

'''정리'''(플레어): (M, \omega)가 단조이면, \delta \circ \delta = 0이 성립한다.

'''정의:''' 사슬 복합체 (\mathrm{CF}_{\ast}(H, J), \delta)의 호몰로지를 해밀턴계의 (가역인) 주기 궤도에 대한 '''플레어 호몰로지'''라고 부르며, \mathrm{HF}_{\ast} (H, J)라고 표기한다.

심플렉틱 다양체가 단조인 경우의 아르놀드 추측은, 플레어에 의한 다음의 정리로부터 직접 유도할 수 있다.

'''정리'''(플레어): 플레어 호몰로지 \mathrm{HF}_{\ast} (H, J)는 해밀턴 함수 H 및 개복소 구조 J에 관계없이, M의 호몰로지에 동형이다.

5. 리만 기하학과의 비교

심플렉틱 기하학은 비축퇴 대칭 2차 텐서(리만 계량 텐서)가 있는 미분 다양체에 대한 연구인 리만 기하학과 많은 유사점과 차이점을 가지고 있다. 리만 다양체와 달리, 심플렉틱 다양체에는 곡률과 같은 국소적 불변량이 없다. 이것은 2''n'' 차원 심플렉틱 다양체의 임의의 점 근처가 ℝ2''n''의 열린 집합에서 표준 심플렉틱 구조와 동형이라는 다르부 정리의 결과이다. 리만 기하학과 또 다른 차이점은 모든 미분 가능 다양체에 심플렉틱 형식을 줄 수는 없고 특정 위상을 가진 미분다양체에만 줄 수 있다는 제한이 있다는 것이다. 예를 들어, 모든 심플렉틱 다양체는 짝수 차원이며 가향이다. 추가로, ''M''이 닫힌 심플렉틱 다양체이면 2차 드 람 코호몰로지 군 ''H''2(''M'')은 자명하지 않다. 이런 성질은, 예를 들어, 심플렉틱 형식을 허용하는 n차원 구가 2차원 구밖에 없다는 것을 의미한다. 두 주제 사이에 그릴 수 있는 평행선은 리만 기하학의 측지선과 심플렉틱 기하학의 준 정칙 곡선 사이의 유사성이다. 리만 기하학에서 측지선은 길이가 극소값인 곡선인 반면, 심플렉틱 기하학에서 준 정칙 곡선은 극소 곡면이다. 두 개념 모두 해당 분야에서 근본적인 역할을 한다.

6. 응용 분야

심플렉틱 기하학은 고전역학, 양자역학, 위상수학, 이론물리학 등 여러 분야에 응용된다.

6. 1. 고전역학

심플렉틱 기하학은 고전역학 연구에서 시작되었으며, 짝수 차원 미분다양체에서 정의된다. 이 다양체에는 심플렉틱 제2 미분 형식이 정의되어 있는데, 이는 공간에서 2차원 객체의 크기를 측정할 수 있게 해준다. 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 형식은 리만 기하학에서 계량 텐서와 유사한 역할을 한다. 계량 텐서가 길이와 각도를 측정하는 반면, 심플렉틱 형식은 방향이 있는 면적을 측정한다.[12]

1차원에서 물체의 움직임의 궤적을 나타내기 위해서는 위치 ''q''와 운동량 ''p''가 모두 필요하며, 이는 유클리드 평면 ℝ2에서 점 (''p'', ''q'')로 표시할 수 있다. 이 경우 심플렉틱 형식은 다음과 같다.

:\omega = dp \wedge dq

이는 적분을 통해 평면에서 영역 ''S''의 영역 ''A''를 측정하는 넓이 형식이다.

:A = \int_S \omega.

이 넓이는 보존적 동적계가 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 불변이기 때문에 중요하다. 고전 역학의 주요 부분 역시 보존적 동적계에 해당한다.[12]

더 높은 차원의 심플렉틱 기하학은 비슷하게 정의된다. 2''n'' 차원의 심플렉틱 기하학은 2''n'' 차원 미분다양체에 주어지는 방향 쌍

: ((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))

과 심플렉틱 형식

: \omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.

으로 형성된다. 이 심플렉틱 형식은 공간에서 2''n'' 차원 영역 ''V''의 크기를 방향 쌍에 의해 형성된 각 평면에 대한 ''V'' 의 사영 면적의 합으로 산출한다.[12]

: A = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.

해밀턴 역학 형식에서는 일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하고 1계 상미분 방정식계(해밀턴 정준 방정식)에 의해 운동이 기술되며, 방정식이 대칭적이고 일반화 좌표와 일반화 운동량의 2개가 독립적으로 취급된다는 특징이 있다.

운동 방정식을 구적하기 위해서는 제1적분(보존량)이 필요하며, 제1적분을 사용하여 방정식의 자유도를 줄이는 방법을 간약화라고 한다.

제1적분을 찾는 것은 계의 대칭성을 찾는 것과 같으며, 계가 대칭성을 가지면 그 대칭성에 대응하는 보존량을 찾을 수 있다. 예를 들어 병진 대칭성이 있으면 운동량이 보존되고, 회전 대칭성을 가지면 각운동량이 보존된다.

뇌터 정리에 따르면, T^*N을 표준 2형식을 갖는 심플렉틱 다양체로 하고, \{\bar{\phi}_t\}를 T^*N 위의 완전한 심플렉틱 변환의 1 매개변수족으로 할 때, 만약 해밀토니안 H가 \{\bar{\phi}_t\}의 작용으로 불변이라면, \{\bar{\phi}_t\}의 무한소 변환은 T^*N 위의 어떤 함수 G의 해밀턴 벡터장이며, 함수 G는 해밀턴 계의 제1 적분이다.

함수 G가 해밀턴 계의 제1 적분이라는 것과, G가 해밀토니안 H와 푸아송 가환인 것은 동치이다.

해밀턴 계가 완전 적분가능하다는 것은, H=G_1와 푸아송 가환인 함수 G_1,\cdots,G_n가 존재하고, 그들 n개의 함수가 함수적으로 독립이라는 것을 말한다.

대표적인 적분가능계에는 케플러 문제, 이체 문제, 조화 진동자, 토다 격자, 라그랑주 팽이, 코바레프스카야 팽이, 대칭 팽이 등이 있다.

6. 2. 양자역학

20세기 초, 심플렉틱 기하학은 양자역학의 탄생과 함께 중요한 전환점을 맞이했다. 하이젠베르크와 슈뢰딩거 등에 의해 시작된 양자역학에서 심플렉틱 기하는 핵심적인 역할을 수행했다. 하이젠베르크의 행렬역학은 푸아송 괄호에서, 슈뢰딩거의 파동역학은 해밀턴-야코비 방정식에서 출발했기 때문이다. 이후, 다음과 같은 다양한 양자화 방법들이 제안되었다.

  • 정준 양자화
  • 파인만의 경로 적분법에 의한 양자화
  • 넬슨에 의한 확률 역학


n차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n 에서는 정준 양자화 방법이 충분히 정당성을 갖는 것으로 알려져 있다. 이 방법은 \mathbb{R}^n 위의 절대 제곱 적분 가능한 함수 전체로 구성된 힐베르트 공간

:L^2(\mathbb{R}^n) =

\left\{ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}

\,\left|\,

\int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2 d^n x < \infty

\right.

\right\}



을 생각하고, 위치 \, x_j\,와 운동량 \, p_j\ (j=1,\cdots,n) \,에 대응하는 물리량을 해당 힐베르트 공간 L^2 ( \mathbb{R}^n ) 위의 자기 수반 작용소

:\begin{aligned}

( \hat{x}_j f)(x)&= x_j f(x),\\

( \hat{p}_j f)(x)&=-i \hbar \frac{\partial f}{\partial x_j} (x)

\end{aligned}\quad(j=1,\cdots n)

로 바꾸는 것이다. 여기서 \hbar는 플랑크 상수이다. 이러한 작용소들은 정준 교환 관계 (또는 하이젠베르크의 교환 관계, 본-하이젠베르크-요르단의 교환 관계)

:[ \hat{x}_j , \hat{x}_k ]=[ \hat{p}_j, \hat{p}_k ]=0, \,\,

[ \hat{x}_j , \hat{p}_k ]=i \hbar \delta_{jk}

를 만족시킨다. 일반적으로 힐베르트 공간 \mathcal{H}와 그 위의 정준 교환 관계를 만족하는 자기 수반 작용소의 조 ( \mathcal{H}, \hat{x}_1, \cdots, \hat{x}_n, \hat{p}_1, \cdots, \hat{p}_n )를 '''자유도 n의 정준 교환 관계 표현'''이라고 한다. 정준 양자화는 힐베르트 공간 L^2(\mathbb{R}^n) 위의 정준 교환 관계 표현을 정의하는 것이며, 폰 노이만에 의해 명확히 제시되었다. 폰 노이만은 더 나아가 바일 관계식을 만족하는 정준 교환 관계 표현이 유니터리 동치인 것을 제외하고 유일하게 정해진다는 것을 보였고, 이는 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학의 동치성을 설명한다.

그러나 정준 양자화는 유클리드 공간에서는 잘 작동하지만, 일반적인 다양체에서는 국소적인 좌표를 대역적으로 사용할 수 없기 때문에 쉽게 수행할 수 없다. 또한, 심플렉틱 다양체 위에 일반화하는 것도 어려운데, 이는 유클리드 공간에서의 정준 양자화는 T^* \mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n 위의 양자화로 생각되어 위치와 운동량의 구분이 자연스럽지만, 일반적인 심플렉틱 다양체(예: 콤팩트 다양체)에서는 이러한 구분이 이루어지지 않기 때문이다. 따라서 운동량을 미분 연산자로 대체하는 정준 양자화 방법의 기하학적 의미는 명확하지 않았고, 디랙은 기하학적 양자화 문제를 제기했다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega)와 심플렉틱 형식에서 정해지는 푸아송 구조 \{\bullet,\bullet\}에 대해, 디랙이 제기한 기하학적 양자화 문제는 다음과 같다.

;기하학적 양자화：

:심플렉틱 다양체 (M,\omega)로부터 어떤 힐베르트 공간 \mathfrak{H}을 만들고, M 위의 매끄러운 함수로 구성된 함수 환 C^{\infty} (M)에서 \mathfrak{H} 위의 선형 작용소로의 대응Q을 구성하고 다음 성질을 만족시켜라:

::[ Q(f), Q(g) ]=i \hbar Q( \{ f,g \}), \,\,\,\, f, g \in C^{\infty} (M),

:여기서, [X,Y]=XY-YX 이다.

기하학적 양자화는 T^* \mathbb{R}^n의 경우에 잘 작동하지만, 일반적인 심플렉틱 다양체에 대한 적용 가능성은 여전히 문제로 남아있다.

기하학적 양자화 문제는 다양체 위의 양자역학 구성이라는 문제에서 시작되었지만, 공간의 양자화를 다루는 비가환 기하학과도 깊은 관련을 맺고 있다. 비가환 기하학은 "다양체란 그 위의 가환 함수환만으로 결정된다"는 정리에서 출발한다. 즉, 다양체 M 위에 비가환 함수환 (C^\infty(M), * ) 을 구성할 수 있다면, 이는 비가환 다양체를 구성하는 것과 같다는 것이다. 이러한 비가환 함수환 구성 방법 중 하나가 '''변형 양자화'''이다.

심플렉틱 다양체 (M,\omega)와 그 푸아송 구조 \{\bullet,\bullet\}에 대해, 푸아송 구조로 인해 C^{\infty} (M)은 푸아송 환이 된다. 변형 양자화는 이 푸아송 환의 형식적 멱급수환

:\mathcal{A} \nu= \left\{ \left. \sum_{n=0}^{\infty} f_n \nu^n \,\right|\, f_n \in C^{\infty} (M) \right\}

(\nu는 형식적인 파라미터)에 다음 성질을 만족하는 곱 *을 도입하는 것이다.

  • \nu *f =f* \nu, \,\,\,\, f \in \mathcal{A}\nu.
  • f*g=fg+ \nu \{ f,g \} +O( \nu^2 ), \,\,\,\, f,g \in \mathcal{A} \nu.


이러한 비가환 함수환을 구성하면, 그에 대응하는 "비가환 다양체"가 구성될 수 있다.

기하학적 양자화는 심플렉틱 다양체 (M,\omega)와 그 기하학적 양자화 \, (\mathfrak{H},Q) \,에 대해, C^{\infty} (M) 위에 곱 *을

:Q(f*g):=Q(f) \circ Q(g), \,\,\,\,\, f,g \in C^{\infty} (M)

로 정의함으로써(이 단계에서 f*g의 존재는 보장되지 않음) 공간의 양자화를 수행한다고 볼 수 있다. 이 곱 *은 C^{\infty} (M)에 비가환 곱을 정의하며, 이를 통해 다양체 M의 "비가환화"가 이루어진다.

6. 3. 위상수학

그로모프는 논문[6]에서 '''유사 정칙 곡선'''의 개념을 정의했고, 이 논문은 획기적인 것이 되어 그 이후 심플렉틱 기하학은 대역적 위상수학의 한 분야('''심플렉틱 위상수학''')로 도약하게 되었다. 후카야 겐지는 이를 "보통의 대역 심플렉틱 기하학"[7]이 되었다고 말하고 있다.

그로모프는 다음 정리를 제시했다.

'''정리 (non-squeezing) :'''　 r,R>0 이다. 또한,

::\begin{align}

B^{2n} (r)&= \left\{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n}\mid \sum_i (q_i^2 + p_i^2 ) \leq r \right\},\\

Z^{2n} (R)&= \{ (q,p) \in \mathbb{R}^{2n} \,|\, p_1^2 + p_1^2 \leq R \}

\end{align}

::라고 하고, 각각에 \, \mathbb{R}^{2n} \,의 표준적인 심플렉틱 구조 \omega_0 = \sum_{i=1}^n d p_i \wedge d q_i 로부터 유도되는 심플렉틱 구조를 넣는다. 만약, \, ( B^{2n} (r),\omega_0 ) \,에서 \, ( Z^{2n} (R), \omega_0) \,로의 심플렉틱 매장이 존재한다면, r\leq R 이다.

이 정리는 n=1 일 때는 자명하다. n=1일 때, \, Z^2 (R) \,는 2차원 원반 \, B^2 (R) \,이고, 심플렉틱 매장은 면적을 보존하므로, \, B^2 (r) \,이 \, Z^2 (R) = B^{2} (R) \,에 매장될 수 있으려면, \, B^2 (r) \,의 면적이 \, Z^2 (R)= B^2 (R) \,의 면적보다 작지 않아야 한다. 즉, r\leq R 이어야 한다. 이 설명을 보면 알 수 있듯이, n=1 일 때 (공간의 차원은 2차원)는 심플렉틱 매장이 면적을 보존한다는 것이 포인트이며, 심플렉틱 구조를 보존한다는 것은 직접적으로 사용되지 않는다. 그러나, n\geq 2 일 때는 상황이 다르다. 이 때, \, B^2 (r) \,에서 \, Z^2 (R) \,로의 체적을 보존하는 매장은, r,R 의 대소 관계에 관계없이 얼마든지 존재한다. 그럼에도 불구하고, 심플렉틱 구조를 보존한다는 조건을 더하기만 하면, 그 매장이 존재하는지는 r,R 의 대소 관계에 따라 달라진다. 이 의미에서, 그로모프가 제시한 이 비압축 정리 (non-squeezing theorem)는 자명하지 않다. 그로모프에 의한 이 정리의 증명에는, 유사 정칙 곡선이 사용되고 있다. 여기서, 유사 정칙 곡선의 정의를 설명한다. \Sigma 를 리만 곡면, (M,\omega) 를 심플렉틱 다양체라고 하고, 각 개복소 구조를 i 및 J라고 하자. 이 때, 매끄러운 사상 \, u : \Sigma \to M \,이 유사 정칙 곡선(유사 정칙 사상, J －정칙 곡선)이라는 것은, \, J \circ du=du \circ i \,를 만족하는 것을 말한다.

에켈란드(Ekeland)와 호퍼(Hofer)는 심플렉틱 용량 (symplectic capacity)의 개념을 제창했다. 2n 차원 심플렉틱 다양체에 대한 심플렉틱 용량은, 2n 차원 심플렉틱 다양체 (M,\omega) 에 양수를 할당하는 함수 c 로 다음 성질을 만족하는 것이다. (M,\omega),(M',\omega') 를 심플렉틱 다양체라고 한다.

  • 만약 심플렉틱 매장 \, \phi : (M,\omega) \to (M',\omega') \,이 존재하면, \, c(M,\omega) \leq c(M',\omega'). \,
  • \, c(M, \lambda \omega )=| \lambda| c(M, \omega ), \,\,\, \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. \,
  • \, 0

특히 n=1 일 때,

:\, c(M,\omega) = \left| \int_M \omega \right| \,

라고 하면, 이것은 2차원 심플렉틱 다양체에 대한 심플렉틱 용량임을 확인할 수 있다. 그러나, n\geq 2 일 때,

:c(M, \omega) = \left| \int_M \frac{(-1)^n}{n!}\omega^n \right|^{1/n}

라고 해도, 이것은 심플렉틱 용량이 되지 않는다.

6. 4. 이론물리학

심플렉틱 기하학은 고전 역학 연구에서 시작되었으며, 심플렉틱 구조의 한 예는 1차원에서 물체의 움직임이다. 물체의 궤적을 지정하려면 위치 ''q''와 운동량 ''p''가 모두 필요한데, 이는 유클리드 평면에서 점 (''p'',''q'')을 형성한다. 이 경우, 심플렉틱 형식은 다음과 같다.

:\omega = dp \wedge dq

이것은 면적 형식으로, 적분을 통해 평면의 영역 ''S''의 면적 ''A''를 측정한다.

:A = \int_S \omega.

면적은 보존 역학계가 시간에 따라 진화하면서 이 면적이 불변이기 때문에 중요하다.[3]

해밀턴 역학 형식에서는 일반화 좌표와 일반화 운동량을 사용하고 1계 상미분 방정식계(해밀턴 정준 방정식)에 의해 운동이 기술된다. 해밀턴 형식에서 가장 특징적인 것은 방정식이 대칭적이고, 일반화 좌표와 일반화 운동량 두 개가 독립적으로 취급된다는 것이다. 이 사실은 계의 대칭성이나 가적분성을 조사하는 데 해밀턴 계가 더 편리하다는 것을 의미한다. 왜냐하면 위상 공간상의 대칭성도 다루기 때문이다. 즉, 해밀턴 형식이 더 많은 변환을 허용한다.

운동 방정식을 구적하기 위해서는 제1적분(보존량)이 필요하다. 제1적분을 사용하여 방정식의 자유도를 줄이는 방법을 일반적으로 간약화라고 한다.

제1적분을 찾는 것은 계의 대칭성을 찾는 것과 같다. 계가 대칭성을 가지면, 그 대칭성에 대응하는 보존량을 찾을 수 있기 때문이다. 예를 들어, 병진 대칭성이 있으면 운동량이 보존되고, 회전 대칭성을 가지면 각운동량이 보존된다. 이처럼, 계의 대칭성과 제1적분의 존재와의 관계를 일반적인 상황에서 연구한 것은 에미 뇌터가 처음이라고 여겨진다.

7. 관련 수학자

해밀턴은 해석역학과 심플렉틱 기하학의 역사를 시작한 인물이다. 뉴턴에서 시작된 역학은 오일러, 라그랑주에 의해 변분법을 기초로 한 해석역학으로 발전했다.

참조

[1] 뉴스 A Fight to Fix Geometry's Foundations https://www.quantama[...] 2017-02-09
[2] 서적 The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press 1939
[3] 간행물 European Women in Mathematics – Proceedings of the 13th General Meeting World Scientific 2010
[4] 논문 "Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds." 1985
[5] 논문 "Morse theory for Lagrangian intersections." 1988
[6] 논문 "Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds" 1985
[7] 서적 "シンプレクティック幾何学" 岩波書店 1999
[8] 논문 1965
[9] 논문 1989
[10] 뉴스 A Fight to Fix Geometry's Foundations https://www.quantama[...] 2017-02-09
[11] 서적 The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton University Press 1939
[12] 간행물 World Scientific
[13] 논문 "Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds." 1985
[14] 논문 "Morse theory for Lagrangian intersections." 1988


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