엘리 카르탕
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1. 개요
엘리 카르탕은 1869년에 태어나 1951년에 사망한 프랑스의 수학자이다. 리 군론, 미분방정식계, 미분 기하학 분야에 기여했으며, 아인슈타인-카르탕 이론을 제시했다. 빌헬름 킬링의 단순 리 군 분류 작업을 완성하고, 스피너를 발견하는 등 다양한 업적을 남겼다. 그는 소르본 대학교 교수를 역임했으며, 제자인 싱-셴 천은 그가 뛰어난 직관과 기억력을 가진 학자였다고 회상했다.
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| 엘리 카르탕 - [인물]에 관한 문서 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 이름 | 엘리 조제프 카르탕 |
| 원어 이름 | Élie Joseph Cartan |
| IPA | /eli ʒozɛf kaʁtɑ̃/ |
| 출생일 | 1869년 4월 9일 |
| 출생지 | 이제르주 돌로미외 |
| 사망일 | 1951년 5월 6일 (82세) |
| 사망지 | 파리 |
| 국적 | 프랑스 |
| 학문 분야 및 활동 | |
| 분야 | 수학, 물리학 |
| 직장 | 파리 대학교, 에콜 노르말 쉬페리외르 |
| 모교 | 파리 대학교 |
| 자녀 | 앙리 카르탕 |
| 친척 | 안나 카르탕 (여동생) |
| 학위 | |
| 박사 학위 논문 제목 | 유한 연속 변환군의 구조에 관하여 |
| 박사 학위 논문 연도 | 1894년 |
| 지도 교수 | 가스통 다르부, 소푸스 리 |
| 박사 학위 제자 | 샤를 에레스만, Mohsen Hashtroodi, 야노 겐타로 |
| 업적 | |
| 주요 업적 | 리 군 (카르탕 정리) 벡터 공간 및 외대수 미분기하학 특수 및 일반 상대성이론 미분 형식 양자역학 (스피너, 회전 벡터) 엘리 카르탕의 이름을 딴 것들의 목록 |
| 수상 | |
| 수상 내역 | 르콩트상 (1930년) 로바쳅스키 상 (1937년) 프랑스 과학 아카데미 회장 (1946년) 왕립 학회 회원 (1947년) |
| 영향 | |
| 주목할 만한 제자 | 싱선천 |
2. 생애
1891년 에콜 노르말 쉬페리외르를 졸업한 후, 카르탕은 프랑스 군에 입대하여 1년간 복무하고 하사관 계급을 받았다. 그 후 2년(1892–1894) 동안 에콜 노르말 쉬페리외르로 돌아와, 1888년부터 1889년까지 소푸스 리 밑에서 공부한 동급생 아르튀르 트레세(1868–1958)의 조언을 받아 빌헬름 킬링이 시작한 단순 리 군의 분류에 대한 연구를 했다. 1892년, 리는 다르부와 타네리의 초청으로 파리에 와서 카르탕과 처음 만났다.[4]
카르탕은 1894년 소르본 대학교 과학부에서 "유한 연속 변환군의 구조"라는 논문을 발표했다. 1894년부터 1896년까지 몽펠리에 대학교의 강사였으며, 1896년부터 1903년까지는 리옹 대학교 과학부 강사였다.[4]
1903년, 리옹에 있던 카르탕은 마리-루이즈 비안코니(1880–1950)와 결혼했고, 같은 해 낭시 대학교 과학부 교수가 되었다. 1904년에는 나중에 영향력 있는 수학자가 된 카르탕의 첫째 아들 앙리 카르탕이 태어났고, 1906년에는 작곡가가 된 둘째 아들 장 카르탕이 태어났다. 1909년 카르탕은 가족과 함께 파리로 이사하여 소르본 대학교 과학부 강사로 일했다. 1912년 카르탕은 앙리 푸앵카레의 추천을 받아 그곳의 교수가 되었다. 그는 1940년 은퇴할 때까지 소르본에 머물렀고, 생애 마지막 몇 년 동안 에콜 노르말 쉬페리외르 여자 학교에서 수학을 가르쳤다.[4]
카르탕의 제자였던 기하학자 싱-셴 천은 다음과 같이 회고했다:[4]
> 보통 [카르탕과의 만남] 다음 날, 그로부터 편지를 받곤 했습니다. 그는 "당신이 떠난 후, 당신의 질문에 대해 더 생각했습니다..."라고 말하며, 몇 가지 결과와 몇 가지 더 많은 질문 등을 했습니다. 그는 단순 리 군, 리 대수에 관한 모든 논문을 전부 암기하고 있었습니다. 길에서 그를 만났을 때, 어떤 문제가 생기면, 그는 낡은 봉투를 꺼내 무언가를 적어 답을 주곤 했습니다. 그리고 때로는 내가 똑같은 답을 얻는 데 몇 시간, 심지어 며칠이 걸리기도 했습니다... 저는 정말 열심히 공부해야 했습니다.
1921년 폴란드 학술원의 외국 회원, 1937년에는 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미의 외국 회원이 되었다.[5] 1938년에는 과학 통일 국제 회의를 조직하기 위해 구성된 국제 위원회에 참여했다.[6]
2. 1. 어린 시절과 교육
엘리 카르탕은 1869년 4월 9일 프랑스 이제르주 도롤미유 마을에서 대장장이인 아버지 조제프 카르탕(1837–1917)과 어머니 안느 코타(1841–1927) 사이에서 태어났다.[4] 그는 어린 시절을 "매일 새벽부터 시작되는 모루의 망치질" 속에서 보냈고, "어머니는 아이들과 집을 돌보는 데서 잠시나마 자유로운 몇 안 되는 시간에 물레로 일하셨다"고 회상했다.[4] 카르탕에게는 재봉사가 된 누나 잔-마리(1867–1931), 아버지의 대장간에서 일하는 대장장이 남동생 레옹(1872–1956), 그리고 엘리의 영향으로 에콜 노르말 쉬페리외르에 입학하여 리세(중등학교) 수학 교사가 된 여동생 안나 카르탕(1878–1923)이 있었다.[4]엘리 카르탕은 도롤미유의 초등학교에 입학하여 학교에서 가장 뛰어난 학생이었다. 그의 교사 중 한 명인 M. 뒤퓌는 "엘리 카르탕은 수줍은 학생이었지만, 그의 눈에는 비상한 지성의 빛이 빛났고, 이는 뛰어난 기억력과 결합되어 있었다"고 회상했다.[4] 당시 이제르의 대표였던 안토냉 뒤보는 학교를 방문하여 카르탕의 비범한 능력에 감명받았다. 그는 카르탕에게 리세 장학금 경쟁에 참여할 것을 추천했다.[4] 카르탕은 M. 뒤퓌의 지도 아래 경쟁을 준비하여 열 살의 나이로 합격했다. 그는 비엔의 콜레주에서 5년(1880–1885)을 보냈고, 이후 2년(1885–1887)을 그르노블 리세에서 보냈다. 1887년에는 과학을 공부하기 위해 파리의 리세 장송 드 세이로 옮겨 2년간 공부했으며, 그곳에서 훗날 프랑스의 유명한 물리학자가 된 동급생 장-밥티스트 페랭(1870–1942)을 만나 친분을 쌓았다.[4]
1888년, 카르탕은 에콜 노르말 쉬페리외르에 입학하여 샤를 에르미트(1822–1901), 쥘 타네리(1848–1910), 가스통 다르부(1842–1917), 폴 아펠(1855–1930), 에밀 피카르(1856–1941), 에두아르 구르사(1858–1936) 및 앙리 푸앵카레(1854–1912)의 강의를 들었는데, 카르탕은 푸앵카레의 강의를 가장 높이 평가했다.[4]
2. 2. 학문적 경력
1894년 몽펠리에 대학교에서 강사로, 이후 40세에 파리 대학교에서 강사로 임명되었다. 대칭 공간의 발견, 미분 형식의 도입(1899년), 접속의 개념 제창 등 리 군론, 스피너 이론, 연속군론, 미분기하학, 적분 불변식 등 다방면에서 기본적인 중요한 업적을 이루었다.25세에 발표한 학위 논문 "유한 차원 연속 변환군의 구조에 관하여"는 학자로서의 지위를 굳건하게 하였다.
2. 3. 가족
1903년 마리루이즈 비안코니(1880–1950)와 결혼하여 4명의 자녀를 두었다.[4] 장남 앙리 카르탕(1904~2008)은 저명한 수학자가 되었고, 차남 장 카르탕(1906~1932)은 작곡가가 되었으나 요절했다. 삼남 루이는 물리학자가 되었고, 장녀 엘렌은 수학 교사가 되었다.2. 4. 말년
엘리 카르탕은 오랜 투병 끝에 1951년 파리에서 사망했다.[4] 1976년, 그의 업적을 기리기 위해 달 분화구 중 하나가 그의 이름을 따서 "카르탕"으로 명명되었다.(이전에는 아폴로니우스 D로 지정됨)[5]3. 주요 업적
엘리 카르탕의 수학적 업적은 크게 리 군론, 미분방정식계, 미분 기하학의 세 분야로 나눌 수 있으며, 이들은 서로 밀접하게 연관되어 현대 수학의 중요한 도구로 활용되고 있다. 카르탕은 미분 가능 다양체에 대한 해석학을 발전시켰는데, 이는 오늘날 현대 수학의 핵심적인 부분으로 간주되며 그가 선두에서 이 분야를 형성하고 발전시켰다.
카르탕은 25세에 발표한 학위 논문 "유한 차원 연속 변환군의 구조에 관하여"를 통해 학자로서의 지위를 확고히 했다. 이 논문으로 1894년 몽펠리에 대학교 강사로 임명되었다. 이후 파리 대학교 강사로 임명되어 리 군론, 스피너 이론, 연속군론, 미분기하학, 적분 불변식 등 다양한 분야에서 연구를 진행했다. 특히, 대칭 공간의 발견, 미분 형식의 도입(1899년), 접속의 개념 제창 등은 그의 주요 업적으로 꼽힌다.
그의 업적은 다음 15개의 영역으로 분류할 수 있다.
| 번호 | 영역 |
|---|---|
| 1 | 리 군론 |
| 2 | 리 군 표현론 |
| 3 | 초복소수, 나눗셈 대수 |
| 4 | 편미분 방정식계, 카르탕-퀼러 정리 |
| 5 | 동치 이론 |
| 6 | 적분 가능계, 연장 이론 및 인볼루션 시스템 |
| 7 | 무한 차원 군과 유사군 |
| 8 | 미분 기하학 및 이동 틀 |
| 9 | 구조군을 가진 일반화된 공간과 접속, 카르탕 접속, 홀로노미, 바일 텐서 |
| 10 | 리 군의 기하학 및 위상수학 |
| 11 | 리만 기하학 |
| 12 | 대칭 공간 |
| 13 | 콤팩트 군과 그들의 균질 공간의 위상수학 |
| 14 | 적분 불변량 및 고전 역학 |
| 15 | 일반 상대성 이론, 스피너 |
3. 1. 리 군론
카르탕은 빌헬름 킬링이 시작한 단순 리 군의 분류 작업을 완성하고, 예외적 리 대수의 존재를 증명했다.[19] 단순 실수 리 대수의 분류, 단순 리 대수의 모든 기약 선형 표현의 결정 등 리 군론의 핵심적인 문제들을 해결했다. 1913년 직교군의 선형 표현을 연구하는 과정에서 스피너를 발견했는데,[21] 이는 훗날 양자역학에서 중요한 역할을 하게 되었다.카르탕은 그의 논문 이후 30년 동안 리 군 분야에서 사실상 혼자였다. 리는 이러한 군들을 주로 유한 개의 매개변수에 해석적으로 의존하는 해석적 다양체의 해석적 변환 시스템으로 간주했다. 1888년 빌헬름 킬링이 다른 다양체에 대한 가능한 군 작용과 무관하게 군 자체를 체계적으로 연구하기 시작하면서 이러한 군 연구에 매우 유익한 접근 방식이 열렸다. 당시(그리고 1920년까지) 국소적 성질만 고려되었으므로 킬링의 주요 연구 대상은 순수한 대수학적 용어로 국소적 성질을 정확히 반영하는 군의 리 대수였다. 킬링의 위대한 업적은 모든 단순 복소 리 대수의 결정이었지만 그의 수학적 증명은 종종 결함이 있었고, 카르탕의 논문은 주로 국소 이론에 수학적 엄밀성을 부여하고 킬링이 가능하다고 보여준 단순 복소 리 대수의 각 유형에 속하는 예외적 리 대수의 존재를 증명하는 데 전념했다. 나중에 카르탕은 완전히 새로운 방법을 개발해야 했던 두 가지 근본적인 문제, 즉 단순 실수 리 대수의 분류와, 그 목적을 위해 도입한 표현의 무게 개념을 사용하여 단순 리 대수의 모든 기약 선형 표현을 결정하는 문제를 명시적으로 해결함으로써 국소 이론을 완성했다.
3. 2. 미분방정식계
카르탕은 변수와 미지 함수에 의존하지 않는 불변적인 방식으로 미분방정식계를 다루는 방법을 개발했다. 임의의 미분계의 "일반" 해에 대한 정확한 정의를 내리고, "연장" 방법을 통해 특이해를 결정하는 방법을 제시했다. 그는 외미분 형식의 미적분학을 발전시켜 미분방정식계 연구에 활용했다.[21]3. 3. 미분 기하학
카르탕은 다르부와 리보쿠르의 "이동 틀" 방법을 확장하여 미분 기하학 연구에 혁신적인 도구를 제공했다. 섬유 다발과 접속의 개념을 도입하여 현대 미분 기하학의 기초를 확립했다. (엄밀하게 정의하지는 않았지만, 그의 아이디어는 후대 수학자들에 의해 발전되었다.)[19][20][21] 대칭 리만 공간을 발견하고 연구하여 리만 기하학을 발전시켰으며, 이는 훗날 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 하게 되었다.3. 4. 리 유사군
카르탕은 리 군의 무한 차원 아날로그인 리 유사군에 대한 연구를 진행했다. 리 유사군은 동일 변환을 포함하고 이 집합 내의 두 변환의 합성 결과가 (가능할 때마다) 동일한 집합에 속하는 속성을 갖는 공간의 부분 집합 간의 변환 집합이다. 두 변환의 합성이 항상 가능한 것은 아니므로, 변환 집합은 군이 아니며(군) 따라서 유사군이라는 이름이 붙었다. 카르탕은 복소 해석적 변환의 모든 무한 차원 원시 유사군은 다음 여섯 가지 클래스 중 하나에 속한다는 것을 보여주었다.1) ''n''개의 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군
2) 일정한 야코비안(즉, 모든 부피를 동일한 복소수로 곱하는 변환)을 갖는 ''n''개의 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군
3) 야코비안이 1과 같은(즉, 부피를 보존하는 변환) ''n''개의 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군
4) 특정 이중 적분을 보존하는 2''n'' > 4 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군(심플렉틱 유사군)
5) 위에서 언급한 이중 적분을 복소 함수로 곱하는 2''n'' > 4 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군
6) 특정 형식을 복소 함수로 곱하는 2''n'' + 1 복소 변수의 모든 해석적 변환의 유사군(접촉 유사군)
실수 변수의 해석적 함수로 정의된 실 변환의 원시 유사군에 대해 유사한 종류의 유사군이 있다.
3. 5. 일반 상대성 이론
카르탕은 중력에 대한 경쟁 이론인 아인슈타인-카르탕 이론을 제시했다.4. 학문적 영향
카르탕의 제자였던 기하학자 싱-셴 천은 카르탕의 연구 방식에 대해 다음과 같이 평가했다.[4]
> 보통 [카르탕과의 만남] 다음 날, 그로부터 편지를 받곤 했습니다. 그는 "당신이 떠난 후, 당신의 질문에 대해 더 생각했습니다..."라고 말하며, 몇 가지 결과와 몇 가지 더 많은 질문 등을 했습니다. 그는 단순 리 군, 리 대수에 관한 모든 논문을 전부 암기하고 있었습니다. 길에서 그를 만났을 때, 어떤 문제가 생기면, 그는 낡은 봉투를 꺼내 무언가를 적어 답을 주곤 했습니다. 그리고 때로는 내가 똑같은 답을 얻는 데 몇 시간, 심지어 며칠이 걸리기도 했습니다... 저는 정말 열심히 공부해야 했습니다.
1921년 폴란드 학술원의 외국 회원, 1937년 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미의 외국 회원이 되었다.[5] 1938년에는 과학 통일 국제 회의를 조직하기 위해 구성된 국제 위원회에 참여했다.[6]
5. 주요 논문 및 저서
- Sur la structure des groupes de transformations finis et continus프랑스어, 1894년 (학위 논문)
- Leçons sur les invariants intégraux프랑스어 (적분 불변에 관한 강의), 파리, Hermann, 1922년
- La Géométrie des espaces de Riemann프랑스어 (리만 공간의 기하학), 1925년
- Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann프랑스어 (리만 공간의 기하학에 대한 강의), Gauthiers-Villars, 1928년
- La théorie des groups finis et continus et l'analysis situs프랑스어 (유한 연속군 이론과 위치 해석), Gauthiers-Villars, 1930년
- Leçons sur la géométrie projective complexe프랑스어 (복소 사영 기하학에 대한 강의), Gauthiers-Villars, 1931년
- La parallelisme absolu et la théorie unitaire du champ프랑스어 (절대 평행성과 장의 통일 이론), Hermann, 1932년
- Les Espaces Métriques Fondés sur la Notion d'Arie프랑스어 (면적 개념에 기초한 거리 공간), Hermann, 1933년
- La méthode de repère mobile, la théorie des groupes continus, et les espaces généralisés프랑스어 (이동 좌표계 방법, 연속군 이론, 그리고 일반화된 공간), 1935년
- Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective프랑스어 (사영 접속 공간 이론에 관한 강의), Gauthiers-Villars, 1937년[19]
- La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile프랑스어 (이동 좌표계 방법을 이용한 유한 연속군 이론과 미분 기하학), Gauthiers-Villars, 1937년[20]
- The theory of spinors영어 (스피너 이론), 1938년 (1981년 재출간)
- Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques프랑스어 (외미분 형식과 기하학적 응용), Hermann, 1945년[21]
- Oeuvres complètes프랑스어 (전집), 3부 6권, 파리, 1952년 ~ 1955년 (1984년 CNRS에서 재출간)
- 제1부: Groupes de Lie프랑스어 (리 군) (2권), 1952년
- 제2부, 제1권: 대수, 미분 형식, 미분 시스템, 1953년
- 제2부, 제2권: 유한군, 미분 시스템, 등가 이론, 1953년
- 제3부, 제1권: 기타, 미분 기하학, 1955년
- 제3부, 제2권: 미분 기하학, 1955년
- Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff프랑스어 (어떤 미분 표현과 파프 문제), 1899년
- Élie Cartan and Albert Einstein: Letters on Absolute Parallelism, 1929–1932프랑스어 (엘리 카르탕과 알베르트 아인슈타인: 절대 평행성에 관한 편지, 1929–1932), 프린스턴 대학교 출판부, 1979년
엘리 카르탕의 논문은 그의 전집(Oeuvres complètes프랑스어), 6권(파리, 1952–1955)에 수집되어 있다. S. S. 천과 C. 슈발레(C. Chevalley)가 작성한 훌륭한 부고는 《미국 수학회 회보》 58(1952)에 게재되었고, J. H. C. 화이트헤드(J. H. C. Whitehead)가 작성한 부고는 《왕립 학회 부고》(1952)에 게재되었다.
참조
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MacTutor Biography
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MathGenealogy
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서적
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Review: ''La Theórie des Spineurs'' by Élie Cartan
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Review: ''Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques''
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Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff
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Review of ''Élie Cartan, Albert Einstein: Letters on Absolute Parallelism, 1929–1932'' edited by Robert Debever
https://books.google[...]
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Elie Joseph Cartan. 1869–1951
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Review: ''Leçons sur la théorie des espaces à connexion projective''
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Cartan on Groups and Differential Geometry
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Review: ''Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques''
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