내부 (위상수학)

3. 성질

$X$를 위상 공간이라 하고, $S$와 $T$를 $X$의 부분 집합이라고 할 때, 내부는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• '''내포''': $\backslash operatorname\{int\}\; S\; \backslash subseteq\; S$이다.
• '''멱등성''': $\backslash operatorname\{int\}\; (\backslash operatorname\{int\}\; S)\; =\; \backslash operatorname\{int\}\; S$이다.
• '''보존'''/'''이항 교집합에 대한 분배''': $\backslash operatorname\{int\}\; (S\; \backslash cap\; T)\; =\; (\backslash operatorname\{int\}\; S)\; \backslash cap\; (\backslash operatorname\{int\}\; T)$이다.
• '''단조 증가''': $S\; \backslash subseteq\; T$이면 $\backslash operatorname\{int\}\; S\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{int\}\; T$이다.

3. 1. 열린집합과의 관계

• $A$는 열린집합이다.
• $A=\backslash operatorname\{int\}A$
• $A\backslash subseteq\backslash operatorname\{int\}A$

• $\backslash operatorname\{int\}\; S$는 X에서 열린 집합이다.
• T가 X에서 열린 집합이면, $T\; \backslash subseteq\; S$일 필요충분조건은 $T\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{int\}\; S$이다.
• S에 부분 공간 위상이 주어질 때, $\backslash operatorname\{int\}\; S$는 S의 열린 부분 집합이다.
• S가 X의 열린 부분 집합일 필요충분조건은 $\backslash operatorname\{int\}\; S\; =\; S$이다.

• int(''S'')는 ''S''의 열린 부분 집합이다.
• int(''S'')는 ''S''에 포함되는 열린 집합들의 합집합이다.
• int(''S'')는 ''S''에 포함되는 최대의 열린 집합이다.
• ''S''가 열린 집합이기 위한 필요충분 조건은 ''S'' = int(''S'')가 성립하는 것이다.

3. 2. 폐포와의 관계

• "$\backslash subseteq$"를 "$\backslash supseteq$"로,
• "$\backslash cup$"를 "$\backslash cap$"로

3. 3. 집합 연산과의 관계

3. 4. 기저와의 관계

• $x \in \operatorname{int}A$
• $x \in B \subseteq A$인 $B \in \mathcal{B}$가 존재한다.

4. 예

• 어떤 공간에서든, 공집합의 내부는 공집합이다.
• 어떤 공간 $X$에서 $S\; \backslash subseteq\; X$이면, $\backslash operatorname\{int\}\; S\; \backslash subseteq\; S$이다.
• 실수선 $\backslash Reals$(표준 위상을 갖는)에서, $\backslash operatorname\{int\}\; ([0,\; 1])\; =\; (0,\; 1)$이고, 유리수 집합 $\backslash Q$의 내부는 공집합이다. ($\backslash operatorname\{int\}\; \backslash Q\; =\; \backslash varnothing$)
• 복소 평면 $\backslash Complex$에서, 이다.
• 어떤 유클리드 공간에서든, 모든 유한 집합의 내부는 공집합이다.

• 하한 극한 위상을 갖는 실수 $\backslash Reals$에서, $\backslash operatorname\{int\}\; ([0,\; 1])\; =\; [0,\; 1)$이다.
• 이산 위상을 갖는 실수 $\backslash Reals$에서 (모든 집합이 열린 집합), $\backslash operatorname\{int\}\; ([0,\; 1])\; =\; [0,\; 1]$이다.
• 열린 집합이 공집합과 $\backslash Reals$ 자체뿐인 위상을 갖는 실수에서, $\backslash operatorname\{int\}\; ([0,\; 1])$은 공집합이다.

• 모든 이산 공간에서 모든 집합은 열린 집합이므로 모든 집합은 자신의 내부와 같다.
• 모든 비이산 공간 $X$에서, 유일한 열린 집합은 공집합과 $X$ 자신뿐이므로, $\backslash operatorname\{int\}\; X\; =\; X$이고, $X$의 모든 진부분 집합 $S$에 대해 $\backslash operatorname\{int\}\; S$는 공집합이다.

4. 1. 실수선

4. 2. 스콧 위상

연속 dcpo $(P,\backslash le)$ 위에 스콧 위상을 부여했을 때, 임의의 $a\backslash in\; P$의 상폐포의 내부는 다음과 같다.^[3]

:$\backslash operatorname\{int\}\backslash mathop\backslash uparrow\; a=\backslash mathop\backslash Uparrow\; a=\backslash \{b\backslash in\; P\backslash colon\; b\backslash gg\; a\backslash \}$

5. 내부 연산자

'''내부 연산자''' $\backslash operatorname\{int\}\_X$는 폐포 연산자의 쌍대이며, $\backslash operatorname\{cl\}\_X$ 또는 윗줄 ^—로 표시되며, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{int\}\_X\; S\; =\; X\; \backslash setminus\; \backslash overline\{(X\; \backslash setminus\; S)\}$

:$\backslash overline\{S\}\; =\; X\; \backslash setminus\; \backslash operatorname\{int\}\_X\; (X\; \backslash setminus\; S)$

여기서 $X$는 $S$를 포함하는 위상 공간이고, $\backslash setminus$는 집합론적 차이를 나타낸다.

따라서 폐포 연산자에 대한 추상적인 이론과 쿠라토프스키 폐포 공리는 $X$에서 집합의 여집합을 이용하여 내부 연산자의 언어로 쉽게 번역될 수 있다.

일반적으로 내부 연산자는 합집합과 교환되지 않는다. 그러나 완비 거리 공간에서는 다음이 성립한다.^[1]

:$S\_1,\; S\_2,\; \backslash ldots$가 완비 거리 공간 $X$의 부분 집합 수열일 때,

:* 각 $S\_i$가 $X$에서 닫혀 있으면, 다음이 성립한다.

::$\{\backslash operatorname\{cl\}\_X\}\; \backslash biggl(\; \backslash bigcup\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\}\; \backslash operatorname\{int\}\_X\; S\_i\; \backslash biggr)\; =\; \{\backslash operatorname\{cl\}\_X\; \backslash operatorname\{int\}\_X\}\; \backslash biggl(\; \backslash bigcup\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\}\; S\_i\; \backslash biggr).$

:* 각 $S\_i$가 $X$에서 열려 있으면, 다음이 성립한다.

::$\{\backslash operatorname\{int\}\_X\}\; \backslash biggl(\; \backslash bigcap\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\}\; \backslash operatorname\{cl\}\_X\; S\_i\; \backslash biggr)\; =\; \{\backslash operatorname\{int\}\_X\; \backslash operatorname\{cl\}\_X\}\; \backslash biggl(\; \backslash bigcap\_\{i\; \backslash in\; \backslash N\}\; S\_i\; \backslash biggr).$

위 결과는 모든 완비 거리 공간이 베어 공간임을 의미한다.

6. 외부

집합 $S$가 위상 공간 $X$의 부분 집합일 때, '''외부'''는 $\backslash operatorname\{ext\}\_X\; S$ 또는 간단히 $\backslash operatorname\{ext\}\; S$로 표시하며, $S$와 상호소모하는 가장 큰 열린 집합이다.^[1] 즉, $S$와 상호소모하는 $X$의 모든 열린 집합의 합집합이다. 외부는 여집합의 내부이며, 이는 폐포의 여집합과 같다.^[1] 공식으로는 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{ext\}\; S\; =\; \backslash operatorname\{int\}(X\; \backslash setminus\; S)\; =\; X\; \backslash setminus\; \backslash overline\{S\}.$

마찬가지로 내부는 여집합의 외부이다.

:$\backslash operatorname\{int\}\; S\; =\; \backslash operatorname\{ext\}(X\; \backslash setminus\; S).$

집합 $S$의 내부, 경계, 외부를 합하면 전체 공간을 세 개의 블록(또는 하나 이상이 비어 있을 경우 더 적은 수)으로 분할한다.^[2]

:$X\; =\; \backslash operatorname\{int\}\; S\; \backslash cup\; \backslash partial\; S\; \backslash cup\; \backslash operatorname\{ext\}\; S,$

여기서 $\backslash partial\; S$는 $S$의 경계를 나타낸다.^[2] 내부와 외부는 항상 열린 집합이고, 경계는 닫힌 집합이다.

외부 연산자는 내부 연산자와는 다르게 다음과 같은 속성을 갖는다.

• 외부 연산자는 포함 관계를 반전시킨다. 만약 $S\; \backslash subseteq\; T$이면, $\backslash operatorname\{ext\}\; T\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{ext\}\; S$이다.
• 외부 연산자는 멱등이 아니다. $\backslash operatorname\{int\}\; S\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{ext\}\backslash left(\backslash operatorname\{ext\}\; S\backslash right)$이다.

• ext(''S'')는 ''S''와 교차하지 않는 열린 집합이다.
• ext(''S'')는 ''S''와 교차하지 않는 열린 집합 전체의 합집합이다.
• ext(''S'')는 ''S''와 교차하지 않는 최대의 열린 집합이다.
• ''S''가 ''T''의 부분 집합이면 ext(''S'')는 ext(''T'')를 포함한다.

7. 내부 서로소 도형

두 도형 $a$와 $b$는 그 내부의 교집합이 공집합일 경우 '''내부 서로소'''라고 한다. 내부 서로소 도형은 경계에서 교차할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 Convex analysis in general vector spaces World Scientific
_[2] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[3] 서적 Continuous lattices and domains Cambridge University Press 2003