네프 가역층

3. 성질

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다.

일반적으로, 사영 스킴 '''X''' 위의 체 ''k''에 대한 선형 다발 ''L''은 ''X''의 모든 (닫힌 기약) 곡선에서 비음의 차수를 가지면 '''네프'''(nef)라고 한다.^[1] (''k'' 위의 사영 곡선 ''C'' 위의 선형 다발 ''L''의 '''차수'''는 ''L''의 모든 비영 유리 단면(rational section) ''s''의 약수 (''s'')의 차수이다.) 선형 다발은 가역층이라고도 불린다. "네프"라는 용어는 마일스 리드가 이전에 사용되던 "산술적으로 유효"(arithmetically effective) 및 "수치적으로 유효"(numerically effective), "수치적으로 결국 자유"(numerically eventually free) 등의 용어를 대체하기 위해 도입했다.^[2]

''k'' 위의 사영 곡선 ''C'' 위의 모든 선형 다발 ''L''은 전역 단면을 가지며, 이 전역 단면이 항등적으로 0이 아니라면 비음의 차수를 가진다. 결과적으로, ''k'' 위의 사영 스킴 ''X'' 위의 기저점-자유 선형 다발은 ''X''의 모든 곡선에서 비음의 차수를 가지므로 네프이다.^[3] 더 일반적으로, 선형 다발 ''L''은 어떤 양의 텐서 거듭제곱 $L^\{\backslash otimes\; a\}$가 기저점-자유일 때 '''반-충분'''(semi-ample)이라고 한다. 따라서 반-충분 선형 다발은 네프이다. 그러나 모든 네프 선형 다발이 반-충분인 것은 아니다.

체 위의 사영 스킴 ''X'' 위의 카르티에 약수 ''D''는 연관된 선형 다발 ''O''(''D'')가 ''X''에서 네프일 때 '''네프 약수'''라고 한다. 이는 ''D''가 ''X''의 모든 곡선 ''C''에 대해 교차수 $D\backslash cdot\; C$가 비음($\backslash ge\; 0$)이라는 조건과 동등하다.

선형 다발과 약수 사이의 관계를 보기 위해, '''첫 번째 천 특성류''' $c\_1(L)$는 다양체 ''X'' 위의 선형 다발의 피카르 군에서 선형 동치를 기준으로 한 카르티에 약수 군으로 가는 동형사상으로 정의할 수 있다. 구체적으로, $c\_1(L)$는 ''L''의 임의의 비영 유리 단면 ''s''의 약수 (''s'')이다.^[4]

부등식을 다룰 때는 실수 계수를 갖는 카르티에 약수의 유한 선형 결합인 '''R-약수'''(ℝ-divisor)를 고려하는 것이 편리하다. R-약수는 수치적 동치 관계 아래에서 유한 차원의 실수 벡터 공간 $N^1(X)$를 형성하는데, 이는 네론-세베리 군을 실수로 텐서곱한 공간이다.^[5] (명시적으로: 두 R-약수는 ''X''의 모든 곡선과 동일한 교차수를 가지면 수치적으로 동등하다고 한다.) R-약수는 모든 곡선에 대해 음수가 아닌 교차수를 가질 때 네프라고 하며, 이러한 네프 R-약수들은 $N^1(X)$ 안에서 닫힌 볼록 원뿔인 '''네프 원뿔''' Nef(''X'')을 형성한다.

'''곡선의 원뿔'''은 수치적 동치까지 고려한 1-사이클(1-cycle)의 실수 벡터 공간 $N\_1(X)$에서, 음이 아닌 실수 계수를 갖는 곡선들의 선형 결합으로 이루어진 볼록 원뿔로 정의된다. 벡터 공간 $N^1(X)$와 $N\_1(X)$는 교차수 계산을 통해 서로 쌍대 관계에 있으며, 네프 원뿔은 정의에 따라 곡선의 원뿔의 쌍대 원뿔이다.^[6]

대수기하학에서 중요한 문제 중 하나는 어떤 선형 다발이 충분한지 분석하는 것인데, 이는 다양체를 사영 공간에 매립하는 다양한 방법을 이해하는 것과 관련된다. 이에 대한 한 가지 답이 '''클라이만의 기준'''(Kleiman's criterion, 1966)이다. 즉, 체 위의 사영 스킴 ''X''에 대해 선형 다발 (또는 R-약수)이 충분할 필요충분조건은 $N^1(X)$에서 그 클래스가 네프 원뿔의 내부에 속하는 것이다.^[7] (R-약수는 충분한 카르티에 약수의 양의 선형 결합으로 표현될 수 있을 때 충분하다고 한다.) 클라이만의 기준에 따르면, ''X''가 사영적일 때, ''X''의 모든 네프 R-약수는 $N^1(X)$에서 충분한 R-약수의 극한으로 볼 수 있다. 실제로, ''D''가 네프이고 ''A''가 충분하면, 모든 양의 실수 ''c'' > 0에 대해 ''D'' + ''cA''는 충분하다.

4. 네프 원뿔

부등식으로 작업하려면 '''R''' - 제수를 고려하는 것이 편리하다. 이는 실수 계수를 갖는 카르티에 제수의 유한한 선형 결합을 의미한다. '''R''' - 제수는 수치적 동치를 제외하면 유한 차원의 실수 벡터 공간 $N^1(X)$을 형성하며, 이는 실수로 텐서곱된 네론-세베리 군이다.^[5] 두 '''R''' - 제수는 ''X''의 모든 곡선과 동일한 교차수를 가지면 수치적으로 동등하다고 정의한다.

'''R''' - 제수는 모든 곡선에 대해 음수가 아닌 차수를 가지면 '''네프'''라고 한다. 네프 '''R''' - 제수는 $N^1(X)$에서 닫힌 볼록 원뿔인 '''네프 원뿔''' Nef(''X'')을 형성한다.

'''곡선의 원뿔'''은 수치적 동치에 따른 1-사이클의 실수 벡터 공간 $N\_1(X)$에서, 음수가 아닌 실수 계수를 갖는 곡선의 선형 결합으로 이루어진 볼록 원뿔로 정의된다. 벡터 공간 $N^1(X)$와 $N\_1(X)$는 교차 쌍을 통해 서로 쌍대이며, 네프 원뿔은 정의에 따라 곡선의 원뿔의 쌍대 원뿔이다.^[6]

대수 기하학에서 중요한 문제 중 하나는 어떤 선형 다발이 충분한지를 분석하는 것이다. 이는 다양체를 사영 공간에 포함시키는 다양한 방법을 설명하는 것과 같기 때문이다. 이에 대한 한 가지 답은 '''클라이만의 기준''' (1966)이다. 즉, 체 위의 사영 스킴 ''X''에 대해 선형 다발 (또는 '''R''' - 제수)은 $N^1(X)$에서 그 클래스가 네프 원뿔의 내부에 있을 경우에만 충분하다.^[7] '''R''' - 제수는 충분한 카르티에 제수의 양의 선형 결합으로 표현할 수 있을 때 충분하다고 정의한다. 클라이만의 기준에 따르면, ''X''가 사영적일 때, ''X''의 모든 네프 '''R''' - 제수는 $N^1(X)$에서 충분한 '''R''' - 제수의 극한으로 볼 수 있다. 실제로, ''D''가 네프이고 ''A''가 충분하면, 모든 양의 실수 ''c'' > 0에 대해 ''D'' + ''cA''는 충분하다.

5. 축약과 네프 원뿔

''k'' 체 상의 정규 스킴인 사영 대수다양체 ''X''의 '''축약'''(contraction)은 ''Y''가 ''k'' 체 위의 정규 사영 대수다양체이고 $f\_*O\_X=O\_Y$를 만족하는 전사 사상 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$이다. 여기서 $f\_*O\_X=O\_Y$ 조건은 사상 ''f''가 연결된 올(fiber)을 갖는다는 것을 의미한다. 만약 ''k''가 표수 0을 갖는다면, 이 조건은 ''f''가 연결된 올을 갖는다는 것과 동치이다.^[12]

축약 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$에서 목표 공간 ''Y''의 차원이 원래 공간 ''X''의 차원보다 작을 때, 즉 dim(''Y'') < dim(''X'')일 경우, 이 축약을 특별히 '''섬유화'''(fibration)라고 부른다. 반면, dim(''Y'') = dim(''X'')인 축약은 자동으로 유리 사상(birational map)이 된다.^[13] 예를 들어, ''X''가 매끄러운 사영 곡면 ''Y''의 한 점을 블로우업한 다양체일 경우, 블로우다운 사상 $X\; \backslash to\; Y$는 유리 사상인 축약의 한 예이다.

볼록 콘 ''N''의 '''면'''(face) ''F''는 다음과 같은 성질을 만족하는 볼록 부분 콘을 의미한다: 만약 ''N''에 속하는 두 점의 합이 ''F'' 안에 있다면, 그 두 점 각각도 반드시 ''F'' 안에 속해야 한다.

대수다양체 ''X''의 축약은 ''X''의 네프 원뿔 Nef(''X'')의 특정 면 ''F''와 밀접하게 연관된다. 구체적으로, 축약 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$가 주어지면, 이에 해당하는 네프 콘의 면 ''F''는 Nef(''X'')와 당김 사상으로 얻어지는 부분 공간 $f^*(N^1(Y))\backslash subset\; N^1(X)$의 교집합으로 정의된다.

반대로, 대수다양체 ''X''와 그 네프 콘 Nef(''X'')의 면 ''F''가 주어지면, 이 면 ''F''는 동형 사상을 제외하고 유일하게 축약 $f\backslash colon\; X\backslash to\; Y$를 결정한다. 실제로, $N^1(X)$에서 그 클래스가 면 ''F''의 내부에 놓이는 반쌍대 선형 다발(semi-ample line bundle) ''L''을 찾을 수 있다. (예를 들어, ''Y'' 위의 임의의 풍부한 선형 다발(ample line bundle)을 ''X''로 당겨온 것을 ''L''로 선택할 수 있다.) 이러한 선형 다발 ''L''은 Proj 구성을 통해 목표 공간 ''Y''를 다음과 같이 구성한다.^[14]

:$Y=\backslash text\{Proj\; \}\backslash bigoplus\_\{a\backslash geq\; 0\}H^0(X,L^\{\backslash otimes\; a\}).$

기하학적인 관점에서 보면, ''X'' 위의 곡선 ''C''는 선형 다발 ''L''이 ''C'' 위에서 차수(degree) 0을 가질 때, 그리고 오직 그럴 때만 ''Y''의 한 점으로 사상된다.

결론적으로, 대수다양체 ''X''의 축약들과 ''X''의 네프 콘의 특정 면들 사이에는 일대일 대응 관계가 존재한다.^[15] (이 대응 관계는 곡선의 원뿔의 면을 이용하여 쌍대적으로 기술될 수도 있다.) 따라서 어떤 네프 선형 다발이 반쌍대인지 판별하는 것은 네프 콘의 어떤 면이 축약에 해당하는지를 결정하는 중요한 문제가 된다. 콘 정리는 축약에 해당하는 중요한 종류의 면들을 설명해주며, 풍부성 추측은 이와 관련하여 더 많은 정보를 제공할 것으로 기대된다.

예를 들어, ''X''를 복소 사영 평면 $\backslash mathbb\{P\}^2$의 한 점 ''p''에서 블로우업한 곡면이라고 하자. ''H''를 $\backslash mathbb\{P\}^2$ 상의 직선을 ''X''로 당겨온 것이라 하고, ''E''를 블로우업 사상 $\backslash pi\backslash colon\; X\backslash to\backslash mathbb\{P\}^2$의 예외 곡선(exceptional curve)이라고 하자. 그러면 ''X''의 피카르 수는 2이며, 이는 실수 벡터 공간 $N^1(X)$의 차원이 2임을 의미한다. 2차원 볼록 콘의 기하학적 구조에 따라, 네프 콘 Nef(''X'')는 두 개의 반직선(ray)에 의해 생성되어야 한다. 구체적으로 이 반직선들은 ''H''와 ''H'' − ''E''에 의해 생성된다.^[16] 이 예시에서 두 반직선은 각각 ''X''의 축약에 해당한다. 반직선 ''H''는 원래의 블로우다운 사상인 유리 사상 $X\backslash to\backslash mathbb\{P\}^2$을 정의하고, 반직선 ''H'' − ''E''는 $\backslash mathbb\{P\}^1$에 동형인 올을 갖는 섬유화 $X\backslash to\backslash mathbb\{P\}^1$을 정의한다 (이는 점 ''p''를 지나는 $\backslash mathbb\{P\}^2$ 상의 직선들에 해당한다). ''X''의 네프 콘에는 이 두 반직선 외에 다른 자명하지 않은 면이 없으므로, 이 두 가지가 ''X''의 유일한 자명하지 않은 축약이다. 이처럼 네프 콘과 축약 사이의 관계를 이용하면 다양체의 기하학적 구조를 더 명확하게 파악할 수 있다.

6. 예시

• 만약 ''X''가 매끄러운 사영 곡면이고, ''C''가 자기 교차수 $C^2\backslash geq\; 0$을 갖는 ''X''의 (기약) 곡선이라면, ''C''는 ''X''상에서 네프이다. 이는 곡면 위의 서로 "다른" 두 곡선은 음이 아닌 교차수를 가지기 때문이다. 만약 이면, ''C''는 유효하지만 ''X''상에서 네프가 아니다. 예를 들어, ''X''가 어떤 점에서의 매끄러운 사영 곡면 ''Y''의 블로업일 때, 블로업 $\backslash pi\backslash colon\; X\backslash to\; Y$의 예외 곡선 ''E''는 $E^2=-1$을 가지므로 네프가 아니다.
• 플래그 다양체나 아벨 다양체의 모든 유효 제수는 네프이다. 왜냐하면 이 다양체들은 연결된 대수적 군의 추이적 작용을 가지기 때문이다.^[10]
• 매끄러운 복소 사영 곡선 ''X'' 위의 차수 0인 모든 선형 다발 ''L''은 네프이다. 그러나 ''L''이 비틀림인 경우에만 ''L''은 반-충분하다. ''X''의 종수 ''g''가 1 이상인 경우, 차수 0인 대부분의 선형 다발은 비틀림이 아닌데, 그 이유는 ''X''의 야코비 다양체가 차원 ''g''의 아벨 다양체이기 때문이다.
• 모든 반-충분한 선형 다발은 네프이지만, 모든 네프 선형 다발이 반-충분한 선형 다발과 수치적으로 동치인 것은 아니다. 예를 들어, 데이비드 멈포드는 적절한 유리 곡면 ''X''상에서 모든 곡선에 대해 양의 차수를 갖지만 교차수 $c\_1(L)^2=0$인 선형 다발 ''L''을 구성했다.^[11] 따라서, ''L''은 네프이지만, $c\_1(L)$의 어떤 양의 배수도 유효 제수와 수치적으로 동치이지 않다. 특히, 전역 단면 공간 $H^0(X,L^\{\backslash otimes\; a\})$는 모든 양의 정수 ''a''에 대해 0이다.

7. 계량 정의

''X''를 고정된 에르미트 계량을 가진 콤팩트 복소다양체로 하고, 양의 (1,1)-형식 $\backslash omega$로 간주하자. 장-피에르 드메이(Jean-Pierre Demailly), 토마스 페테르넬(Thomas Peternell) 및 미하엘 슈나이더(Michael Schneider)에 따르면, ''X'' 위의 정칙 선다발 ''L''이 모든 $\backslash epsilon\; >\; 0$에 대해 매끄러운 에르미트 계량 $h\_\backslash epsilon$이 존재하여 그 곡률이 다음 조건을 만족하면 '''네프'''라고 한다.

$\backslash Theta\_\{h\_\backslash epsilon\}(L)\backslash geq\; -\backslash epsilon\backslash omega$.

''X''가 '''C''' 위에서 사영적일 때, 이 계량 기반 정의는 대수 기하학에서의 정의(즉, ''L''이 ''X''의 모든 곡선에서 음수가 아닌 차수를 가짐)와 동등하다.^[8]

그러나 '''C''' 위에서 ''X''가 사영적일 때조차, 네프 선다발 ''L''이 반드시 곡률 $\backslash Theta\_h(L)\backslash geq\; 0$을 갖는 에르미트 계량 ''h''를 가질 필요는 없다. 이는 위에서 제시된 계량 정의가 더 복잡하게 보이는 이유를 설명해 준다.^[9]

8. 역사

“네프”(nef^eng)라는 용어는 마일스 앤서니 리드(Miles Anthony Reid^eng)가 도입하였으며,^[17] “수치 효과적”(numerically effective^eng) 또는 “수치적 결과적 자유”(numerically eventually free^eng)의 머리글자이다.

참조

_[1] 논문 Definition 1.4.1 2004
_[2] 논문 section 0.12f 1983
_[3] 논문 Example 1.4.5 2004
_[4] 논문 Example 1.1.5 2004
_[5] 논문 Example 1.3.10 2004
_[6] 논문 Definition 1.4.25 2004
_[7] 논문 Theorem 1.4.23 2004
_[8] 논문 section 1 1994
_[9] 논문 Example 1.7 1994
_[10] 논문 Example 1.4.7 2004
_[11] 논문 Example 1.5.2 2004
_[12] 논문 Definition 2.1.11 2004
_[13] 논문 Example 2.1.12 2004
_[14] 논문 Theorem 2.1.27 2004
_[15] 논문 Remark 1.26 1998
_[16] 논문 Lemma 1.22 and Example 1.23(1) 1998
_[17] 서적 Algebraic Varieties and Analytic Varieties (Tokyo, 1981) North-Holland 1983