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풍부한 가역층

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목차

1. 개요

풍부한 가역층은 대수기하학에서 사용되는 개념으로, 스킴 X 위의 가역층 L이 특정 조건을 만족할 때 이를 지칭한다. 매우 풍부한 가역층, H-매우 풍부한 가역층, 풍부한 가역층, 풍부한 선형 다발 등이 있으며, 이들은 사영 공간으로의 매입과 관련되어 정의된다. 풍부한 가역층은 X 위의 유한형 준연접층 F에 대해 F와 L의 텐서곱이 대역적 단면으로 생성되게 하는 조건을 만족하며, 나카이-모이셰존 조건, 클라이먼 조건, 카르탕-세르-그로텐디크 정리를 통해 풍부성을 판별할 수 있다. 또한, 빅 선다발, 상대적으로 풍부한 가역층 등과 같은 관련 개념들이 존재하며, 해석기하학에서도 양의 선다발과 연관되어 사용된다.

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풍부한 가역층
정의
유형대수기하학의 개념
관련 개념가역층
성질
중요성대수다양체의 연구에서 중요한 역할을 한다.
응용사영 공간으로의 매장과 관련된 연구에 사용된다.
관련 항목
연관된 개념네프 가역층

2. 정의

스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 Y 위의 준연접층 \mathcal E와 Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E)가 존재하면, \mathcal L을 '''q에 대하여 매우 풍부한 가역층'''(very ample invertible sheaf relative to q영어, faisceau inversible très ample pour q프랑스어)이라고 한다.[39]

:\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)

\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.

'''매우 풍부한 인자'''(very ample divisor영어)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼[40]과 류칭[41]이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 '''H-매우 풍부한 가역층'''이라고 한다. 스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을때, 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여 Y-스킴의 몰입

:\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n

이 존재한다면, \mathcal L이 '''q에 대하여 H-매우 풍부한 가역층'''이라고 한다. 즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

콤팩트 분리 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건들을 만족시키면, '''풍부한 가역층'''(ample invertible sheaf영어, faisceau inversible ample프랑스어)이라고 한다.[39][40][41]


  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.[39][40][41]
  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[39]
  • X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 \mathcal I에 대하여, \mathcal I가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[39]


'''풍부한 인자'''(豊富한因子, ample divisor영어)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신 스킴 자체에 대하여 정의된다.[40]

'''풍부한 선형 다발''' L은, 매우 풍부한 선형 다발보다 조금 약한 조건으로, 선형 다발 L이 '''풍부'''하다는 것은, 임의의 X 위의 연결층 F에 대해, 어떤 정수 n(F)가 존재하여 F ⊗ L⊗n이 그 대역 절단으로 생성되는 경우를 말한다.

같은 선형 다발 \mathcal L의 풍부함의 정의는, 어떤 양수의 텐서 거듭제곱을 가지고 있으며, 그것이 매우 풍부해질 때를 말한다. 다시 말해, n \gg 0 에 대해, j: X \to \mathbb P^N이 존재하고, \mathcal L^{\otimes n} = j^* (\mathcal O(1))이 된다.

기초가 되는 '''인자'''(카르티에 인자) D에 대해 의미를 가지며, 풍부한 D는, nD가 '''충분히 큰'''(linear system)'''안에서 움직인다'''.

2. 1. 매우 풍부한 가역층

스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 Y 위의 준연접층 \mathcal E와 Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E)가 존재하면, \mathcal L을 '''q에 대하여 매우 풍부한 가역층'''(very ample invertible sheaf relative to q영어, 79, Définition 4.4.2/faisceau inversible très ample pour q}})이라고 한다.[39]{{rp프랑스어

:\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)

\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.

'''매우 풍부한 인자'''(120/very ample divisor}})는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼[40]이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 '''H-매우 풍부한 가역층'''이라고 한다. 스킴 사상 q\colon X\to Y 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을때, 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 n\in\mathbb Z^+에 대하여 Y-스킴의 몰입

:\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n

이 존재한다면, \mathcal L이 '''q에 대하여 H-매우 풍부한 가역층'''이라고 한다. 즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

정의체 k상의 고유 스키마 X에 대한 선다발 L은 기저점이 없고, 연관된 사상

:f\colon X\to\mathbb{P}^n_k

이 닫힌 매입일 때 '''very ample'''하다고 말한다. 여기서 n=h^0(X,L)-1이다. 동등하게, L은 X가 k 위 어떤 차원의 사영 공간에 매입될 수 있고, 이 때 L은 선다발 \mathcal{O}(1)의 X로의 제한일 경우 very ample하다.[7] 후자의 정의는 임의의 가환환 위의 고유 스키마에 대한 선다발에 대해 very ampleness를 정의하는 데 사용된다.

"very ample"이라는 이름은 1961년 알렉상드르 그로텐디크에 의해 도입되었다.[8] 이전에는 인자의 선형계의 맥락에서 다양한 이름이 사용되었다.

정의체 위의 고유 스키마 X에 대한 very ample 선다발 L에 대해, 연관된 사상 f가 존재하고, X의 곡선 C에서의 L의 차수는 \mathbb{P}^n에서의 곡선으로서의 f(C)의 차수이다. 따라서 L은 X의 모든 곡선에서 양의 차수를 갖는다 (사영 공간의 모든 부분 다양체는 양의 차수를 갖기 때문이다).[9]

기본 스키마 S 위에 스키마 X가 주어지거나 복소다양체가 주어지면, 직선다발(다시 말해, 가역층, 즉 랭크 1의 국소 자유층) L은 매립 i : X → '''P'''nS가 존재하여, 어떤 n에 대해 S 위의 n-차원 사영 공간 '''P'''nS 위의 표준 꼬임층/Serre twist sheaf영어 O(1)의 당김/inverse image functor영어가 L과 동형

: i^{*}(\mathcal{O}(1)) \cong L

이 되는 경우에, '''매우 풍부'''하다고 한다.

이러한 관점에서 매우 풍부하다는 것은, 전역적으로 생성되어 있고 어떤 전역적 생성자에 의해 주어진 사상(morphism)이 매립이 될 때를 의미한다.

X 위에 매우 풍부한 층 L과 연접층 F가 주어지면, 세르의 정리는, (연접층) F ⊗ L⊗n은 충분히 큰 n에 대해 유한한 전역적 절단에 의해 생성된다. 반대로, 이 사실은, 전역적 절단과 고차(자리스키) 층 코호몰로지 군

:H^i(X, F)

은 유한 생성임을 의미한다. 이 사실은 사영적인 상황의 두드러진 특징이다. 예를 들어, 체 k 위의 아핀 n-공간 Ank에 대해, 구조층 O의 전역적 절단은 n 변수의 다항식이므로, 유한 생성인 k-벡터 공간이 되지 않는다. 반면, '''P'''nk에 관해서는, 전역적인 절단은 정확히 상수 함수이며, 1-차원의 k-벡터 공간을 형성한다.

2. 2. 풍부한 가역층

콤팩트 분리 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건들을 만족시키면, '''풍부한 가역층'''(ample invertible sheaf영어, 84, Définition 4.5.3/faisceau inversible ample}})이라고 한다.[39]

  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.[39][40][41]
  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[39]
  • X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 \mathcal I에 대하여, \mathcal I가 \mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[39]


'''풍부한 인자'''(豊富한因子, 153, Remark II.7.4.1/ample divisor}})는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신 스킴 자체에 대하여 정의된다.[40]{{rp영어

s \in \Gamma(X, \mathcal{L})을 고정했을 때, 모든 ''s''에 대해 제한 \mathcal{L}|_{X_s}는 \mathcal{O}_X-모듈이고, 곱셈-s 사상 \mathcal{O}_{X_s} \to \mathcal{L}|_{X_s}이 동형 사상이 되도록 ''s''의 제한에 의해 자명해진다. 집합 X_s는 항상 열려 있고, 포함 사상 X_s \to X는 아핀 사상이다.

''X''가 준-콤팩트라고 가정하면, \mathcal{L}은 '''풍부'''하다. 즉, 모든 x \in X에 대해, x \in X_s이고 X_s가 아핀 스킴인 n \ge 1과 s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})이 존재한다.

''X''가 준-콤팩트 준-분리 스킴이고 \mathcal{L}이 ''X'' 위의 가역층인 경우, 다음 명제들은 동치이다.[10]

# \mathcal{L}은 풍부합니다.

# s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})이고 n \ge 0인 열린 집합 X_s는 ''X''의 위상의 기저를 형성합니다.

# 모든 유한형 준-가환 층 \mathcal{F} on ''X''에 대해, \mathcal{F}가 \mathcal{L}^{\otimes(-n)} \otimes \mathcal{O}_X^k의 몫과 동형인 정수 n > 0과 k > 0이 존재합니다.

''X''가 아핀 스킴 위에서 분리되고 유한 타입일 때, 가역층 \mathcal{L}이 충분하려면 텐서 거듭제곱 \mathcal{L}^{\otimes r}이 매우 충분하도록 하는 양의 정수 ''r''이 존재해야 한다.[11]

체 ''k'' 위의 고유 스킴 ''X'' 위의 카르티에 제수 ''D''는 해당 선형 다발 ''O''(''D'')가 충분할 때 충분하다고 한다.

카르탕–세르–그로텐디크 정 정리로 알려진 충분성의 특징은 가환층 코호몰로지에 관한 것이다. 즉, 체(또는 일반적으로 Noetherian 환) 위의 고유 스킴 ''X'' 위의 선형 다발 ''L''은 모든 가환층 ''F''에 대해

:H^i(X,F\otimes L^{\otimes r})=0

모든 i>0과 모든 r\geq s에 대해 성립하도록 하는 정수 ''s''가 존재할 경우 충분하다.[14][13]

'''풍부한 선형 다발''' L은, 매우 풍부한 선형 다발보다 조금 약한 조건으로, 선형 다발 L이 '''풍부'''하다는 것은, 임의의 X 위의 연결층 F에 대해, 어떤 정수 n(F)가 존재하여 F ⊗ L⊗n이 그 대역 절단으로 생성되는 경우를 말한다.

같은 선형 다발 \mathcal L의 풍부함의 정의는, 어떤 양수의 텐서 거듭제곱을 가지고 있으며, 그것이 매우 풍부해질 때를 말한다. 다시 말해, n \gg 0 에 대해, j: X \to \mathbb P^N이 존재하고, \mathcal L^{\otimes n} = j^* (\mathcal O(1))이 된다.

기초가 되는 '''인자'''(카르티에 인자) D에 대해 의미를 가지며, 풍부한 D는, nD가 '''충분히 큰'''(linear system)'''안에서 움직인다'''.

2. 3. 대역적 단면으로 생성되는 층

국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 층 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, '''대역적 단면으로 생성되는 층'''(sheaf generated by global sections영어)이라고 한다.

  • 임의의 열린집합 U\subseteq X에 대하여, \Gamma(\mathcal F,U)=\operatorname{Span}\operatorname{res}_{X,U}(\Gamma(\mathcal F,X))이다.


여기서 \operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)는 제약 사상이며, \Gamma(\mathcal F,-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

X를 스킴 또는 복소다양체로 하고, F를 X 위의 층으로 한다면, 모든 F의 줄기가 ai의 싹에 의한 구조층의 줄기 위에서 가군으로 생성될 때, F를 '''대역 절단''' a_i \in F(X) '''에 의해 (유한하게) 생성된다'''고 한다.

만약 F가 직선 다발, 즉 국소 자유인 랭크 1이라면, 이는 유한 개의 대역 절단을 가지고 있다는 것을 의미하며, X의 임의의 점 x에 대해 x에서 0이 아닌 적어도 하나의 절단이 존재하게 된다. 이 경우, 대역적 생성자 a0, ..., an을 선택하는 것은 다음의 사상을 제공한다.

:f\colon X \rightarrow \mathbb{P}^{n},\ x \mapsto [a_0(x): \dotsb : a_n(x)].

이때, 당겨오기(pullback) f*(O(1))은 F가 된다. F가 X 위의 유리 함수의 상수층의 부분층일 때 이 평가가 의미를 갖는다. 역의 명제 또한 옳다. 그러한 사상 f가 주어지면, O(1)의 당겨오기는 (X 위의) 대역 절단에 의해 생성된다.

'''대역 절단으로 생성되는 층'''은 국소환 달린 공간 X 위의 층 F로, 구조층 OX가 단순한 유형의 경우이다. F를 아벨 군의 층이라고 하면, A를 대역 절단의 아벨 군, 즉

:A = \Gamma(F,X)

라고 할때, 임의의 X의 열린 집합 U에 대해, ρ(A)는 OU-가군으로서 F(U)를 생성한다. 여기서,

:\rho = \rho_{X,U}

는 제한 사상이다. 다시 말해, F의 모든 절단은 대역 절단에 의해 국소적으로 생성된다.

대수기하학에서의 R-가군 M이 있고, R은 임의의 가환환이며, 환의 스펙트럼 Spec(R)은 그러한 예이다. 또 다른 예로는, 카르탕의 정리 A에 따르면, 슈타인 다양체 위의 임의의 연접층은 대역 절단으로 생성된다.

3. 성질

뇌터 환 R 위의 사영 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R가 주어졌을 때, p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.[40] 뇌터 환 R 위의 유한형 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R 및 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[40]


  • \mathcal L이 풍부한 가역층이다.
  • 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal L^{\otimes n}은 p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.


모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

==== 풍부함의 필요충분조건 ====

대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌을 때, '''나카이-모이셰존 조건'''([中井]-Мойшезон條件, Nakai–Moishezon condition영어)에 의하면, D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층인 것과 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여 \overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0가 성립하는 것은 서로 동치이다.

'''클라이먼 조건'''(Kleiman條件, Kleiman condition영어)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 ''X'' 위의 카르티에 인자 ''D''에 대하여, D가 풍부한 가역층인 것과 X 위의 곡선뿔(cone of curves영어) \operatorname{NE}(X)의 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0인 것은 서로 동치이다. 클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

'''카르탕-세르-그로텐디크 정리'''(Cartan–Serre–Grothendieck theorem영어)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여, L이 풍부한 가역층인 것과 X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재하는 것은 서로 동치이다.

프로그래시브 스킴(projective scheme) ''X''가 체(field) 위에 있을 때, 클라이만의 기준(Kleiman's criterion)은 증폭성(ampleness)이 N^1(X)에서 '''R'''-제수(divisor, 카르티에 제수의 '''R'''-선형 결합)의 클래스에 대한 열린 조건임을 의미한다. 여기서 위상(topology)은 실수의 위상을 기반으로 한다. ('''R'''-제수는 증폭성인 카르티에 제수의 양의 선형 결합으로 쓸 수 있을 때 증폭성으로 정의된다.) 기본적인 특별한 경우로, 증폭성 제수(ample divisor) ''H''와 임의의 제수(divisor) ''E''에 대해, H+aE가 절댓값이 ''b''보다 작은 모든 실수 ''a''에 대해 증폭성이 되도록 하는 양의 실수 ''b''가 존재한다. 정수 계수를 갖는 제수(또는 선형 번들)의 관점에서, 이는 ''nH'' + ''E''가 충분히 큰 모든 양의 정수 ''n''에 대해 증폭성임을 의미한다.

증폭성은 대수적 패밀리에서 다양체 또는 선형 번들이 변화할 때 매우 다른 의미에서도 열린 조건이다. 즉, f\colon X\to Y가 스킴(scheme)의 고유 사상(proper morphism)이고, ''L''이 ''X'' 위의 선형 번들이라고 하자. 그러면 ''L''이 섬유 X_y에서 증폭성인 ''Y''의 점 ''y''의 집합은 열려 있다(자리스키 위상). 더 강하게는, ''L''이 한 섬유 X_y에서 증폭성이면, ''L''이 ''U'' 위에서 f^{-1}(U)에서 증폭성이 되도록 하는 ''y''의 아핀 열린 이웃(affine open neighborhood) ''U''가 존재한다.

Kleiman은 또한 풍부성의 다음과 같은 특징들을 증명했는데, 이는 풍부성의 정의와 수치적 기준 사이의 중간 단계로 볼 수 있다. 즉, 체 위의 고유 스키마 ''X'' 상의 선다발 ''L''에 대해, 다음은 동치이다:

  • ''L''은 풍부하다.
  • 양의 차원을 갖는 모든 (기약) 부분다양체 Y\sub X에 대해, 영이 아니지만 ''Y''의 어떤 점에서 소멸하는, 양의 정수 ''r''과 단면 s\in H^0(Y,\mathcal L^{\otimes r})이 존재한다.
  • 양의 차원을 갖는 모든 (기약) 부분다양체 Y\sub X에 대해, ''Y'' 상에서 ''L''의 거듭제곱의 정칙 오일러 지표가 무한대로 간다.

::\chi(Y,\mathcal L^{\otimes r})\to\infty as r\to \infty.

곡선에 대해서는 인자 D가 매우 풍부한 것과, A와 B가 점일 경우에도 l(D) = 2 + l(D − A − B)인 것은 동치이다. 리만-로흐 정리에 의해, 적어도 차수가 2''g'' + 1인 이 조건을 만족하는 모든 인자는 매우 풍부하다. 이 사실은 인자가 풍부한 것과 차수가 양수인 것이 동치임을 의미한다. 차수가 2''g'' − 2인 표준 인자가 매우 풍부한 것과, 곡선이 초타원 곡선이 아닌 것은 동치이다.

카르티에 인자 D가 풍부한 선형 묶음에 대응하는 것을 실제로 결정하기 위해, 나카이-모이셰존 판정 조건, 클라이만의 판정 조건등 여러 기하학적 조건이 있다.

는 모든 곡선과의 교차수는 양수이지만 풍부하지 않은 곡면 상의 인자를 구성했다. 이 사실은 조건 D.D > 0이 나카이-모이셰존 판정 조건에서 생략될 수 없고, 클라이만의 조건의 NE(''X'')보다는 NE(''X'')의 폐포를 사용할 필요가 있음을 의미한다.

는, 완비 대수적 스킴 위의 선형 묶음 L이 풍부한 것과, 어떤 양수 ε가 존재하여, X 안의 모든 정칙 곡선 C에 대해 deg(L|C) ≥ εm(C)가 되는 것은 동치임을 보였다. 여기서 m(C)는 C의 점에서의 중복도의 최댓값이다.

==== 해석기하학에서의 풍부 ====

복소다양체 위에서 양의 (1,1)-미분 형식을 정의하고, 이를 이용하여 해석적 선다발의 풍부함을 정의한다. 복소수체 위의 완비 대수다양체 위에서 풍부한 가역층과 양의 선다발 사이의 관계는 다음과 같다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 X \to \operatorname{Spec}\mathbb C 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 그 해석화 X^{\operatorname{an}}는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an}}은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathcal L은 풍부한 가역층이다.
  • \mathcal L^{\operatorname{an}}은 양의 선다발이다.


정칙 벡터 다발의 천류가 켈러류라는 것은 직선 다발이 풍부하다는 것과 동치이다. 고다이라 매입 정리에 따르면 콤팩트 복소다양체에서 풍부함과 양성은 일치한다. 레프셰츠 초평면 정리에 따르면 복소 사영 대수다양체 ''X''에서 풍부한 인자는 ''X''와 위상적으로 유사하며, 복소 사영 다양체 위의 매우 풍부한 직선 다발 연구는 강력한 위상 정보를 제공한다.

3. 1. 풍부함의 필요충분조건

대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌을 때, '''나카이-모이셰존 조건'''([中井]-Мойшезон條件, Nakai–Moishezon condition영어)에 의하면, D에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층인 것과 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여 \overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0가 성립하는 것은 서로 동치이다.

'''클라이먼 조건'''(Kleiman條件, Kleiman condition영어)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 ''X'' 위의 카르티에 인자 ''D''에 대하여, D가 풍부한 가역층인 것과 X 위의 곡선뿔(cone of curves영어) \operatorname{NE}(X)의 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0인 것은 서로 동치이다. 클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

'''카르탕-세르-그로텐디크 정리'''(Cartan–Serre–Grothendieck theorem영어)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여, L이 풍부한 가역층인 것과 X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재하는 것은 서로 동치이다.

프로그래시브 스킴(projective scheme) ''X''가 체(field) 위에 있을 때, 클라이만의 기준(Kleiman's criterion)은 증폭성(ampleness)이 N^1(X)에서 '''R'''-제수(divisor, 카르티에 제수의 '''R'''-선형 결합)의 클래스에 대한 열린 조건임을 의미한다. 여기서 위상(topology)은 실수의 위상을 기반으로 한다. ('''R'''-제수는 증폭성인 카르티에 제수의 양의 선형 결합으로 쓸 수 있을 때 증폭성으로 정의된다.) 기본적인 특별한 경우로, 증폭성 제수(ample divisor) ''H''와 임의의 제수(divisor) ''E''에 대해, H+aE가 절댓값이 ''b''보다 작은 모든 실수 ''a''에 대해 증폭성이 되도록 하는 양의 실수 ''b''가 존재한다. 정수 계수를 갖는 제수(또는 선형 번들)의 관점에서, 이는 ''nH'' + ''E''가 충분히 큰 모든 양의 정수 ''n''에 대해 증폭성임을 의미한다.

증폭성은 대수적 패밀리에서 다양체 또는 선형 번들이 변화할 때 매우 다른 의미에서도 열린 조건이다. 즉, f\colon X\to Y가 스킴(scheme)의 고유 사상(proper morphism)이고, ''L''이 ''X'' 위의 선형 번들이라고 하자. 그러면 ''L''이 섬유 X_y에서 증폭성인 ''Y''의 점 ''y''의 집합은 열려 있다(자리스키 위상). 더 강하게는, ''L''이 한 섬유 X_y에서 증폭성이면, ''L''이 ''U'' 위에서 f^{-1}(U)에서 증폭성이 되도록 하는 ''y''의 아핀 열린 이웃(affine open neighborhood) ''U''가 존재한다.

Kleiman은 또한 풍부성의 다음과 같은 특징들을 증명했는데, 이는 풍부성의 정의와 수치적 기준 사이의 중간 단계로 볼 수 있다. 즉, 체 위의 고유 스키마 ''X'' 상의 선다발 ''L''에 대해, 다음은 동치이다:

  • ''L''은 풍부하다.
  • 양의 차원을 갖는 모든 (기약) 부분다양체 Y\sub X에 대해, 영이 아니지만 ''Y''의 어떤 점에서 소멸하는, 양의 정수 ''r''과 단면 s\in H^0(Y,\mathcal L^{\otimes r})이 존재한다.
  • 양의 차원을 갖는 모든 (기약) 부분다양체 Y\sub X에 대해, ''Y'' 상에서 ''L''의 거듭제곱의 정칙 오일러 지표가 무한대로 간다.

::\chi(Y,\mathcal L^{\otimes r})\to\infty as r\to \infty.

곡선에 대해서는 인자 D가 매우 풍부한 것과, A와 B가 점일 경우에도 l(D) = 2 + l(D − A − B)인 것은 동치이다. 리만-로흐 정리에 의해, 적어도 차수가 2''g'' + 1인 이 조건을 만족하는 모든 인자는 매우 풍부하다. 이 사실은 인자가 풍부한 것과 차수가 양수인 것이 동치임을 의미한다. 차수가 2''g'' − 2인 표준 인자가 매우 풍부한 것과, 곡선이 초타원 곡선이 아닌 것은 동치이다.

카르티에 인자 D가 풍부한 선형 묶음에 대응하는 것을 실제로 결정하기 위해, 나카이-모이셰존 판정 조건, 클라이만의 판정 조건등 여러 기하학적 조건이 있다.

는 모든 곡선과의 교차수는 양수이지만 풍부하지 않은 곡면 상의 인자를 구성했다. 이 사실은 조건 D.D > 0이 나카이-모이셰존 판정 조건에서 생략될 수 없고, 클라이만의 조건의 NE(''X'')보다는 NE(''X'')의 폐포를 사용할 필요가 있음을 의미한다.

는, 완비 대수적 스킴 위의 선형 묶음 L이 풍부한 것과, 어떤 양수 ε가 존재하여, X 안의 모든 정칙 곡선 C에 대해 deg(L|C) ≥ εm(C)가 되는 것은 동치임을 보였다. 여기서 m(C)는 C의 점에서의 중복도의 최댓값이다.

3. 2. 해석기하학에서의 풍부

복소다양체 위에서 양의 (1,1)-미분 형식을 정의하고, 이를 이용하여 해석적 선다발의 풍부함을 정의한다. 복소수체 위의 완비 대수다양체 위에서 풍부한 가역층과 양의 선다발 사이의 관계는 다음과 같다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 X \to \operatorname{Spec}\mathbb C 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 그 해석화 X^{\operatorname{an}}는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an}}은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathcal L은 풍부한 가역층이다.
  • \mathcal L^{\operatorname{an}}은 양의 선다발이다.


정칙 벡터 다발의 천류가 켈러류라는 것은 직선 다발이 풍부하다는 것과 동치이다. 고다이라 매입 정리에 따르면 콤팩트 복소다양체에서 풍부함과 양성은 일치한다. 레프셰츠 초평면 정리에 따르면 복소 사영 대수다양체 ''X''에서 풍부한 인자는 ''X''와 위상적으로 유사하며, 복소 사영 다양체 위의 매우 풍부한 직선 다발 연구는 강력한 위상 정보를 제공한다.

4. 예


  • 양의 차원을 갖는 사영 대수다양체 ''X'' 위의 자명한 선형 다발 O_X는 밑점을 갖지 않지만, 풍부하지 않다. 더 일반적으로, 사영 다양체 ''X''에서 어떤 사영 공간 \mathbb{P}^n으로의 임의의 사상 ''f''에 대해, 풀백 선형 다발 L=f^*O(1)은 항상 밑점을 갖지 않지만, ''L''이 풍부할 필요충분 조건은 사상 ''f''가 유한 사상일 때이다 (즉, ''f''의 모든 올은 차원이 0이거나 비어 있다).[15]
  • 정수 ''d''에 대해, \mathbb{P}^1_{\C} 위의 선형 다발 ''O''(''d'')의 단면 공간은 변수 ''x'',''y''에 대한 차수 ''d''의 동차 다항식의 복소수 벡터 공간이다. 특히, 이 공간은 ''d'' < 0일 때 0이다. d\geq 0에 대해, ''O''(''d'')에 의해 주어진 사영 공간으로의 사상은 다음과 같다.

::\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^{d}

::

::다음과 같다.

::

::[x,y]\mapsto [x^d,x^{d-1}y,\ldots,y^d].

::이것은 d\geq 1에 대해 닫힌 임베딩이며, 이미지는 \mathbb{P}^d에서 차수 ''d''의 유리 정규 곡선이다. 따라서, ''O''(''d'')는 d\geq 0일 때 밑점을 갖지 않고, d\geq 1일 때 매우 풍부하다. 따라서, ''O''(''d'')는 d\geq 1일 때 풍부하다.

  • "풍부한"과 "매우 풍부한"이 다른 예시로, ''X''를 '''C''' 위의 종수 1( 타원 곡선)의 매끄러운 사영 곡선으로 하고, ''p''를 ''X''의 복소수 점으로 하자. ''O''(''p'')를 ''X'' 위의 차수 1의 연관된 선형 다발로 하자. 그러면 ''O''(''p'')의 전역 단면의 복소수 벡터 공간은 차원이 1이며, ''p''에서 사라지는 단면에 의해 생성된다.[16] 따라서 ''O''(''p'')의 밑 궤적은 ''p''와 같다. 반면에, ''O''(2''p'')는 밑점을 갖지 않고, ''O''(''dp'')는 d\geq 3일 때 매우 풍부하다 (이는 ''X''를 \mathbb{P}^{d-1}에서 차수 ''d''의 타원 곡선으로 임베딩한다). 따라서 ''O''(''p'')는 풍부하지만 매우 풍부하지 않다. 또한, ''O''(2''p'')는 풍부하고 밑점을 갖지 않지만 매우 풍부하지 않다. 사영 공간으로의 연관된 사상은 분기 덮개 이중 덮개 X\to\mathbb{P}^1이다.
  • 더 높은 종수의 곡선에서는 모든 전역 단면이 0인 풍부한 선형 다발 ''L''이 있다. (그러나 ''L''의 높은 배수는 정의에 의해 많은 단면을 갖는다.) 예를 들어, ''X''를 '''C''' 위의 매끄러운 평면 사차 곡선( \mathbb{P}^2에서 차수 4)으로 하고, ''p''와 ''q''를 ''X''의 서로 다른 복소수 점으로 하자. 그러면 선형 다발 L=O(2p-q)는 풍부하지만 H^0(X,L)=0이다.[17]

4. 1. 아핀 스킴 위의 가역층

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.[40]

4. 2. 사영 공간 위의 가역층

체 K 위의 사영 공간 \mathbb P^n_K 및 정수 k\in\mathbb Z에 대하여, 가역층

:\mathcal O_{\mathbb P^n_K}(k) = \mathcal O_{\mathbb P^n_K}(-1)^{\otimes -k}

을 정의할 수 있다. 여기서 \mathcal O(-1)은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.[40]

  • \mathcal O(k)는 풍부한 가역층이다.
  • \mathcal O(k)는 스킴 사상 \mathbb P^n_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
  • k>0이다.

4. 3. 대수 곡선

대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선에서, 어떤 인자에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 그 인자의 차수가 0보다 큰 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

종수 g의 대수 곡선의 경우, 인자 D에 대응하는 가역층이 매우 풍부한 가역층일 필요충분조건은

:\deg D \ge 2g + 1

인 것이다.

예를 들어, 사영 직선(g=0)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 \mathcal O(d)이다 (버코프-그로텐디크 정리 Birkhoff–Grothendieck theorem영어). 이 경우 d\ge1인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, d \le 0인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 사영 직선 \mathbb P^1 위의 가역층 \mathcal O(2)을 생각하면, \mathbb P^1의 동차 좌표계 [s:t]에 대하여, 그 단면의 공간은

:\Gamma(\mathbb P^1;\mathcal O(2)) = K s^2 \oplus K st \oplus K t^2

이다. 즉, 사상

:[s:t] \to [s^2: st: t^2]

는 매장 \mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^2을 정의하며, 그 상은 대수 곡선

: \operatorname{Proj} \frac{K[x,y,z]}{xz - y^2}

이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

4. 4. 대수 곡면

대수 곡면의 경우, 나카이-모이셰존 판정 조건에 따라 풍부한 인자 D는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.[21]

  • D의 자기 교차수 D.D>0
  • X 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 C\subset X에 대하여 D.C>0


나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하여 자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없음을 보였다.[42][24]

5. 역사

나카이 요시카즈(中井 喜和)와 보리스 모이셰존이 1963년~1964년에 독자적으로 나카이-모이셰존 조건을 도입하였다.[43][44] 스티븐 로런스 클라이먼은 1966년에 클라이먼 조건을 도입하였다.[45]

6. 관련 개념


  • 사영 공간의 대수기하학
  • 파노 다양체: 표준 번들이 반-증폭인 다양체
  • 마츠사카의 큰 정리
  • 제수적 스킴: 충분한 선형 다발족을 허용하는 스킴

이이타카 차원

쌍유리 기하학에서 중요한 일반화로, '''큰 선형 다발'''이라는 개념이 있다. X 위의 선형 다발 \mathcal L이 크다는 것은, 다음 조건 중 하나를 만족할 때를 말한다.

  • \mathcal L은 풍부한 선형 다발과 유효한 선형 다발의 텐서 곱이다.
  • 유한 생성 계산환 \bigoplus_{k=0}^\infty \Gamma (X, \mathcal L ^{\otimes k})의 힐베르트 다항식은 X의 차수와 같은 차수를 가진다.
  • 인자의 전체 계 X \to \mathbb P \Gamma (X, \mathcal L^{\otimes k})의 유리 사상은, 큰 k \gg 0에 대해, 그 상에 쌍유리 동치이다.


이 개념의 흥미로운 점은, 유리 변환에 대해 안정성을 가진다는 것이다.

스키마 사상 f\colon X \to Y가 주어지면, 벡터 다발 p \colon E \to Y는 X로의 당겨진 f^*E = \{ (x,e) \in X \times E,\; f(x) = p(e) \}을 갖는다. 여기서 사영 p' \colon f^*E \to X 는 첫 번째 좌표로의 사영이다. 벡터 다발의 당겨진 것은 같은 랭크의 벡터 다발이다. 특히, 선 다발의 당겨진 것은 선 다발이다.

사상 f\colon X \to \mathbb P^n에서 E=\mathcal{O}(1)는 사영 공간 위의 선 다발로, 전역 단면이 변수 x_0,\ldots,x_n에서의 1차 동차 다항식인 경우이다. 선 다발 \mathcal{O}(1)은 \mathbb P^n의 초평면과 관련된 선 다발로도 설명될 수 있다. 예를 들어, f가 닫힌 임베딩이면, 당겨진 f^*O(1)은 X와 \mathbb{P}^n의 초평면의 교차점인 초평면 단면과 관련된 X 위의 선 다발이다.

사상 f\ :\ X \to Y가 주어지면, Y 위의 임의의 벡터 번들 \mathcal F 혹은 연접층 안의 임의의 층은 X로 당겨올 수 있다. 이 구성은 직선 다발일 조건, 더 나아가 랭크 조건을 보존한다.

사영 공간으로의 사상의 경우 f : X \to \mathbb P^N and \mathcal F = \mathcal O(1) \in \mathrm{Pic}(\mathbb P^N)에서, hyperplane divisor에 대응하는 직선 다발은 그 단면이 1-동차 정칙 함수이다.

X를 체 k 위의 scheme (예를 들어, 대수적 다양체)와 선다발 L (혹은 가역층)이라 하자. L의 전역 단면 H^0(X,L)의 k-벡터 공간의 원소 a_0,...,a_n에 대해, 이들 중 적어도 하나가 0이 아닌 점들의 열린 부분 집합을 U라고 하면, 이 단면들은 사상

:f\colon U\to \mathbb{P}^{n}_k,\ x \mapsto [a_0(x),\ldots,a_n(x)].

을 정의한다.[1]

U의 각 점 x에서 L의 올은 잉여류체 k(x) 위의 1차원 벡터 공간이므로, 기저를 선택하면 사영 공간의 점이 된다. 기저 선택을 변경해도 동일한 0이 아닌 상수로 조정되므로 사영 공간의 점은 선택과 무관하다. 이 사상은 L의 제한이 당겨오기 f^*\mathcal{O}(1)과 동형이라는 속성을 갖는다.[1]

scheme X 위의 선다발 L의 '''기저 궤적'''은 L의 모든 전역 단면의 영점 집합의 교집합이다. 선다발 L은 기저 궤적이 비어 있을 때, 즉 X의 모든 점 x에 대해 x에서 0이 아닌 L의 전역 단면이 있을 때 '''기저점 자유'''라고 불린다. X가 체 k 위에서 proper 사상이면, 전역 단면의 벡터 공간 H^0(X,L)은 유한 차원을 갖고, 그 차원을 h^0(X,L)이라고 한다.[2]

기저점 자유 선다발 L은 k 위에서 사상 f\colon X\to \mathbb{P}^n (n=h^0(X,L)-1)을 결정하며, H^0(X,L)의 기저를 선택하여 주어진다. 이를 선택하지 않고는 다음과 같은 사상으로 설명할 수 있다.

:f\colon X\to \mathbb{P}(H^0(X,L))

이는 X에서 H^0(X,L)의 초평면 공간까지의 사상이며, L이 당겨오기 f^*\mathcal{O}(1)이라는 속성을 갖는다.

반대로, scheme X에서 체 k 위의 사영 공간 \mathbb{P}^n으로의 임의의 사상 f에 대해, 당겨오기 선다발 f^*\mathcal{O}(1)은 기저점 자유이다. \mathcal{O}(1)은 \mathbb{P}^n에서 기저점 자유이며, \mathbb{P}^n의 모든 점 y에 대해 y를 포함하지 않는 초평면이 있기 때문이다. 따라서 기저점 자유 선다발은 사영 공간으로의 어떤 사상에 의해 \mathcal{O}(1)의 당겨오기로 표현될 수 있다.

차수는 체 k 위의 고유 곡선 C 위의 선다발 L의 차수로 정의되며, 이는 L의 임의의 0이 아닌 유리 단면 s의 제수 (s)의 차수와 같다. 이 제수의 계수는 s가 사라지는 점에서는 양수이고 s에 극이 있는 곳에서는 음수이다.[4] 따라서 H^0(C,L)\neq 0을 만족하는 곡선 C 위의 모든 선다발 L은 음수가 아닌 차수를 갖는다.[4] 특히, 곡선 위의 모든 기저점이 없는 선다발은 음수가 아닌 차수를 갖는다. 결과적으로, 체 위의 임의의 고유 스킴 X 위의 기저점이 없는 선다발 L은 '''nef'''이며, 이는 X의 모든 (기약) 곡선에서 L이 음수가 아닌 차수를 갖는다는 것을 의미한다.[4]

더 일반적으로, 스킴 X 위의 O_X-가군 F의 층은 전역 단면의 집합 I가 존재하여 s_i\in H^0(X,F)에 대응하는 사상 \bigoplus_{i\in I}O_X\to F의 층이 전사일 경우 '''전역적으로 생성'''된다고 한다. 선다발은 기저점이 없을 때 전역적으로 생성된다. 아핀 스킴 위의 모든 준연접층은 전역적으로 생성된다.[5]

체 위의 고유 스킴 위의 선다발 L은 정수 r이 존재하여 텐서 거듭제곱 L^{\otimes r}이 기저점이 없으면 '''반-ample'''이다. 반-ample 선다발은 nef이다 (기저점이 없는 선다발에 대한 해당 사실에 의해).[6]

준준콤팩트 사상 f : X \to S가 주어졌을 때, ''X'' 위의 가역층 ''L''은 다음 조건 중 하나가 만족되면 ''f''에 대해 '''상대적으로 풍부하다''' 또는 '''''f''-풍부하다'''고 한다.

# 각 열린 아핀 집합 U \subset S에 대해, ''L''의 f^{-1}(U)로의 제한은 풍부하다.

# ''f''는 준분리 사상이며, X \hookrightarrow \operatorname{Proj}_S(\mathcal{R}), \, \mathcal{R} := f_*\left( \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n} \right)와 같은 열린 임베딩이 존재하며, 이는 수반 사상 f^* \mathcal{R} \to \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n}에 의해 유도된다.

# 조건 2에서 "열린" 조건을 제외한 것.

조건 2는 ''X''가 \mathcal{O}(1)= L을 갖는 사영 스킴으로 열린 형태로 콤팩트화될 수 있음을 의미한다.

로빈 하츠혼은 체 위의 사영 스킴 ''X''에 대한 벡터 다발 ''F''를 ''F'' 내의 초평면 공간 \mathbb{P}(F) 위의 선 다발 \mathcal{O}(1)이 ample일 때 '''ample'''하다고 정의했다.[31] ample 선 다발의 여러 성질은 ample 벡터 다발로 확장된다. 예를 들어, 벡터 다발 ''F''는 고차 대칭 멱의 ''F''가 모든 i>0에 대해 가환층의 코호몰로지 H^i를 소멸시키는 경우에만 ample이다.[32] 또한, ample 벡터 다발의 천 특성류 c_r(F)는 1\leq r\leq \text{rank}(F)에 대해 ''X''의 모든 ''r''차원 부분다양체에서 양의 차수를 갖는다.[33]

쌍유리 기하학에서, 확대 가능성의 유용한 약화는 '''빅 선다발'''의 개념이다. 체 위의 차원 ''n''인 투사적 다양체 ''X'' 위의 선다발 ''L''은 양의 실수 ''a''와 양의 정수 j_0가 존재하여 모든 j\geq j_0에 대해 h^0(X,L^{\otimes j})\geq aj^n이면 빅이라고 한다. 이는 ''L''의 거듭제곱의 단면 공간에 대한 최대 가능한 성장률이며, 즉 ''X'' 위의 모든 선다발 ''L''에 대해 모든 ''j'' > 0에 대해 h^0(X,L^{\otimes j})\leq bj^n인 양의 수 ''b''가 존재한다.[34]

빅 선다발에 대한 몇 가지 다른 특징이 있다. 첫째, 선다발이 빅이기 위한 필요충분 조건은 L^{\otimes r}의 단면에 의해 주어진 ''X''에서 \mathbb P(H^0(X,L^{\otimes r}))로의 유리 함수가 자신의 이미지 위로 쌍유리 사상이 되는 양의 정수 ''r''이 존재한다는 것이다.[35] 또한, 선다발 ''L''이 빅이기 위한 필요충분 조건은 확대 가능한 선다발 ''A''와 유효 선다발 ''B'' (즉, H^0(X,B)\neq 0)의 텐서 곱인 양의 텐서 거듭제곱을 갖는다는 것이다.[36] 마지막으로, 선다발이 빅이기 위한 필요충분 조건은 N^1(X)에서 그 클래스가 유효 제수의 콘의 내부에 있다는 것이다.[37]

빅은 확대 가능성의 쌍유리적 불변 아날로그로 볼 수 있다. 예를 들어, f\colon X\to Y가 동일한 차원의 매끄러운 투사적 다양체 간의 지배적인 유리 함수이면, ''Y'' 위의 빅 선다발의 당김은 ''X''에서 빅이다. (얼핏 보면, 당김은 ''f''가 사상인 ''X''의 열린 부분 집합에 대한 선다발일 뿐이지만, 이는 모든 ''X''에 대한 선다발로 고유하게 확장된다.) 확대 가능한 선다발의 경우, 유한 사상에 의해 확대 가능한 선다발의 당김이 확대 가능하다고만 말할 수 있다.[15]

다양체 위의 국소 자유 층 (벡터 다발) F가 '''풍부하다'''는 것은, \mathbb{P}(F) 위의 가역층 \mathcal{O}(1)이 풍부할 때를 말한다. 풍부한 벡터 다발은 풍부한 직선 다발의 많은 성질을 이어받아 가진다.

예시로 ''X''를 복소수를 갖는 점에서의 사영 평면 \mathbb{P}^2의 블로업이라 하고, ''H''를 \mathbb{P}^2 위의 선의 ''X''로의 당김이라고 하고, ''E''를 블로업 \pi\colon X\to\mathbb{P}^2의 예외 곡선이라고 하면, 제수 ''H'' + ''E''는 ''X''에서 빅이지만 확대 가능하지 않다 (또는 심지어 네프하지도 않다). 왜냐하면

:(H+E)\cdot E=E^2=-1<0.

이 음수는 또한 ''H'' + ''E'' (또는 임의의 양의 배수)의 기저 궤적이 곡선 ''E''를 포함한다는 것을 의미한다.

6. 1. 당김(Pullback)

스키마 사상 f\colon X \to Y가 주어지면, 벡터 다발 p \colon E \to Y는 X로의 당겨진 f^*E = \{ (x,e) \in X \times E,\; f(x) = p(e) \}을 갖는다. 여기서 사영 p' \colon f^*E \to X 는 첫 번째 좌표로의 사영이다. 벡터 다발의 당겨진 것은 같은 랭크의 벡터 다발이다. 특히, 선 다발의 당겨진 것은 선 다발이다.

사상 f\colon X \to \mathbb P^n에서 E=\mathcal{O}(1)는 사영 공간 위의 선 다발로, 전역 단면이 변수 x_0,\ldots,x_n에서의 1차 동차 다항식인 경우이다. 선 다발 \mathcal{O}(1)은 \mathbb P^n의 초평면과 관련된 선 다발로도 설명될 수 있다. 예를 들어, f가 닫힌 임베딩이면, 당겨진 f^*O(1)은 X와 \mathbb{P}^n의 초평면의 교차점인 초평면 단면과 관련된 X 위의 선 다발이다.

사상 f\ :\ X \to Y가 주어지면, Y 위의 임의의 벡터 번들 \mathcal F 혹은 연접층 안의 임의의 층은 X로 당겨올 수 있다. 이 구성은 직선 다발일 조건, 더 나아가 랭크 조건을 보존한다.

사영 공간으로의 사상의 경우 f : X \to \mathbb P^N and \mathcal F = \mathcal O(1) \in \mathrm{Pic}(\mathbb P^N)에서, hyperplane divisor에 대응하는 직선 다발은 그 단면이 1-동차 정칙 함수이다.

6. 2. 기저점 없는 선다발(Basepoint-free line bundle)

X를 체 k 위의 scheme (예를 들어, 대수적 다양체)와 선다발 L (혹은 가역층)이라 하자. L의 전역 단면 H^0(X,L)의 k-벡터 공간의 원소 a_0,...,a_n에 대해, 이들 중 적어도 하나가 0이 아닌 점들의 열린 부분 집합을 U라고 하면, 이 단면들은 사상

:f\colon U\to \mathbb{P}^{n}_k,\ x \mapsto [a_0(x),\ldots,a_n(x)].

을 정의한다.[1]

U의 각 점 x에서 L의 올은 잉여류체 k(x) 위의 1차원 벡터 공간이므로, 기저를 선택하면 사영 공간의 점이 된다. 기저 선택을 변경해도 동일한 0이 아닌 상수로 조정되므로 사영 공간의 점은 선택과 무관하다. 이 사상은 L의 제한이 당겨오기 f^*\mathcal{O}(1)과 동형이라는 속성을 갖는다.[1]

scheme X 위의 선다발 L의 '''기저 궤적'''은 L의 모든 전역 단면의 영점 집합의 교집합이다. 선다발 L은 기저 궤적이 비어 있을 때, 즉 X의 모든 점 x에 대해 x에서 0이 아닌 L의 전역 단면이 있을 때 '''기저점 자유'''라고 불린다. X가 체 k 위에서 proper 사상이면, 전역 단면의 벡터 공간 H^0(X,L)은 유한 차원을 갖고, 그 차원을 h^0(X,L)이라고 한다.[2]

기저점 자유 선다발 L은 k 위에서 사상 f\colon X\to \mathbb{P}^n (n=h^0(X,L)-1)을 결정하며, H^0(X,L)의 기저를 선택하여 주어진다. 이를 선택하지 않고는 다음과 같은 사상으로 설명할 수 있다.

:f\colon X\to \mathbb{P}(H^0(X,L))

이는 X에서 H^0(X,L)의 초평면 공간까지의 사상이며, L이 당겨오기 f^*\mathcal{O}(1)이라는 속성을 갖는다.

반대로, scheme X에서 체 k 위의 사영 공간 \mathbb{P}^n으로의 임의의 사상 f에 대해, 당겨오기 선다발 f^*\mathcal{O}(1)은 기저점 자유이다. \mathcal{O}(1)은 \mathbb{P}^n에서 기저점 자유이며, \mathbb{P}^n의 모든 점 y에 대해 y를 포함하지 않는 초평면이 있기 때문이다. 따라서 기저점 자유 선다발은 사영 공간으로의 어떤 사상에 의해 \mathcal{O}(1)의 당겨오기로 표현될 수 있다.

6. 3. Nef, 전역 생성, 반풍부(Nef, globally generated, semi-ample)

차수는 체 k 위의 고유 곡선 C 위의 선다발 L의 차수로 정의되며, 이는 L의 임의의 0이 아닌 유리 단면 s의 제수 (s)의 차수와 같다. 이 제수의 계수는 s가 사라지는 점에서는 양수이고 s에 극이 있는 곳에서는 음수이다.[4] 따라서 H^0(C,L)\neq 0을 만족하는 곡선 C 위의 모든 선다발 L은 음수가 아닌 차수를 갖는다.[4] 특히, 곡선 위의 모든 기저점이 없는 선다발은 음수가 아닌 차수를 갖는다. 결과적으로, 체 위의 임의의 고유 스킴 X 위의 기저점이 없는 선다발 L은 '''nef'''이며, 이는 X의 모든 (기약) 곡선에서 L이 음수가 아닌 차수를 갖는다는 것을 의미한다.[4]

더 일반적으로, 스킴 X 위의 O_X-가군 F의 층은 전역 단면의 집합 I가 존재하여 s_i\in H^0(X,F)에 대응하는 사상 \bigoplus_{i\in I}O_X\to F의 층이 전사일 경우 '''전역적으로 생성'''된다고 한다. 선다발은 기저점이 없을 때 전역적으로 생성된다. 아핀 스킴 위의 모든 준연접층은 전역적으로 생성된다.[5]

체 위의 고유 스킴 위의 선다발 L은 정수 r이 존재하여 텐서 거듭제곱 L^{\otimes r}이 기저점이 없으면 '''반-ample'''이다. 반-ample 선다발은 nef이다 (기저점이 없는 선다발에 대한 해당 사실에 의해).[6]

6. 4. 상대적 풍부성(Relative ampleness)

준준콤팩트 사상 f : X \to S가 주어졌을 때, ''X'' 위의 가역층 ''L''은 다음의 동치 조건이 만족되면 ''f''에 대해 '''상대적으로 풍부하다''' 또는 '''''f''-풍부하다'''고 한다.

# 각 열린 아핀 집합 U \subset S에 대해, ''L''의 f^{-1}(U)로의 제한은 풍부하다.

# ''f''는 준분리 사상이며, X \hookrightarrow \operatorname{Proj}_S(\mathcal{R}), \, \mathcal{R} := f_*\left( \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n} \right)와 같은 열린 임베딩이 존재하며, 이는 수반 사상 f^* \mathcal{R} \to \bigoplus_0^{\infty} L^{\otimes n}에 의해 유도된다.

# 조건 2에서 "열린" 조건을 제외한 것.

조건 2는 ''X''가 \mathcal{O}(1)= L을 갖는 사영 스킴으로 열린 형태로 콤팩트화될 수 있음을 의미한다.

6. 5. 일반화

로빈 하츠혼은 체 위의 사영 스킴 ''X''에 대한 벡터 다발 ''F''를 ''F'' 내의 초평면 공간 \mathbb{P}(F) 위의 선 다발 \mathcal{O}(1)이 ample일 때 '''ample'''하다고 정의했다.[31] ample 선 다발의 여러 성질은 ample 벡터 다발로 확장된다. 예를 들어, 벡터 다발 ''F''는 고차 대칭 멱의 ''F''가 모든 i>0에 대해 가환층의 코호몰로지 H^i를 소멸시키는 경우에만 ample이다.[32] 또한, ample 벡터 다발의 천 특성류 c_r(F)는 1\leq r\leq \text{rank}(F)에 대해 ''X''의 모든 ''r''차원 부분다양체에서 양의 차수를 갖는다.[33]

쌍유리 기하학에서, 확대 가능성의 유용한 약화는 '''빅 선다발'''의 개념이다. 체 위의 차원 ''n''인 투사적 다양체 ''X'' 위의 선다발 ''L''은 양의 실수 ''a''와 양의 정수 j_0가 존재하여 모든 j\geq j_0에 대해 h^0(X,L^{\otimes j})\geq aj^n이면 빅이라고 한다. 이는 ''L''의 거듭제곱의 단면 공간에 대한 최대 가능한 성장률이며, 즉 ''X'' 위의 모든 선다발 ''L''에 대해 모든 ''j'' > 0에 대해 h^0(X,L^{\otimes j})\leq bj^n인 양의 수 ''b''가 존재한다.[34]

빅 선다발에 대한 몇 가지 다른 특징이 있다. 첫째, 선다발이 빅이기 위한 필요충분 조건은 L^{\otimes r}의 단면에 의해 주어진 ''X''에서 \mathbb P(H^0(X,L^{\otimes r}))로의 유리 함수가 자신의 이미지 위로 쌍유리 사상이 되는 양의 정수 ''r''이 존재한다는 것이다.[35] 또한, 선다발 ''L''이 빅이기 위한 필요충분 조건은 확대 가능한 선다발 ''A''와 유효 선다발 ''B'' (즉, H^0(X,B)\neq 0)의 텐서 곱인 양의 텐서 거듭제곱을 갖는다는 것이다.[36] 마지막으로, 선다발이 빅이기 위한 필요충분 조건은 N^1(X)에서 그 클래스가 유효 제수의 콘의 내부에 있다는 것이다.[37]

빅은 확대 가능성의 쌍유리적 불변 아날로그로 볼 수 있다. 예를 들어, f\colon X\to Y가 동일한 차원의 매끄러운 투사적 다양체 간의 지배적인 유리 함수이면, ''Y'' 위의 빅 선다발의 당김은 ''X''에서 빅이다. (얼핏 보면, 당김은 ''f''가 사상인 ''X''의 열린 부분 집합에 대한 선다발일 뿐이지만, 이는 모든 ''X''에 대한 선다발로 고유하게 확장된다.) 확대 가능한 선다발의 경우, 유한 사상에 의해 확대 가능한 선다발의 당김이 확대 가능하다고만 말할 수 있다.[15]

다양체 위의 국소 자유 층 (벡터 다발) F가 '''풍부하다'''는 것은, \mathbb{P}(F) 위의 가역층 \mathcal{O}(1)이 풍부할 때를 말한다. 풍부한 벡터 다발은 풍부한 직선 다발의 많은 성질을 이어받아 가진다.

예시로 ''X''를 복소수를 갖는 점에서의 사영 평면 \mathbb{P}^2의 블로업이라 하고, ''H''를 \mathbb{P}^2 위의 선의 ''X''로의 당김이라고 하고, ''E''를 블로업 \pi\colon X\to\mathbb{P}^2의 예외 곡선이라고 하면, 제수 ''H'' + ''E''는 ''X''에서 빅이지만 확대 가능하지 않다 (또는 심지어 네프하지도 않다). 왜냐하면

:(H+E)\cdot E=E^2=-1<0.

이 음수는 또한 ''H'' + ''E'' (또는 임의의 양의 배수)의 기저 궤적이 곡선 ''E''를 포함한다는 것을 의미한다.

참조

[1] 서적 Theorem II.7.1 1977
[2] 서적 Theorem III.5.2 1977
[3] 서적 Lemma IV.1.2 1977
[4] 서적 Example 1.4.5 2004
[5] 서적 Example II.5.16.2 1977
[6] 서적 Definition 2.1.26 2004
[7] 서적 section II.5 1977
[8] 간행물 Definition 4.2.2
[9] 서적 Proposition I.7.6 and Example IV.3.3.2 1977
[10] 간행물 Théorème 4.5.2 and Proposition 4.5.5
[11] 간행물 Proposition 4.5.10
[12] 서적 Theorem II.7.6 1977
[13] 서적 Theorem 1.2.6 2004
[14] 서적 Proposition III.5.3 1977
[15] 서적 Theorem 1.2.13 2004
[16] 서적 Example II.7.6.3 1977
[17] 서적 Exercise IV.3.2(b) 1977
[18] 서적 Proposition IV.3.1 1977
[19] 서적 Corollary IV.3.3 1977
[20] 서적 Proposition IV.5.2 1977
[21] 논문 Theorems 1.4.23 and 1.4.29; Theorem III.1 1966/2004
[22] 논문 Theorems 1.4.23 and 1.4.29; Theorem IV.1 1966/2004
[23] 논문 Corollary 3.3; Remark 1.4.24 2004/2005
[24] 서적 Example 1.5.2 2004
[25] 논문 Theorem 1.4.13; Theorem I.7.1 1970/2004
[26] 서적 Theorem 3.11 1990
[27] 서적 Chapter VI, Appendix, Exercise 2.19.3 1996
[28] 서적 Definition 1.3.11 2004
[29] 서적 Theorem 1.2.17 and its proof 2004
[30] 논문 Example 1.2.32; Theorem III.1 1966/2004
[31] 서적 Definition 6.1.1 2004
[32] 서적 Theorem 6.1.10 2004
[33] 서적 Theorem 8.2.2 2004
[34] 서적 Corollary 2.1.38 2004
[35] 서적 section 2.2.A 2004
[36] 논문 Corollary 2.2.7 2004
[37] 논문 Theorem 2.2.26 2004
[38] 서적 벡터 속 이론 http://minumsa.minum[...] 민음사 1989-01-01
[39] 저널 Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes http://www.numdam.or[...] 2015-08-10
[40] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
[41] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves http://www.math.u-bo[...] Oxford University Press 2015-08-10
[42] 저널 On the 14th problem of Hilbert https://archive.org/[...]
[43] 저널 A criterion of an ample sheaf on a projective scheme https://archive.org/[...]
[44] 저널 Критерий проективности полных алгебраических абстрактных многообразий http://mi.mathnet.ru[...] 1964
[45] 저널 Toward a numerical theory of ampleness


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