단체 복합체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 종류
- 3.1. 델타 복합체
4. 성질
5. 조합론적 특징
- 5.1. f-벡터와 h-벡터
6. 응용
- 6.1. 전산기하학 및 컴퓨터 그래픽스
7. 역사
참조

1. 개요

단체 복합체는 층 이론과 조합론을 사용하여 정의되는 수학적 구조로, 위상 공간을 연구하는 데 사용된다. 단체 복합체는 꼭짓점, 단체, 면, 사상 등으로 구성되며, 기하학적 실현을 통해 위상 공간으로 표현될 수 있다. 단순 복합체, 델타 복합체 등 다양한 종류가 있으며, f-벡터, h-벡터와 같은 조합론적 특징을 연구한다. 단체 호몰로지를 계산하는 데 사용되며, 전산 기하학, 컴퓨터 그래픽스, 위상 데이터 분석 등 다양한 분야에 응용된다.

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단체 복합체
정의
정의	'수학에서, 단체 복합체(simplical complex)는 점, 선분, 삼각형, 그리고 이들의 n차원 유사체들을 "붙여서" 만들어지는 위상 공간이다. 단체 복합체는 구체적인 대상인 반면, 추상적인 대상인 단체 집합(simplicial set)은 단체 복합체의 조합적인 데이터를 부호화한다.'
영어 명칭	simplicial complex (심플리셜 콤플렉스)
예시
예시	'정다면체(볼록 3차원 도형)의 표면은 단체 복합체를 이룬다.'
예시	'그래프는 1차원 단체 복합체를 이룬다.'
특징
특징	단체 복합체는 조합적인 대상이면서 동시에 위상적인 대상으로, 두 가지 관점에서 모두 유용하게 사용된다.
역사
역사	'앙리 푸앵카레의 연구에서 비롯되었으며, 대수적 위상수학의 발전에 중요한 역할을 했다.'
응용
응용	'컴퓨터 그래픽스, 데이터 분석, 센서 네트워크 등 다양한 분야에서 활용된다.'
관련 개념
관련 개념	'단체 집합(simplicial set), CW 복합체(CW complex), 호모토피 이론(homotopy theory)'
참고 문헌
참고 문헌	'Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-00362-5. ISBN 978-3-540-00362-5.'
참고 문헌	'Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html. ISBN 978-0-521-79540-1.'

2. 정의

단체 복합체는 층 이론을 사용해 추상적으로 정의할 수도 있고, 조합론적으로 구체적으로 정의할 수도 있다.^[5]^[6]

2. 1. 추상적 정의

단체 복합체의 개념은 층 이론을 사용하여 추상적으로 정의할 수 있다.^[5]

공집합이 아닌 유한 집합과 함수의 범주

\operatorname{finSet}_+

를 생각하자. 그 위의 (집합 값의) 준층을 '''대칭 단체 집합'''(symmetric simplicial set^영어)이라고 한다.^[5] 즉, 대칭 단체 집합의 범주는

\operatorname{PSh}(\operatorname{finSet}_+)

이다. 이는 그로텐디크 토포스를 이룬다.

임의의 작은 범주 위의 준층

F\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

에서, '''구체적 준층'''(concrete presheaf^영어)은 다음과 같은 표준적인 함수가 단사 함수인 경우이다.

:

F(U)\to\hom_{\operatorname{Set}}(\hom_{\mathcal C}(1,U),F(1))

(여기서

1\in\mathcal C

는 시작 대상이다.) 모든 준층의 범주

\operatorname{PSh}(\mathcal C)

는 그로텐디크 토포스를 이루지만, 모든 구체적 준층

\operatorname{concPSh}(\mathcal C)

의 충실충만한 부분 범주는 준토포스를 이룬다.

\operatorname{finSet}_+

위의 구체적 준층을 '''단체 복합체'''라고 한다.^[6] 단체 복합체의 범주

:

\operatorname{SimpComp}=\operatorname{concPSh}(\operatorname{finSet}_+)

는 준토포스를 이룬다. 정의에 따라 모든 단체 복합체는 대칭 단체 집합이다.

대칭 단체 집합

F\colon\operatorname{finSet}_+^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

에서, 한원소 집합

\{\bullet\}\in \operatorname{finSet}_+

의 상

F(\{\bullet\})\in\operatorname{Set}

의 원소를 단체 복합체의 '''꼭짓점'''(vertex^영어)이라고 한다. 크기

n+1

의 집합

S\in\operatorname{finSet}_+

의 상

F(S)\in\operatorname{Set}

의 원소를 (퇴화되었을 수 있는)

n

차원 '''단체'''(

n

-simplex^영어)라고 한다. (꼭짓점은 0차원 단체이다.) 표준적인 함수

:

F(S)\to F(\{\bullet\})^S\cong F(\{\bullet\}^{n+1}

에서,

\sigma\in F(S)

의 상

(v_0,v_1,\dots,v_n)\in F(\{\bullet\}^{n+1}

의 성분들을 단체

\sigma

의 '''꼭짓점'''(-點, vertex^영어)이라고 한다. 단체 복합체의 경우 단체는 그 꼭짓점들로부터 완전히 결정되지만, 일반적 대칭 단체 집합의 경우 그렇지 않다. 모든 꼭짓점들이 서로 다른 단체를 '''비퇴화 단체'''(nondegenerate simplex^영어)라고 하고, 일부 꼭짓점들이 일치하는 단체를 '''퇴화 단체'''(degenerate simplex^영어)라고 한다. (모든 꼭짓점은 한원소 집합으로서 비퇴화 단체이다.)

대칭 단체 집합의 '''단체 사상'''(simplicial map^영어)은 준층의 사상이다 (즉, 함자의 자연 변환이다).

2. 2. 구체적 정의

단체 복합체는 준층을 사용하여 추상적으로 정의하거나, 조합론적으로 구체적으로 정의할 수 있다.^[6]

단체 복합체

(V,\Sigma)

는 다음 데이터로 구성된다.

$V$ 는 집합이며, $V$ 의 원소를 '''꼭짓점'''이라고 한다.
$\Sigma\subset\mathcal P(V)$ 는 $V$ 의, 공집합이 아닌 유한 부분 집합들로 구성된 집합이다. $\Sigma$ 의 원소 가운데, 크기가 $n+1$ 인 것을 $n$ 차원 '''비퇴화 단체'''(nondegenerate $n$ -simplex^영어)라고 한다. $n$ 차원 단체 $\sigma\in\Sigma$ 의, 크기가 $n-1$ 인, 공집합이 아닌 부분 집합을 $\sigma$ 의 '''면'''(facet^영어)이라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

비퇴화 단체의 면은 비퇴화 단체이다. 즉, 만약 $\varnothing\ne\sigma\subseteq\sigma'\in\Sigma$ 라면 $\sigma\in\Sigma$ 이다.
꼭짓점(의 한원소 집합)은 비퇴화 단체이다. 즉, 모든 꼭짓점 $v\in V$ 에 대하여, $\{v\}\in\Sigma$ 이다.

중복집합에서 중복되는 원소를 제거하여 집합으로 만드는 과정을

\operatorname{supp}

라고 한다. 그렇다면, 꼭짓점들로 구성된 중복집합

\sigma

에 대하여, 만약

\operatorname{supp}\sigma

가 비퇴화 단체라면,

\sigma

를 '''단체'''(simplex^영어)라고 한다. 비퇴화 단체가 아닌 단체를 '''퇴화 단체'''(degenerate simplex^영어)라고 한다.

두 단체 복합체

(V,\Sigma)

,

(V',\Sigma')

사이의 '''단체 사상'''(simplicial map^영어)

f\colon(V,\Sigma)\to(V',\Sigma')

은 다음 조건을 만족시키는 함수

f\colon V\to V'

이다.

모든 비퇴화 단체 $\sigma\in\Sigma$ 에 대하여, 그 상 $f(\sigma)\subseteq V'$ 역시 단체이다.

즉, 단체 사상은

n

차원 단체는

n

차원 단체에 대응시킨다. 다만, 비퇴화 단체 또한 (같은 차원의) 퇴화 단체에 대응될 수 있다.

단체 복합체

(V,\Sigma)

이 주어졌을 때, 각

n

차원 (추상적) 비퇴화 단체에 (위상 공간인) 실제 단체

\triangle^n\subset\mathbb R^n

을 대응시키고, 그 면들을 경계 사상을 통해 서로 적절히 붙여 위상 공간을 정의할 수 있다. 이를 단체 복합체의 '''기하학적 실현'''(geometric realization^영어)

|(V,\Sigma)|

이라고 한다.

'''단순 복합체'''

\mathcal{K}

는 다음 조건을 만족하는 단순체의 집합이다.

:1.

\mathcal{K}

의 단순체의 모든 면도

\mathcal{K}

에 속한다.

:2. 임의의 두 단순체

\sigma_1, \sigma_2 \in \mathcal{K}

의 교집합은

\sigma_1

과

\sigma_2

모두의 면이다.

단체 복합체는 순서 집합으로도 정의되며, 이는 조합론적으로 주어지는 추상 단체 복합체와 동치이다. 순서 집합

(X, \leq)

이 '''단체적'''(simplex-like^영어)이란,

a \in X

라면 어떤 유한 집합

V_a

가 존재하여

:

X_{\leq a} = \{ f \in X \mid f \leq a  \} \simeq \mathfrak{P}(V_a)

가 되는 순서 동형이 성립하는 것으로 한다(오른쪽 변은

V_a

의 멱집합이다. 또한, 공집합에 합치하는 부분을 제외하는 경우도 있다). 이 때, 순서 집합

(\Delta, \subset)

가

#

X \in \Delta

라면

X

는 단체적,

#

X, Y \in \Delta

라면, 순서

\subset

에 관한 하한

X \wedge Y

가 존재한다

라는 조건을 만족할 때,

\Delta

는 단체 복합체라고 한다.

예를 들어, 2차원 세계에서 정사각형에 대각선을 하나 넣은 도형은 복합체이다. 왜냐하면 이 도형은 삼각형 두 개로 이루어져 있지만, 그 두 삼각형의 공통 부분은 대각선이며, 두 삼각형 모두의 면(이 경우에는 선분)이 되기 때문이다.

두 개의 단체

a

,

b

에 대해,

a \subset b

가 성립하는 것을,

a

는

b

의 면(face^영어)이라고 한다(보통 면이라고 하면 2차원의 기하학적 대상이지만, 지금의 경우에는 각 단체의 차원은 묻지 않는다). 또한

\subset

으로 정해지는 순서를 '''면 관계'''(face relation^영어)라고 하는 경우가 있다. 꼭짓점은 면 관계에 관해 (공집합을 제외하고) 극소인 단체로 특징지어진다.

3. 종류

단체 복합체에는 델타 복합체, 단체 집합 등이 있으며, 이들은 준층으로서 정의할 수 있다.^[8]

3. 1. 델타 복합체

'''델타 복합체'''는 공집합이 아닌 유한 전순서 집합과 증가 단사 함수의 범주

\operatorname{finOrd_+^{inj}}

위의 준층이다.^[8] 모든 증가 함수 대신 단사 함수만을 여기는 것은 (단체 집합과 달리) 경계 사상만 있고, 퇴화 사상이 없는 것을 뜻한다. 퇴화 사상이 없으므로, 모든 단체들이 비퇴화 단체가 된다.

델타 복합체의 '''델타 사상'''(delta-map^영어)은 준층의 사상이다. (즉, 자연 변환이다.) 그런데 모든 단체들이 비퇴화 단체이므로, 델타 사상은 비퇴화 단체를 항상 비퇴화 단체에 대응시켜야 한다. 즉, 단체 복합체나 단체 집합의 사상과는 달리, 델타 사상 아래 단체가 퇴화될 수 없다.

'''델타 복합체'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

각 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, 집합 $\Sigma_n$ . 그 원소를 $n$ 차원 '''단체'''라고 한다.
각 양의 정수 $n\in\mathbb Z^+$ 및 $i\in\{0,1,\dots,n\}$ 에 대하여, 함수 $\partial_n^i\colon\Sigma_n\to\Sigma_{n-1}$ . 이를 $i$ 번째 '''면 사상'''(face map^영어)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다. (이는 단체 집합의 정의에 등장하는 첫째 단체 항등식이다.)

:

\partial^i_{n-1}\circ\partial^j_n=\partial^{j-1}_{n-1}\circ\partial^i_n\qquad(0\le i

델타 복합체 역시 '''기하학적 실현'''(geometric realization^영어)을 정의할 수 있다. 이 경우 모든 단체들이 비퇴화 단체가 된다.

델타 복합체와 단체 복합체의 주된 차이는 다음과 같다.

단체의 꼭짓점들의 전순서를 가진다. (이는 단체 집합도 마찬가지이다.)
단체의 꼭짓점과 면들이 중복될 수 있다. 즉, 한 단체의 여러 꼭짓점이나 면들이 서로 붙어 있을 수 있다. (이는 단체 집합도 마찬가지이다.)
단체가 그 꼭짓점 집합으로부터 유일하게 결정되지 않을 수 있다. 즉, 같은 꼭짓점들을 공유하는 여려 단체들이 존재할 수 있다. (이는 단체 집합도 마찬가지이다.)

그러나 단체 복합체와 마찬가지로 (단체 집합과 달리) 델타 복합체는 자명하지 않은 퇴화 단체들을 갖지 않는다. 따라서, 델타 복합체는 단체 복합체와 단체 집합의 중간 개념으로 생각할 수 있다.

4. 성질

단체 복합체는 다양한 위상수학적 성질을 갖는다.

특이 호몰로지: 위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 모든 연속 함수 $\triangle^n\to X$ 의 집합 $\Sigma_n$ 을 만들고, 이들을 면을 따라 이어붙여 $S(X)$ 를 만들 수 있다. $S(X)$ 의 단체 사슬 복합체는 $X$ 의 특이 사슬 복합체와 같으며, 특이 호몰로지는 단체 호몰로지의 특수한 경우이다.^[4]
델타 복합체 표현: 델타 복합체로 나타낼 수 있는 위상 공간은 항상 단체 복합체로 나타낼 수 있다.^[4]
기하학적 실현: 단체 복합체에서 위상 공간으로 가는 기하학적 실현 함자는 유한 곱을 보존하지 않는다. (반면 단체 집합의 기하학적 실현은 동등자와 유한 곱을 보존한다.)
다양체의 삼각 분할: 주어진 다양체가 삼각 분할을 갖는지 여부는 어려운 문제이다. 모든 매끄러운 다양체는 삼각 분할을 갖지만, (위상) 다양체의 경우 일반적으로 그렇지 않다.

단순 복합체 ''K''와 그 안의 단순체들의 모임 ''S''에 대해 다음과 같은 개념들이 정의된다.

'''폐포'''(Cl ''S''): ''S'' 내의 각 단순체를 포함하는 ''K''의 가장 작은 단순 부분 복합체.
'''별'''(st ''S''): ''S''에 있는 각 단순체의 별들의 합집합.
'''링크'''(Lk ''S''): ''S''의 닫힌 별에서 ''S''의 모든 면의 별을 뺀 것.

4. 1. 단체 호몰로지

단체 호몰로지는 단체 복합체의 위상적 불변량을 계산하는 방법이다. 이는 특이 호몰로지와 동형이다.^[4]

위상 공간

X

위의 델타 복합체

(\Sigma_n)_{n\in\mathbb N}

가 주어졌다고 하자.

X

위의

n

차 단체 사슬의 군은

n

차 단체들로 생성되는 자유 아벨 군이다.

:

C_n(X)=\mathbb Z^{\oplus\Sigma_n}

n

차 단체

\sigma\in\Sigma_n

의 경계

\partial\sigma\in\Sigma_{n-1}

는 다음과 같다.

:

\partial \sigma=\sum_{i=0}^n(-)^i\sigma|_{[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n}]

여기서

v_0,\dots,v_n\in\triangle^n

은 표준 단체

\triangle^n

의 꼭짓점들이며,

[v_0,\dots,\hat v_i,\dots,v_n]\subseteq\triangle^n

은

v_i

를 포함하지 않는 유일한 면이다.

이 정의를 단체 사슬 군에

\mathbb Z

-선형으로 확장하여, 사슬 복합체

:

\cdots\to C_n(X)\xrightarrow{\partial_n}C_{n-1}(X)\to\cdots \to C_0(X)\to0

를 정의할 수 있다. (

\partial_{n-1}\circ\partial_n=0

인 것은 쉽게 확인할 수 있다.) 이를 '''단체 사슬 복합체'''라고 하며, 그 호몰로지를 '''단체 호몰로지'''

:

\operatorname H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}

라고 한다.

델타 복합체의 특이 호몰로지는 단체 호몰로지와 동형이다.^[4] 따라서, 단체 호몰로지는 사용한 델타 복합체 구조에 의존하지 않는다.

4. 2. 단체 집합과의 관계

단체 복합체는

\operatorname{finSet}_+

위의 구체적 준층이며, 준토포스를 이룬다.^[6] 정의에 따라 모든 단체 복합체는 대칭 단체 집합이다.

전순서를 잊는 망각 함자를 통해 단체 복합체에서 대칭 단체 집합을 거쳐 단체 집합으로 가는 함자들이 존재한다.

:

\operatorname{concPSh}(\operatorname{finSet}_+)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\operatorname{finSet}_+)\to\operatorname{PSh}(\operatorname{finOrd}_+)

4. 3. 기하학적 실현

단체 복합체

(V,\Sigma)

가 주어졌을 때, 각

n

차원 비퇴화 단체에 실제 단체

\triangle^n\subset\mathbb R^n

을 대응시키고, 그 면들을 경계 사상을 통해 서로 붙여 위상 공간을 정의할 수 있다. 이를 단체 복합체의 '''기하학적 실현'''(geometric realization^영어)

|(V,\Sigma)|

이라고 한다.^[4]

단체 복합체에서 위상 공간으로 가는 기하학적 실현 함자는 유한 곱을 보존하지 않는 경우가 있다. (반면 단체 집합의 기하학적 실현은 동등자와 유한 곱을 보존한다.)

5. 조합론적 특징

조합론에서는 단체 복합체의 조합론적 특징을 나타내는 f-벡터와 h-벡터를 연구한다.

f-벡터와 h-벡터에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참고하라.

5. 1. f-벡터와 h-벡터

조합론가들은 종종 단체 *d*-복합체 Δ의 '''''f''-벡터'''''를 연구하는데, 이는 정수 수열

(f_0, f_1, f_2, \ldots, f_{d+1})

이다. 여기서 ''f''_''i''는 Δ의 (''i''−1)차원 면의 개수이다. 관례에 따라 Δ가 빈 복합체가 아닌 한, ''f''₀ = 1이다. 예를 들어, Δ가 팔면체의 경계면인 경우, 그 ''f''-벡터는 (1, 6, 12, 8)이다. 단체 복합체의 가능한 모든 ''f''-벡터에 대한 완전한 특성은 Kruskal–Katona 정리에 의해 주어진다.

단체 *d*-복합체 Δ의 ''f''-벡터를 다항식의 계수로 사용하여 (지수의 내림차순으로 작성) Δ의 '''f-다항식'''을 얻는다. 조합론가들은 종종 단체 복합체 Δ의 '''h-벡터'''에 매우 관심이 있는데, 이는 Δ의 ''f''-다항식에 ''x'' − 1을 대입한 결과로 얻어지는 다항식의 계수 시퀀스이다. 공식적으로, Δ의 ''f''-다항식을 ''F''_Δ(''x'')로 표기한다면, Δ의 '''h-다항식'''은

:

F_\Delta(x-1)=h_0x^{d+1}+h_1x^{d}+h_2x^{d-1}+\cdots+h_dx+h_{d+1}

이며, Δ의 ''h''-벡터는 다음과 같다.

:

(h_0, h_1, h_2, \cdots, h_{d+1}).

팔면체 경계의 h-벡터는 다음과 같이 계산한다.

:

F(x-1)=(x-1)^3+6(x-1)^2+12(x-1)+8=x^3+3x^2+3x+1.

따라서 팔면체 경계의 ''h''-벡터는 (1, 3, 3, 1)이다. 이 ''h''-벡터가 대칭인 것은 우연이 아니다. 이는 Δ가 단체 다포체의 경계일 때마다 발생하며, Dehn–Sommerville 방정식에 따른 것이다. 그러나 일반적으로, 단체 복합체의 ''h''-벡터는 반드시 양수일 필요는 없다.

모든 단체 다포체 ''h''-벡터의 완전한 특성은 스탠리, 빌레라(Billera), 리(Lee)의 유명한 g-정리에 의해 주어진다.

단체 복합체는 구 채움의 접촉 그래프(꼭짓점이 구의 중심이고, 해당 채움 요소가 서로 접촉하는 경우 간선이 존재하는 그래프)와 동일한 기하학적 구조를 갖는 것으로 볼 수 있다. 이를 통해 구 채움의 조합론, 예를 들어 구 채움에서 접촉 쌍(1-단순체), 접촉 삼중체(2-단순체) 및 접촉 사중체(3-단순체)의 수를 결정하는 데 사용할 수 있다.

6. 응용

단체 복합체는 3차원 모델링, 메쉬 생성 등 전산기하학과 컴퓨터 그래픽스 분야에서 활용된다.

6. 1. 전산기하학 및 컴퓨터 그래픽스

단체 복합체는 3차원 모델링, 메쉬 생성 등 전산기하학과 컴퓨터 그래픽스 분야에서 널리 활용된다.

7. 역사

사무엘 에일렌베르크와 조지프 에이브러햄 질버(Joseph Abraham Zilber^영어)가 1949년에 "반단체 복합체"(semi-simplicial complex^영어)라는 이름으로 도입하였다.^[7] 이후 이 이름은 에일렌베르크와 질버가 도입한 개념 대신 단체 집합을 지칭하게 되었고, 대신 에일렌베르크와 질버의 원래 개념은 "델타 복합체"로 불리게 되었다.^[8]

참조

_[1] 서적 Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry Springer-Verlag 2007
_[2] 간행물 Triangulations: Structures for Algorithms and Applications https://books.google[...] Springer
_[3] 서적 Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry Springer-Verlag 2007
_[4] 서적 Algebraic topology http://www.math.corn[...] Cambridge University Press 2002
_[5] 저널 Finite sets and symmetric simplicial sets http://www.tac.mta.c[...] 2001
_[6] 저널 Convenient categories of smooth spaces 2011
_[7] 저널 Semi-simplicial complexes and singular homology https://people.math.[...] 1950-05
_[8] 저널 An elementary illustrated introduction to simplicial sets 2012

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