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당김 올다발

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목차

1. 개요

당김 올다발은 위상 공간 Y 위의 올다발 E와 연속 함수 f: X → Y가 주어졌을 때, X 위에 정의되는 올다발을 의미한다. 이는 E의 f에 대한 당김 올다발로 불리며, X × E의 부분 공간 위상을 갖는다. 당김 올다발의 단면은 원래 올다발의 단면을 이용하여 정의되며, 벡터 다발과 주다발의 경우에도 당김이 가능하다. 당김 올다발은 범주론적 당김의 예시이며, 층 이론에서 단면의 층의 역상에 해당한다.

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  • 올다발 - 주다발
    주다발은 위상 공간을 밑공간으로, 위상군을 올로 가지며, 연속적인 군 작용을 통해 정의되는 올다발로, 위상수학, 미분기하학, 게이지 이론 등에서 활용된다.
  • 올다발 - 단면 (올다발)
    단면은 올다발의 정의를 만족하는 함수로, 함수의 그래프를 일반화한 개념이며, 매끄러운 올다발에서는 매끄러운 단면을 정의할 수 있고, 전역 단면의 존재 여부는 호모토피 이론에서 중요한 연구 대상이다.
당김 올다발
개요
정의수학에서, 올다발의 당김은 사상을 통해 올다발을 변환하는 것이다.
설명더 정확하게 말하면, 연속 함수 f : B′ → B가 주어졌을 때, 올다발 π : E → B의 당김은 올다발 f*E → B′이다.
기원'당김 올다발'(pullback bundle)이라는 이름은 범주론에서 유래했다.
정의
구성올다발 π : E → B와 연속 함수 f : B′ → B가 주어졌을 때, 당김 올다발 f*E는 다음과 같이 구성된다.
전체 공간f*E는 곱공간 B′ × E의 부분집합으로 정의된다.
전체 공간 정의f*E = {(b′,e) ∈ B′ × E | f(b′)=π(e)}.
사영사영 π′ : f*E → B′는 π′(b′,e) = b′로 주어진다.
올b′ ∈ B′ 위의 올은 {(b′,e) ∈ B′ × E | f(b′)=π(e)}. 즉, f(b′) 위의 올 E와 같다.
속성
올보존 사상사상 f*E → E는 올보존 사상이다.
올보존 사상 정의이 사상은 (b′,e) ↦ e로 주어진다.

2. 정의

위상 공간 Y 위의 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow Y와 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 이때 X 위에 새로운 올다발을 정의할 수 있는데, 이를 E의 f에 대한 당김 올다발(pullback bundle영어)이라고 하며 f^*E로 표기한다. 정의는 다음과 같다.

:f^*E = \{(x,e)\in X\times E\colon f(x) = \pi(e)\} \subseteq X\times E

여기서 f^*E는 곱공간 X \times E의 부분 집합이며, 위상은 X\times E로부터 유도되는 부분 공간 위상을 갖는다. 올다발로서의 사영 함수 \pi_{f^*E}는 다음과 같이 정의된다.

:\pi_{f^*E} \colon f^*E \to X

:\pi_{f^*E} \colon (x,e) \mapsto x

일반적으로, 추상적인 올 F를 갖는 올다발 \pi \colon E \to B와 연속 함수 f \colon B' \to B가 주어졌을 때, 당김 올다발 f^{*}E는 다음과 같이 정의된다.

:f^{*}E = \{(b',e) \in B' \times E \mid f(b') = \pi(e)\}\subseteq B'\times E

이 집합에 부분 공간 위상을 부여하고, 첫 번째 좌표로의 사영 함수 \pi' \colon f^{*}E \to B'를 정의한다.

:\pi'(b',e) = b'.\,

또한, 두 번째 좌표로의 사영 함수 h \colon f^{*}E \to E를 생각할 수 있다. 이 함수들은 다음 가환도표를 만족시킨다.

:\begin{array} {ccc}

f^{\ast}E & \stackrel {h} {\longrightarrow} & E\\

{\pi}' \downarrow & & \downarrow \pi\\

B' & \stackrel f {\longrightarrow} & B

\end{array}

만약 (U, \phi)가 E의 국소 자명화라면, (f^{-1}U, \psi)는 f^{*}E의 국소 자명화가 되며, 여기서 \psi는 다음과 같이 정의된다.

:\psi(b',e) = (b', \mbox{proj}_2(\varphi(e))).\,

여기서 \mbox{proj}_2는 곱공간의 두 번째 성분을 취하는 사영 함수이다. 이를 통해 f^{*}E가 밑공간 B' 위에 올 F를 갖는 올다발임을 알 수 있다. 당김 올다발 f^{*}E는 'f에 의한 E의 당김' 또는 'f에 의해 유도된 올'이라고도 불린다. 사상 h \colon f^{*}E \to E는 밑공간 사이의 사상 f를 덮는 올다발 사상이다.

2. 1. 당김 단면

위상 공간 Y 위의 올다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow Y과 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 이때 E의 임의의 단면 s\colon Y\to E에 대하여, 당김 올다발 f^*E = \{(x,e)\in X\times E\colon f(x) = \pi(e)\}의 단면 f^*s를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:f^*s \colon X \to f^*E

:f^*s \colon x \mapsto (x, (s\circ f)(x))

이를 s의 당김 단면(pullback section영어)이라고 한다. 모든 x \in X에 대하여 다음과 같이 표기하기도 한다.

:f^*s(x) = (x, s(f(x)))

3. 성질

올다발의 당김 올다발은 원래 올다발과 같은 올을 갖는다. 특히, 벡터 다발의 당김은 마찬가지로 자연스럽게 벡터 다발을 이루며, 주다발의 당김은 마찬가지로 자연스럽게 주다발을 이룬다.

올다발의 당김 다발의 단면의 층은 원래 올다발의 단면 층의 inverse image|역상영어과 같다.

B 위의 E의 단면 s는 다음처럼 정의하여, '''당김 올다발 단면''' f^*s라고 하는 f^*E의 단면을 유도한다.

:f^*s(b') := (b', s(f(b'))\ ) 모든 b' \in B'에 대하여.

올다발 E \rarr B가 구조군 G를 가지며 변환 함수가 t_{ij} (국소 자명화족 \{ (U_i, \phi_i) \}에 대해)이면, 당김 올다발 f^*E 역시 구조군 G를 가진다. f^*E에서의 변환 함수는 다음과 같다.

:f^{*}t_{ij} = t_{ij} \circ f.

만약 E \rarr B가 벡터 다발 또는 주다발이면, 당김 f^*E 역시 마찬가지이다. 주 다발의 경우, G의 f^*E에 대한 오른쪽 작용은 다음과 같다.

:(x,e)\cdot g = (x,e\cdot g)

그러면 f를 덮는 사상 h가 동변이며, 따라서 주 다발의 사상을 정의한다.

범주론의 언어로, 당김 올다발 구성은 더 일반적인 범주론적 당김의 예이다. 따라서 해당 보편 성질을 만족한다.

3. 1. 매끄러운 다양체의 경우

당김 올다발의 구성은 위상 공간 범주의 하위 범주에서도 이루어질 수 있는데, 대표적인 예가 매끄러운 다양체의 범주이다. 매끄러운 다양체에서의 당김 올다발 구성은 미분 기하학과 위상수학 분야에서 중요하게 활용된다.

4. 층과의 관계

당김 올다발은 단면의 층으로 설명될 수 있다. 당김 올다발의 끌어올리기는 층의 역상에 해당하는데, 이는 반변적 함자이다. 반면, 층은 층의 직상이라고 불리는 밀어내기 연산을 통해 더 자연스럽게 공변적 대상으로 다루어진다.

당김 올다발과 층, 또는 역상과 직상 사이의 이러한 관계는 기하학의 여러 분야에서 중요한 통찰을 제공한다. 하지만 번들의 단면 층에 대한 직상 연산 결과는 일반적으로 다른 번들의 단면 층이 되지 않는다. 따라서 '번들의 밀어내기'라는 개념은 미분동형사상에 의한 밀어내기와 같은 일부 제한적인 경우에만 정의될 수 있다. 일반적으로 이 개념은 층의 범주 안에서 더 잘 이해되며, 그 결과물이 반드시 당김 올다발이 되는 것은 아니다.

참조

[1] 서적
[2] 서적
[3] 서적


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