단면 (올다발)
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1. 개요
단면은 올다발의 정의를 만족하는 함수이며, 함수의 그래프를 일반화한 개념이다. 올다발 E의 단면은 연속 함수 s: X → E이며, π ∘ s = idX를 만족한다. 매끄러운 올다발의 경우 매끄러운 함수인 매끄러운 단면을 정의할 수 있으며, 벡터장과 미분 형식도 단면의 예시이다. 섬유 다발은 일반적으로 전역 단면을 가지지 않기 때문에, 국소 단면과 전역 단면 개념을 사용하며, 전역 단면의 존재 여부는 호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 주요 연구 대상이다.
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| 단면 (올다발) | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 올다발의 사상에 대해, 주어진 사상에 대한 단면 사상. |
| 같이 보기 | |
| 관련 개념 | 단면 (올다발) 분할 가능 사상 |
2. 정의
올다발의 단면은 그 그래프의 일반화이며, 모든 올에 대해 점을 하나씩 선택하여 정의되는 사상이다.
벡터 다발의 경우, 단면은 각 점에 해당 점에 대응하는 벡터 공간의 원소를 선택하는 것이다. 예를 들어, 미분 가능 다양체 ''M'' 위의 벡터장은 ''M''의 접다발의 단면이며, 1차 미분 형식은 여접다발의 단면으로 볼 수 있다.
섬유 다발은 일반적으로 전체 공간에서 정의되는 절단(전역 절단)을 갖지 않을 수 있으므로, 국소적으로만 정의되는 절단인 '''국소 절단'''을 생각하는 것이 중요하다. 섬유 다발 (''E'', π, ''B'')의 국소 절단은, ''U''를 밑 공간 ''B''의 열린 집합이라고 할 때, 연속 사상 ''s'': ''U'' → ''E''이며, ''U''의 모든 원소 ''x''에 대해 π(''s''(''x'')) = ''x''를 만족하는 것을 말한다. ''E''의 국소 자명화가 주어진 경우, 국소 절단은 항상 존재하며, 이는 ''U''에서 섬유 ''F''로의 연속 사상과 일대일 대응한다. 이러한 국소 절단들은 밑 공간 ''B'' 상의 층을 이루며, 이를 섬유 다발 ''E''의 '''절단의 층'''이라고 부른다.
섬유 다발 ''E''의 열린 집합 ''U'' 위의 연속 (국소) 절단 전체의 공간은 ''C''(''U'',''E'')로 표기하기도 하며, ''E''의 전역 절단 전체의 공간은 Γ(''E'') 또는 Γ(''B'',''E'')로 표기한다.
2. 1. 기본 정의
올다발 의 '''단면'''은 다음 조건을 만족시키는 연속 함수 이다.:
즉, 모든 에 대하여 이다.
이는 함수의 그래프를 일반화한 것이다. 함수 ''g'': ''B'' → ''Y''의 그래프는, ''B''와 ''Y''의 직적 ''E'' = ''B'' × ''Y''에 값을 갖는 사상
:
으로 생각할 수 있다. 여기서 π: ''E'' → ''B''를 직적의 제1성분으로의 사영, 즉 π(''x'',''y'') = ''x''를 만족하는 것으로 정의하면, "그래프"는 π(''s''(''x'')) = ''x''를 만족하는 사상 ''s''를 의미한다.
''E''가 올다발이 아닌 경우, 즉 ''E''가 전체적으로 직적의 형태를 띄지 않을 때는, ''s''(''x'')를 (''x'',''g''(''x''))와 같은 형태로 나타낼 수 없다. 따라서 다른 관점에서 "''g''의 그래프"를 정의해야 한다. 위상 공간 ''B''를 정의역으로 하는 올다발 π: ''E'' → ''B''의 절단은 연속 사상 ''s'': ''B'' → ''E'' 중에서, ''B''의 각 점 ''x''에서 π(''s''(''x'')) = ''x''를 만족하는 것을 말한다. 다시 말해, "절단은 모든 올의 각 점에 대해 점을 하나씩 선택하여 정의되는 사상"이라고 할 수 있다. (조건 π(''s''(''x'')) = ''x''는 정의역 ''B''의 각 점 ''x''에 대응하는 점 ''s''(''x'')가 ''x'' 위의 올에서 선택된다는 것을 의미한다.)
예를 들어 ''E''가 벡터 다발일 때, ''E''의 절단은 ''B''의 각 점 ''x''에서 ''x''에 대응하는 벡터 공간 ''E''''x''의 원소를 선택하는 것이다. 특히, 미분 가능 다양체 ''M'' 위의 벡터장은 ''M''의 각 점에 그 점에서의 접벡터를 대응시키는 것이므로, 벡터장은 ''M''의 접다발의 절단이라고 할 수 있다. 마찬가지로 ''M'' 위의 1차 미분 형식은 여접다발의 절단이다.
2. 2. 매끄러운 단면
올다발 가 매끄러운 올다발일 경우(즉, 와 가 매끄러운 다양체이며 가 매끄러운 함수일 경우), 의 '''매끄러운 단면'''(smooth section영어)은 매끄러운 함수인 단면이다.3. 국소 단면과 전역 단면
섬유 다발은 일반적으로 "전역" 단면을 가지지 않는다. 예를 들어 뫼비우스 다발에서 영 단면을 제거하여 얻은, 섬유 \(F = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)를 갖는 \(S^1\) 위의 섬유 다발을 생각해 볼 수 있다. 이러한 경우 국소 단면을 정의하는 것이 유용하다.
단면은 호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 연구되며, 주요 목표 중 하나는 전역 단면의 존재 여부를 설명하는 것이다. 장애는 공간의 "꼬임" 때문에 국소 단면을 전역 단면으로 확장하는 가능성을 "방해"한다. 장애는 특정한 특성류로 표시되는데, 이는 코호몰로지류이다. 예를 들어, 주다발은 자명할 때에만 전역 단면을 갖는다. 반면에, 벡터 다발은 항상 영 단면을 갖지만, 이 다발이 오일러류가 0일 경우에만 어디에서도 사라지지 않는 단면을 허용한다.
절단은 함수의 그래프의 일반화로 볼 수 있다. 함수 \(g: B \rightarrow Y\)의 그래프는 \(B\)와 \(Y\)의 직적 \(E = B \times Y\)에 값을 갖는 사상 \(s: B \to E; \quad x \mapsto s(x) = (x, g(x)) \in E\)로 생각할 수 있다. 여기서 \(\pi: E \rightarrow B\)를 직적의 제1성분으로의 사영, 즉 \(\pi(x, y) = x\)로 정의하면, "그래프"는 \(\pi(s(x)) = x\)를 만족하는 사상 \(s\)로 볼 수 있다.
\(E\)가 올다발인 경우, 즉 \(E\)가 전체적으로 직적의 형태를 하고 있지 않을 때는 \((x, g(x))\)와 같은 원소의 짝으로 표시할 수 없다. 따라서 위상 공간 \(B\)를 밑 공간으로 하는 올다발 \(\pi: E \rightarrow B\)에 대해, 그 절단은 연속 사상 \(s: B \rightarrow E\)로, \(B\)의 각 점 \(x\)에서 \(\pi(s(x)) = x\)를 만족하는 것이다. 이는 "절단은 모든 올의 각 점에 대해 점을 하나씩 선택함으로써 정해지는 사상이다"라고 말할 수 있다.
예를 들어 \(E\)가 벡터 다발일 때, \(E\)의 절단은 \(B\)의 각 점 \(x\)에서 \(x\)를 그것에 부속하는 벡터 공간 \(E_x\)의 원소에 대응시키는 것이다. 특히, 미분 가능 다양체 \(M\) 위의 벡터장은 \(M\)의 각 점에 그 점에서의 접벡터를 선택하여 대응시키는 것이므로, 벡터장은 \(M\)의 접다발의 절단이라고 할 수 있다. 마찬가지로 \(M\) 위의 1차 미분 형식(1-form)영어은 여접다발의 절단이다.[1]
3. 1. 국소 단면
섬유 다발은 일반적으로 전역 단면을 가지지 않는다. 예를 들어 뫼비우스 다발에서 영 단면을 제거하면, 섬유가 인 위의 섬유 다발을 얻을 수 있는데, 이는 전역 단면을 가지지 않는다. 따라서 단면을 지역적으로만 정의하는 것이 유용하다. 섬유 다발의 '''국소 단면'''은 가 의 열린 집합이고 모든 의 에 대해 인 연속 함수 이다.가 가 에서 로의 위상 동형사상인 의 국소 자명화인 경우(는 섬유), 국소 단면은 항상 에서 로의 연속 함수와 전단사 대응으로 존재한다. (국소) 단면은 의 '''단면의 층'''이라고 하는 위의 층을 형성한다.
위의 섬유 다발 의 연속 단면 공간은 때때로 로 표시되는 반면, 의 전역 단면 공간은 종종 또는 로 표시된다.
local section영어 (국소 절단)은, 를 밑 공간 의 열린 집합이라고 할 때의 연속 사상 이고, 다발 사영 에 대해 의 모든 원소 에 대해 를 만족하는 것을 말한다. 가 의 국소 자명화 (즉, 를 섬유라고 할 때 가 에서 로의 동상 사상을 제공하는 것) 일 때, 상의 국소 절단은 항상 존재하며, 이는 에서 로의 연속 사상과 일대일 대응한다.[1]
3. 2. 전역 단면
섬유 다발은 일반적으로 전체 공간에서 정의되는 단면인 전역 단면을 갖지 않는다. 예를 들어 뫼비우스 다발에서 영 단면을 제거하면, 올이 \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)이고 밑 공간이 \(S^1\)인 섬유 다발을 얻을 수 있는데, 이 다발은 전역 단면을 갖지 않는다. 이러한 이유로 단면을 국소적으로만 정의하는 것이 유용할 때가 있다.섬유 다발 \(E\)의 전역 단면 공간은 \(\Gamma(E)\) 또는 \(\Gamma(B,E)\)로 표시한다. 여기서 \(B\)는 밑 공간을 나타낸다. 단면은 호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 중요한 연구 대상이며, 특히 전역 단면의 존재 여부는 장애 이론에서 다루어진다. 장애는 공간의 "꼬임" 때문에 국소 단면을 전역 단면으로 확장하는 것을 방해하는 요소로, 특성류라는 코호몰로지류로 나타낼 수 있다.
예를 들어, 주다발은 자명할 때에만 전역 단면을 갖는다. 반면, 벡터 다발은 항상 영 단면이라는 전역 단면을 갖지만, 어디에서도 0이 아닌 값을 가지는 전역 단면(즉, 어디에서도 사라지지 않는 단면)을 가지려면 오일러류가 0이어야 한다.
3. 3. 단면의 층
섬유 다발은 일반적으로 뫼비우스 다발과 같이 전역 단면을 가지지 않는다. 따라서 단면을 지역적으로만 정의하는 것이 유용하다. 섬유 다발의 '''국소 단면'''은 의 열린 집합 에 대해, 모든 의 에 대해 인 연속 함수 이다. 만약 가 가 에서 로의 위상 동형사상인 의 국소 자명화라면(는 섬유), 국소 단면은 항상 에서 로의 연속 함수와 일대일 대응한다. 이러한 국소 단면들은 의 '''단면의 층'''이라고 하는 위의 층을 형성한다.위의 섬유 다발 의 연속 단면 공간은 로, 의 전역 단면 공간은 또는 로 표시된다.
4. 전역 단면의 존재성과 장애 이론
호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 단면을 연구하는 주요 목표 중 하나는 '''전역 단면'''의 존재 여부를 설명하는 것이다. 공간이 너무 "꼬여" 있으면 전역 단면은 존재하지 않는데, 이는 장애로 설명된다. 장애는 공간의 "꼬임" 때문에 국소 단면을 전역 단면으로 확장하는 것을 "방해"하며, 특성류 (코호몰로지류)로 나타난다. 이러한 이론에는 층 계수 코호몰로지나 특성류 이론이 있다.
4. 1. 장애 이론
호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 단면을 연구하는 주요 목표 중 하나는 '''전역 단면'''의 존재 여부를 설명하는 것이다. 공간이 너무 "꼬여" 있으면 장애가 전역 단면의 존재를 부정한다. 더 정확하게는, 장애는 공간의 "꼬임" 때문에 국소 단면을 전역 단면으로 확장하는 것을 "방해"한다. 장애는 특정한 특성류로 나타나는데, 이는 코호몰로지류이다. 예를 들어, 주다발은 자명할 때에만 전역 단면을 갖는다. 반면, 벡터 다발은 항상 영 단면이라는 전역 단면을 갖지만, 이 다발이 오일러류가 0일 경우에만 어디에도 사라지지 않는 단면을 가질 수 있다.4. 2. 특성류
호모토피 이론과 대수적 위상수학에서 단면은 주요 연구 대상이며, 특히 '''전역 단면'''의 존재 여부가 중요한 문제이다. 장애는 공간이 "꼬여" 있어 전역 단면이 존재하지 않는 경우를 설명한다. 장애는 특정한 특성류로 나타낼 수 있으며, 이는 코호몰로지류이다. 예를 들어, 주다발은 자명할 때에만 전역 단면을 갖는다. 반면 벡터 다발은 항상 영 단면이라는 전역 단면을 갖지만, 오일러류가 0일 경우에만 어디에서도 사라지지 않는 전역 단면을 가질 수 있다.5. 예시
절단은 함수의 그래프를 일반화한 것이다. 함수 ''g'': ''B'' → ''Y''의 그래프는, ''B''와 ''Y''의 직적 ''E'' = ''B'' × ''Y''에 값을 갖는 사상
:
로 나타낼 수 있다. 여기서 π: ''E'' → ''B''를 직적의 제1성분으로의 사영, 즉 π(''x'',''y'') = ''x''를 만족하는 것으로 하면, "그래프"는 π(''s''(''x'')) = ''x''를 만족하는 사상 ''s''로 볼 수 있다.
''E''가 올다발이어서, ''E''가 전체적으로 직적의 형태를 하고 있지 않다고 생각해보자. 이 경우 (''x'',''g''(''x''))와 같은 원소의 짝으로 표시할 수 없으므로, 어떤 조건을 만족하는 사상으로서 "''g''의 그래프"를 나타낼 수 있다. 위상 공간 ''B''를 밑공간으로 하는 올다발 π: ''E'' → ''B''에 대해, 그 절단은 연속 사상 ''s'': ''B'' → ''E''로, ''B''의 각 점 ''x''에서 반드시 π(''s''(''x'')) = ''x''를 만족하는 것을 말한다. 이는 "절단은 모든 올의 각 점에 대해 점을 하나씩 선택함으로써 정해지는 사상이다"라고 할 수 있다(조건 π(''s''(''x'')) = ''x''는 단순히 밑공간 ''B''의 각 점 ''x''에 대응하는 점 ''s''(''x'')는 ''x'' 위의 올에서 취한다는 의미이다).
''E''가 벡터 다발일 때, ''E''의 절단은 ''B''의 각 점 ''x''에서 ''x''를 그것에 부속하는 벡터 공간 ''E''''x''의 원소에 대응시키는 것이다.
5. 1. 자명 다발
만약 올다발 가 자명 다발 라면, 단면은 로 가는 연속 함수 가 된다. 즉, 단면은 공역이 점에 따라 달라지는, 함수의 일반화이다.5. 2. 벡터장
다양체의 접다발의 단면은 '''벡터장'''이라고 한다.[1]미분 가능 다양체 ''M'' 위의 벡터장은 ''M''의 각 점에 그 점에서의 접벡터를 대응시키는 것이므로, 벡터장은 ''M''의 접다발의 절단이라고 할 수 있다.[1] 마찬가지로 ''M'' 위의 1차 미분 형식1-form영어은 여접다발의 절단이라고 바꿔 말할 수 있다.[1]
5. 3. 미분 형식
다양체의 접다발의 단면은 '''벡터장'''이라고 한다. 미분 가능 다양체 위의 벡터장은 의 각 점에 그 점에서의 접벡터를 선택하여 대응시키는 것이므로, 벡터장은 의 접다발의 절단이라고 말할 수 있다. 마찬가지로 위의 1차 미분 형식1-form영어은 여접다발의 절단이라고 바꿔 말할 수 있다.6. 일반화
지역 단면을 확장하는 데 대한 방해는 위상 공간과 범주, 아벨 군의 층을 사용하여 일반화할 수 있다. 이 과정은 "지역 단면" 개념을 확장하여, 각 점에 고정된 벡터 공간 대신 "계속 변경"되는 벡터 공간(또는 아벨 군)을 할당할 수 있게 한다. 이러한 일반화는 전역 단면 함자와 층 코호몰로지를 통해 더 확장될 수 있으며, 특성류 이론은 확장에 대한 방해 개념을 일반화한다.
6. 1. 층 이론을 이용한 일반화
위상 공간에서 개방 집합을 객체로, 사상을 포함 관계로 하는 범주를 구성하여 위상 공간을 일반화한다. 각 객체에 아벨 군을 할당하는 층을 사용하여 "지역 단면"의 개념을 일반화한다(지역 단면과 유사).여기에는 중요한 구별이 있는데, 직관적으로 지역 단면은 위상 공간의 열린 집합에 대한 "벡터장"과 같아서 각 점마다 ''고정된'' 벡터 공간의 원소가 할당된다. 그러나 층은 벡터 공간(또는 아벨 군)을 "계속 변경"할 수 있다.
이 과정은 각 층에 전역 단면을 할당하는 전역 단면 함자이다. 층 코호몰로지를 사용하면 아벨 군을 "연속적으로 변경"하면서 유사한 확장 문제를 고려할 수 있다. 특성류 이론은 확장에 대한 방해를 일반화한다.
7. 매끄러운 절단
미분기하학에서 절단은 매우 중요한 도구이다. 이 경우, 밑 공간 ''B''가 매끄러운 다양체 ''M''이고, 전 공간 ''E''가 ''M'' 위의 매끄러운 파이버 다발 (즉, ''E''는 매끄러운 다양체이고 묶음 사영 π: ''E'' → ''M''은 매끄러운 사상)이라고 가정한다. 이러한 설정 하에서, 열린 집합 ''U'' 위의 ''E''의 매끄러운 절단 전체가 이루는 공간 ''C''∞(''U'',''E'')를 생각할 수 있다. 또한, 보다 중간적인 정칙성 (매끄러움)을 갖는 절단 (예: ''C''''k''-급 절단 또는 횔더 조건이나 소볼레프 공간에서의 의미로 정칙성을 갖는 절단)을 생각하는 것도 기하 해석에서 유용하다.
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