주다발

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 대역적 자명화와 단면
- 3.2. 분류 공간
4. 예
5. 응용
참조

1. 개요

주다발은 위상 공간 X와 위상군 G가 주어졌을 때, 올이 G이고 밑이 X인 올다발의 일종이다. 주다발은 올다발과 군의 오른쪽 작용으로 구성되며, 각 올은 G의 작용에 의해 자유롭고 추이적으로 작용한다. 주다발 사상은 두 주다발 사이의 연속 함수와 군 준동형으로 정의되며, 구조군 축소는 주다발의 구조군을 부분군으로 줄이는 것을 의미한다. 주다발은 자명한 다발이거나, 틀 다발, 덮개 공간, 호프 다발과 같은 다양한 예시를 가지며, 위상수학, 미분기하학, 그리고 물리학의 게이지 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

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주다발

2. 정의

주다발은 다음 데이터로 정의된다.

위상 공간 $X$
위상군 $G$

이 데이터가 주어졌을 때, 올이

G

이고 밑이

X

인 '''주다발'''은 다음과 같은 추가 데이터로 구성된다.

올이 $G$ 인 올다발 $\pi\colon P\twoheadrightarrow X$
연속 오른쪽 작용 $P\times G\to P$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

모든 $g\in G$ , $p\in P$ 에 대하여, $\pi(p\cdot g)=\pi(p)$ . 즉, 각 $x\in X$ 에 대하여, $G$ 는 올 $P_x$ 위에 작용한다.
임의의 $p,p'\in G$ 에 대하여, 만약 $\pi(p)=\pi(p')$ 이라면, $p\cdot g=p'$ 인 $g\in G$ 가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, 오른쪽 작용 $P_x\times G\to P_x$ 는 정추이적 작용이다. 여기서 $P_x=\pi^{-1}(\{x\})$ 는 $x$ 위의 $P$ 의 올이다.

간단히 말해, 주

G

다발은 올다발

\pi:P \to X

와 위상군

G

에 의한 연속적인 오른쪽 작용

P \times G \to P

를 결합한 개념으로,

G

가

P

의 올을 보존하고 그 위에 자유롭고 추이적으로 작용하는 것이다.^[6] 추상적인 올은

G

자체이다.

만약

$G$ 가 리 군이며,
$P$ 와 $X$ 가 매끄러운 다양체이며,
$\pi\colon P\to X$ 가 매끄러운 함수이며,
$G$ 의 작용 $P\times G\to P$ 역시 매끄러운 함수라면

(X,G,P,\pi)

를 '''매끄러운 주다발'''이라고 한다.

2. 1. 주다발 사상

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

두 위상 공간 $X$ , $Y$
위상군 $G$ 와 $H$
$G$ -주다발 $\pi_P\colon P\twoheadrightarrow X$ , $\pi_Q\colon Q\twoheadrightarrow Y$

이 두 주다발 사이의 '''주다발 사상'''(principal bundle morphism^영어)

(f,\phi)

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[6]

연속 함수 $f\colon X\to Y$
연속 함수 $\Phi\colon P\to Q$
연속 군 준동형 $\phi\colon G\to H$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:

\Phi(p\cdot g)=\Phi(p)\cdot\phi(g)\qquad\forall (p,g)\in P\times G

:

f\circ\pi_P=\pi_Q\circ\Phi

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

:

\begin{matrix}P\times G&\xrightarrow{(\Phi,\phi)}&Q\times H\\{\scriptstyle\cdot}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\cdot}&&{\scriptstyle\color{White}\cdot}\downarrow\scriptstyle\cdot\\P&\xrightarrow\Phi&Q\\{\scriptstyle\pi_P}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\pi_P}}&&{\scriptstyle\color{White}{\pi_Q}}\downarrow{\scriptstyle\pi_Q}\\X&\xrightarrow[f]{}&Y\end{matrix}

주다발 사상

(f,\Phi,\phi)

에서, 만약

X=Y

이며,

f=\operatorname{id}_X

가 항등 함수이며,

\phi

가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면)

(\Phi,\phi)

를 '''구조군 축소'''(構造群縮小, reduction of structure group^영어)라고 한다.

2. 2. 구조군 축소

주어진 `G`의 부분군 `H`에 대해, 잉여류 공간 `G/H`와 위상동형인 올을 갖는 번들 `P/H`를 고려할 수 있다. 만약 새로운 번들이 전역 단면을 허용한다면, 해당 단면을 '''`G`에서 `H`로 구조군을 축소'''라고 한다. 이러한 명칭을 사용하는 이유는 이 단면의 값들의 (섬유별) 역상이 주 `H`-번들인 `P`의 부분 번들을 형성하기 때문이다. 만약 `H`가 항등원이라면, `P` 자체의 단면은 구조군을 항등원으로 축소하는 것이다. 일반적으로 구조군의 축소는 존재하지 않는다.

주 `G`-번들과 관련된 다양체의 구조 또는 그 위에 정의된 번들의 구조에 대한 많은 위상학적 질문들은 구조군의 축소(`G`에서 `H`로)의 허용성에 대한 질문으로 다시 표현될 수 있다. 예를 들어:

`2n`차원 실수 다양체가 개복소 구조를 갖는 것은, 다양체 상의 틀 번들(그 올은 `GL(2n,ℝ)`)이 `GL(n,ℂ) ⊆ GL(2n,ℝ)`로 축소될 수 있을 때이다.
`n`차원 실수 다양체가 `k`-평면장을 갖는 것은, 틀 번들이 구조군 `GL(k,ℝ) ⊆ GL(n,ℝ)`로 축소될 수 있을 때이다.
다양체가 가향 가능한 것은 틀 번들이 특수 직교군 `SO(n) ⊆ GL(n,ℝ)`으로 축소될 수 있을 때이다.
다양체가 스핀 구조를 갖는 것은, 틀 번들이 `SO(n)`에서 `Spin(n)`(스핀 군), 즉 `SO(n)`으로 이중 덮개로 사상되는 군으로 더 축소될 수 있을 때이다.

또한, `n`차원 다양체가 각 점에서 선형 독립인 `n`개의 벡터장을 갖는 것은, 그 틀 번들이 전역 단면을 허용할 때이다. 이 경우, 해당 다양체를 평행화 가능하다고 한다.

2. 3. 주연장

principal prolongation^영어이라고 불리는

(p,q)

차 주연장은

P

의

M

위의 올다발로, 다음과 같이 정의된다.^[7]^[8]

:

\mathrm W^{p,q}P=\mathrm F^pM\times_M\mathrm J^qP

여기서

$\mathrm F^pM$ 은 $M$ 위의 $p$ 차 틀다발이며, 그 올군은 $p$ 차 $n$ 차원 제트 군 $\operatorname{Jet}(p,n)$ 이다.
$\mathrm J^qP$ 는 $P$ 위의 $q$ 차 제트 다발이다.
$\times_M$ 은 $M$ 위의 두 올다발의 곱이다.

국소적으로

\mathrm W^{p,q}P

의 점은 다음과 같은 꼴이다.

:

(\mathrm j_0^pf,\mathrm j_x^hg)

여기서

$f\colon U\to V$ 는 단사 매끄러운 함수이며, $0\in U\subseteq\mathbb R^n$ 은 열린집합이며, $x\in V\subseteq M$ 역시 열린집합이다.
$\mathrm j_0^pf$ 는 $f$ 의, $0\in U$ 에서의 $p$ 차 제트이다.
$s\colon V\to P$ 는 $P\restriction V$ 의 단면이다.

이는

P

위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

:

\operatorname{Jet}(n,p)\rtimes\mathrm T^qG

이다. 여기서

:

\mathrm T^qG=\{\mathrm j_0^qg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

:

(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_0g)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_0g')=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\left(\mathrm g\circ f'\right)g'\right)\right)

이 군은

\mathrm W^{p,q}P

위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

:

(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_xs)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_xg)=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\sigma\cdot(g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)

3. 성질

주다발은 전역 단면을 허용하는 경우에만 자명하다는 특징을 갖는다.^[2]

위상군 $G$ 에 대한 분류 공간 $BG$ 는 $X$ 위의 $G$ -주다발들의 동형류를 분류하는 데 사용된다. 이는 연속 함수 $X \to BG$ 들의 호모토피류와 일대일 대응한다. $f \colon X \to BG$ 에 대응하는 $G$ 주다발은 $f^* EG$ 이다.^[5]

3. 1. 대역적 자명화와 단면

위상 공간

X

위의 주다발

P

에 대하여, 대역적 자명화(주다발의 동형

P\cong X\times G

)가 존재할 필요충분조건은 대역적 단면

s\in\Gamma(P)

가 존재하는 것이다.^[1] (이는

s\colon x\mapsto(x,1_G)

로 여길 수 있다.)^[1]

주다발은 전역 단면을 허용하는 경우에만 자명하다는 편리한 특징을 갖는다.^[2]

3. 2. 분류 공간

위상군

G

에 대한 분류 공간

BG

는

X

위의

G

-주다발들의 동형류를 분류하는 데 사용된다. 이는 연속 함수

X \to BG

들의 호모토피류와 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수

f \colon X \to BG

에 대응하는

G

주다발은

f^* EG

이다.^[5]

4. 예

위상 공간 $X$ 와 위상군 $G$ 에 대하여, $X\times G$ 에 군 작용과 사영 사상을 부여하여 주다발을 만들 수 있는데, 이를 '''자명 주다발'''이라 한다. 열린 공 $U \subset \mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbb{R}^n$ 위에서 유도된 좌표를 갖는 모든 주 $G$ -다발은 자명한 다발과 동형이다. 예를 들어, $G=U(2)$ (2x2 유니타리 행렬의 리 군)인 경우, 단면은 네 개의 실수 값을 갖는 함수를 통해 구성할 수 있다.

틀다발은 위상 공간 $X$ 위의 $k$ 차원 벡터 다발 $E$ 가 주어졌을 때 정의할 수 있는 표준적인 $\operatorname{GL}(k;\mathbb R)$ -주다발이다. 매끄러운 다양체 $M$ 의 틀 다발은 $FM$ 또는 $GL(M)$ 으로 표시되며, 점 $x \in M$ 위의 올은 $T_xM$ 접선 공간에 대한 모든 틀의 집합이다. 일반 선형 군 $GL(n,\mathbb{R})$ 은 이러한 틀에 자유롭고 추이적으로 작용하여 $M$ 위의 주 $GL(n,\mathbb{R})$ -다발을 얻는다. 리만 다양체의 정규 직교 틀 다발은 구조군이 직교 군 $O(n)$ 인 틀다발의 변형이다.

정규 덮개 공간 $p:C \to X$ 는 구조군 $G = \pi_1(X)/p_{*}(\pi_1(C))$ 를 갖는 주다발로 볼 수 있으며, 이 구조군은 모노드로미 작용을 통해 $p$ 의 올에 작용한다. 특히, $X$ 의 보편 덮개는 구조군 $\pi_1(X)$ 를 가진 $X$ 위의 주다발이다.

호프 다발은 구면을 밑공간으로 하는 주다발의 예시이다. 각 양의 정수 $n$ 에 대해 다음과 같은 일련의 주다발이 존재한다.

$\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n$
$\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n$
$\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n$

여기서

S(V)

는

V

의 단위 구를 나타낸다. 이러한 모든 예에서

n = 1

인 경우가 호프 다발에 해당한다.

4. 1. 자명 주다발

임의의 위상 공간

X

와 위상군

G

에 대하여,

X\times G

에 다음과 같은 군 작용과 사영 사상을 부여하면 주다발을 이룬다.

:

(x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)

:

(x,h)\mapsto x

이를 '''자명 주다발'''(trivial principal bundle^영어)이라고 한다.

열린 공

U \subset \mathbb{R}^n

또는

\mathbb{R}^n

위에서 유도된 좌표

x_1,\ldots,x_n

을 갖는 모든 주

G

-다발은 다음과 같은 자명한 다발과 동형이다.

$\pi:U\times G \to U$

이때 매끄러운 단면

s \in \Gamma(\pi)

은 매끄러운 함수

\hat{s}: U \to G

에 의해 다음과 같이 표현된다.

$s(u) = (u,\hat{s}(u)) \in U\times G$

예를 들어,

G=U(2)

, 즉

2\times 2

유니타리 행렬의 리 군인 경우, 단면은 네 개의 실수 값을 갖는 함수

$\phi(x),\psi(x),\Delta(x),\theta(x) : U \to \mathbb{R}$

를 고려하고 다음과 같은 파라미터화를 적용하여 구성할 수 있다.

\hat{s}(x) = e^{i\phi(x)}\begin{bmatrix}e^{i\psi(x)} & 0 \\0 & e^{-i\psi(x)}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos \theta(x)  & \sin \theta(x) \\

\sin \theta(x) & \cos \theta(x) \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{i\Delta(x)} & 0 \\0 & e^{-i\Delta(x)}\end{bmatrix}.

이와 같은 절차는 리 군

G

를 정의하는 행렬 모음에 대한 파라미터화를 취하고, 밑 공간

U\subset X

의 패치에서

\mathbb{R}

로의 함수 집합을 고려한 다음 파라미터화에 삽입함으로써 가능하다.

4. 2. 틀다발

위상 공간

X

위의

k

차원 벡터 다발

E

가 주어졌을 때, 어떤 표준적인

\operatorname{GL}(k;\mathbb R)

-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 '''틀다발'''이라고 한다.^[1]

매끄러운 다양체

M

의 틀 다발은 매끄러운 주다발의 전형적인 예시이며,^[1]

FM

또는

GL(M)

으로 표시된다.^[1] 여기서 점

x \in M

위의 올은

T_xM

접선 공간에 대한 모든 틀(즉, 순서가 지정된 기저)의 집합이다.^[1] 일반 선형 군

GL(n,\mathbb{R})

은 이러한 틀에 자유롭고 추이적으로 작용한다.^[1] 이러한 올은 자연스러운 방식으로 함께 붙여서

M

위의 주

GL(n,\mathbb{R})

-다발을 얻을 수 있다.^[1]

리만 다양체의 정규 직교 틀 다발은 틀이 계량에 대해 정규 직교해야 하는 틀다발의 변형 예시이다.^[1] 이 경우 구조군은 직교 군

O(n)

이다.^[1]

E

가

M

위의 랭크

k

인 임의의 벡터 다발인 경우,

E

의 틀 다발은 주

GL(k,\mathbb{R})

-다발이며, 때로는

F(E)

로 표시된다.^[1]

4. 3. 덮개 공간

정규 덮개 공간

p:C \to X

는 구조군

G = \pi_1(X)/p_{*}(\pi_1(C))

를 갖는 주다발로 볼 수 있으며, 이 구조군은 모노드로미 작용을 통해

p

의 올에 작용한다.^[1] 특히,

X

의 보편 덮개는 구조군

\pi_1(X)

를 가진

X

위의 주다발이다. (보편 덮개는 단일 연결되어 있으므로

\pi_1(C)

는 자명하다.)^[1]

4. 4. 호프 다발

호프 다발(Hopf fibration)은 구면을 밑공간으로 하는 주다발의 예시이다. 각 양의 정수

n

에 대해 다음과 같은 일련의 주다발이 존재한다.

$\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n$
$\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n$
$\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n$

여기서

S(V)

는

V

의 단위 구를 나타낸다 (유클리드 메트릭을 갖춤). 이러한 모든 예에서

n = 1

인 경우가 호프 다발에 해당한다.

$O(1)$ 의 $S^n$ 위의 자연스러운 작용에 의해, $S^n$ 은 $\mathbb{RP}^n$ 위의 주 $O(1)$ -다발이 된다.
$S^{2n+1}$ 은 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$ 위의 주 $U(1)$ -다발이다.
$S^{4n+3}$ 은 사원수 사영 공간 $\mathbb{HP}^n$ 위의 주 $Sp(1)$ -다발이다.

5. 응용

주다발은 위상수학 및 미분기하학에서 다양체의 구조를 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다. 물리학에서, 특히 게이지 이론에서 주다발은 기본적인 개념이다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타낼 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 The Topology of Fibre Bundles https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[2] 서적 Fibre Bundles Springer
_[3] 서적 Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program Springer
_[4] 서적 Spin Geometry Princeton University Press
_[5] 간행물 Algebraic topology (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) American Mathematical Society
_[6] 저널 Reductive ''G''-structures and Lie derivatives 2003-07
_[7] 서적 Natural operations in differential geometry http://www.emis.de/m[...] Springer-Verlag 1993
_[8] 저널 Reductive ''G''-structures and Lie derivatives 2003

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