밂 (범주론)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 구성
6. 응용
- 6.1. 자이페르트-판 캄펜 정리
참조

1. 개요

밂은 범주론에서 정의되는 개념으로, 주어진 사상들을 가환 그림의 형태로 결합하는 대상과 사상을 의미한다. 밂은 쌍대극한의 일종으로, 보편 성질을 만족해야 하며, 당김의 반대 개념으로 이해할 수 있다. 밂은 존재한다면 동형 사상까지 유일하며, 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서 밂이 존재한다. 집합, 대수적 범주, 위상 공간, 환 등 다양한 범주에서 밂의 구체적인 예를 찾아볼 수 있으며, 자이페르트-판 캄펜 정리와 같은 대수적 위상수학의 중요한 정리에서 기본군 계산에 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

극한 (범주론) - 쌍대곱
쌍대곱은 범주론에서 대상들의 모임에 대한 합의 개념으로, 대상들과 사상들로 구성되며 임의의 다른 대상으로 향하는 사상들을 유일하게 결정하는 보편적인 성질을 만족시키고, 집합의 범주에서는 분리합집합, 군의 범주에서는 자유곱, 아벨 군의 범주에서는 직합으로 나타나는 공리미트의 특수한 경우이다.
극한 (범주론) - 곱 (범주론)
곱 (범주론)은 범주 내 대상들의 집합에 대해 정의되며, 특정 조건을 만족하는 대상과 사영 사상의 집합으로 구성되고, 보편 성질을 만족하며, 등식 또는 극한으로 정의될 수 있고, 결합적이며 데카르트 범주에서 자연 동형이 성립하며, 집합, 위상 공간, 군 등의 범주에서 곱집합, 곱공간, 직접곱 등으로 나타나지만, 항상 존재하는 것은 아니다.

밂 (범주론)
범주론에서의 밂
밂의 가환 그림
쌍대 개념	당김
관련 개념	밂 사각형
정의
개요	범주론에서 밂(pushout)은 두 개의 사상(morphism)이 공통의 정의역을 가질 때, 이 두 사상을 "가장 일반적인 방법"으로 결합하는 것이다. 밂은 쌍대곱의 일반화로 생각할 수 있다. 쌍대곱은 두 대상을 결합하는 반면, 밂은 두 사상을 결합한다.
형식적 정의	C를 범주라고 하자. C에서 밂을 구하려면 대상 X, Y, Z와 사상 f : Z → X 및 g : Z → Y가 필요하다. X와 Y의 밂은 대상 P와 두 사상 i : X → P 및 j : Y → P로 구성되며, 다음 다이어그램이 가환하는 성질을 가진다. i ∘ f = j ∘ g 또한, P는 보편적인 성질을 만족해야 한다. 즉, 다른 대상 Q와 사상 i′ : X → Q 및 j′ : Y → Q가 i′ ∘ f = j′ ∘ g를 만족하는 경우, 유일한 사상 h : P → Q가 존재하여 i′ = h ∘ i 및 j′ = h ∘ j가 성립한다. 다음 다이어그램으로 표현할 수 있다. 이 가환 다이어그램은 P가 밂이고, i와 j가 밂 사상임을 나타낸다. 대상 P는 밂이라고 불리며, 항상 존재하는 것은 아니지만, 존재하는 경우 보편적인 성질에 의해 유일하게 결정된다(동형사상까지).
예시
집합론	집합론에서 밂은 다음과 같이 구성된다. f : Z → X 및 g : Z → Y가 주어지면, 밂은 합집합 (X ⊔ Y)에서 관계 f(z) ~ g(z)로 생성된 동치 관계에 대한 몫이다. 명시적으로, 밂은 집합 (X ⊔ Y) / ~, 여기서 동치 관계 ~는 다음 규칙을 사용하여 정의된다.
군론	군론에서 밂은 자유곱을 사용하여 구성할 수 있다. G, H, J가 군이고, f : J → G 및 g : J → H가 군 준동형사상인 경우, 밂은 자유곱 G ∗ H를 다음 형식의 모든 원소에 의해 생성된 부분군의 몫으로 정의한다.
위상 공간	위상 공간에서 밂은 붙임 공간으로 주어진다. f : Z → X 및 g : Z → Y가 주어지면, 밂은 Y에 X를 f를 따라 붙여서 얻는다. 명시적으로, 밂은 몫 공간 (X ⊔ Y) / ~, 여기서 ~는 z ∈ Z에 대해 f(z) ~ g(z)인 관계이다.
일반화
임의의 쌍대 극한	밂은 범주론에서 가장 기본적인 쌍대 극한의 한 예이다. 더 일반적으로, 임의의 범주 C에서 임의의 다이어그램이 주어지면, 그 다이어그램의 쌍대 극한을 (존재한다면) 찾을 수 있다. 밂은 세 개의 대상과 두 개의 사상으로 구성된 다이어그램의 쌍대 극한이다.
참고 문헌
추가 자료	"Pushout". Encyclopedia of Mathematics. Springer. 2001 [1994]. Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 밂 - PlanetMath.org

2. 정의

어떤 범주에서 대상 $X,Y,Z$ 및 사상 $f\colon Z\to X$ 와 $g\colon Z\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 이들의 '''밂'''은 대상 $P$ 와 두 사상 $p_1\colon X\to P$ , $p_2\colon Y\to P$ 로 이루어진 순서쌍 $(P, p_1, p_2)$ 이며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.

1. 다음 그림이 가환한다. 즉, $p_1 \circ f = p_2 \circ g$ 이다.

-

\begin{matrix}    Z&\xrightarrow f&X\\    {\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle p_1\\    Y&\xrightarrow[p_2]{}&P    \end{matrix}

2. 위 그림은 보편 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 다른 대상

Q

및 사상

q_1\colon X\to Q

,

q_2\colon Y\to Q

에 대하여, 만약

q_1\circ f = q_2\circ g

를 만족시킨다면, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상

u\colon P\to Q

가 존재한다 (

q_1 = u \circ p_1

이고

q_2 = u \circ p_2

).

-

\begin{matrix}    Z&\xrightarrow f&X\\    {\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle p_1&\searrow\scriptstyle q_1\\    Y&\xrightarrow[p_2]{}&P&\xrightarrow{\exists!u}& Q\\    &\searrow\scriptstyle q_2    \end{matrix}

모든 보편적 구성과 마찬가지로, 밂은 존재한다면 동형을 무시하면 유일하다.

만약

X=Y

이며

f=g

일 경우,

X\xleftarrow fZ\xrightarrow fX

의 밂은 '''쌍대핵쌍'''(雙對核雙, cokernel pair^영어)이라고 한다.

3. 성질

모든 보편적 구성과 마찬가지로, 밂은 존재한다면, 유일한 동형 사상까지 유일하다.

(유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 밂이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱

: $X\xrightarrow{\iota_X}X\sqcup Y\xleftarrow{\iota_Y}Y$

이 주어졌을 때,

: $X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY$

의 밂은

: $Z\xrightarrow[\iota_Y\circ g]{\iota_X\circ f}X\sqcup Y$

의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다.

밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주 $\mathcal C$ 에서의 밂은 그 반대 범주 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서의 당김이며, 반대로 $\mathcal C$ 에서의 당김은 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서의 밂이다.

구체적으로, 사상 ''f''와 ''g''의 밂은 대상 ''P''와 두 사상 ''i''₁ : ''X'' → ''P'' 및 ''i''₂ : ''Y'' → ''P''로 구성되며, 다음 그림이

가환하고, (''P'', ''i''₁, ''i''₂)가 이 다이어그램에 대해 보편적이다. 즉, 다음 다이어그램이 가환하는 다른 모든 삼중항 (''Q'', ''j''₁, ''j''₂)에 대해, 다이어그램을 가환하게 하는 유일한 ''u'' : ''P'' → ''Q''가 존재해야 한다.

다음은 밂의 주요 성질들이다.

밂 ''A'' ⊔_''C'' ''B''가 존재하면, ''B'' ⊔_''C'' ''A'' 또한 존재하며 자연스러운 동형 사상 ''A'' ⊔_''C'' ''B'' ≅ ''B'' ⊔_''C'' ''A''가 성립한다.
아벨 범주에서는 모든 밂이 존재하며, 다음과 같은 의미로 코커널을 보존한다: 만약 (''P'', ''i''₁, ''i''₂)가 ''f'' : ''Z'' → ''X''와 ''g'' : ''Z'' → ''Y''의 밂이라면, 자연 사상 coker(''f'') → coker(''i''₂)는 동형 사상이며, coker(''g'') → coker(''i''₁)도 마찬가지이다.
자연 동형 사상 (''A'' ⊔_''C'' ''B'') ⊔_''B'' ''D'' ≅ ''A'' ⊔_''C'' ''D''가 존재한다. 구체적으로 다음과 같다:
* 사상 ''f'' : ''C'' → ''A'', ''g'' : ''C'' → ''B'' 및 ''h'' : ''B'' → ''D''가 주어지고,
* ''f''와 ''g''의 밂이 ''i'' : ''A'' → ''P'' 및 ''j'' : ''B'' → ''P''로 주어지고,
* ''j''와 ''h''의 밂이 ''k'' : ''P'' → ''Q'' 및 ''l'' : ''D'' → ''Q''로 주어지면,
* ''f''와 ''hg''의 밂은 ''ki'' : ''A'' → ''Q'' 및 ''l'' : ''D'' → ''Q''로 주어진다.

:그래프적으로 이것은 두 개의 밂 사각형이 나란히 놓여 있고 하나의 사상을 공유하면 내부의 공유 사상을 무시할 때 더 큰 밂 사각형을 형성한다는 것을 의미한다.

만약

X=Y

이며

f=g

일 경우,

X\xleftarrow fZ\xrightarrow fX

의 밂은 '''쌍대핵쌍'''(雙對核雙, cokernel pair^영어)이라고 한다.

4. 예

다음은 익숙한 범주에서의 밂의 몇 가지 예시이다. 각 경우에 밂은 동형 사상에 따라 유일하게 결정되므로, 동형인 대상의 구조만을 설명한다는 점에 유의해야 한다. 밂을 구성하는 다른 방법이 있을 수 있지만, 이들은 모두 동등하다.

주요 범주에서의 밂의 예시는 다음과 같다. 자세한 내용은 하위 섹션을 참조하라.

집합의 범주
대수적 범주 (군, 아벨 군, 환, 가군 등)
위상 공간의 범주

이 외에도 다음과 같은 예시가 있다.

양의 정수 $\mathbf{Z}_+$ 의 곱셈 모노이드에서 (하나의 객체를 갖는 범주로 간주할 때), 두 양의 정수 ''m''과 ''n''의 밂은 쌍 $\left(\frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{m}, \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{n}\right)$ 이다. 여기서 $\operatorname{lcm}(m,n)$ 은 ''m''과 ''n''의 최소 공배수이다. 같은 쌍은 또한 풀백이기도 하다.

4. 1. 집합

집합과 함수의 범주에서,

:

X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY

의 밂은 다음과 같은 몫집합이다.

:

X\sqcup_ZY=(X\sqcup Y)/{\sim}

:

x\sim y\iff\exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))

구체적으로, ''X'', ''Y'', ''Z''가 집합이고, ''f'' : ''Z'' → ''X'' 및 ''g'' : ''Z'' → ''Y''가 집합 함수라고 가정하자. ''f''와 ''g''의 밂은 공통 원상 (''Z'' 내)을 공유하는 요소가 식별된 ''X''와 ''Y''의 분리합집합과 ''X''와 ''Y''로부터의 사상 ''i''₁, ''i''₂, 즉

P = (X \sqcup Y)/\!\sim

이다. 여기서 ''~''는 모든 ''z'' ∈ ''Z''에 대해 ''f''(''z'') ~ ''g''(''z'')인 가장 미세한 동치 관계이다.

특히, ''X''와 ''Y''가 더 큰 집합 ''W''의 부분 집합이고, ''Z''가 그들의 교집합이며, ''f''와 ''g''가 ''Z''를 ''X''와 ''Y''에 포함시키는 사상이라면, 밂은 합집합

X \cup Y \subseteq W

로 식별될 수 있다.

이것의 구체적인 예는 함수의 코그래프이다. 만약

f \colon X \to Y

가 함수라면, 함수의 '''코그래프'''는

X

의 항등 함수를 따라

f

의 밂이다. 즉, 코그래프는

X \sqcup Y

의 몫이며,

x \in X \subseteq X \sqcup Y

를

f(x) \in Y \subseteq X \sqcup Y

로 식별하여 생성되는 동치 관계를 따른다. 각 동치 클래스는

X \sqcup Y

에서 정확히 하나의

Y

요소를 포함하므로 코그래프에 의해 함수가 복구될 수 있다. 코그래프는 함수의 그래프와 이중적인데, 그래프는

Y

의 항등 함수를 따라

f

의 풀백으로 정의될 수 있기 때문이다.^[1]^[2]

4. 2. 대수적 범주

대수 구조 다양체로 정의되는 범주는 완비 범주이면서 동시에 쌍대완비 범주이므로, 이러한 범주에서는 밂이 항상 존재한다. 구체적으로, 두 대수 구조 사이의 사상

X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY

가 주어졌을 때, 이들의 밂은

X

와

Y

의 쌍대곱에서, 모든

z \in Z

에 대해

f(z)

와

g(z)

를 동일시하는 최소의 합동 관계에 대한 몫대수로 구성된다.

예를 들어, 군의 범주에서 밂은 '''융합된 자유곱'''이라고 불린다.

다음은 여러 범주에서 밂이 나타나는 예시이다. 각 경우 밂과 동형인 대상의 구조를 설명하며, 구성 방법은 다를 수 있으나 결과적으로는 모두 동등하다.

집합의 범주: 세 집합 ''X'', ''Y'', ''Z''와 함수 ''f'' : ''Z'' → ''X'', ''g'' : ''Z'' → ''Y''가 주어졌다고 하자. 이들의 밂은 ''X''와 ''Y''의 분리합집합 $X \sqcup Y$ 에서, 모든 ''z'' ∈ ''Z''에 대해 ''f''(''z'') ~ ''g''(''z'')인 가장 작은 동치 관계 ''~''를 적용한 몫집합 $P = (X \sqcup Y)/\!\sim$ 이다. 만약 ''X''와 ''Y''가 어떤 더 큰 집합 ''W''의 부분 집합이고 ''Z''가 그들의 교집합이며, ''f''와 ''g''가 단순히 ''Z''를 ''X''와 ''Y''에 포함시키는 함수라면, 밂은 이들의 합집합 $X \cup Y \subseteq W$ 과 동일시될 수 있다.
* 함수의 코그래프: 함수 $f \colon X \to Y$ 가 있을 때, 이 함수의 '''코그래프'''는 $X$ 에서 $X$ 로 가는 항등 함수와 $f$ 사이의 밂이다. 즉, 코그래프는 $X \sqcup Y$ 라는 집합에서 모든 $x \in X$ 에 대해 $x \in X \subseteq X \sqcup Y$ 와 $f(x) \in Y \subseteq X \sqcup Y$ 를 동일시하는 동치 관계를 적용하여 얻는 몫집합이다. 코그래프는 함수의 그래프 개념과 쌍대적인데, 그래프는 $Y$ 의 항등 함수와 $f$ 의 당김으로 정의되기 때문이다.^[1]^[2]
위상 공간의 범주: 위상 공간을 붙이는 접착 공간의 구성이 밂의 한 예이다. ''Z''가 ''Y''의 부분 공간이고 ''g'' : ''Z'' → ''Y''가 포함 사상일 때, 다른 공간 ''X''와 "부착 사상" ''f'' : ''Z'' → ''X''를 이용해 ''Y''를 ''X''에 ''Z''를 따라 붙일 수 있다. 이렇게 만들어진 접착 공간 $X \cup_{f} Y$ 는 ''f''와 ''g''의 밂이다. 더 일반적으로, 식별 공간은 모두 이런 방식으로 밂으로 이해될 수 있다.
* 쐐기 합: 위 경우의 특별한 예로, ''X''와 ''Y''가 유향 공간이고 ''Z''가 한 점 공간일 때, 밂은 ''X''의 기준점과 ''Y''의 기준점을 붙여 만든 공간인 쐐기 합 $X \vee Y$ 이다.
아벨 군의 범주: 아벨 군에서의 밂은 직합에 특정 관계를 부여하는 것으로 생각할 수 있다. 영군은 모든 군의 부분군이므로, 임의의 아벨 군 ''A'', ''B''에 대해 준동형 사상 $f : 0 \to A$ 와 $g : 0 \to B$ 가 존재한다. 이들의 밂은 ''A''와 ''B''의 직합이다. 공통 정의역 ''Z''에서 출발하는 임의의 준동형 사상 ''f'' : ''Z'' → ''A''와 ''g'' : ''Z'' → ''B''의 경우, 밂은 직합 $A \oplus B$ 를 특정 몫군으로 나눈 것이다. 즉, 모든 ''z'' ∈ ''Z''에 대해 (''f''(''z''), −''g''(''z'')) 형태의 원소들로 생성된 부분군으로 나눈 몫군이다. 이는 ''Z''의 상(image)을 따라 ''A''와 ''B''를 "붙인" 것으로 해석할 수 있다. 비슷한 방식으로 임의의 환 ''R''에 대한 ''R''-가군의 범주에서도 밂을 구성할 수 있다.
군의 범주: 여기서 밂은 위에서 언급했듯이 융합된 자유곱이라고 불린다. 이는 대수적 위상수학의 자이페르트-판 캄펀 정리에서도 나타난다.
가환환의 범주 ('''CRing'''): 여기서는 밂이 환의 텐서곱 $A \otimes_{C} B$ 으로 주어진다. 사상 $g': A \rightarrow A \otimes_{C} B$ 와 $f': B \rightarrow A \otimes_{C} B$ 는 $f' \circ g = g' \circ f$ 를 만족한다. 밂은 스팬(span)의 공극한이고 당김은 코스팬(cospan)의 극한이므로, 환의 텐서곱과 환의 섬유곱은 서로 쌍대적인 개념으로 볼 수 있다. 구체적으로, ''A'', ''B'', ''C''가 항등원을 갖는 가환환이고 ''f'' : ''C'' → ''A'', ''g'' : ''C'' → ''B''가 환 준동형 사상일 때, 텐서곱은 다음과 같이 정의된다.

::

A \otimes_{C} B = \left\{\sum_{i \in I} (a_i,b_i) \; \big| \; a_i \in A, b_i \in B \right\} \Bigg/ \bigg\langle (f(c)a,b) - (a,g(c)b) \; \big| \; a \in A, b \in B, c \in C \bigg\rangle

비가환환의 경우: 결합 대수의 자유곱을 참조하라.
양의 정수 $\mathbf{Z}_+$ 의 곱셈 모노이드: 이를 하나의 객체만 갖는 범주로 볼 때, 두 양의 정수 ''m''과 ''n''의 밂은 순서쌍 $\left(\frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{m}, \frac{\operatorname{lcm}(m,n)}{n}\right)$ 이다. 여기서 $\operatorname{lcm}(m,n)$ 은 ''m''과 ''n''의 최소 공배수이다. 이 순서쌍은 동시에 당김이기도 하다.

4. 3. 위상 공간

위상 공간의 범주에서, 사상

X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY

의 밂은 분리합집합

X\sqcup Y

의 다음과 같은 몫공간으로 정의된다.

:

X\sqcup_ZY=(X\sqcup Y)/{\sim}

여기서 동치 관계

\sim

는 모든

z\in Z

에 대해

f(z)

와

g(z)

를 동일시하여 정의된다. 즉,

:

x\sim y\iff\exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))

만약

Z

가 한원소 공간인 특별한 경우, 이 밂은 '''쐐기합'''이라고 불린다. 이는 두 공간

X

와

Y

의 기준점을 하나로 붙여 만든 공간

X \vee Y

에 해당한다.

접착 공간의 구성은 위상 공간의 범주에서 밂의 중요한 예시이다. 만약

Z

가

Y

의 부분 공간이고

g : Z \to Y

가 포함 사상일 때, "부착 사상"이라 불리는 임의의 연속 함수

f : Z \to X

를 사용하여

Y

를 다른 공간

X

에

Z

를 따라 "붙일" 수 있다. 이렇게 만들어진 접착 공간

X \cup_{f} Y

는 정확히

f

와

g

의 밂이다. 더 일반적으로, 모든 동일화 공간은 이러한 방식으로 밂으로 간주될 수 있다.

4. 4. 환

'''CRing''' (환의 범주의 전체 부분 범주)에서 밂은 환의 텐서곱

A \otimes_{C} B

으로 주어진다. 이때 사상

g': A \rightarrow A \otimes_{C} B

와

f': B \rightarrow A \otimes_{C} B

는

f' \circ g = g' \circ f

를 만족한다.

사실, 밂은 스팬의 공극한이고 풀백은 코스팬의 극한이므로, 환의 텐서곱과 환의 섬유곱은 서로 이중적인 개념으로 생각할 수 있다.

구체적으로, ''A'', ''B'', ''C''를 '''CRing'''의 객체(즉, 항등원을 갖는 가환환)라 하고, ''f'' : ''C'' → ''A'' 와 ''g'' : ''C'' → ''B'' 를 '''CRing'''의 사상(환 준동형 사상)이라고 하자. 그러면 텐서곱은 다음과 같이 정의된다.

:

A \otimes_{C} B = \left\{\sum_{i \in I} (a_i,b_i) \; \big| \; a_i \in A, b_i \in B \right\} \Bigg/ \bigg\langle (f(c)a,b) - (a,g(c)b) \; \big| \; a \in A, b \in B, c \in C \bigg\rangle

비가환환의 경우에 대해서는 결합 대수의 자유 곱 문서를 참조하라.

5. 구성

코곱과 코균등화자가 존재하는 범주 $\mathcal C$ 에서 사상 $f: Z \to X$ 와 $g: Z \to Y$ 의 밂(pushout)은 다음과 같이 구성될 수 있다. 먼저 대상 $X$ 와 $Y$ 의 코곱 $X \sqcup Y$ 와 이에 따른 포함 사상 $\iota_X: X \to X \sqcup Y$ , $\iota_Y: Y \to X \sqcup Y$ 를 생각한다. 그러면 $Z$ 로부터 코곱 $X \sqcup Y$ 으로 가는 두 사상 $\iota_X \circ f: Z \to X \sqcup Y$ 와 $\iota_Y \circ g: Z \to X \sqcup Y$ 를 얻을 수 있다. 이 두 사상의 코균등화자가 바로 $f$ 와 $g$ 의 밂이다.

원본 소스에서는 이를 (유한) 코곱(쌍대곱)과 코균등화자(쌍대동등자)가 존재하는 범주에서 밂이 존재한다고 설명하기도 한다. 구체적으로, 사상 $X \xleftarrow f Z \xrightarrow g Y$ 의 밂은 $Z$ 에서 코곱 $X \sqcup Y$ 으로 가는 두 사상 $\iota_X \circ f$ 와 $\iota_Y \circ g$ 의 코균등화자로 구성된다는 동일한 내용이다.

반대로, 밂과 초기 대상이 존재하는 범주에서는 코곱과 코균등화자가 항상 존재한다. 코곱 $X \sqcup Y$ 는 초기 대상 $0$ 에서 출발하는 유일한 사상들 $0 \to X$ , $0 \to Y$ 의 밂으로 구성할 수 있다. 또한, 평행하는 두 사상 $f, g: X \to Y$ 의 코균등화자는 코곱 $X \sqcup X$ 에서 $Y$ 로 가는 두 사상 $[f, g]: X \sqcup X \to Y$ 와 $[1_X, 1_X]: X \sqcup X \to Y$ 의 밂으로 구성될 수 있다. 즉, 밂(과 초기 대상)의 존재는 코곱과 코균등화자의 존재를 함의하며, 그 반대도 성립한다. 이는 밂, 코곱, 코균등화자가 범주론적으로 서로 밀접하게 연관되어 있음을 보여준다.

6. 응용

대수적 위상수학과 같은 다양한 수학 분야에서 밂 개념이 응용된다. 대표적인 예로 자이페르트-판 캄펜 정리를 들 수 있는데, 이는 위상 공간의 기본군을 계산하는 데 군의 범주에서의 밂, 즉 융합된 자유곱 개념을 활용한다.

6. 1. 자이페르트-판 캄펜 정리

자이페르트-판 캄펜 정리는 다음 질문에 답한다. 경로 연결된 공간 ''X''가 경로 연결된 열린 부분 공간 ''A''와 ''B''로 덮여 있고, 그 교집합 ''D'' 또한 경로 연결되어 있다고 가정해 보자. (또한 밑점 *이 ''A''와 ''B''의 교집합에 있다고 가정하자.) ''A'', ''B'', 그리고 그들의 교집합 ''D''의 기본군을 알고 있다면, ''X''의 기본군을 복구할 수 있을까? 대답은 '예'이다. 유도된 준동형 사상

\pi_1(D,*) \to \pi_1(A,*)

그리고

\pi_1(D,*) \to \pi_1(B,*)

또한 알고 있다면 말이다.

이 정리는 ''X''의 기본군이 이 두 유도 사상의 밂이라고 말한다. 물론, ''X''는 ''D''를 ''A''와 ''B''에 포함시키는 두 포함 사상의 밂이다. 따라서 우리는 이 정리가 기본군 함자가 포함의 밂을 보존한다는 것을 확인하는 것으로 해석할 수 있다. ''D''가 단순 연결되어 있으면 이가 가장 간단할 것으로 예상할 수 있는데, 이는 위의 두 준동형 사상 모두 자명한 정의역을 가지기 때문이다. 실제로 이는 경우인데, 군들의 밂이 자유곱으로 축소되기 때문이다. 이는 군의 범주에서 쌍대곱이다. 가장 일반적인 경우, 우리는 결합된 자유곱에 대해 이야기할 것이다.

참고 문헌에 나열된 J. P. May의 책에 이 내용이 약간 더 일반적인 설정(덮개 군로이드)에서 자세히 설명되어 있다.

참조

_[1] 서적 Category Theory in Context
_[2] 웹사이트 Does the concept of "cograph of a function" have natural generalisations / Extensions? https://math.stackex[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com