대수곡면

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1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 고다이라 차원에 따른 분류
4. 성질
5. 쌍유리 기하학
- 5.1. 카스텔누오보 정리
6. 예시
- 6.1. 공간 곡면
7. 역사
참조

1. 개요

대수곡면은 대수적으로 닫힌 체 K 위의 2차원 대수다양체이다. 대수곡면은 엔리퀘스-고다이라 분류를 통해 10가지 유형으로 분류되며, 8종류가 대수곡면을 이룬다. 대수곡면의 연구는 19세기 말 시작되어, 20세기 초 페데리고 엔리퀘스에 의해 분류되었고, 1950년대 고다이라 구니히코에 의해 엄밀하게 증명되었다.

2. 정의

K^영어가 대수적으로 닫힌 체일 때, K^영어 위의 '''대수곡면'''은 2차원 K^영어-대수다양체이다.^[1]

3. 분류

대수곡면의 쌍유리 동치류 분류는 매우 어려운 문제이다. 이에 대한 부분적인 분류인 엔리퀘스-고다이라 분류는 모든 대수곡면을 10종으로 분류한다. 이 가운데 9종은 특수한 곡면들이고, 대부분의 곡면들은 "일반형 곡면"으로 뭉뚱그려 분류한다. 9종의 특수한 곡면들은 호지 수 및 모듈라이 공간이 알려져 있지만, 일반형 곡면들은 잘 알려져 있지 않다.^[1]

1차원에서 다양체는 오직 위상 종수에 의해서만 분류되지만, 2차원에서는 산술 종수 $p_a$ 와 기하 종수 $p_g$ 를 구별해야 한다. 위상 종수만으로는 쌍유리적으로 구별할 수 없기 때문이다. 이후 다양체 분류를 위해 불규칙성이 도입되었다.

대수 곡면의 예는 다음과 같다(κ는 고다이라 차원이다).

κ = −∞: 사영 평면, '''P'''³의 2차 곡면, 3차 곡면, 베로네세 곡면, 델 페초 곡면, 유리 곡면
κ = 0 : K3 곡면, 아벨 곡면, 엔리케스 곡면, 초타원 곡면
κ = 1: 타원 곡면
κ = 2: 일반형 곡면

처음 다섯 예시는 실제로 쌍유리 동치이다. 예를 들어 3차 곡면은 두 개의 미지수에 대한 유리 함수인 함수체가 사영 평면의 함수체와 동형이다. 두 곡선의 데카르트 곱도 이러한 예시에 해당한다.

3. 1. 고다이라 차원에 따른 분류

엔리퀘스-고다이라 분류는 모든 콤팩트 복소 해석 곡면을 그 사영 최소 모형(minimal model^영어)의 고다이라 차원에 따라 10종으로 분류한다. 이 가운데 8종만이 대수곡면을 이룰 수 있다.

고다이라 차원	대수곡면 종류
−∞
0
1	타원 곡면
2	일반형 곡면(surfaces of general type^영어)

4. 성질

모든 비특이 완비 대수곡면은 사영 대수다양체이지만, 특이 완비 대수곡면은 사영 대수다양체가 아닐 수 있다.^[1]

4. 1. 불변량

산술 종수와 기하 종수는 쌍유리 동치에 대한 불변량이다. 대수곡면의 경우, 대수 곡선과 달리 산술 종수

:

p_{\text{g}}=h^{0,2}=h^{2,0}

와 기하 종수

:

p_{\text{a}}=h^{0,2}-h^{0,1}=\chi(X;\mathcal O_X)-1

가 다를 수 있다. 이 두 수의 차이를 '''비정칙수'''(非正則數, irregularity^영어)

:

q=h^{0,1}

라고 하며, 이는 곡면의 피카르 다양체의 차원과 같다. 나머지 호지 수

h^{1,1}

은 부풀리기를 가하면 사영 직선이 추가되어

h^{1,1}

이 증가하기 때문에 쌍유리 동치에 대한 불변량이 아니다.

곡면에는 세 가지 필수적인 호지 수 불변량이 있는데, 그 중 ''h''^1,0은 고전적으로 '''비정규성'''이라고 불렸고 ''q''로 표시되었으며, ''h''^2,0은 '''기하학적 종수''' ''p''_''g''라고 불렸다. 세 번째인 ''h''^1,1은 쌍유리 불변량이 아닌데, 블로우업을 하면 ''H''^1,1에 클래스가 있는 전체 곡선을 추가할 수 있기 때문이다. 호지 사이클은 대수적이며 대수적 동치는 호몰로지 동치와 일치하므로, ''h''^1,1은 네론-세베리 군의 랭크인 ρ의 상한이다. 산술 종수 ''p''_''a''는 기하학적 종수에서 비정규성을 뺀 값이다.

4. 2. 교차 이론

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수곡면에서, 인자들의 선형 동치류 군은 피카르 군과 같다. 교차수는 다음 성질들을 만족시키는 유일한 함수로 정의된다.^[1]

겹선형성 및 대칭성: 임의의 인자 A, B, C와 정수 n에 대하여,
''A'' · ''B'' = ''B'' · ''A''
(''A'' + ''B'') · ''C'' = ''A'' · ''C'' + ''B'' · ''C''
(''n'' ''A'') · ''B'' = ''n''(''A'' · ''B'')
정규화: 임의의 두 곡선 ''C'', ''D''가 횡단 교차(transversal intersection^영어)하면, [''C''] · [''D''] = |''C'' ∩ ''D''|

여기서 횡단 교차는 각 교점 x에서 ''C''와 ''D''에 대응하는 아이디얼 층의 줄기가 극대 아이디얼을 이룬다는 의미이다.

'''베르티니 정리'''(Bertini theorem^영어)에 따라, 임의의 인자와 곡선에 대해, 모든 인자와 횡단 교차하며 주어진 곡선과 선형 동치인 비특이 곡선을 찾을 수 있다. 이를 통해 인자의 교차수를 간단히 정의할 수 있다.

4. 3. 리만-로흐 정리

대수 곡선과 마찬가지로, 대수곡면에 대해서도 리만-로흐 정리의 한 형태가 성립한다. 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 특수한 경우이다. 대수곡면

X

위에 가역층

\mathcal L

이 주어졌을 때, 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따라 다음이 성립한다.

:

\chi(X;\mathcal L)=\frac12c_1(\mathcal L)^2+\frac12c_1(\mathcal L)c_1(X)+\frac1{12}(c_1(X)^2+c_2(X))

이는 다음과 같은 두 개의 식으로 분해할 수 있다. 우선,

\mathcal L

에 의존하지 않는 항들은

\mathcal L=\mathcal O_X

를 대입하여 다음과 같이 쓸 수 있으며, 이를 '''뇌터 공식'''(Noether formula^영어)이라고 한다.

:

\chi(X;\mathcal O_X)=\frac1{12}(c_1(X)^2+c_2(X))=\frac1{12}\left(K_X.K_X+\frac1{12}(K_X.K_X+\chi_{\operatorname{top}}(X)\right)

여기서

K_X.K_X

는

X

의 표준 인자

K

의 자기 교차수이며,

\chi_{\operatorname{top}}(X)

는

X

의 위상수학적 오일러 지표이다. 이를 사용하면, 곡면 리만-로흐 정리는 다음과 같다.

:

\chi(X;\mathcal L)=\frac12c_1(\mathcal L)^2+\frac12c_1(\mathcal L)c_1(X)+\chi(X;\mathcal O_X)

\mathcal L

에 대응하는 인자를

D

라고 하면, 다음과 같다.

:

\chi(X;\mathcal L)=\frac12(D.D)-\frac12(D.K)+\chi(X;\mathcal O_X)

4. 4. 특이점의 해소

만약 대수곡면

X

를 한 점에서 부풀리기하여, 비특이 대수곡면

X'

을 얻으면, 그 특이 곡선

E

의 자기 교차수는

:

[E]\cdot[E]=-1

이다.^[1] 반대로, 자기 교차수가

-1

인 모든 유리 곡선

E\subset X'

에 대하여,

E

를 특이 곡선으로 하는 부풀리기

X\to X

가 존재한다 ('''카스텔누오보 조건''' Castenuovo’s criterion^영어).^[1] 이러한 조건을 만족시키는 유리 곡선을 '''제1종 예외 곡선'''(exceptional curve of the first kind^영어)이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 두 대수곡면

X

,

X'

사이의 모든 쌍유리 동치

:

X-\!\to X'

는 유한 개의 부풀리기 및 쪼그라뜨리기(부풀리기의 역)의 합성으로 나타낼 수 있다.^[1]

대수곡면

X

가 다음 조건을 만족시키면, '''상대적 최소 모형'''(relatively minimal model^영어)이라고 한다.^[1]

임의의 쌍유리 사상 $f\colon X-\!\to X'$ 에 대하여, 만약 $f$ 가 $X$ 전체에 정의된다면, $f$ 는 대수다양체의 동형이다.

대수곡면

X

가 스스로의 쌍유리 동치류 속의 유일한 상대적 최소 모형이라면, '''최소 모형'''(minimal model^영어)이라고 한다.^[1]

(임의의 체의 표수의) 대수적으로 닫힌 체 위의 대수곡면은 항상 하나 이상의 상대적 최소 모형과 쌍유리 동치이며,^[1] 유리 곡면이나 선직면이 아닌 대수곡면은 최소 모형을 갖는다.^[1]

5. 쌍유리 기하학

대수곡면의 쌍유리 기하학은 점을 사영 직선으로 대체하는 블로우업(또는 모노이드 변환) 때문에 풍부하다. 특정 곡선은 블로우다운될 수 있지만, 자기 교차수가 -1이어야 한다는 제약 조건이 있다.^[1]

5. 1. 카스텔누오보 정리

대수곡면

X

를 한 점에서 부풀리기하여, 비특이 대수곡면

X'

을 얻으면, 그 특이 곡선

E

의 자기 교차수는 다음과 같다.

:

[E]\cdot[E]=-1

^[1]

반대로, 자기 교차수가

-1

인 모든 유리 곡선

E\subset X'

에 대하여,

E

를 특이 곡선으로 하는 부풀리기

X\to X'

가 존재한다. 이를 '''카스텔누오보 조건'''(Castenuovo’s criterion^영어)이라고 한다.^[1] 이러한 조건을 만족시키는 유리 곡선을 '''제1종 예외 곡선'''(exceptional curve of the first kind^영어)이라고 한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 두 대수곡면

X

,

X'

사이의 모든 쌍유리 동치

:

X-\!\to X'

는 유한 개의 부풀리기 및 쪼그라뜨리기(부풀리기의 역)의 합성으로 나타낼 수 있다.^[1]

대수 곡면의 유리기하학에 대한 기본적인 정리 중 하나는 카스텔누오보 정리이다. 이 정리는 대수 곡면 사이의 모든 유리 사상은 유한한 일련의 블로우업과 블로우다운으로 주어진다고 말한다. 대수곡면의 쌍유리 기하학은 블로우업(blowing up)에 의해 매우 풍부한 내용을 가지고 있다. 이 변환은 한 점을 접선 방향의 직선 전체(1개의 사영 직선)로 대체하는 것이다. 어떤 곡선이 블로우다운의 결과일 수도 있지만, 그 경우에는 자기교차수가 −1 이어야 한다는 제한이 존재한다.

6. 예시

대표적인 대수곡면으로는 사영 평면, 델 페초 곡면, 이차 곡면, 타원 곡면, K3 곡면, 아벨 곡면 등이 있다.^[2]

대수곡면의 예는 다음과 같다. (고다이라 차원 κ)

κ = −∞: 사영 평면, '''P'''³ 안의 이차 곡면, 3차 곡면, 베로네세 곡면, 델 페초 곡면, 유리 곡면
κ = 0: K3 곡면, 아벨 곡면, 엔리케스 곡면, 초타원 곡면
κ = 1: 타원 곡면
κ = 2: 일반형 대수 곡면

처음 5개의 예는 실제로 쌍유리 동치이다. 예를 들어 3차 곡면은 함수체가 복소 평면의 함수체와 동형이며, 2개 변수의 유리 함수가 된다. 2개 곡선의 데카르트 곱(직적) 또한 이 예가 된다.

6. 1. 공간 곡면

3차원 사영 공간

\mathbb P^3

속에서

d

차 동차다항식의 영점으로 정의되는 대수곡면을 생각할 수 있다. 만약 이 대수곡면이 비특이 대수다양체라면, 그 호지 수는 다음과 같다.^[2]

		1
	0		0
$\binom{d-1}3$		$\tfrac13d(2d^2-6d+7)$		$\binom{d-1}3$
	0		0
		1

낮은 차수의 공간 곡면은 다음과 같다.

공간 1차 곡면은 사영 평면이다.
공간 2차 곡면은 두 사영 직선의 곱 $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 이다.
공간 3차 곡면은 델 페초 곡면 $\operatorname{dP}_6$ 이다. 즉, 6개의 점이 부풀려진 사영 평면이다.
공간 4차 곡면은 K3 곡면이다.
5차 이상의 곡면은 일반형 곡면이다.

7. 역사

이차 곡면은 고대 그리스 시대부터 이미 활발히 연구되었다. 대수 곡선의 분류가 알려지면서, 19세기 말에 알프레트 클렙슈와 막스 뇌터는 대수곡면의 연구를 제창하였다. 20세기 초에 이탈리아 학파의 페데리고 엔리퀘스는 모든 대수곡면을 10종으로 분류하였으나, 이탈리아 학파의 방식은 엄밀하지 않았다.

1930년대에 오스카 자리스키는 대수곡면의 특이점 해소를 증명하였다. 1950년대에 고다이라 구니히코가 엔리퀘스의 분류를 엄밀히 증명하였고, 이는 오늘날 '''엔리퀘스-고다이라 분류'''로 불린다.

참조

_[1] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[2] 웹인용 Classification and the Minimal Model Program; the Hodge diamond http://homepages.war[...] 2015-07-20

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