대수적 순환

3. 타당한 동치

대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영 대수다양체 $X$ 위의 대수적 순환들 사이의 '''타당한 동치'''는 대수적 순환의 군 $Z(X)$ 위에 정의된 동치 관계이다.

타당한 동치는 다음 성질들을 만족시킨다.

• (선형성) 임의의 정수 $m,n$과 순환 $\backslash alpha,\backslash alpha\text{'},\backslash beta,\backslash beta\text{'}\backslash in\; Z(X)$에 대하여, $\backslash alpha\backslash sim\backslash alpha\text{'}$, $\backslash beta\backslash sim\backslash beta\text{'}$이면 $m\backslash alpha+n\backslash beta\backslash sim\; m\backslash alpha\text{'}+n\backslash beta\text{'}$이다.
• (저우 이동 보조 정리) 임의의 $\backslash alpha,\backslash beta\backslash in\; Z(X)$에 대하여, $\backslash alpha$와 동치이며 $\backslash beta$와 제대로 교차하는 $\backslash alpha\text{'}\backslash sim\backslash alpha$가 존재한다.
• (밂) 임의의 $\backslash alpha\backslash in\; Z(X)$ 및 $\backslash beta\backslash in\; Z(X\backslash times\; Y)$에 대하여, $\backslash beta$와 $\backslash alpha\backslash times\; Y$가 제대로 교차하며 $\backslash alpha\backslash sim0$이면, $(\backslash pi\_Y)\_*(\backslash beta\backslash cdot(\backslash alpha\backslash times\; Y))\backslash sim\; 0$이다. 여기서 $\backslash pi\_Y\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; Y$는 사영 사상이다.

3. 1. 주요 타당한 동치 관계

• (선형성) $\backslash alpha\backslash sim\backslash alpha\text{'}$, $\backslash beta\backslash sim\backslash beta\text{'}$이면 $m\backslash alpha+n\backslash beta\backslash sim\; m\backslash alpha\text{'}+n\backslash beta\text{'}$이다. ($m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z$, $\backslash alpha,\backslash alpha,\backslash beta,\backslash beta\text{'}\backslash in\; Z(X)$)
• (저우 이동 보조 정리) $\backslash alpha$와 동치이며 $\backslash beta$와 제대로 교차하는 $\backslash alpha\text{'}\backslash sim\backslash alpha$가 존재한다. ($\backslash alpha,\backslash beta\backslash in\; Z(X)$)
• (밂) $\backslash beta$와 $\backslash alpha\backslash times\; Y$가 제대로 교차하며, $\backslash alpha\backslash sim0$이면, $(\backslash pi\_Y)\_*(\backslash beta\backslash cdot(\backslash alpha\backslash times\; Y))\backslash sim\; 0$이다. ($\backslash alpha\backslash in\; Z(X)$, $\backslash beta\backslash in\; Z(X\backslash times\; Y)$, $\backslash pi\_Y\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to\; Y$는 사영 사상)

• '''유리 동치'''(有理同値, rational equivalence^영어) $\backslash sim\_\{\backslash text\{rat\}\}$: 가장 섬세한 동치 관계이다.
• '''대수적 동치'''(代數的同値, algebraic equivalence^영어) $\backslash sim\_\{\backslash text\{alg\}\}$: 유리 동치보다 엉성한 동치 관계이다.
• '''호몰로지 동치'''(homology同値, homological equivalence^영어) $\backslash sim\_\{\backslash hom\}$: 대수적 동치보다 엉성하며, 특이 호몰로지 또는 베유 호몰로지를 통해 정의된다.
• '''수치 동치'''(數値同値, numerical equivalence^영어) $\backslash sim\_\{\backslash text\{num\}\}$: 가장 엉성한 동치 관계이다.

4. 평탄 당김과 고유 밀어냄

대수적 순환 군은 사상에 대해 공변적, 반변적 함자성을 갖는다. 평탄 사상에 대해서는 평탄 당김(flat pullback)이, 고유 사상에 대해서는 고유 밀어냄(proper pushforward)이 정의된다.

다양체의 사상 ''f'' : ''X'' → ''X''에 대해,

만약 ''f''가 어떤 상수 상대 차원(즉, 모든 올이 동일한 차원을 가짐)을 가지는 평탄 사상이면, 임의의 부분다양체 ''Y''⊂''X''에 대해 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$f^*([Y\text{'}])\; =\; [f^\{-1\}(Y\text{'})]\backslash ,\backslash !$

이는 가정에 의해 ''Y′''와 동일한 여차원을 갖는다.

반대로, 만약 ''f''가 고유 사상일 때, ''X''의 부분다양체 ''Y''에 대한 순방향 사상은 다음과 같이 정의된다.

:$f\_*([Y])\; =\; n\; [f(Y)]\backslash ,\backslash !$

여기서 ''n''은 ''f''의 ''Y''로의 제한이 유한 사상인 경우 함수체 [''k''(''Y'') : ''k''(''f''(''Y''))]의 확대 차수이며, 그렇지 않은 경우에는 0이다.

선형성에 의해, 이러한 정의는 아벨 군의 준동형으로 확장된다.

:$f^*\; \backslash colon\; Z^k(X\text{'})\; \backslash to\; Z^k(X)\; \backslash quad\backslash text\{and\}\backslash quad\; f\_*\; \backslash colon\; Z\_k(X)\; \backslash to\; Z\_k(X\text{'})\; \backslash ,\backslash !$

(후자는 규약에 의해)는 아벨 군의 준동형이다. 환 구조와 관련된 함자성에 대한 논의는 초우 환을 참조하라.

5. 저우 환

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체 $X$ 위의 대수적 순환들의 자유 아벨 군에 유리 동치에 대한 몫군을 취하여 얻는 군을 $A(X)$라고 쓴다. 이는 여차원에 따라 다음과 같이 등급으로 분해할 수 있다.

:$A^\backslash bullet(X)\; =\; \backslash bigoplus\_\{k\; =\; 0\}^\{\backslash dim\{X\}\}\; A^k(X)$

이 위에 교차곱을 다음과 같이 정의한다.

:$[Y]\; \backslash cdot\; [Z]\; =\; [Y\; \backslash cap\; Z]$

이때, 동치류의 대표원 $Y$, $Z$는 저우 이동 보조 정리를 사용하여 서로 제대로 교차하게 고른다. 위 정의는 대표원의 선택에 상관없으며, 여차원에 대하여 가법적이다.

:$\backslash cdot\backslash colon\; A^k(X)\backslash times\; A^l(X)\backslash to\; A^\{k+l\}(X)$

이에 따라 $(A^k(X),\backslash cdot)$은 등급환을 이루며, 이를 $X$의 '''저우 환'''([周]環, Chow ring^영어)이라고 한다. 이는 일종의 코호몰로지 환이다.

만약 $X$가 복소수체 위의 비특이 사영 대수다양체라면, 저우 환에서 (해석적 위상에 대한) 정수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형이 존재하며, 그 상은 모두 짝수 차수에 속한다. 일반적으로 이 준동형은 단사 함수도, (짝수 차수에 국한하여도) 전사 함수도 아니다.

:$f\backslash colon\; A^\backslash bullet(X)\backslash to\; H^\{2\backslash bullet\}(X^\{\backslash operatorname\{an\}\};\backslash mathbb\; Z)$

6. 예시

대수적으로 닫힌 체 위의 기약 대수다양체 $X$의 여차원 0의 대수적 순환은 $X$ 자체밖에 없다. 즉, 이로부터 생성되는 군은 $\backslash mathbb\; Z$와 동형이며, 유리 동치 · 대수적 동치 · 호몰로지 동치 · 수치적 동치가 일치한다.

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 $X$의 여차원 1의 대수적 순환의 군은 카르티에 인자의 군

:$\backslash operatorname\{CaDiv\}(X)=\backslash operatorname\; H^1(X;\backslash mathcal\; K^\backslash times\_X/\backslash mathcal\; O\_X^\backslash times)$

에 해당된다. 이 경우, 여차원 1의 저우 군(=유리 동치에 대한 몫군)은 피카르 군이다.

:$\backslash operatorname\{Pic\}(X)=\backslash operatorname\; H^1(X;\backslash mathcal\; O\_X^\backslash times)$

이 경우 대수적 동치와 (정수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군이다.

:$\backslash operatorname\{NS\}(X)=\backslash operatorname\{Pic\}(X)/\backslash operatorname\{Pic\}\_0(X)\backslash subset\backslash operatorname\; H^2\_\{\backslash text\{sing\}\}(X;\backslash mathbb\; Z)$

수치 동치와 (유리수 계수) 호몰로지 동치는 일치하며, 이에 대한 몫군은 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군에 대한 몫군이다.

:$\backslash operatorname\{NS\}(X)/\backslash operatorname\{Tors\}(\backslash operatorname\{NS\}(X))\backslash subset\backslash operatorname\; H^2\_\{\backslash text\{sing\}\}(X;\backslash mathbb\; Q)$

7. 역사

대수적 순환은 1950년대부터 대수기하학의 주요 연구 대상이 되었으며, 호지 추측, 테이트 추측 등 여러 중요한 추측들이 제시되었다. 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다.

저우웨이량은 1956년에 유리 동치에 대한 저우 움직임 정리와 저우 환의 존재를 증명하였다.^[3] 피에르 사뮈엘(Pierre Samuel^프랑스어)은 1958년에 타당한 동치 관계의 개념을 정의하였다.^[4]

참조

_[1] 논문 Rational equivalence of 0-cycles on surfaces 1969
_[2] 서적 Chow Rings, Decomposition of the Diagonal, and the Topology of Families 2014-02
_[3] 간행물 On equivalence classes of cycles in an algebraic variety https://archive.org/[...] 1956-11
_[4] 간행물 Relations d’équivalence en géométrie algébrique http://www.mathunion[...] Cambridge University Press 2015-08-02