동차좌표

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표기법
3. 성질
4. 역사
- 4.1. 플뤼커 좌표
5. 다른 차원 및 사영 공간으로의 확장
6. 응용
- 6.1. 컴퓨터 그래픽스 및 컴퓨터 비전
- 6.2. 무한대 원점
7. 좌표계 변환
8. 삼선 좌표
9. 쌍대성
참조

1. 개요

동차좌표는 실수, 복소수 또는 사원수와 같은 대수에서 $(n+1)$ 개의 수로 이루어진 순서쌍 집합에서 0이 아닌 원소를 제외하고 동치관계를 정의하여 얻는 $n$ 차원 사영 공간의 좌표이다. 데카르트 좌표와 달리 단일 점은 무한히 많은 동차 좌표로 표현될 수 있으며, 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 비전, 무한대 원점, 좌표계 변환 등 다양한 분야에 응용된다. 동차 좌표는 (x, y, z) 또는 (x:y:z)와 같은 표기법으로 표현되며, 사영 기하학의 쌍대성 개념으로 이어진다.

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동차좌표
좌표
일반 정보
유형	좌표계
수학적 속성
정의	n+1개의 좌표를 사용하여 n차원 공간의 점을 나타냄
응용 분야	컴퓨터 그래픽스 컴퓨터 비전 사영 기하학
역사
창시자	아우구스트 페르디난트 뫼비우스
기원	1827년, "Der barycentrische Calcul" (중심 좌표 계산)

2. 정의

실수, 복소수, 또는 사원수의 대수 $X$ 에 대해, $(n+1)$ 개의 수의 순서쌍 집합 $X^{n+1}$ 에서 0이 아닌 원소를 제외하고, 다음과 같은 동치관계를 정의한다.

: $(x_0,x_1,\dots,x_n)\sim(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)$ ( $0\ne \lambda\in X$ )

$n$ 차원 사영 공간 $XP^n$ 은 몫공간으로 정의된다.

: $XP^n\cong(X^{n+1}\setminus0)/{\sim}$

이 때, $(x_0,x_1,\dots,x_n)$ 을 $XP^n$ 의 '''동차좌표'''라고 한다.

예를 들어, 데카르트 좌표계의 점 $(1, 2)$ 는 동차 좌표로 $(1, 2, 1)$ 또는 $(2, 4, 2)$ 로 표현할 수 있다. 원래의 데카르트 좌표는 처음 두 좌표를 세 번째 좌표로 나누어 복원한다. 따라서 데카르트 좌표와 달리, 단일 점은 무한히 많은 동차 좌표로 표현될 수 있다.

유클리드 평면의 점 $(x, y)$ 가 주어지면, 0이 아닌 모든 실수 $Z$ 에 대해 삼중항 $(xZ, yZ, Z)$ 는 해당 점에 대한 동차 좌표 집합이다. 특히, $(x, y, 1)$ 은 점 $(x, y)$ 에 대한 동차 좌표 시스템이다.

원점 $(0, 0)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $n$ 과 $m$ 이 모두 $0$ 이 아닌 경우 $nx + my = 0$ 으로 쓸 수 있다. 매개 변수 형태로 이것은 $x = mt, y = -nt$ 로 쓸 수 있다. $Z = 1/t$ 라고 하면, 선 위의 점의 좌표는 $(m/Z, -n/Z)$ 로 쓸 수 있고, 동차 좌표에서는 $(m, -n, Z)$ 가 된다. $t$ 가 무한대로 접근하면, $Z$ 는 $0$ 으로 접근하고 점의 동차 좌표는 $(m, -n, 0)$ 이 된다. 따라서 $(m, -n, 0)$ 을 직선 $nx + my = 0$ 의 방향에 해당하는 무한원점의 동차 좌표로 정의한다.

실수 사영 평면은 동치류를 사용하여 정의될 수도 있다. $\mathbb{R}^3$ 의 영이 아닌 원소에 대해 $(x_1, y_1, z_1) \sim (x_2, y_2, z_2)$ 를 영이 아닌 $\lambda$ 가 존재하여 $(x_1, y_1, z_1) = (\lambda x_2, \lambda y_2, \lambda z_2)$ 를 만족시키는 것으로 정의한다. 그러면 $\sim$ 는 동치 관계가 되며, 사영 평면은 $\mathbb{R}^3 \setminus \left\{0\right\}$ 의 동치류로 정의될 수 있다. 만약 $(x, y, z)$ 가 동치류 $p$ 의 원소 중 하나라면, 이들은 $p$ 의 동차 좌표로 간주된다.

이 공간의 선은 $a$ , $b$ , $c$ 가 모두 0이 아닌 형태의 방정식 $ax + by + cz = 0$ 의 해 집합으로 정의된다. $ax + by + cz = 0$ 조건의 만족 여부는 $(x, y, z)$ 의 동치류에만 의존하므로, 이 방정식은 사영 평면의 점 집합을 정의한다. 사상 $(x, y) \rightarrow (x, y, 1)$ 은 유클리드 평면에서 사영 평면으로의 포함을 정의하며, 이 이미지의 여집합은 $z = 0$ 인 점들의 집합이다. 방정식 $z = 0$ 은 사영 평면의 선의 방정식(사영 평면에서 선의 정의 참조)이며, 무한대선이라고 불린다.

동치류 $p$ 는 원점을 통과하는 선에서 원점을 제외한 것이다. 사영 평면은 $\mathbb{R}^3$ 에서 원점을 통과하는 선의 집합으로 정의될 수 있으며, 선의 영이 아닌 원소 $(x, y, z)$ 의 좌표는 선의 동차 좌표로 간주된다.

차원 n의 사영 공간은 $\mathbb{R}^{n+1}$ 에서 원점을 통과하는 선의 집합으로 정의될 수 있다.^[11]

2. 1. 표기법

동차 좌표는 (x, y, z)와 같이 괄호 안에 쉼표로 구분하여 표기하거나,^[6] (x:y:z)와 같이 콜론을 사용하여 비율을 강조하는 방식으로 표기할 수 있다.^[6] [x, y, z]와 같이 대괄호를 사용하여 여러 좌표 집합이 단일 점과 연관되어 있음을 나타내기도 한다.^[7]

3. 성질

동차 좌표는 유일하지 않다. 즉, (x_0, x_1, ..., x_n)과 (λx_0, λx_1, ..., λx_n)은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다.^[12] 사영 공간 위에 f(x_0, x_1, ..., x_n) = 0과 같은 곡면을 정의하려면, f는 같은 점을 나타내는 동차 좌표들에 대하여 다음 조건을 만족해야 한다.^[12]

f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0 이라면, 모든 λ≠0 에 대하여 f(λx_0,λx_1,\dots,λx_n)=0 이다.
f(x_0,x_1,\dots,x_n)≠0 이라면, 모든 λ≠0 에 대하여 f(λx_0,λx_1,\dots,λx_n)≠0 이다.

만약 f가 다항함수라면, f는 동차다항식이어야 한다.^[12] 예를 들어 f_1(x_0,x_1)=x_0^3+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3 는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 f_1=0 을 정의할 수 있지만, f_2(x_0,x_1)=x_0^2+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3 는 동차다항식이 아니므로 곡면 f_2=0 을 정의할 수 없다.^[12]

동차 좌표는 점에 의해 고유하게 결정되지 않으므로 좌표에서 정의된 함수는 점에 정의된 함수를 결정하지 않는다. 그러나 좌표에서 정의된 조건 f(x, y, z) = 0 은 함수가 동차인 경우 점에 대한 조건을 결정한다.^[12]

4. 역사

아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 1827년에 도입하였다.^[23]^[24] 뫼비우스가 처음으로 제시한 동차 좌표의 공식은 한 점의 위치를 고정된 삼각형의 꼭짓점에 위치한 세 점 질량계의 질량 중심 (또는 바리 중심)으로 특정했다. 삼각형 내부의 점은 양의 질량으로 표현되며 삼각형 외부의 점은 음의 질량을 허용하여 표현된다. 계 내의 질량에 스칼라를 곱해도 질량 중심에는 영향을 미치지 않으므로, 이는 동차 좌표계의 특별한 경우이다.

4. 1. 플뤼커 좌표

율리우스 플뤼커는 사영 3차원 공간에서 선 위에 있는 두 점의 동차 좌표로부터 행렬식을 이용해 6개의 좌표 집합을 생성하는 방법을 고안했다.^[15]^[16] 이는 선에 좌표를 할당하는 복잡성을 해결하기 위한 유용한 방법이었다. 플뤼커 매립은 n차원 사영 공간에서 m차원 원소의 동차 좌표를 생성하는 일반적인 방법이다.^[15]^[16]

5. 다른 차원 및 사영 공간으로의 확장

앞선 절의 논의는 평면이 아닌 다른 사영 공간에도 유사하게 적용된다. 따라서 사영 직선 위의 점은 둘 다 0이 아닌 좌표쌍으로 나타낼 수 있다. 이 경우 무한대점은 (1, 0)이다. 마찬가지로 사영 n차원 공간의 점은 (n+1)개의 튜플로 나타낸다.^[9]

실수를 사용하면 고전적인 실수 사영 공간에서 점의 동차 좌표가 생성되지만, 임의의 체를 사용할 수 있으며, 특히 복소수는 복소 사영 공간에 사용할 수 있다. 예를 들어, 복소 사영 직선은 두 개의 동차 복소 좌표를 사용하며, 이것은 리만 구로 알려져 있다. 유한체를 포함한 다른 체도 사용할 수 있다.

사영 공간의 동차 좌표는 나눗셈환(비대칭체)의 원소를 사용하여 만들 수도 있다. 하지만, 이 경우에는 곱셈이 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다는 사실을 고려해야 한다.^[10]

일반적인 환 ''A''의 경우, ''A'' 위의 사영 직선은 왼쪽에 작용하는 동차 인자와 오른쪽에 작용하는 사영 선형군으로 정의될 수 있다.

6. 응용

6. 1. 컴퓨터 그래픽스 및 컴퓨터 비전

동차 좌표는 컴퓨터 그래픽스에서 이동, 회전, 확대/축소 및 원근 투영과 같은 일반적인 벡터 연산을 벡터가 곱해지는 행렬로 나타낼 수 있기 때문에 널리 사용된다.^[19]^[20] 연쇄 법칙에 따라, 이러한 연산의 모든 시퀀스는 단일 행렬로 곱해져 간단하고 효율적인 처리를 가능하게 한다. 현대 OpenGL과 Direct3D 그래픽 카드는 4요소 레지스터를 가진 벡터 프로세서를 사용하여 정점 셰이더를 효율적으로 구현하기 위해 동차 좌표를 활용한다.^[19]^[20]

공간의 모든 원근 투영은 결과적으로 단일 행렬로 표현될 수 있다.^[21]^[22]

6. 2. 무한대 원점

실수 또는 복소수 사영 평면에서 원의 방정식에 대한 동차 형태는 x² + y² + 2axz + 2byz + cz² = 0이다. 이 곡선과 무한대 선의 교차점은 z = 0으로 설정하여 찾을 수 있다. 이로 인해 x² + y² = 0 방정식이 생성되며, 이 방정식은 복소수에서 두 개의 해를 가지며, 복소수 사영 평면에서 동차 좌표 (1, i, 0)와 (1, -i, 0)을 갖는 점이 생성된다. 이 점들을 무한대 원점이라고 하며, 모든 원의 공통 교차점으로 간주할 수 있다. 이는 고차 곡선으로 원 대수 곡선으로 일반화될 수 있다.^[17]

7. 좌표계 변환

데카르트 좌표계에서 축의 선택이 다소 임의적인 것처럼, 모든 가능한 시스템 중에서 하나의 동차 좌표 시스템을 선택하는 것도 다소 임의적이다. 따라서, 서로 다른 시스템들이 어떻게 관련되어 있는지 아는 것이 유용하다.

프로젝티브 평면의 점에 대한 동차 좌표를 (''x'', ''y'', ''z'')라고 할 때, 고정된 행렬

$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix},$

으로 0이 아닌 행렬식을 가지는 행렬은 다음 방정식을 통해 새로운 좌표 시스템 (''X'', ''Y'', ''Z'')를 정의한다.

$\begin{pmatrix}X\\Y\\ Z\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.$

(''x'', ''y'', ''z'')에 스칼라를 곱하면 (''X'', ''Y'', ''Z'')에도 동일한 스칼라가 곱해지며, ''A''가 비특이 행렬이므로 ''x'', ''y'', ''z''가 모두 0이 아닌 이상 ''X'', ''Y'', ''Z''가 모두 0일 수는 없다. 따라서 (''X'', ''Y'', ''Z'')는 프로젝티브 평면의 동일한 점에 대한 새로운 동차 좌표 시스템이다.

8. 삼선 좌표

평면상의 세 직선 $l$ , $m$ , $n$ 이 주어졌을 때, 점 $p$ 의 좌표 $X$ , $Y$ , $Z$ 를 점 $p$ 에서 이 세 선까지의 부호가 있는 거리로 정의한다. 이를 선들의 쌍별 교차점으로 이루어진 삼각형에 대한 점 $p$ 의 삼선좌표라고 한다.^[18] 삼선좌표는 $X$ , $Y$ , $Z$ 의 값이 비례 관계가 아닌 정확하게 결정되기 때문에 동차좌표는 아니다. 그러나 이들 사이에는 선형 관계가 있으므로, $(X,Y,Z)$ 의 배수를 동일한 점을 나타내는 것으로 허용하여 이 좌표를 동차좌표로 만들 수 있다.^[18] 더 일반적으로, $X$ , $Y$ , $Z$ 는 상수 $p$ , $r$ , $q$ 에 선 $l$ , $m$ , $n$ 까지의 거리를 곱한 값으로 정의할 수 있으며, 이는 동일한 기준 삼각형을 가진 다른 동차좌표계를 생성한다.^[18] 이는 실제로 선 중 어느 것도 무한대가 아니면 평면의 점에 대한 가장 일반적인 유형의 동차좌표계이다.^[18]

9. 쌍대성

사영 평면에서 직선의 방정식은 sx + ty + uz = 0^영어으로 주어질 수 있으며, 여기서 s, t, u는 상수이다. 각 삼중항 (s, t, u)는 직선을 결정하며, 결정된 직선은 0이 아닌 스칼라를 곱해도 변경되지 않으며, s, t, u 중 적어도 하나는 0이 아니어야 한다. 따라서 삼중항 (s, t, u)는 사영 평면에서 직선의 동차 좌표, 즉 점 좌표와 반대되는 선 좌표로 간주될 수 있다.^[13]

만약 sx+ty+uz=0에서 문자 s, t, u를 변수로, x, y, z를 상수로 간주하면, 이 방정식은 평면 내의 모든 직선의 공간에서 일련의 직선의 방정식이 된다. 기하학적으로 이는 점 (x, y, z)을 지나는 직선의 집합을 나타내며, 선 좌표에서 점의 방정식으로 해석될 수 있다. 마찬가지로, 3차원 공간의 평면은 네 개의 동차 좌표 집합으로 주어질 수 있으며, 고차원에서도 이와 같은 방식으로 확장된다.^[13]

동일한 관계, sx + ty + uz = 0은 직선의 방정식 또는 점의 방정식으로 간주될 수 있다. 일반적으로 점과 직선의 동차 좌표 사이에는 대수적으로나 논리적으로 차이가 없다. 따라서 점을 기본 요소로 하는 평면 기하학과 직선을 기본 요소로 하는 평면 기하학은 해석을 제외하고는 동등하다. 이것은 사영 기하학의 쌍대성 개념으로 이어지는데, 사영 기하학의 정리에서 점과 직선의 역할을 서로 바꿀 수 있으며 그 결과도 정리가 된다는 원리이다. 유사하게, 사영 3차원 공간에서의 점의 이론은 사영 3차원 공간에서의 평면의 이론과 쌍대적이며, 고차원에서도 이와 같다.^[14]

참조

_[1] 서적 Der barycentrische Calcul Verlag von Johann Ambrosius Barth 1827
_[2] MacTutor August Ferdinand Möbius
_[3] 서적 History of Modern Mathematics https://archive.org/[...] J. Wiley & Sons
_[4] 웹사이트 Fundamental Elliptic Curve Cryptography Algorithms https://datatracker.[...] 2011-02
_[5] harvnb
_[6] harvnb
_[7] harvnb
_[8] harvnb
_[9] harvnb
_[10] harvnb
_[11] harvnb
_[12] harvnb
_[13] harvnb
_[14] harvnb
_[15] harvnb
_[16] harvnb
_[17] harvnb
_[18] harvnb
_[19] 웹사이트 Viewports and Clipping (Direct3D 9) (Windows) http://msdn.microsof[...] 2018-04-10
_[20] 서적 OpenGL Programming Guide December 2004
_[21] 서적 Mathematics for Computer Graphics Applications https://archive.org/[...] Industrial Press Inc.
_[22] 서적 Computer Graphics: Theory into Practice https://archive.org/[...] Jones & Bartlett Learning
_[23] MacTutor August Ferdinand Möbius 1997-01
_[24] 서적 인용 http://books.google.[...]

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