디랙 행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

디랙 행렬(감마 행렬)은 반교환 관계를 만족하는 행렬의 집합으로, 4차원 시공간에서 상대론적 장론에 응용된다. 이 행렬은 디랙 방정식과 같은 물리적 구조를 표현하는 데 사용되며, 로렌츠 변환에 따라 변환된다. 디랙 행렬은 정의에 따라 여러 가지 성질을 만족하며, 특정 기저(예: 디랙 표현, 카이랄 표현, 마요라나 표현)에서 명시적으로 표현될 수 있다. 또한, 파인만 슬래시 표기법과 같은 수학적 도구와 항등식을 통해 계산을 단순화하는 데 기여한다. 다섯 번째 감마 행렬(γ5)은 손지기성 논의에 유용하며, 유클리드 공간에서의 표현도 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

클리퍼드 대수 - 트위스터 이론
트위스터 이론은 3+1차원 시공간을 4차원 트위스터 공간으로 사상하며, 양자 중력 이론 연구에 기여하고 양-밀스 이론 및 아인슈타인 방정식 해를 구성하는 데 사용되며 끈 이론과의 통합을 시도하는 등 다양한 연구가 진행되고 있다.
클리퍼드 대수 - 점대칭
점대칭은 유클리드 공간에서 한 점을 기준으로 다른 점을 대칭시키는 기하학적 변환으로, 분자 구조 및 결정학에서 물질의 특성에 영향을 미친다.
스피너 - 디랙 방정식
디랙 방정식은 폴 디랙이 도입한 스핀 1/2 입자의 운동을 기술하는 상대론적 양자역학의 선형 편미분 방정식으로, 상대론적 효과와 전자의 스핀을 결합하여 양전자의 존재를 예측하는 데 기여했으며 양자장론의 기본 방정식으로 널리 활용된다.
스피너 - 피어츠 항등식
피어츠 항등식은 디랙 스피너와 바일 스피너의 곱셈 결과를 나타내는 관계식으로, 디랙 스피너는 스칼라, 벡터, 텐서, 축벡터, 유사스칼라 간의 곱셈 결과를 표로 나타내며, 바일 스피너는 반가환성을 만족하는 특정 형태를 가진다.
행렬 - 스핀 (물리학)
스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
행렬 - 파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.

디랙 행렬
개요
종류	수학의 클리포드 대수의 생성원
분야	상대론적 양자역학
스핀	1/2
표현
관계식	{ γμ, γν } = 2gμν
설명	감마 행렬은 반교환 관계를 만족한다. 여기서 gμν는 민코프스키 공간의 계량 텐서이다.
관련 인물
관련 학자	폴 디랙
영어 명칭
영어 명칭	Gamma matrices (감마 행렬) 또는 Dirac matrices (디랙 행렬)

2. 정의

감마 행렬(γ^μ)은 반교환 관계를 만족하는 행렬들의 집합으로 정의된다.^[3] 반교환 관계는 다음과 같이 표현된다.

: γ^μ, γ^ν = γ^μγ^ν + γ^νγ^μ = 2g^μν '''1'''

여기서 μ, ν = 0, 1, 2, …, d - 1는 d차원 시공간의 첨자이고, g는 시공간의 계량이며, 이 경우 g = diag(+1, -1, -1, …, -1)이다. '''1'''는 단위 행렬을 나타낸다.

이 식을 행렬 성분으로 나타내면 다음과 같다.

: γ^μ, γ^ν_a^b = (γ^μ)_a^c(γ^ν)_c^b + (γ^μ)_a^c(γ^ν)_c^b = 2g^μνδ_a^b

여기서 행렬의 첨자 a, b = 1, …, 2^k (d가 짝수인 경우에는 k = d/2, 홀수인 경우에는 k = (d + 1)/2)이다. 또한, 중복되어 나타나는 첨자에 대해서는 아인슈타인 표기법에 따라 합을 취한다.

시공간 첨자를 올리고 내리는 것은 계량을 통해 이루어진다.

: γ_μ = g_μνγ^ν, γ^μ = g^μνγ_ν

: γ₀ = γ⁰, γ_j = -γ^j

여기서 j = 1, …, d - 1는 공간 성분이다.

3. 성질

감마 행렬( $\gamma^0$ )은 고윳값 $\pm 1$ 을, $\gamma^i$ 는 고윳값 $\pm i$ 를 갖는 대각화 가능한 행렬이다. 이는 $\gamma^0$ 이 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬이고, $\gamma^i$ 는 반 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬임을 의미한다.

$(\gamma^0)^2 = +1$ 이므로, $(\gamma^0 + 1)(\gamma^0 - 1) = 0$ 으로 표현할 수 있다. 선형대수학에 따르면, 이는 $\gamma^0$ 이 고윳값 $\pm 1$ 을 갖는 대각 행렬인 기저가 존재한다는 것을 의미한다.

각 고윳값의 중복도는 2이다. $v$ 가 $\gamma^0$ 의 고유 벡터라면, $\gamma^1 v$ 는 반대 부호의 고윳값을 갖는 고유 벡터이다. 즉, 고유 벡터들은 $\gamma^1$ 의 곱으로 연결될 수 있다.

더 일반적으로, $\gamma^\mu X_\mu$ 가 널(null)이 아니라면, 양의 노름( $p \cdot p = m^2 > 0$ )을 갖는 경우 $p\!\!\!/ = \gamma^\mu p_\mu$ 는 고윳값 $\pm m$ 을 갖는 대각화 가능하다. $p_\mu$ 에 수직인 비-널 벡터 $q_\mu$ 를 선택하면, 고유 벡터들은 $q\!\!\!/$ 의 곱으로 연결되어 쌍을 이룬다.

$p\!\!\!/ - m = 0$ 의 해 공간은 차원이 2이며, 이는 디랙 방정식에 대한 평면파 해의 해 공간이 차원 2임을 의미한다. 질량이 없는 디랙 방정식의 경우, $p_\mu$ 가 널(null)이면 $p\!\!\!/$ 의 널리티(nullity)는 2이다.

$p_\mu$ 가 널(null)이면, $p\!\!\!/ p\!\!\!/ = 0$ 이다. 일반화된 고윳값 분해에 의해, 이를 어떤 기저에서 $2 \times 2$ 조르당 블록의 대각선으로 쓸 수 있으며, 고윳값은 0이고 블록은 0, 1 또는 2개이며, 다른 대각선 항목은 0이다.

3. 1. 기본적 성질

감마 행렬은 정의에 따라 다음과 같은 성질을 만족한다.

:

(\gamma^0)^2 = 1, (\gamma^j)^2 = -1

:

\gamma^\mu \gamma^\nu = -\gamma^\nu \gamma^\mu (\mu \neq \nu)

또한, 감마 행렬끼리의 곱으로부터 생성되는 항은 위의 성질로부터 다음 형태로 귀결된다.

:

1, \gamma^\mu, \gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}, \gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\gamma^{\mu_3}, \ldots, \gamma^{\mu_1}\gamma^{\mu_2}\cdots\gamma^{\mu_d} (\mu_1 \neq \mu_2 \neq \cdots \neq \mu_d)

이 중에서 서로 다른 항은 2^d개이다.

3. 2. 에르미트성

γ⁰^영어는 에르미트 행렬이고, γ^j^영어는 반 에르미트 행렬로 표현할 수 있다. 즉, 다음이 성립한다.

(γ⁰)^† = γ⁰
(γ^j)^† = -γ^j

이러한 표현을 사용하면, 다음 관계식을 얻을 수 있다.

(γ^μ)^† = γ⁰γ^μγ⁰

일반적으로 에르미트성을 가지지 않는다는 점에 유의해야 한다. 감마 행렬은 γ⁰의 경우 고유값 ±1을, γ^j의 경우 고유값 ± *i* 를 갖는 대각화 가능한 행렬이다.

이는 γ⁰에 대해 증명할 수 있으며, γ^j에 대해서도 유사하게 적용된다. (γ⁰)² = +1 이고, 이를 (γ⁰ + 1)(γ⁰ - 1) = 0 로 표현할 수 있다. 선형대수학의 잘 알려진 결과에 따르면, 이는 γ⁰이 고유값 ±1을 갖는 대각 행렬인 기저가 존재한다는 것을 의미한다. 특히, 이는 γ⁰이 동시에 에르미트적이고 유니타리 행렬이며, γ^j는 동시에 반-에르미트적이고 유니타리 행렬임을 의미한다.

또한, 각 고유값의 중복도는 2이다. 만약 *v* 가 γ⁰의 고유 벡터라면, γ¹*v* 는 반대 부호의 고유값을 갖는 고유 벡터이다. 그러므로 고유 벡터들은 γ¹의 곱으로 연결될 수 있다. 이 결과는 γⁱ에 대해서도 유사하게 적용된다.

3. 3. 트레이스

감마 행렬의 트레이스는 0이다.

:

\operatorname{Tr}\gamma^\mu =0

3. 4. 축약 공식

아인슈타인 표기법을 사용한 감마 행렬의 축약에 대한 공식은 다음과 같다.

:

\gamma^\mu \gamma_\mu = d

:

\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma_\mu = (2-d)\gamma^\nu

:

\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma_\mu= 4g^{\nu\rho} -(4-d)\gamma^\nu \gamma^\rho

:

\gamma^\mu \gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma \gamma_\mu=-2\gamma^\sigma \gamma^\rho \gamma^\nu+(4-d)\gamma^\nu \gamma^\rho \gamma^\sigma

더 고차의 축약 공식은 다음을 통해 귀납적으로 구할 수 있다.

:

\gamma^\mu \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r} \gamma^{\nu_{r+1}} \gamma_\mu=2\gamma^{\nu_{r+1}} \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r}

(\gamma^\mu \gamma^{\nu_1} \cdots \gamma^{\nu_r} \gamma_\mu) \gamma^{\nu_{r+1}}

4. 로렌츠 변환

감마 행렬을 사용하여 다음과 같이 정의되는 행렬 |σ^μν^영어를 생각한다.

:{{lang|en|| $\sigma^{\mu\nu}\equiv \frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]= \frac{i}{2}(\gamma^\mu \gamma^\nu -\gamma^\nu \gamma^\mu)$ }}

이때, |S_μν = ½σ_μν^영어는 다음의 로렌츠 대수(로렌츠 변환의 리 대수)를 만족한다.

:{{lang|en|| $[S_{\mu\nu}, S_{\rho\sigma}]= i($

g_{\mu\rho}S_{\nu\sigma}

+g_{\nu\rho}S_{\mu\sigma}+g_{\mu\sigma}S_{\nu\rho}

g_{\nu\sigma}S_{\mu\rho})}}

5. 4차원 시공간에서의 감마 행렬

4차원 시공간에서 감마 행렬은 상대성 이론적인 장론에 응용된다. 4차원 감마 행렬은 4×4 행렬로 나타낼 수 있다.^[4]

5. 1. 기본적 성질

4차원 시공간에서

\{ \gamma^{\mu} \}_{\mu=0,1,2,3}

간의 곱으로 생성되는 16개의 원소는 다음과 같다.

:mathbf|mathbf|1^영어

:gamma|γ|0^영어, i|i^영어gamma|γ|1^영어, i|i^영어gamma|γ|2^영어, i|i^영어gamma|γ|3^영어

:gamma|γ|0^영어 gamma|γ|1^영어, gamma|γ|0^영어 gamma|γ|2^영어, gamma|γ|0^영어 gamma|γ|3^영어, i|i^영어 gamma|γ|2^영어 gamma|γ|3^영어, i|i^영어 gamma|γ|3^영어 gamma|γ|1^영어, i|i^영어 gamma|γ|1^영어 gamma|γ|2^영어

:gamma|γ|1^영어 gamma|γ|2^영어 gamma|γ|3^영어, i|i^영어 gamma|γ|0^영어 gamma|γ|2^영어 gamma|γ|3^영어, i|i^영어gamma|γ|0^영어 gamma|γ|1^영어 gamma|γ|3^영어, i|i^영어 gamma|γ|0^영어 gamma|γ|1^영어 gamma|γ|2^영어

:gamma|γ|5^영어=i|i^영어gamma|γ|0^영어 gamma|γ|1^영어 gamma|γ|2^영어 gamma|γ|3^영어

이들은 일차 독립이다.^[4] 이들을

\{ \Gamma_A \}_{A=1,\cdots,16}

로 표기할 때, 각

\Gamma_A

는

\Gamma_A^{\, 2}=

mathbf|mathbf|1^영어 및

\operatorname{Tr}\Gamma_A=0

을 만족한다.

16개의

\Gamma_A

가 일차 독립이기 때문에,

\{ \gamma^{\mu} \}

를 행렬로 표현하려면 최소한 16개의 성분을 갖는 4×4 행렬이 필요하다. 특히 4×4 행렬에 의한 표현은 기약 표현이며,

\{ \gamma^{\mu} \}

와

\{ \gamma'^{\mu} \}

를 서로 다른 4×4 행렬에 의한 표현의 묶음이라고 하면, 정칙 행렬

S

가 존재하여

\gamma'^{\mu}=S\gamma^{\mu}S^{-1}

의 관계가 성립한다.

또한

\{ \gamma^{\mu} \}

를 4×4 행렬로 표현했을 경우, 임의의 4×4 행렬

X

는

X=\sum_{A}x_A \Gamma_A

와 같이

\{ \Gamma_A \}

의 일차 결합으로 나타낼 수 있다. 여기서 전개 계수는

x_A=\operatorname{Tr}(X \Gamma_A)/4

로 주어진다.

5. 2. 카이랄성

카이랄리티 $\gamma_5$는 다음과 같이 정의된다.

:

\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = -i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3

이는 고차원 시공간에서의 5번째 성분과는 관계가 없다.

$\gamma_5$는 다음과 같은 성질을 가진다.

:

(\gamma_5)^2 = 1

:

(\gamma_5)^\dagger=\gamma_5

:

\gamma_5 \gamma^\mu = -\gamma^\mu \gamma_5

$\gamma_5$의 고윳값은 ±1이다. 고윳값 +1에 속하는 부분 공간을 오른손형(right-handed, RH) 또는 오른쪽 감기라고 부르고, -1을 왼손형(left-handed, LH) 또는 왼쪽 감기라고 부른다.

사영 연산자는 다음과 같다.

:

P_L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2}

:

P_R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}

이를 이용하면,

:

\psi_L = P_L\psi

:

\psi_R =P_R\psi

:

\psi=\psi_L+\psi_R

에 의해, 디랙 스피노르 $\psi$를 오른손형, 왼손형 성분으로 분해할 수 있다.

문헌에 따라 $\gamma_5$의 정의에서 부호가 반대인 경우도 있지만, 그때도 고윳값 +1이 오른손, -1이 왼손이다.

5. 3. 변환성

디랙 스피너 ψ^영어의 디랙 공액과 감마 행렬로 구성된 쌍선형 형식은 이산 대칭성(패리티 변환, 시간 반전)을 포함하는 광의의 로렌츠 변환 아래에서 스칼라, 벡터, 반대칭 텐서, 유사 벡터, 유사 스칼라로 변환된다.

쌍선형 형식	변환성	변환 규칙
	스칼라	$\overline{\psi}$ (x)\psi(x)
	벡터	$\overline{\psi}$ (x) \gamma^\mu \psi(x)
	반대칭 텐서	$\overline{\psi}$ (x) \sigma^{\mu\nu} \psi(x)
	유사 벡터	$\overline{\psi}$ (x) \gamma_5 \gamma^\mu \psi(x)
	유사 스칼라	$\overline{\psi}$ (x) i\gamma_5 \psi(x)

5. 4. 디랙 표현

디랙 표현에서 감마 행렬(

\gamma^\mu

),

\gamma_5

,

\sigma^{\mu\nu}

는 파울리 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[5]

:

\gamma^0 =\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{bmatrix},~\gamma^j =\begin{bmatrix}0 & \sigma_j \\

\sigma_j & 0 \\

\end{bmatrix},~\gamma_5 =\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix},~\sigma^{0j} =\begin{bmatrix}0 & i\sigma_j \\i\sigma_j & 0 \\\end{bmatrix},~\sigma^{jk} = \epsilon_{ijk}\begin{bmatrix}\sigma_i & 0\\0 & \sigma_i \\\end{bmatrix}

여기서

\sigma_j

(''j'' = 1, 2, 3)는 파울리 행렬이며, 1과 0은 각각 2차 단위 행렬과 영 행렬이다.

이 표현은 다음과 같은 크로네커 곱으로도 나타낼 수 있다.^[5]

:

\gamma^0 = \sigma_3 \otimes 1,~\gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j,~\gamma_5 = \sigma_1 \otimes 1,~\sigma^{0j} = i\sigma_1 \otimes \sigma_j,~\sigma^{jk} = 1 \otimes \epsilon_{ijk} \sigma_i

5. 5. 카이랄 (바일) 표현

카이랄 표현(바일 표현)에서 감마 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix},

여기서 ''k''는 1에서 3까지이며,

\sigma^k

는 파울리 행렬이고,

I_2

는 2×2 단위 행렬이다. 이를 더 간결하게는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\gamma^\mu = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^\mu \\ \overline{\sigma}^\mu & 0 \end{pmatrix}, \quad\sigma^\mu \equiv (1, \sigma^i), \quad\overline{\sigma}^\mu \equiv \left(1, -\sigma^i\right).

이 표현에서 키랄 투영은 다음과 같이 간단한 형태를 가진다.

:

\psi_{\mathrm L} = \tfrac{1}{2}\left(1 - \gamma^5\right)\psi = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\psi, \quad\psi_{\mathrm R} = \tfrac{1}{2}\left(1 + \gamma^5\right)\psi = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}\psi ~.

여기서

\psi_{\mathrm L}

과

\psi_{\mathrm R}

은 왼손잡이 및 오른손잡이 2성분 바일 스피너이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\psi = \begin{pmatrix} \psi_{\mathrm L} \\ \psi_{\mathrm R} \end{pmatrix},

카이랄 표현에서

\gamma_5

는 대각화되어 있으며, 좌우 성분은 상하 2성분씩으로 나뉜다. 사영 연산자는 다음과 같다.

:

P_L=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \\\end{bmatrix},~P_R=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}

이에 따라,

:

\psi=\begin{bmatrix}\xi \\ \bar{\eta} \\\end{bmatrix}

:

\psi_L=\begin{bmatrix}\xi \\ 0 \\\end{bmatrix},~\psi_R=\begin{bmatrix}0 \\ \bar{\eta} \\\end{bmatrix}

와 같이 표현된다.

카이랄 표현과 디랙 표현은 유사 변환으로 연결된다.

:

\gamma^{\mu}_{\operatorname{chiral}} =U \, \gamma^{\mu}_{\operatorname{Dirac}}\, U^{\dagger}, \quadU = \frac{1}{\sqrt{2}}(1-\gamma_5 \gamma_0)= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 \\

1 & 1 \\

\end{bmatrix}

5. 6. 마요라나 표현

마요라나 기저에서는 모든 디랙 행렬이 허수이고, 스피너와 디랙 방정식은 실수이다. 파울리 행렬과 관련하여, 이 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]

:

\begin{align}\gamma^0 &= \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}\ , ~&\gamma^1 &= \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}\ , ~&\gamma^2 &= \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix},\\\gamma^3 &= \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}\ , ~&\gamma^5 &= \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}\ , ~&C &= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma^2 \\ -i\sigma^2 & 0 \end{pmatrix}\ ,\end{align}

여기서

C

는 위에서 정의된 디랙 버전과 일치하는 전하 켤레 행렬이다.^[1]

모든 감마 행렬을 허수로 만드는 이유는 오로지 입자 물리학 계량 텐서를 얻기 위함이며, 이 계량 텐서에서는 질량의 제곱이 양수가 된다. 하지만 마요라나 표현은 실수이다.

\ i\

를 묶어내면 네 개의 성분을 가진 실수 스피너와 실수 감마 행렬을 가진 다른 표현을 얻을 수 있다.

\ i\

를 제거한 결과, 실수 감마 행렬을 가진 유일한 가능한 계량 텐서는 이다.^[1]

마요라나 기저는 위의 디랙 기저로부터 유니타리 변환을 통해 얻을 수 있다. 유니타리 변환은 다음과 같다.^[1]

:

\gamma^\mu_{\mathrm M} = U \gamma^\mu_{\mathrm D} U^\dagger, ~~ \psi_{\mathrm M} = U \psi_{\mathrm D}

:

U = U^\dagger = \tfrac{1}{\sqrt{2\ }\ } \begin{pmatrix}I_2 & \sigma^2 \\\sigma^2 & -I_2\end{pmatrix} ~.

마요라나 표현에서 감마 행렬은 모두 순허수가 되도록 선택된다. 구체적으로

\gamma^\mu

및

\gamma_5

는 다음과 같다.^[1]

:

\gamma^0=\begin{bmatrix}0 & \sigma_2 \\\sigma_2 & 0 \\\end{bmatrix},\quad\gamma^1=\begin{bmatrix}i\sigma_3 & 0 \\0 & i\sigma_3 \\\end{bmatrix},\quad\gamma^2=\begin{bmatrix}0 & -\sigma_2 \\\sigma_2 & 0 \\\end{bmatrix},\quad\gamma^3=\begin{bmatrix}

i\sigma_1 & 0 \\

0 & -i\sigma_1 \\\end{bmatrix},\quad\gamma_5=\begin{bmatrix}\sigma_2 & 0 \\0 & -\sigma_2 \\\end{bmatrix}

마요라나 표현에서 디랙 방정식은 실수로 구성된다.^[1]

마요라나 표현은 다음의 직적 표현에 상당한다.^[1]

:

\gamma^0 = \sigma_1 \otimes \sigma_2, \quad\gamma^1 = i 1 \otimes \sigma_3, \quad\gamma^2 = -i\sigma_2 \otimes \sigma_2, \quad\gamma^3 = -i1 \otimes \sigma_1, \quad\gamma_5 =  \sigma_3 \otimes \sigma_2

또한, 마요라나 표현과 디랙 표현은 다음의 유사 변환으로 연결된다.^[1]

:

\gamma^{\mu}_{\operatorname{majorana}} =U \, \gamma^{\mu}_{\operatorname{Dirac}}\, U^{\dagger}, \quadU = U^{\dagger}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & \sigma_2 \\\sigma_2 &  -1 \\\end{bmatrix}

6. 파인만 슬래시 표기법

파인만 슬래시 표기법은 임의의 4-벡터 $a$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.

: ${a\!\!\!/} := \gamma^\mu a_\mu$

슬래시 표기법과 관련된 몇 가지 유사한 항등식은 다음과 같다.

${a\!\!\!/}{b\!\!\!/} = \left[a \cdot b - i a_\mu \sigma^{\mu\nu} b_\nu \right] I_4$
${a\!\!\!/}{a\!\!\!/} = \left[ a^\mu a^\nu \gamma_\mu \gamma_\nu \right] I_4 = \left[\tfrac{1}{2} a^\mu a^\nu \left(\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu\right) \right] I_4 = \left[ \eta_{\mu\nu} a^\mu a^\nu \right] I_4 = a^2I_4$
$\operatorname{tr}\left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right) = 4 (a \cdot b)$
$\operatorname{tr}\left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right) = 4 \left[(a \cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right]$
$\operatorname{tr}\left(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right) = 0$
$\operatorname{tr}\left(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right) = -4 i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} a^\mu b^\nu c^\rho d^\sigma$
$\gamma_\mu {a\!\!\!/} \gamma^\mu = -2 {a\!\!\!/}$ ^[1]
$\gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} \gamma^\mu = 4 (a \cdot b) I_4$ ^[1]
$\gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} {c\!\!\!/} \gamma^\mu = -2 {c\!\!\!/} {b\!\!\!/} {a\!\!\!/}$ ^[1]

여기서

\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}

는 레비-치비타 기호이며,

\sigma^{\mu\nu} = \tfrac{i}{2} \left[\gamma^\mu, \gamma^\nu\right] ~.

실제로 홀수 개의

\ \gamma\

의 곱의 대각합은 0이다.

슬래시 표기법을 전개하고

\ a_\mu b_\nu c_\rho\ \ldots\

형태의 식을 감마 행렬과 관련된 적절한 항등식으로 축약하면 많은 결과가 직접적으로 도출된다.

리처드 파인만이 도입한 표기법^[6]을 사용하여 시공간의 아래첨자를 갖는 벡터량에 대하여

:

p\!\!\!/ \equiv \gamma^\mu p_\mu = \gamma_\mu p^\mu

로 표기하는 경우가 있다.

7. 수학적 구조

감마 행렬()는 다음의 반교환 관계를 만족하는 행렬의 조로 정의된다.^[3]

:

여기서 (, , …, )는 차원 시공간의 첨자이고, 는 시공간의 계량이며, 이 경우 이다. 는 단위 행렬이며, 이 식이 행렬로서의 등식임을 명시하지만, 종종 생략된다.

감마 행렬이 클리퍼드 대수를 생성하도록 하는 정의는 다음과 같은 반교환 관계이다.

:

여기서 중괄호 {}는 반교환자를 나타내고, 는 부호가 (+ − − −)인 민코프스키 계량이며, 는 4 × 4 항등 행렬이다.

공변 감마 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

시공간 첨자를 올리고 내리는 것은 계량에 의해 이루어진다.

:

:

여기서 (j = 1, …, d − 1)는 공간 성분이다.

8. 물리적 구조

시공간 위의 클리퍼드 대수 $\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})\$ 는 에서 자신으로의 실수 선형 연산자 집합 로 간주될 수 있다. 복소화하면, 임의의 4차원 복소 벡터 공간에서 자신으로의 선형 연산자 집합으로도 볼 수 있다. 간단히 말하면, 의 기저가 주어지면, $\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C}\$ 는 모든 복소 행렬의 집합에 클리퍼드 대수 구조를 부여한 것이다.

로렌츠 군의 bispinor 표현을 갖는 바이 스피너 공간 는 시공간의 모든 점에 존재한다고 가정한다. 디랙 방정식의 바이 스피너 장 는 시공간의 임의의 점 에서 평가되며, 의 원소이다. 클리퍼드 대수는 모든 에 대해 의 열 벡터 와의 행렬 곱셈을 통해 에서도 작용한다고 가정한다.

의 각 선형 변환 에 대해, 의 변환은 가 $\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})_\mathbb{C} \approx \operatorname{End}(U_x) ~.$ 에 있는 경우 으로 주어진다. 가 로렌츠 군의 표현에 속하면, 유도된 작용 도 로렌츠 군의 표현에 속한다.

가 에 작용하는 표준(4 벡터) 표현에서 임의의 로렌츠 변환 에 대한 에 작용하는 바이 스피너 표현이라면, $\ \operatorname{End}\left( U_x \right) = \mathrm{Cl}_{1,3}\left( \mathbb{R} \right)_\mathbb{C}\$ 에 대한 대응하는 연산자는 다음 방정식으로 주어진다.

: $\ \gamma^\mu \ \mapsto \ S(\Lambda)\ \gamma^\mu\ {S(\Lambda)}^{-1} = {\left( \Lambda^{-1} \right)^\mu}_\nu\ \gamma^\nu = {\Lambda_\nu}^\mu\ \gamma^\nu \ ,$

이는 의 양이 클리퍼드 대수 내에 있는 로렌츠 군의 표현 공간의 ''기저''로 볼 수 있음을 보여준다.

9. 디랙 방정식 표현

자연 단위계에서 디랙 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[6]

:(iγ^μ∂_μ - m)ψ = 0

여기서 ψ는 디랙 스피너이다.

파인만 표기법으로 바꾸면, 디랙 방정식은 다음과 같다.^[6]

:(i∂̸ - m)ψ = 0

리처드 파인만이 도입한 표기법^[6]을 사용하여 시공간의 아래첨자를 갖는 벡터량 p_μ에 대하여

:p̸ ≡ γ^μp_μ = γ_μp^μ

로 표기하는 경우가 있다.

10. 다섯 번째 감마 행렬, γ5

다섯 번째 감마 행렬 $\gamma^5$ 는 네 개의 감마 행렬의 곱으로 정의되며, 양자역학에서 손지기성을 논의할 때 유용하다. $\gamma^5$ 는 다음과 같이 표현된다.

: $\ \gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0\end{pmatrix} \qquad$ (디랙 기저에서).

$\ \gamma^5\$ 는 감마 문자를 사용하지만, $\ \mathrm{Cl}_{1,3}(\mathbb{R})$ 의 감마 행렬 중 하나는 아니다. 인덱스 숫자 5는 오래된 표기의 잔재이며, 과거 $\ \gamma^0\$ 는 " $\gamma^4$ "라고 불렸다.

$\ \gamma^5\$ 는 다음과 같은 대안적인 형태로도 표현 가능하다.

: $\ \gamma^5 = \tfrac{i}{4!} \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} \gamma_{\alpha} \gamma_{\beta}\$ ( $\varepsilon_{0 1 2 3} = 1$ 규칙 사용)

또는

: $\ \gamma^5 = -\tfrac{i}{4!} \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta} \gamma_{\mu} \gamma_{\nu} \gamma_{\alpha} \gamma_{\beta}\$ ( $\varepsilon^{0 1 2 3} = 1$ 규칙 사용).

이는 네 개의 감마 행렬이 반교환한다는 사실을 이용하여 증명할 수 있다.

$\gamma^5$ 는 다음과 같은 속성을 가진다.

에르미트 행렬이다: $\left(\gamma^5\right)^\dagger = \gamma^5$ .
고윳값은 ±1이다: $\left(\gamma^5\right)^2 = I_4$ .
네 개의 감마 행렬과 반교환한다: $\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} = \gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0$ .

\gamma^5

를 이용하여 디랙 장을 좌수 성분(

\psi_{\mathrm L}

)과 우수 성분(

\psi_{\mathrm R}

)으로 나눌 수 있다.

:

\ \psi_{\mathrm L} = \frac{\ I - \gamma^5\ }{2}\ \psi, \qquad \psi_{\mathrm R} = \frac{\ I + \gamma^5\ }{2}\ \psi ~.

\ \psi_{\mathrm L}\

과

\ \psi_{\mathrm R}\

은

\ \gamma^5\

의 고유 벡터이다.^[1]

11. 감마 행렬의 항등식

다음 등식은 기본 반교환 관계에서 유도되므로 모든 기저에서 성립한다(마지막 등식은 $\gamma^5$ 에 대한 부호 선택에 따라 달라진다).

1. $\gamma^\mu\gamma_\mu = 4 I_4$

증명

2. $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu = -2\gamma^\nu$

증명

3. $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu = 4\eta^{\nu\rho} I_4$

증명

4. $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu = -2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu$

증명

5. $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho = \eta^{\mu\nu}\gamma^\rho + \eta^{\nu\rho}\gamma^\mu - \eta^{\mu\rho}\gamma^\nu - i\epsilon^{\sigma\mu\nu\rho}\gamma_\sigma\gamma^5$

증명

6. $\gamma^5\sigma^{\nu\rho} = \tfrac{i}{2} \epsilon^{\sigma\mu\nu\rho} \sigma_{\sigma\mu}$ ( $\ \sigma_{\mu\nu} = \tfrac{i}{2} [\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}] = \tfrac{i}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}) \$ )

증명

12. 전하 켤레

어떤 기저에서든 전하 켤레 연산자는 다음과 같이 정의될 수 있다.

:C|씨^영어γ_μC|씨^영어⁻¹ = -(γ_μ)^T

여기서 (·)^T는 행렬 전치를 나타낸다. C|씨^영어가 취하는 명시적 형태는 감마 행렬에 대해 선택된 특정 표현에 따라 임의의 위상 인자까지 달라진다. 이는 전하 켤레가 감마 그룹의 자기 동형 사상이긴 하지만, 그룹의 내부 자기 동형 사상은 ''아니기'' 때문이다. 켤레 행렬을 찾을 수 있지만, 표현에 의존적이다.

표현에 독립적인 항등식은 다음과 같다.

: $\begin{align}C\gamma_5 C^{-1} &= +(\gamma_5)^\textsf{T} \\C\sigma_{\mu\nu} C^{-1} &= -(\sigma_{\mu\nu})^\textsf{T} \\C\gamma_5\gamma_\mu C^{-1} &= +(\gamma_5\gamma_\mu)^\textsf{T} \\\end{align}$

전하 켤레 연산자는 또한 유니타리 C|씨^영어^-1=C|씨^영어^†이며, 모든 표현에 대해 C|씨^영어^T = -C|씨^영어가 성립한다. 감마 행렬의 표현이 주어지면, 전하 켤레 연산자에 대한 임의의 위상 인자는 C|씨^영어^† = -C|씨^영어가 되도록 선택할 수도 있으며, 이는 아래에 주어진 네 가지 표현(디랙, 마요라나 및 두 가지 카이랄 변형)의 경우이다.

13. 유클리드 디랙 행렬

양자장론에서, 시간 축을 윅 회전하여 민코프스키 공간에서 유클리드 공간으로 변환할 수 있다. 이는 일부 재규격화 절차와 격자 게이지 이론에서 특히 유용하다. 유클리드 공간에서는 디랙 행렬에 대해 두 가지 일반적인 표현이 사용된다.

'''카이랄 표현'''

: $\gamma^{1, 2, 3} = \begin{pmatrix}0 & i\sigma^{1, 2, 3} \\$

i\sigma^{1, 2, 3} & 0

\end{pmatrix}, \quad\gamma^4 = \begin{pmatrix}0 & I_2 \\I_2 & 0\end{pmatrix}

여기서

i

인수는 공간 감마 행렬에 삽입되어 유클리드 클리포드 대수

:

\left\{\gamma^\mu, \gamma^\nu \right\} = 2\delta^{\mu\nu} I_4

가 나타난다. 또한, 격자 QCD 코드와 같이 감마 행렬 중 하나에

-i

를 대신 삽입하는 변형이 있으며, 이는 카이랄 기저를 사용한다는 점에 주목할 가치가 있다.

유클리드 공간에서,

:

\gamma_{\mathrm M}^5 = i \left(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\right)_{\mathrm M} = \tfrac{1}{i^2} \left(\gamma^4\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \right)_{\mathrm E} = \left(\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^4\right)_{\mathrm E} = \gamma^5_{\mathrm E} ~.

반교환자를 사용하여 유클리드 공간에서

\left(\gamma^\mu\right)^\dagger = \gamma^\mu

임을 주목하면,

:

\left( \gamma^5 \right)^\dagger = \gamma^5

임을 알 수 있다.

유클리드 공간의 카이랄 기저에서,

:

\gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0\\ 0 & I_2 \end{pmatrix}

는 민코프스키 버전에서 변경되지 않았다.

'''비상대론적 표현'''

:

\gamma^{1,2,3} = \begin{pmatrix} 0 & -i \sigma^{1,2,3} \\ i \sigma^{1,2,3} & 0 \end{pmatrix}\ , \quad\gamma^4 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}, \quad\gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & -I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix}

참조

_[1] 학술지 Space-time approach to quantum electrodynamics https://journals.aps[...] 1949
_[2] 간행물 The Quantum Theory of the Electron http://rspa.royalsoc[...] 1928
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 학술지 Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics 1949

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com