랑주뱅 동역학

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 랑주뱅 방정식
  - 2.1.1. 각 항의 의미
3. 특징
4. 추가 설명
5. 활용
참조

1. 개요

랑주뱅 동역학은 입자의 운동을 기술하는 확률 미분 방정식인 랑주뱅 방정식을 기반으로 한다. 랑주뱅 방정식은 입자의 질량, 위치, 상호작용 포텐셜, 감쇠 상수, 온도 등의 변수를 포함하며, 가우스 과정을 따르는 무작위 힘을 고려한다. 이 방정식은 입자의 운동을 이해하고 시뮬레이션하는 데 활용된다.

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랑주뱅 동역학
개요
분야	물리학, 화학, 생물학
하위 분야	통계 역학, 브라운 운동
관련 주제	확산, 마르코프 과정, 몬테카를로 방법
상세 정보
설명	입자가 무작위 힘과 마찰력을 받는 환경에서의 운동을 다루는 수학적 모델
특징	계의 자유도가 많아 모든 정보를 알 수 없을 때 유용함 확률론적 미분 방정식인 랑주뱅 방정식으로 표현됨
적용 분야	브라운 운동 모델링 화학 반응 속도론 생물학적 분자의 동역학 시뮬레이션 고체 물리학에서의 원자 운동
수학적 표현
랑주뱅 방정식	m(d²x/dt²) = -γ(dx/dt) + F(t) + f(t)
변수 설명	m: 입자의 질량 x: 입자의 위치 γ: 마찰 계수 F(t): 결정론적인 힘 f(t): 무작위적인 힘 (백색 가우시안 노이즈)
시뮬레이션
방법	몬테카를로 방법을 사용하여 랑주뱅 방정식을 수치적으로 계산
활용	복잡한 시스템의 동역학적 특성을 예측하고 분석
참고 자료
관련 연구	Stochastic Quantization (Namiki, Mikio, 2008)

2. 정의

분자 동역학에서 랑주뱅 동역학은 실제 분자 시스템이 용매나 공기 분자와의 충돌로 인해 겪는 마찰과 무작위적인 움직임을 모형화하기 위해 사용된다. 이러한 충돌은 시스템에 마찰력을 가하고, 때때로 발생하는 고속 충돌은 시스템을 흔들어 놓는다. 랑주뱅 동역학은 이러한 현상을 반영하여 분자 동역학을 확장하며, 온도를 조절하여 정준 앙상블에 가까운 상태를 유지할 수 있게 해준다.^[9]

랑주뱅 동역학은 용매의 점성을 모방하지만, 음용매 모델을 완벽하게 재현하지는 않는다. 특히, 정전기적 차폐나 소수성 효과는 고려되지 않는다. 또한, 밀도가 높은 용매 내에서의 유체역학적 상호작용은 랑주뱅 동역학으로 설명하기 어렵다.^[9]

랑주뱅 방정식은 브라운 동역학으로도 불리는 과감쇠 랑주뱅 동역학으로, 평균 가속도가 0인 상황을 다룬다. 이 방정식은 확률 변수 ''X''의 확률 분포를 기술하는 포커-플랑크 방정식으로 다시 표현될 수 있다.^[4]

2. 1. 랑주뱅 방정식

실제 분자 시스템은 진공 상태에 있기 어렵다. 용매나 공기 분자와의 충돌은 마찰을 유발하고, 종종 발생하는 높은 속도에서의 충돌은 시스템을 요동치게 만든다. 랑주뱅 동역학은 분자 역학을 확장해 이러한 효과를 모델링하며, 온도를 제어하여 표준 앙상블에 가깝게 만들 수 있다.

랑주뱅 동역학은 용매의 점성을 모델링하지만, 음용매를 완전히 모델링하지는 않는다. 특히, 정전 차폐와 소수성 효과를 고려하지 않는다. 밀도가 높은 용매의 경우 유체 역학적 상호작용은 랑주뱅 동역학으로 설명되지 않는다.

질량

M

을 가진

N

개의 입자로 이루어진 시스템의 위치를

X=X(t)

와 같이 시간에 따른 랜덤 변수로 모델링하면 랑주뱅 방정식은 다음과 같이 주어진다.^[9]

:

M\ddot{X} = - \nabla U(X) - \gamma \dot{X} + \sqrt{2 \gamma k_B T} R(t)\,,

여기서

\left\langle \mathbf{R}(t) \right\rangle = 0

이고

\left\langle \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t') \right\rangle = \delta(t - t')

이다.

\delta

는 디랙 델타 함수이다.

온도 조절이 주된 목표인 경우, 작은 감쇠 상수

\gamma

를 사용해야 한다.

\gamma

가 증가하면 관성 영역에서 브라운 영역까지 확장된다. 비관성 랑주뱅 동역학 한계는 브라운 동역학으로 설명되며, 이는 과감쇠 랑주뱅 동역학, 즉 평균 가속도가 없는 랑주뱅 동역학으로 간주될 수 있다.

랑주뱅 방정식은 확률 변수 ''X''의 확률 분포를 지배하는 포커-플랑크 방정식으로 다시 쓸 수 있다.^[4]

2. 1. 1. 각 항의 의미

변수	의미
M	입자의 질량^[9]
X	시간에 따른 입자의 위치 (확률 변수)^[9]
U(X)	입자 상호작용 포텐셜^[9]
∇	기울기 연산자^[9]
γ	감쇠 상수 (충돌 빈도)^[9]
k_B	볼츠만 상수^[9]
T	온도^[9]
R(t)	델타 상관 정상 가우스 과정 (확률 변수)^[9]

3. 특징

랑주뱅 동역학은 실제 분자 시스템에서 용매나 공기 분자와의 충돌로 발생하는 마찰과 무작위적인 움직임을 모델링하여 분자 동역학을 확장한다. 또한 온도를 제어하여 표준 앙상블에 가깝게 만드는 기능도 가지고 있다.^[9]

하지만 랑주뱅 동역학은 용매의 점성을 모방하지만, 암시적 용매를 완벽하게 모델링하지는 못한다. 특히 정전기적 차폐나 소수성 효과는 고려하지 않는다. 밀도가 높은 용매에서는 유체역학적 상호작용도 랑주뱅 동역학으로 설명할 수 없다.

온도 조절이 주된 목적이라면 작은 감쇠 상수 $\gamma$ 를 사용할 때 주의해야 한다. $\gamma$ 값이 커지면 관성 영역에서 확산(브라운 운동) 영역까지 넓게 분포하게 된다. 비관성 랑주뱅 동역학의 한계는 일반적으로 브라운 동역학으로 설명되는데, 이는 과감쇠 랑주뱅 동역학, 즉 평균 가속도가 없는 랑주뱅 동역학으로 볼 수 있다.

4. 추가 설명

랑주뱅 방정식은 확률 변수 ''X''의 확률 분포를 지배하는 포커-플랑크 방정식으로 재구성될 수 있다.^[4] 이 방정식은 회전 동역학의 분자, 브라운 입자 등으로 일반화될 수 있다.

5. 활용

랑주뱅 동역학은 분자 역학을 확장하여 실제 분자 시스템에서 발생하는 여러 효과들을 모델링한다. 현실의 분자 시스템은 진공 상태가 아닌 경우가 많다. 용매나 공기 분자와의 충돌은 마찰을 일으키고, 빠른 속도에서의 충돌은 시스템에 요동을 발생시킨다. 랑주뱅 동역학은 이러한 현상들을 반영한다.^[9] 또한, 랑주뱅 동역학을 통해 온도를 제어하여 표준 앙상블에 가까운 환경을 만들 수 있다.

랑주뱅 동역학은 용매의 점성을 모델링하지만, 암시적 용매를 완벽하게 표현하지는 못한다. 특히 정전기 스크리닝이나 소수성 효과는 고려되지 않는다. 밀도가 높은 용매에서 나타나는 유체 역학적 상호작용 역시 랑주뱅 동역학으로는 설명하기 어렵다.

참조

_[1] 서적 Stochastic Quantization https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-10-04
_[2] 서적 Molecular Modeling and Simulation Springer
_[3] 서적 The Molecular Dynamics of Liquid Crystals. NATO ASI Series Springer, Dordrecht
_[4] 논문 Time Correlation Functions of Equilibrium and Nonequilibrium Langevin Dynamics: Derivations and Numerics Using Random Numbers 2020-01-01
_[5] URL https://tsapps.nist.[...]
_[6] 논문 On the numerical integration of motion for rigid polyatomics: The modified quaternion approach https://pubs.aip.org[...] 1998-01-01
_[7] 논문 Dissipative particle dynamics: Bridging the gap between atomistic and mesoscopic simulation https://pubs.aip.org[...] 1997-09-15
_[8] 서적 Molecular Modeling and Simulation Springer
_[9] 서적 Molecular Modeling and Simulation https://archive.org/[...] Springer

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