푸아송 다양체

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1. 개요

푸아송 다양체는 매끄러운 다양체에 푸아송 괄호 또는 푸아송 텐서장과 같은 추가 구조가 주어진 것으로, 고전역학, 기하학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다. 푸아송 괄호를 통한 정의, 텐서장을 통한 정의, 리 준대수를 통한 정의 등 여러 가지 방법으로 정의될 수 있으며, 푸아송 사상과 푸아송 미분 동형 사상을 통해 푸아송 다양체 간의 관계를 설명한다. 푸아송 부분 다양체, 공등방성 부분 다양체 등 다양한 성질을 가지며, 심플렉틱 다양체의 침몰로 표현되거나 심플렉틱 잎으로 분해되는 특징을 갖는다. 선형 푸아송 다양체, 리 대수의 쌍대 공간 등 다양한 예시가 있으며, 고전역학의 위상 공간을 설명하는 데에도 활용된다.

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푸아송 다양체

2. 정의

푸아송 다양체는 매끄러운 다양체 위에 정의되며, 푸아송 괄호 또는 푸아송 텐서장이라는 특별한 구조를 가진다. 이 구조는 다양체 위의 매끄러운 함수들에 대한 연산을 정의하며, 이 연산은 리 대수의 성질과 유사한 성질들을 만족한다. 푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.^[10]

시메옹 드니 푸아송은 1809년에 오늘날 푸아송 괄호라고 부르는 것을 도입하여 새로운 운동 적분을 얻었다.^[12] 카를 구스타프 야코프 야코비는 푸아송 괄호의 일반적인 성질을 이진 연산으로 처음 규명하였고, 이는 소푸스 리의 미분 방정식의 대칭성에 대한 선구적인 연구에 영향을 미쳐 리 군과 리 대수의 발견으로 이어졌다.^[13]^[14]^[15]^[16]

1977년에 앙드레 리크네로비츠가 매끄러운 다양체에 대한 기하학적 객체로 푸아송 구조를 도입했다.^[10] 그 후, 1983년 앨런 와인스타인의 논문에서 푸아송 다양체의 기본 구조 정리가 증명되었다.^[17]

2. 1. 푸아송 괄호를 통한 정의

체

K

위의 가환 결합 대수

A

위의 '''푸아송 괄호'''(Poisson bracket^영어)는 다음 조건을 만족시키는

K

--리 대수 구조이다.

임의의 $a\in A$ 에 대하여, $(A,\{a,-\})$ 는 $K$ -미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다.

$\{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad\forall a,b,c\in A$

'''푸아송 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

매끄러운 다양체 $M$
실수 가환 결합 대수 $\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$ 위의 푸아송 괄호 $\{,\}$

푸아송 다양체

(M,\{,\})

위에서, 임의의

f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

에 대하여

\{f,-\}

는

M

위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 '''해밀턴 벡터장'''이라고 한다.

X=\{f,-\}

라면

f

를

X

의 '''해밀토니언'''(Hamiltonian^영어)이라고 한다.

리 대수

\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 '''카시미르 함수'''라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)

M을 매끄러운 다양체라고 하고,

{C^{\infty}}(M)

을 M 위의 매끄러운 실수 값을 갖는 함수의 실수 대수라고 하자. 곱셈은 점별로 정의된다. M 위의 '''푸아송 괄호''' (또는 '''푸아송 구조''')는 다음을 만족하는

\mathbb{R}

-쌍선형 맵이다.

:

\{ \cdot,\cdot \}: {C^{\infty}}(M) \times {C^{\infty}}(M) \to {C^{\infty}}(M)

이는

{C^{\infty}}(M)

위에 푸아송 대수의 구조를 정의하며, 다음 세 가지 조건을 만족한다.

왜대칭성: $\{ f,g \} = - \{ g,f \}$ .
야코비 항등식: $\{ f,\{ g,h \} \} + \{ g,\{ h,f \} \} + \{ h,\{ f,g \} \} = 0$ .
라이프니츠 규칙: $\{ f g,h \} = f \{ g,h \} + g \{ f,h \}$ .

처음 두 조건은

\{ \cdot,\cdot \}

가

{C^{\infty}}(M)

위에 리 대수 구조를 정의하도록 보장하는 반면, 세 번째 조건은 각

f \in {C^{\infty}}(M)

에 대해 선형 맵

X_f := \{ f,\cdot \}: {C^{\infty}}(M) \to {C^{\infty}}(M)

가 대수

{C^{\infty}}(M)

의 미분임을 보장한다. 즉,

f

와 관련된 해밀턴 벡터장이라고 하는 벡터장

X_{f} \in \mathfrak{X}(M)

을 정의한다.

국소 좌표

(U, x^i)

를 선택하면, 모든 푸아송 괄호는 다음과 같이 주어진다.

:

\{f, g\}_{\mid U} = \sum_{i,j} \pi^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i} \frac{\partial g}{\partial x^j},

여기서

\pi^{ij} = \{ x^i, x^j \}

는 좌표 함수의 푸아송 괄호이다.

(M,\omega)

를 심플렉틱 다양체라고 하자. 이 때,

M

위에 푸아송 구조를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\{ f,g \} = \omega( X_{f}, X_{g})

여기서,

X_{f}, X_{g}

는 각각

f,g

로부터 정해지는 해밀턴 벡터장이다. 따라서, 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체이기도 하다. 하지만, 푸아송 다양체가 심플렉틱 다양체인 것은 아니다.

(q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})

을 다르부 좌표라고 하면, 심플렉틱 다양체 위의 푸아송 구조는,

:

\{ f,g \} = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}} -\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}} \right)

로 쓸 수 있다.

2. 2. 텐서장을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 푸아송 텐서장 $\pi$는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다.

(반대칭성) $\pi^{ij} = -\pi^{ji}$
(멱영성) $[\pi,\pi]=0$. 여기서 $[-,-]$는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다.

이 경우 푸아송 괄호는 다음과 같이 주어진다.

:$\\{f,g\\} = \pi(\mathrm df,\mathrm dg) \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$

여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.

:\(\pi^{[i|l}\partial_l\pi^

2. 3. 리 준대수를 통한 정의

푸아송 다양체는 매끄러운 다양체

M

과 그 여접다발

T^*M

위의 리 준대수 구조로 정의될 수 있다. 이때, 리 괄호는 1차 미분 형식의 리 미분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:

[\alpha,\beta] = \mathcal L_{\sharp\alpha}\beta - \mathcal L_{\sharp\beta} \alpha - \mathrm d\langle\sharp\alpha,\beta\rangle \in \Omega^1(M)\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^1(M)

여기서

\mathcal L

은 1차 미분 형식의 리 미분이다.

이 정의에서 사용되는

\sharp

는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장

\pi

와 같은 데이터를 정의한다.

:

\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM

:

\sharp \colon \alpha \mapsto \pi(\alpha,-)

이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 작용하며 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상은 아니다. 즉,

\flat\colon\mathrm TM \to \mathrm T^*M

와 같은 사상은 표준적으로 존재하지 않는다.

2. 4. 푸아송 사상

두 푸아송 다양체

(M,\{,\}_M)

,

(N,\{,\}_N)

사이의 '''푸아송 사상'''(Poisson map^영어)

\phi\colon M\to N

은 매끄러운 함수 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.

:

\{f,g\}_N \circ \phi = \{f\circ\phi,g\circ\phi\}_M \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(N,\mathbb R)

푸아송 텐서장으로는

:

\pi_N \circ \phi = \phi_* \pi_M \in \Gamma^\infty\left(\bigwedge^2\phi^*\mathrm TN\right)

이어야 한다. 여기서

\phi_*

는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를

\operatorname{PoissDiff}

라고 표기한다.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''(Poisson diffeomorphism|이형어^영어)이라고 한다. 이는

\operatorname{PoissDiff}

의 동형 사상이다.

3. 성질

푸아송 다양체 $M$ 의 부분 다양체 $\iota\colon C\hookrightarrow M$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''푸아송 부분 다양체'''(Poisson submanifold^영어)라고 한다.

$\iota$ 를 푸아송 사상으로 만드는 $C$ 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
$\iota$ 를 푸아송 사상으로 만드는 $C$ 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
임의의 $f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 에 대하여, 만약 $f \restriction C = 0$ 이라면, $\{f,g\} \restriction C = 0$ 이다.

푸아송 다양체

M

의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.^[15]

푸아송 다양체는 자연스럽게, 차원이 다를 수 있는 정칙적으로 매끄럽게 임베딩된 심플렉틱 다양체들로 분할되는데, 이를 '''심플렉틱 잎'''이라고 부른다. 이들은 완전 적분 가능한 특이 분포의 최대 적분 부분 다양체로 나타나며, 이 분포는 해밀턴 벡터장들에 의해 생성된다.^[17]

푸아송 부분다양체

(M, \pi)

의 푸아송 부분다양체는 푸아송 구조

\pi_N

을 가진 포함된 부분다양체

N \subseteq M

이며, 포함 사상

(N,\pi_N) \hookrightarrow (M,\pi)

가 푸아송 사상이다.^[17]

3. 1. 공등방성 부분 다양체

매끄러운 다양체

M

의 부분 다양체

C\hookrightarrow M

가 주어졌을 때,

C

의 '''쌍대 법다발'''(conormal bundle^영어)은 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm N^*C = \{\alpha \in \mathrm T^*M\colon \langle\alpha,v\rangle = 0\;\forall v\in \mathrm TC\} \subseteq \mathrm T^*M

푸아송 다양체

(M,\pi)

에서, 부분 다양체

C

가 다음 조건들을 만족하면 '''공등방성 부분 다양체'''(共等方性部分多樣體, coisotropic submanifold^영어)라고 한다.

$\sharp (\mathrm N^*C) \subseteq \mathrm TC$
임의의 $f, g\in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 에 대하여, 만약 $f \restriction C = g \restriction C = 0$ 이면, $\{f,g\} \restriction C = 0$ 이다. (즉, $\{f \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\colon f \restriction C = 0 \}$ 는 $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R) \}$ 의 부분 리 대수이다.)

모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[69]

3. 2. 푸아송 사상 (성질)

두 푸아송 다양체

(M,\{,\}_M)

,

(N,\{,\}_N)

사이의 '''푸아송 사상'''(Poisson map, Poisson map^영어)

\phi\colon M\to N

은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

:

\{f,g\}_N \circ \phi = \{f\circ\phi,g\circ\phi\}_M \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(N,\mathbb R)

푸아송 텐서장으로는

:

\pi_N \circ \phi = \phi_* \pi_M \in \Gamma^\infty\left(\bigwedge^2\phi^*\mathrm TN\right)

이어야 한다. 여기서

\phi_*

는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를

\operatorname{PoissDiff}

라고 표기한다.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''(Poisson微分同形寫像, Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism^영어)이라고 한다. 이는

\operatorname{PoissDiff}

의 동형 사상이다.

세 푸아송 다양체

M

,

N

,

P

사이의 매끄러운 함수

f \colon M \to N

,

g\colon N\to P

가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

만약 $f$ 와 $g$ 가 푸아송 사상이라면 $g\circ f$ 또한 푸아송 사상이다.
만약 $f$ 가 전사 함수인 푸아송 사상이며 $g\circ f$ 도 푸아송 사상이라면, $g$ 역시 푸아송 사상이다.

특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형

\phi\colon \mathfrak g \to \mathfrak h

이 주어졌을 때,

:

\phi^\vee \colon \mathfrak h^\vee \to \mathfrak g^\vee

는 푸아송 사상이다. 여기서

(-)^\vee

는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.

4. 연산

임의의 2차 벡터장은 왜곡 준동형사상 $\pi^{\sharp} \colon T^{*} M \to T M, \; \alpha \mapsto \pi(\alpha,\cdot)$ 으로 간주될 수 있다. 따라서 그 이미지 ${\pi^{\sharp}}(T^{*} M) \subset TM$ 은 모든 해밀턴 벡터장 $x \in M$ 에서 평가된 값 ${X_{f}}(x)$ 로 구성된다.

$\pi$ 의 한 점 $x \in M$ 에서의 '''계수'''는 유도된 선형 사상 $\pi^{\sharp}_{x}$ 의 계수이다. $M$ 위의 푸아송 구조 $\pi$ 에 대해, $x \in M$ 가 $\pi$ 의 계수가 $x \in M$ 의 열린 근방에서 상수일 때와 같을 때 '''정칙'''이라고 한다. 그렇지 않으면 '''특이점'''이라고 한다. 정칙점은 열린 조밀 집합 $M_{\mathrm{reg}} \subseteq M$ 을 형성한다. 사상 $\pi^\sharp$ 가 상수 계수일 때 푸아송 구조 $\pi$ 를 '''정칙'''이라고 한다.

4. 1. 곱공간

임의의 두 푸아송 다양체 $(M, \pi_M)$, $(N, \pi_N)$에 대하여, 곱공간 $M \times N$ 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.

:$\pi((u,v),(u',v')) = \pi_M(u,u') + \pi_N(v,v') \qquad \forall (x,y) \in M \times N, \; (u,v), (u',v') \in \mathrm T_{(x,y)} M \times N = \mathrm T_x M \oplus \mathrm T_y N$

이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상

:$\operatorname{proj}_1 \colon M \times N \to M$

:$\operatorname{proj}_2 \colon M \times N \to N$

역시 푸아송 사상을 이룬다.

4. 2. 분리합집합

임의의 푸아송 다양체들의 집합

(M_i)_{i\in I}

에 대하여, 분리합집합

\textstyle\bigsqcup_{i\in I}

위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.^[17]

4. 3. 시작 대상과 끝 대상

푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합

\varnothing

이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간

\{\bullet\}

이다.^[17] 즉, 임의의 푸아송 다양체

M

에 대하여 유일한 두 함수

:

\varnothing \to M

:

M \to \{\bullet\}

는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

4. 4. 망각 함자

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주에서 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자가 존재한다.

:

\operatorname{PoissDiff} \to \operatorname{Diff}

반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 포함 함자 역시 존재한다.

:

\operatorname{Diff}\hookrightarrow\operatorname{PoissDiff}

:

M \mapsto (M,0)

그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

심플렉틱 다양체에서 푸아송 다양체로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다.^[17]

5. 분류

푸아송 다양체는 심플렉틱 잎(symplectic leaf)들로 분할되며, 각 심플렉틱 잎은 심플렉틱 다양체를 이룬다.^[79] 심플렉틱 잎의 포함 사상은 푸아송 사상이다.

푸아송 다양체 $M$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. 두 점 $x$ , $y$ 사이에 조각별 매끄러운 곡선 $\gamma\colon[a_0,a_N]\to M$ 이 존재하고, 다음 조건을 만족하면 $x\sim y$ 라고 한다.

$\gamma(a_0) = x$
$\gamma(a_N) = y$
$\gamma$ 의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 $\gamma_i\colon [a_i,a_{i+1}]\to M$ 에 대하여, $\dot\gamma_i(t) = \{h_i(\gamma_i(t)),-\} \in \mathrm T_{\gamma_i(t)}M$ 이 되는 매끄러운 함수 $h_i\colon M\to\mathbb R$ 가 존재한다.

그러면 다음이 성립한다.^[79]

$\sim$ 은 동치 관계를 이룬다.
$\sim$ 의 각 동치류는 $M$ 의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
푸아송 구조 $\pi$ 를 $\sim$ 의 동치류 $\iota_i\colon M_i\hookrightarrow M$ 에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 $M$ 의 '''심플렉틱 잎'''이라고 한다.
심플렉틱 잎 $M_i$ 의 임의의 점 $x\in M_i$ 에 대하여, $\operatorname{rank} \pi|_x = \dim M_i$ 이다. 특히, $\operatorname{rank}\pi$ 는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.

즉, 푸아송 다양체는 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 생각할 수 있다.

n

차원 푸아송 다양체

M

의 임의의 점

x_0\in M

의 충분히 작은 근방에서 다음과 같은 국소 좌표계를 항상 찾을 수 있다.^[79]

:

(q_1,q_2,\dotsc,q_r,p_1,p_2,\dotsc,p_r,c_1,\dotsc,c_{n-2r})

이 좌표계에서 푸아송 괄호는 다음과 같은 관계를 만족한다.

	관계식
$\{q_i,q_j\} = 0$	$\{p_i,p_j\} = 0$
$\{q_i,c_k\} = 0$	$\{p_i,c_k\} = 0$
$\{q_i,p_j\} = \delta_{ij}$	$\{c_k,c_l\}(x_0) = 0$

이는 국소적으로 어떤 $2r$ 차원 심플렉틱 다양체 $S$ 와 푸아송 다양체 $N$ 의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 $N$ 의 푸아송 구조는 $x_0$ 에서 계수가 0이다. 이러한 $(S,N)$ 은 국소 동형 아래 유일하다. 다르부 정리에 의하여 심플렉틱 다양체인 $S$ 는 국소적으로 자명하다.

푸아송 다양체의 국소적 구조 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

5. 1. 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현

모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.^[77]^[78]^[79] 심플렉틱 실현은 더 크지만 더 쉬운(비퇴화) 것으로 이동하여 복잡한(퇴화) 푸아송 다양체를 "특이점 제거"하는 역할을 한다.

심플렉틱 실현

\phi

에서 모든 완전한 해밀턴 벡터장

X_H

에 대해, 벡터장

X_{H \circ \phi}

또한 완전할 경우, 이 심플렉틱 실현을 '''완전'''하다고 정의한다. 모든 푸아송 다양체는 심플렉틱 실현을 항상 갖지만,^[17]^[38]^[43] 완전한 심플렉틱 실현은 항상 존재하지는 않으며, 그 존재는 푸아송 다양체의 적분 가능성 문제에서 근본적인 역할을 한다. 실제로, 리 대수의 적분 가능성에 대한 위상적 장애를 사용하여 푸아송 다양체가 완전한 심플렉틱 실현을 가지는 경우에만 적분 가능하다는 것을 보일 수 있다.^[35]

5. 2. 심플렉틱 잎

푸아송 다양체는 심플렉틱 잎(symplectic leaf)들로 분할되며, 각 심플렉틱 잎은 심플렉틱 다양체를 이룬다.^[79] 심플렉틱 잎의 포함 사상은 푸아송 사상이다.

푸아송 다양체

M

위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다. 두 점

x

,

y

사이에 조각별 매끄러운 곡선

\gamma\colon[a_0,a_N]\to M

이 존재하고, 다음 조건을 만족하면

x\sim y

라고 한다.

$\gamma(a_0) = x$
$\gamma(a_N) = y$
$\gamma$ 의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 $\gamma_i\colon [a_i,a_{i+1}]\to M$ 에 대하여, $\dot\gamma_i(t) = \{h_i(\gamma_i(t)),-\} \in \mathrm T_{\gamma_i(t)}M$ 이 되는 매끄러운 함수 $h_i\colon M\to\mathbb R$ 가 존재한다.

그러면 다음이 성립한다.^[79]

$\sim$ 은 동치 관계를 이룬다.
$\sim$ 의 각 동치류는 $M$ 의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
푸아송 구조 $\pi$ 를 $\sim$ 의 동치류 $\iota_i\colon M_i\hookrightarrow M$ 에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 $M$ 의 '''심플렉틱 잎'''이라고 한다.
심플렉틱 잎 $M_i$ 의 임의의 점 $x\in M_i$ 에 대하여, $\operatorname{rank} \pi|_x = \dim M_i$ 이다. 특히, $\operatorname{rank}\pi$ 는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.

즉, 푸아송 다양체는 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 생각할 수 있다.

5. 3. 국소 구조

n

차원 푸아송 다양체

M

의 임의의 점

x_0\in M

이 주어졌을 때,

x

의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계를 항상 찾을 수 있다.^[79]

:

(q_1,q_2,\dotsc,q_r,p_1,p_2,\dotsc,p_r,c_1,\dotsc,c_{n-2r})

이 좌표계에서 푸아송 괄호는 다음과 같은 관계를 만족한다.

	관계식
$\{q_i,q_j\} = 0$	$\{p_i,p_j\} = 0$
$\{q_i,c_k\} = 0$	$\{p_i,c_k\} = 0$
$\{q_i,p_j\} = \delta_{ij}$	$\{c_k,c_l\}(x_0) = 0$

이는 국소적으로 어떤 $2r$ 차원 심플렉틱 다양체 $S$ 와 푸아송 다양체 $N$ 의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 $N$ 의 푸아송 구조는 $x_0$ 에서 계수가 0이다. 이러한 $(S,N)$ 은 국소 동형 아래 유일하다. 다르부 정리에 의하여 심플렉틱 다양체인 $S$ 는 국소적으로 자명하다. 이러한 부분 다양체 $N$ 는 표준적으로 주어지지 않는다. 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 $N$ 의 점 $x_0\in N$ 에서 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수 $\mathcal C^\infty(N;\mathbb R)$ 의 부분 리 대수 $\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R) = \{f\in\mathcal C^\infty(N;\mathbb R)\colon f(x_0) = 0\}$ 의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.

: $\mathfrak m = \{f\in\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R)\colon \partial_i \partial_j f(x_0) = 0\}$

이에 따라, 공변접공간 $\mathrm T^*_{x_0}N = \frac{\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R)} {\mathfrak m}$ 위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간 $\mathrm T_{x_0}N$ 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 $N$ 의 $x_0\in N$ 에서의 '''선형 근사'''라고 한다.^[79] 이는 대략 $x_0$ 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

6. 예

푸아송 다양체의 예는 다음과 같다.

임의의 매끄러운 다양체는 그 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수 구조를 주어(즉, 모든 함수에 대해 $\{f,g\}=0$ ) 푸아송 구조를 이룬다.
매끄러운 다양체의 차원이 2 이하인 경우, 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.
심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$가 주어졌을 때, 푸아송 괄호를 $\{f,g\}=\omega^{-1}(\mathrm df,\mathrm dg)$와 같이 정의할 수 있다.
유클리드 공간 $V=\mathbb R^n$ 및 $V^*$ 위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 $\pi(-,-)$ 를 생각하면, 모든 점 $x\in V$ 에서 $\mathrm T_xV = V$ 이므로, $(V,\pi)$ 는 푸아송 다양체를 이룬다.
실수 리 대수 $(\mathfrak g,[,])$ 의 쌍대 공간 $\mathfrak g^*$ 에는 리-푸아송 구조가 주어져 푸아송 괄호를 이룬다.
실수 매개변수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 의존하는 실수 리 대수의 족을 푸아송 다양체로 생각할 수 있다.
심플렉틱 다양체와 주다발, 주접속이 주어지면 국소 선형 모형을 구성할 수 있다.

6. 1. 자명한 푸아송 다양체

임의의 매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주어(

\{f,g\}=0

), 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장

\pi = 0

에 해당하며, 리 준대수로는 리 괄호가 모두 0인 아벨 리 준대수에 해당한다.^[10]^[17]

이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.^[10]^[17] 모든 다양체

M

은 자명한 푸아송 구조

\{ f,g \} = 0 \quad \forall f,g \in \mathcal{C}^\infty (M)

를 가지며, 이는 쌍벡터

\pi=0

으로도 설명된다. 따라서

M

의 모든 점은 0차원 심플렉틱 잎이다.

6. 2. 2차원 이하 푸아송 다양체

매끄러운 다양체

M

의 차원이 2 이하인 경우,

M

위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하에서는 반대칭 (2,0)차 텐서가 0밖에 없으며, 이 경우 각 점은 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체

(M,\pi)

의 심플렉틱 잎은 다음과 같다.

2차원 잎: $\{x\in M \colon \pi_x\ne 0\}$ 의 연결 성분이며, 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.
0차원 잎: $\{x\in M \colon \pi_x = 0 \}$ 의 점들이다.

6. 3. 심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$가 주어졌을 때, 푸아송 괄호를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\{f,g\}=\omega^{-1}(\mathrm df,\mathrm dg)$

이 경우, 심플렉틱 잎들은 $M$의 연결 성분들이다.^[1]

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$에서 푸아송 구조는 다음과 같이 정의한다.

:$\{f,g\} = \omega(X_f, X_g)$

여기서 $X_f, X_g$는 각각 $f,g$로부터 정해지는 해밀턴 벡터장이다. 따라서 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체의 한 예시이다. 하지만 모든 푸아송 다양체가 심플렉틱 다양체인 것은 아니다.^[1]

$(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n)$을 다르부 좌표라고 하면, 심플렉틱 다양체 위의 푸아송 구조는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\{f,g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} - \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} \right)$

6. 4. 선형 푸아송 다양체

유클리드 공간

V=\mathbb R^n

및

V^*

위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식

\pi(-,-)

를 생각하자. 모든 점

x\in V

에서

\mathrm T_xV = V

이므로,

(V,\pi)

는 푸아송 다양체를 이룬다.

실수 선형 변환

\pi^\#\colon V^* \to V

의 계수가

2r

이라고 하자.

V

의 적절한 기저 :

(x_1,\dotsc,x_n) \subseteq V

및 그 쌍대 기저 :

(x^1,\dotsc,x^n) \subseteq V^*

에 대하여,

:

\pi\left(\sum_{i=1}^na_ix^i,\sum_{j=1}^nb_jx^j\right) = \sum_{i=1}^r (a_{2i-1}b_{2i} - a_{2i} b_{2i-1})

가 되게 할 수 있다. 이 경우,

x_{2r+1},\dotsc,x_n

에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각

:

c \in \operatorname{Span}\{x_{2r+1},\dotsc,x_n\}

에 대하여

:

\mathbb R^{2r} \times \{c\}

의 꼴이다. 만약

n=2r

일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

벡터 공간

V

위의 푸아송 구조

\{ \cdot, \cdot \}

는 두 선형 함수의 괄호가 여전히 선형일 때 '''선형'''이라고 한다.

선형 푸아송 구조를 가진 벡터 공간은 리 대수의 (쌍대)와 일치한다. 유한 차원 리 대수

(\mathfrak{g},[\cdot,\cdot])

의 쌍대

\mathfrak{g}^{*}

는 리-푸아송, 키릴로프-푸아송 또는 KKS (코스탄트-키릴로프-수리오) 구조로 알려진 선형 푸아송 괄호를 가진다.

:

\{ f, g \} (\xi) := \xi ([d_\xi f,d_\xi g]_{\mathfrak{g}}),

여기서

f,g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathfrak{g}^*), \xi \in \mathfrak{g}^*

이고 미분

d_\xi f, d_\xi g: T_{\xi} \mathfrak{g}^* \to \mathbb{R}

는 이중 쌍대

\mathfrak{g}^{**} \cong \mathfrak{g}

의 원소로 해석된다.

푸아송 이중 벡터는 다음과 같이 국소적으로 표현될 수 있다.

:

\pi = \sum_{i,j,k} c^{ij}_k x^k \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial}{\partial x^j},

여기서

x^i

는

\mathfrak{g}^{*}

의 좌표이고

c_k^{ij}

는

\mathfrak{g}

의 관련 구조 상수이다.

V

위의 모든 선형 푸아송 구조

\{ \cdot, \cdot \}

에 대해, 리-푸아송 괄호가

\{ \cdot, \cdot \}

를 복구하는

\mathfrak{g}:=V^*

에 유도된 자연스러운 리 대수 구조가 존재한다.

\mathfrak{g}^*

위의 리-푸아송 구조의 심플렉틱 잎은

G

의

\mathfrak{g}^*

에 대한 공역 작용의 궤도이다. 예를 들어, 표준 기저를 가진

\mathfrak{g} = \mathfrak{so}(3,\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^3

의 경우,

\mathfrak{g}^*

위의 리-푸아송 구조는 다음과 같이 식별된다.

:

\pi = x  \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} + y \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x} + z \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \in \mathfrak{X}^2 (\mathbb{R}^3)

심플렉틱 잎은

\mathbb{R}^3

내의 동심 구에 의한 잎으로 식별된다(유일한 특이 잎은 원점). 반면에, 표준 기저를 가진

\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^3

의 경우,

\mathfrak{g}^*

위의 리-푸아송 구조는 다음과 같이 식별된다.

:

\pi = x \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} - y \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial x} + z \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}  \in \mathfrak{X}^2 (\mathbb{R}^3)

심플렉틱 잎은

\mathbb{R}^3

내의 동심 쌍곡면과 원뿔면에 의한 잎으로 식별된다(유일한 특이 잎은 다시 원점).

6. 5. 리 대수의 쌍대 공간

실수 리 대수

(\mathfrak g,[,])

의 쌍대 공간

\mathfrak g^*

에는 다음과 같이 정의되는 푸아송 괄호가 주어진다. 이를 '''리-푸아송 구조'''(Lie–Poisson structure^영어)라고 한다.

임의의

f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)

및

x\in\mathfrak g^*

에 대하여,

:

\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])

여기서

:

\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

리 지수 사상에 따라

\mathfrak g=\mathfrak{lie}(G)

가 되는 단일 연결 리 군

G

를 정의하면,

\mathfrak g^*

는 리 군

G

의 표현을 이룬다.

\mathfrak g^*

의 심플렉틱 잎들은

\mathfrak g^*

속에서

G

에 대한 궤도에 해당하며, 이를 '''쌍대딸림표현 궤도'''(coadjoint orbit^영어)라고 한다.

예를 들어

\mathfrak g = \mathfrak o(3)

(3차원 직교군의 리 대수)인 경우, 이는 3차원 벡터 공간이다.

\mathfrak g

가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식

B(-,-)

에 의해 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다. 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같다.

:

\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))

즉, 음이 아닌 실수 반지름

r

의 구이다.

r>0

이면 2차원 심플렉틱 잎을,

r=0

이면 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

6. 6. 리 대수의 족

실수 매개변수 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 의존하는 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각할 수 있다.^[79]

:

\mathfrak {g} _{t}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x,y,z\}

:

[x,y]=tz

:

[y,z]=x

:

[z,x]=y

이 족은 푸아송 다양체로 생각할 수 있는데, 4차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}}$ 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 부여한다.

:

\{x,y\}=tz

:

\{y,z\}=x

:

\{z,x\}=y

:

\{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0

이 푸아송 다양체 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.

:

t

:

x^{2}+y^{2}+tz^{2}

이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 이 두 함수의 값에 따라 결정되며, 다음과 같은 형태를 가진다.

:

M_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}:x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}

이들은 카시미르 함수의 값에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

카시미르 함수의 값	추가 조건	차원	설명	미분 동형인 다양체
${\displaystyle t\neq 0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z=0}$	0	한원소 공간 ${\displaystyle \{(0,0,0,t)\}}$	한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle r=0}$		0	한원소 공간 ${\displaystyle \{(0,0,z,0)\}}$	한원소 공간 ${\displaystyle \{\bullet \}}$
${\displaystyle t>0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	타원면	구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r<0}$	${\displaystyle z>0}$	2	쌍곡면	평면 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r<0}$	${\displaystyle z<0}$	2	쌍곡면	평면 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	쌍곡면	원기둥 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z>0}$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 미래 빛원뿔)
${\displaystyle t<0}$, ${\displaystyle r=0}$	${\displaystyle z<0}$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 과거 빛원뿔)
${\displaystyle t=0}$, ${\displaystyle r>0}$		2	${\displaystyle z}$축에 대한 반지름 ${\displaystyle r}$의 원기둥

6. 7. 국소 선형 모형

심플렉틱 다양체와 주다발, 주접속이 주어지면 국소 선형 모형을 구성할 수 있다. 국소 선형 모형은 주접속에 의존하지만, 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.^[80]

이 푸아송 다양체를 주다발

P

의 '''국소 선형 모형'''(local linear model^영어)이라고 한다.^[80]

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