디랙 델타 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

디랙 델타 함수는 1927년 폴 디랙에 의해 소개된 특수한 함수로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 이 함수는 원점을 제외한 모든 곳에서 0의 값을 가지며, 원점에서 무한대의 값을 갖는다고 생각할 수 있다. 디랙 델타 함수는 델타 측도 또는 분포론적 정의를 통해 엄밀하게 정의되며, 0에서의 이상화된 점 질량을 모델링하는 데 사용된다.

디랙 델타 함수는 다양한 성질을 가지며, 척도 구성, 대칭성, 대수적 성질 등을 통해 분석된다. 또한, 델타 함수는 푸리에 변환, 도함수, 빗(comb)과 같은 개념과도 연결되어 있으며, 다양한 근사 표현을 통해 실제 문제에 적용될 수 있다.

디랙 델타 함수는 확률론에서 확률 밀도 함수를 나타내고, 양자역학에서 파동 함수를 분석하며, 구조역학에서 과도 하중이나 점하중을 설명하는 등 다양한 응용 분야에서 중요한 역할을 한다.

더 읽어볼만한 페이지

폴 디랙 - 디랙 방정식
디랙 방정식은 폴 디랙이 도입한 스핀 1/2 입자의 운동을 기술하는 상대론적 양자역학의 선형 편미분 방정식으로, 상대론적 효과와 전자의 스핀을 결합하여 양전자의 존재를 예측하는 데 기여했으며 양자장론의 기본 방정식으로 널리 활용된다.
폴 디랙 - 브라-켓 표기법
브라-켓 표기법은 폴 디랙이 창안한 벡터 표기법으로, 켓과 브라를 사용하여 벡터와 선형 범함수를 표현하고 내적을 통해 스칼라 값을 얻을 수 있으며, 에르미트 수반을 허용하여 다양한 벡터 공간에서 활용된다.
측도론 - 바이어슈트라스 함수
바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 $a$ 와 $b$ 를 사용하여 $f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)$ 와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
측도론 - 바나흐-타르스키 역설
바나흐-타르스키 역설은 3차원 유클리드 공간에서 공을 유한 개의 조각으로 분할한 뒤 조각들을 회전 및 이동하여 원래 공과 똑같은 크기의 공 두 개를 만들 수 있다는 수학적 정리로, 선택 공리에 의존하며 비가측 집합의 존재와 부피 개념 정의의 어려움을 보여준다.
푸리에 해석학 - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
푸리에 해석학 - 푸리에 변환
푸리에 변환은 복소 함수를 주파수 성분으로 분해하는 적분 변환으로, 푸리에 급수의 확장 개념이며, 시간-주파수 영역 변환, 선형성, 컨볼루션 정리, 불확정성 원리 등의 성질을 가지며 다양한 분야에 활용된다.

디랙 델타 함수
개요
이름	디랙 델타 함수
로마자 표기	Dirak Delta hamsu
다른 이름	임펄스 함수
정의
정의	모든 x ≠ 0 에 대해 f(x) = 0 x = 0 에서 f(x) = 1
설명	모든 곳에서 0이지만 0에서만 무한대의 값을 가지는 일반화된 함수 적분 시 값이 1이 되는 특성을 가짐
수학적 표현	'δ(x)' 로 표기
성질
적분	∫-∞^∞ δ(x) dx = 1
선형성	∫-∞^∞ δ(ax) dx = 1/\|a\|
시프트 성질	∫-∞^∞ f(x)δ(x-a) dx = f(a)
짝함수	δ(x) = δ(-x)
푸리에 변환	F[δ(x)] = 1
응용
물리학	점 질량, 점 전하 등의 이상화된 표현에 사용 양자역학에서 입자의 위치를 나타낼 때 사용
신호 처리	이상적인 임펄스 신호 표현에 사용 시스템의 임펄스 응답을 분석하는 데 사용
확률론	확률 밀도 함수가 특정 값에 집중된 경우 표현 확률 분포를 모델링하는 데 사용
주의
함수가 아님	일반적인 의미의 함수가 아닌, 일반화 함수
극한으로 표현	함수의 극한이나 적분의 극한으로 표현할 수 있음

2. 역사

조제프 푸리에는 그의 논문 ''Théorie analytique de la chaleur''(열의 해석적 이론)에서 현재 푸리에 적분 정리라고 불리는 것을 다음과 같은 형식으로 제시했다.^[31]

: $f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\ \ d\alpha \, f(\alpha) \ \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha)\,$

이것은 다음과 같은 형태로 $\delta$ 함수를 도입하는 것과 같다:^[31]

: $\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha) \ .$

나중에 오귀스탱 코시는 지수 함수를 사용하여 이 정리를 표현했다.^[32]^[33]

: $f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^ \infty \ e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp.$

코시는 일부 상황에서 적분 ''순서''가 이 결과에서 중요하다고 지적했다(푸비니 정리와 대조적이다).^[34]^[35]

분포 이론을 사용하여 엄밀히 증명된 것처럼, 코시 등식은 푸리에의 원래 공식과 유사하도록 재배열 될 수 있으며 $\delta$ 함수를 다음과 같이 나타낸다:

: $\begin{align}f(x)&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp \\[4pt]&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty e^{ipx} e^{-ip\alpha } \,dp \right)f(\alpha)\,d \alpha =\int_{-\infty}^\infty \delta (x-\alpha) f(\alpha) \,d \alpha,\end{align}$

여기서 $\delta$ 함수는 다음과 같이 표현된다.

: $\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ip(x-\alpha)}\,dp \ .$

지수 형식에 대한 엄밀한 해석과 그 적용에 필요한 함수 $f$ 에 대한 다양한 제한은 수세기에 걸쳐 확장되었다. 고전적 방식의 문제점은 다음과 같이 설명된다.^[36]

:고전적인 푸리에 변환의 가장 큰 단점은 효과적으로 계산할 수 있는 함수들의 범위가 다소 좁다는 것이다. 즉, 이들 함수는 푸리에 적분의 존재를 보장하기 위해 무한대 근처에서 충분히 빠르게 0으로 감소하는 것이 필요하다. 예를 들어, 다항식과 같은 간단한 함수의 푸리에 변환은 고전적인 의미에서 존재하지 않는다. 고전적인 푸리에 변환을 분포로 확장하면서 변환할 수 있는 함수의 종류가 상당히 확대되었고 이로 인해 많은 장애물이 제거되었다.

추가적 발전에는 "Plancherel의 선구적인 ''L''²-이론(1910)으로 시작하여 위너 와 보흐너의 작업(약 1930)으로 계속되고 로랑 슈바르츠의 분포 이론(1945)으로의 융합으로 절정에 달하는 푸리에 적분의 일반화가 포함된다.^[37]

무한히 큰 단위 충격 델타 함수(코시 분포의 무한소 버전)에 대한 무한소 공식은 오귀스탱 루이 코시의 1827년 텍스트에 명시적으로 나타난다. 시메옹 드니 푸아송은 훗날에 구스타프 키르히호프가 했던 것처럼 파동 전파 연구와 관련하여 이 문제를 고려했다. 키르히호프와 헤르만 폰 헬름홀츠는 단위 충격을 가우스 분포의 극한으로 도입했으며, 이는 켈빈의 점 열원 개념과도 일치한다. 19세기 말에 올리버 헤비사이드는 형식 푸리에 급수를 사용하여 단위 충격을 다루었다.^[38]

폴 디랙은 1927년 논문 ''The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics'' (양자 역학의 물리적 해석)^[39] 에서 델타 함수를 소개했으며, 그의 교과서 ''The Principles of Quantum Mechanics''(양자역학의 원리)에서 델타 함수를 사용했다. 그는 그것을 불연속 크로네커 델타의 연속 아날로그로 사용했기 때문에 "델타 함수"라고 불렀다.

3. 정의

디랙 델타 함수는 일반적인 함수로는 정의하기 어렵고, 측도론이나 분포론을 통해 엄밀하게 정의된다.

대략적으로, 디랙 델타는 원점에서 무한대 값을 갖고, 그 외의 모든 곳에서는 0인 함수로 생각할 수 있다.

: $\delta(x) \simeq \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

또한, 다음 조건을 만족한다.

: $\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, \mathrm dx = 1.$

그러나 이는 휴리스틱한 설명일 뿐이며, 디랙 델타는 전통적인 의미의 함수가 아니다.^[40]

확률 측도로서 델타 측도는 단위 계단 함수인 누적 분포 함수를 특징으로 한다.^[41]

: $H(x) =\begin{cases}1 & \text{if } x\ge 0\\0 & \text{if } x < 0.\end{cases}$

이는 $H(x)$ 가 측도 $\delta$ 에 대한 누적 지표 함수의 적분임을 의미한다.

: $H(x) = \int_{\mathbf{R}}\mathbf{1}_{(-\infty,x]}(t)\,\delta(\mathrm dt) = \delta(-\infty,x],$

따라서 연속 함수에 대한 델타 함수의 적분은 리만-스틸체스 적분으로 이해할 수 있다.

: $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(\mathrm dx) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \,\mathrm dH(x).$

$\delta$ 의 모든 고차 모멘트는 0이다. 특히 특성 함수와 모멘트 생성 함수는 모두 1과 같다.

분포론에서 델타 함수는 모든 시험 함수 '' $\varphi$ ''에 대해 $\delta[\varphi] = \varphi(0)$ 로 정의된다.

델타 분포는 헤비사이드 계단 함수의 분포 도함수로도 정의될 수 있다.

: $\delta[\varphi] = -\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\,\mathrm dx.$

3. 1. 측도론적 정의

측도론에서 디랙 델타 함수는 디랙 측도(Dirac measure)로 정의된다.^[12] 디랙 측도는 집합에 "크기"를 부여하는 함수로, 특정 점을 포함하면 1, 그렇지 않으면 0을 반환한다. 실수 직선

\mathbb{R}

의 측도 가능 집합

A \subset \mathbb{R}

에 대해, 디랙 측도

\delta

는 다음과 같이 정의된다.

:

\delta(A) = \begin{cases} 1, & 0 \in A \\ 0, & 0 \notin A \end{cases}

이 정의를 통해 델타 함수를 0에서 이상화된 점 질량으로 해석할 수 있으며, 르베그 적분을 사용하여 델타 함수에 대한 적분을 정의할 수 있다. 측도

\delta

에 대한 르베그 적분은 다음을 만족한다.

:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(dx) =  f(0)

이는 모든 연속인 콤팩트 지지 함수

f

에 대해 성립한다. 형식적으로

d\delta_0(x) = \delta(x)dx

가 성립한다.

3. 2. 분포론적 정의

분포론에서 일반화된 함수는 그 자체로 함수가 아니라 다른 함수에 대해 "적분"될 때 다른 함수에 미치는 영향에 대해서만 규정된다.^[40] 이에 따라 델타 함수를 적절하게 정의하려면 충분히 "좋은" '''시험 함수'''에 대해 델타 함수의 "적분"이 무엇인지 말하는 것으로 충분하다. 시험 함수는 범프 함수라고도 한다. 델타 함수가 이미 측도값으로 이해된 경우 해당 측도값에 대한 시험 함수의 르베그 적분이 필요한 적분을 제공한다.

시험 함수의 일반적인 공간은

\R

의 모든 매끄러운 함수로 구성되며 필요한 만큼 많은 도함수를 지지하는 콤팩트 지지가 있다. 분포로서 디랙 델타는 시험 함수의 공간에서 선형 함수이며^[41] 모든 시험 함수

\varphi

에 대해

:

\delta[\varphi] = \varphi(0)

로 정의된다.

\delta

가 적절한 분포가 되려면 시험 함수 공간에서 적절한 위상에서 연속적이어야 한다. 일반적으로 분포를 정의하기 위한 시험 함수 공간의 선형 함수

S

의 경우, 모든 양의 정수

N

에 대해 모든 시험 함수

\varphi

에 대해 다음과 같은 정수

M_N

과 상수

C_N

이 있는 것이 필요하고 충분하다.

:

\left|S[\varphi]\right| \le C_N \sum_{k=0}^{M_N}\sup_{x\in [-N,N]} \left|\varphi^{(k)}(x)\right|

여기서

\sup

는 상한을 나타낸다.

\delta

분포를 사용하면 모든

N

에 대해

M_N=0

인 부등식(

C_N=1

이 있다. 따라서

\delta

는 차수가 0인 분포이다. 또한 콤팩트 지지가 포함된 분포이다(지지는 {0}임).

델타 분포는 여러 동등한 방법으로 정의할 수도 있다. 예를 들어, 델타 분포는 헤비사이드 계단 함수의 분포 도함수이다. 이는 모든 시험 함수

\varphi

에 대해

:

\delta[\varphi] = -\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\,\mathrm dx.

직관적으로 부분 적분이 허용된다면 후자의 적분은 다음과 같이 단순화되어야 한다.

:

\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,H'(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,\delta(x)\,\mathrm dx,

그리고 실제로 스틸체스 적분에 대해 부분에 의한 적분의 형태가 허용되며, 이 경우 다음이 성립한다.

:

-\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,\mathrm dH(x).

3. 3. 고차원 일반화

델타 함수는 n차원 유클리드 공간에서 다음과 같은 측도로 정의될 수 있다.^[14]

\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(d\mathbf{x}) = f(\mathbf{0})

여기서 f는 콤팩트 지지 연속 함수이다. 측도로서 n차원 델타 함수는 각 변수에서 1차원 델타 함수의 곱측도이다. 따라서, '''x''' = (''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'')로 하면, 다음과 같다.

\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\,\delta(x_2)\cdots\delta(x_n)

델타 함수는 1차원 경우와 마찬가지로 분포의 의미에서도 위와 같이 정의될 수 있다. 그러나 공학적 맥락에서 널리 사용됨에도 불구하고, 분포의 곱은 매우 제한적인 상황에서만 정의될 수 있기 때문에 주의해서 다뤄야 한다.

'''디랙 측도'''의 개념은 임의의 집합에서 의미를 갖는다. 따라서 X가 집합이고, ''x''₀ ∈ ''X''가 표시된 점이며, Σ가 X의 부분집합의 임의의 시그마 대수라면, 다음과 같이 집합 ''A'' ∈ Σ에 정의된 측도는 ''x''₀에 집중된 델타 측도 또는 단위 질량이다.

\delta_{x_0}(A)=\begin{cases}1 &\text{if }x_0\in A\\0 &\text{if }x_0\notin A\end{cases}

델타 함수의 또 다른 일반적인 일반화는 미분다양체이며, 미분 구조 때문에 분포로서의 대부분의 성질을 활용할 수 있다. 점 ''x''₀ ∈ ''M''을 중심으로 하는 다양체 M의 델타 함수는 다음 분포로 정의된다.

\delta_{x_0}[\varphi] = \varphi(x_0)

여기서 φ는 M에서 컴팩트 지지인 매끄러운 실수 값 함수이다. 이 구성의 일반적인 특수한 경우는 M이 유클리드 공간 '''R'''^''n''의 열린 집합인 경우이다.

국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간 X에서, 점 x에 집중된 디랙 델타 측도는 컴팩트 지지 연속 함수 φ에 대한 다니엘 적분과 관련된 라돈 측도이다.

4. 성질

디랙 델타 함수는 다음과 같은 주요 성질들을 갖는다.

척도 구성(Scaling): 0이 아닌 상수 $\alpha$ 에 대해 $\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{ | \alpha | }$ 가 성립한다.^[28] 이는 델타 함수가 -1차 동차함수임을 의미한다.
대칭성(Symmetry): 델타 함수는 짝함수이며, $\delta(-x) = \delta(x)$ 이다.^[29]
대수적 성질: ''x''와 ''δ''의 분포곱은 0과 같다.^[28] 즉, $x\delta(x) = 0$ 이다.
옮김(Translation): 옮겨진 디랙 델타와 다른 함수의 적분은 $\int_{-\infty}^\infty f(t) \,\delta(t-T)\,\mathrm dt = f(T)$ 이다.^[44] 이는 ''선별 성질''^[45] 또는 ''샘플링 성질''^[46]이라고도 한다.
함수와 분포의 합성: 델타 분포는 매끄러운 함수 g(x)와 다음과 같이 합성될 수 있다. $\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| \mathrm dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,\mathrm du$ (여기서 g는 g'가 어디에서도 0이 아닌 연속적으로 미분 가능한 함수이다.)^[42]
부정 적분: 상수 $a \in \mathbb{R}$ 와 "얌전한" 임의의 실수 값 함수 $y(x)$ 에 대해 $\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + C$ 가 성립한다.^[19] ( $H(x)$ 는 헤비사이드 계단 함수, $C$ 는 적분 상수)
푸리에 변환(Fourier Transform): 델타 함수의 푸리에 변환은 $\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)\mathrm dx = 1$ 이다.^[49]
도함수(Derivative): 델타 함수의 도함수 δ′^영어는 $\delta'[\varphi] = -\delta[\varphi']=-\varphi'(0)$ 으로 정의된다.^[56]

디랙 빗(Dirac Comb): 샤(Shah) 분포라고도 불리는 디랙 빗은 디지털 신호 처리(DSP) 및 이산 시간 신호 해석에서 자주 사용되는 샘플링 함수이다. 디랙 빗은 $\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)$ 으로 표현된다. 디랙 빗은 자체 푸리에 변환과 동일하다는 중요한 성질을 갖는다.

4. 1. 척도 구성(Scaling)

Scaling^영어 성질에 의해 0이 아닌 상수

\alpha

에 대해 다음이 성립한다.^[28]

:

\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{ | \alpha | }.

이는 델타 함수가 -1차 동차함수임을 의미한다.

특히, 델타 함수는 다음과 같은 의미에서 짝 분포(대칭)이다.

:

\delta(-x) = \delta(x)

스케일링 성질은 다음과 같이 증명할 수 있다.

\begin{align}\delta(\alpha x) &= \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(\alpha x/b)^2}  \\&=\lim_{c \to 0} \frac{1}{|\alpha c|\sqrt{\pi}}e^{-(\alpha x/(\alpha c))^2} \\&=\lim_{c \to 0} \frac{1}

\frac{1}{|c|\sqrt{\pi}}e^{-(x/c)^2} = \frac{1}

\delta(x)\end{align}

(여기서 b는 더미 변수이므로,

b=\alpha c

로 치환하였다.)

이 증명에서 델타 함수 표현은 0이 중심인 정규 분포 함수열의 극한으로 정의된 델타 함수

\delta(x) = \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(x/b)^2}

가 사용되었다.

a > 0

일 때 다음 공식도 성립한다.^[28]

:

\delta(x^2 - a^2) = (1/2a)[\delta(x-a)+\delta(x+a)] \\

4. 2. 대칭성(Symmetry)

델타 함수는 짝함수이며, 다음의 성질을 갖는다.^[29]

:

\delta(-x) = \delta(x)

이는 -1차 동차함수이다.

4. 3. 대수적 성질

''x''와 ''δ''의 분포곱은 0과 같다.^[28]

:

x\delta(x) = 0.

일반적으로, 모든 양의 정수 n에 대해

(x-a)^n\delta(x-a) =0

이다.

특히 1계 도함수의 경우

:

x\delta'(x)=-\delta(x)

^[29]

이다.

4. 4. 옮김(Translation)

옮겨진 디랙 델타와 다른 함수의 적분은 다음과 같다.^[44]

:

\int_{-\infty}^\infty f(t) \,\delta(t-T)\,\mathrm dt = f(T)

이는 ''선별 성질''^[45] 또는 ''샘플링 성질''이라고도 한다.^[46] 델타 함수가

t =T

에서 ''

f(t)

''의 값을 "걸러낸다"고 표현한다.^[47]

옮겨진 디랙 델타

\delta_T(t) = \delta(t-T)

와 함수 ''

f(t)

''를 합성곱하면 ''

f(t)

''를 같은 양만큼 옮기는 것과 같다. 이것은 때때로 ''옮김 성질''이라고 한다.

:

\begin{align}(f * \delta_T)(t) \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, \delta(t-T-\tau) \, \mathrm d\tau \\&= \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \,\delta(\tau-(t-T)) \,\mathrm d\tau \qquad \text{since}~ \delta(-x) = \delta(x) \\&= f(t-T).\end{align}

''선별 성질''은

T

중심에 있는 함수의 값을 찾는 반면 ''옮김 성질''은 옮겨진 함수를 반환한다. 옮김 성질은

f

가 조정된 분포라는 정확한 조건 하에서 유지된다(아래 푸리에 변환에 대한 설명 참조). 예를 들어 특별한 경우로, 다음 항등식(분포론적 의미로 이해됨)을 얻는다.

:

\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \,\mathrm dx = \delta(\eta-\xi).

4. 5. 함수와 분포의 합성

델타 분포는 매끄러운 함수 g(x)와 다음과 같이 합성될 수 있다.

:

\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| \mathrm dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,\mathrm du

여기서 g는 g'가 어디에서도 0이 아닌 연속적으로 미분 가능한 함수이다.^[42] 즉, 이 항등식이 모든 콤팩트 지지 시험 함수 f에 대해 성립하도록 분포

\delta\circ g

에 의미를 부여하는 고유한 방법이 존재한다. 따라서, g'= 0 인 점을 제외하도록 정의역을 나누어야 한다. 이 분포는 δ(g(x)) = 0을 만족하며, g가 어디에서도 0이 아니면 성립하고, 그렇지 않고 g가 x₀에서 실수 근을 갖는다면,

:

\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}

.

따라서 연속적으로 미분 가능한 함수 g에 대해 δ(g(x))의 합성을 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다.

:

\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}

여기서 합은 g(x)의 모든 근에 대해 확장되며, 이들은 단순근이라고 가정한다. 예를 들어,

:

\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big].

적분 형태로 일반화된 스케일링 성질은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, \mathrm dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}

.

4. 6. 부정 적분

상수

a \in \mathbb{R}

와 "얌전한" 임의의 실수 값 함수

y(x)

에 대해 다음이 성립한다.^[19]

:

\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + C

여기서

H(x)

는 헤비사이드 계단 함수이고

C

는 적분 상수이다.

4. 7. 푸리에 변환(Fourier Transform)

푸리에 변환(Fourier Transform)의 정의에 의해 델타 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 계산된다.^[49]

:

\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)\mathrm dx = 1.

이는 델타 함수가 모든 주파수 성분을 동일한 크기로 포함하고 있음을 의미한다.

이 항등식의 결과로, 델타 함수와 다른 조정된 분포 ''S''의 합성곱은 단순히 ''S''가 된다.

:S*δ = S.

즉, δ는 조정된 분포에 대한 합성곱의 항등원이며, 실제로 합성곱에서 콤팩트 지지 분포들의 공간은 델타 함수와 항등원이 있는 결합 대수이다. 이 성질은 신호 처리에서 기본적이다.

sinc 함수를 이용한 근사식을 오일러 공식을 이용하여 변형하면 다음과 같다.

:

\phi_k(x) =\frac{\sin kx}{\pi x} =\frac{1}{2\pi ix} \left[ e^{ikx}-e^{-ikx} \right] =\frac{1}{2\pi} \int_{-k}^k e^{ik'x} dk'

여기서 푸리에 변환의 기본적인 관계식은 다음과 같다.^[28]

:

\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty} e^{ikx} dk

4. 8. 도함수(Derivative)

델타 분포의 도함수 δ′^영어는 콤팩트 지지 매끄러운 시험 함수 φ^영어에 대해 다음과 같이 정의된다.^[56]

:

여기서 첫 번째 등식은 부분 적분의 일종이다. 만약 δ^영어 가 실제 함수라면,

:

이다.

δ^영어의 k계 도함수는 시험 함수에 대해 다음과 같이 주어지는 분포로 정의된다.

:

특히, δ^영어는 무한 번 미분 가능한 분포이다.

델타 함수의 1차 도함수는 다음 차분 몫의 분포 극한이다.^[56]

:

더 정확하게는,

:

가 성립한다. 여기서 τ_h^영어는 τ_hφ(x) = φ(x + h)^영어 로 정의된 함수에 대한 연산자이고, 분포 S^영어에 대해서는

:

로 정의된 옮김 연산자이다. 전자기학에서 델타 함수의 1차 도함수는 원점에 위치한 점 자기 쌍극자를 나타낸다. 따라서 쌍극자 또는 이중선 함수라고 한다.^[56]

델타 함수의 도함수는 다음 성질들을 만족한다.^[57]

:

:

이 성질은 시험 함수 적용과 부분 적분으로 보일 수 있다.

또한, δ′^영어와 콤팩트 지지되는 매끄러운 함수 f^영어의 합성곱은

:

이며, 이는 합성곱의 분포 도함수의 성질에 따른다.

4. 9. 디랙 빗(Dirac Comb)

디랙 빗(Dirac comb)은, 샤(Shah) 분포라고도 불리며, 디지털 신호 처리(DSP) 및 이산 시간 신호 해석에서 자주 사용되는 샘플링 함수이다. 디랙 빗은 무한 합으로 표현되며, 그 극한은 분포의 의미로 이해된다.

:

\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n),

이는 각 정수에서 점 질량의 수열을 나타낸다.

디랙 빗은 자체 푸리에 변환과 동일하다는 중요한 성질을 갖는다. 만약

f

가 임의의 슈바르츠 함수라면,

f

의 주기화는 다음과 같은 합성곱으로 표현된다.

:

(f * \operatorname{\text{Ш}})(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n).

특히,

:

(f*\operatorname{\text{Ш}})^\wedge = \widehat{f}\widehat{\operatorname{\text{Ш}}} = \widehat{f}\operatorname{\text{Ш}}

는 정확히 푸아송 합 공식과 같다.^[54] 이 공식은

f

가 빠른 하강의 완화된 분포이거나,

\widehat{f}

가 조절 분포 공간 내에서 천천히 성장하는 일반적인 함수인 경우에도 성립한다.

5. 근사 표현

$\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$ ||thumb]]

델타 함수는 다양한 함수의 극한으로 표현될 수 있으며, 이러한 표현을 근사 표현이라고 한다.^[43]

델타 함수는 함수열의 극한으로 볼 수 있다.

: $\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x),$

여기서 $\eta_\varepsilon(x)$ 는 초기 델타 함수라고도 한다.

이러한 델타 함수의 근사 표현은 항등원에 대한 근사, 확률론적 고려 사항, 진동 적분 등 다양한 관점에서 살펴볼 수 있다.

5. 1. 항등원에 대한 근사

델타 함수는 다양한 함수열의 극한으로 표현될 수 있다.^[43]

:

\begin{align}\delta(t)&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h} \mathit{\Pi}\left(\frac{t}{h}\right)\\&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h\sqrt{\pi}} \exp\left[-\frac{t^{2}}{h^{2}}\right]\\&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{h} \operatorname{sinc}\frac{t}{h}\\&= \lim_{h \to 0^{+}} \frac1{\pi h}\frac1{1 + (t/h)^{2}}.\end{align}

여기서

\mathit{\Pi}

와

\operatorname{sinc}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\mathit{\Pi}(t) &= \left\{\begin{array}{ll}1, & -0.5 \le t \le 0.5,\\0, & \text{otherwise}.\end{array}\right.\\\operatorname{sinc}t &= \frac{\sin \pi t}{\pi t}.\end{align}

\exp[-t^{2}]/\sqrt{\pi}

와

1/[\pi(1+t^{2})]

은 각각 정규 분포와 코시 로렌츠 분포의 확률 밀도 함수이다.

이러한 함수열은 '''초기 델타 함수'''라고도 불리며, 다음과 같은 약한 극한의 의미로 델타 함수에 수렴한다.

:

\lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \eta_\varepsilon(x)f(x) \, dx = f(0)

이는 콤팩트 지지를 갖는 모든 연속 함수

f

에 대해, 또는 콤팩트 지지를 갖는 모든 매끄러운 함수

f

에 대해 성립한다.

일반적으로 초기 델타 함수는 전체 적분값이 1인 절대 적분 가능한 함수 η를 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.

:

\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right).

n 차원에서는 다음과 같은 스케일링을 사용한다.

:

\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right).

이렇게 구성된

\eta_{\varepsilon}

는 '''항등원 근사'''로 알려져 있다.

초기 함수

\eta=\eta_1

자체가 매끄럽고 콤팩트 지지인 경우 이 수열을 완화자라고 한다. 예를 들어, 적절하게 정규화된 범프 함수를 선택하여 표준 완화자를 얻을 수 있다.

:

\eta(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-|x|^2}}& \text{if } |x| < 1\\0           & \text{if } |x|\geq 1.\end{cases}

수치 해석학과 같은 일부 상황에서는 항등식에 대한 조각 선형 근사가 바람직하며, 삼각형 함수를 사용하여 구성할 수 있다.

:

\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1}\max \left (1-\left|\frac{x}{\varepsilon}\right|,0 \right)

5. 2. 확률론적 고려 사항

확률론에서는 항등식에 대한 근사에서 초기 함수

\eta_1

이 양수여야 한다는 추가 조건을 부과하는 것이 자연스러운데, 이러한 함수는 확률 분포를 나타내기 때문이다. 예를 들어, 균등 분포(직사각형 함수)나 위그너 반원 분포를 사용하여 델타 함수를 근사할 수 있다.^[43]

'''균등 분포 (직사각형 함수)'''

:

\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\begin{cases}\frac{1}{\varepsilon},&-\frac{\varepsilon}{2}

'''위그너 반원 분포'''

:

\eta_\varepsilon(x)= \begin{cases}\frac{2}{\pi \varepsilon^2}\sqrt{\varepsilon^2 - x^2}, & -\varepsilon < x < \varepsilon, \\0, & \text{otherwise}.\end{cases}

위그너 반원 분포는 연속적이고 콤팩트 지지를 가지지만, 매끄럽지 않기 때문에 완화제가 아니다.

확률 분포가 있는 합성곱은 출력이 입력 값의 볼록 조합이므로 입력 함수의 최댓값과 최솟값 사이에 있기 때문에 오버슈트 또는 언더슈트가 발생하지 않아 유리하다.

\eta_1

을 임의의 확률 분포로 보고

\eta_{\varepsilon}(x)=\eta_1(x/\varepsilon)/\varepsilon

로 하면 항등식에 대한 근사를 얻을 수 있다. 일반적으로

\eta

의 평균이 0이고 모멘트가 작은 경우 델타 함수로 더 빠르게 수렴한다.

정규분포의 확률밀도함수도 디랙 델타 함수의 조건을 만족한다.

:

\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

:

\int^{\infty}_{-\infty} \phi_{\mu,\sigma}(x)\,dx = 1

\mu = 0

이고

\sigma \to 0

이라면

x = 0

근방을 제외한 모든 곳에서

\phi_{\sigma}(x) \to 0 (x \ne 0)

이고

\phi_{\sigma}(0) \to +\infty

이다. 즉,

\sigma \to 0

으로 함으로써 함수족

\phi_{\sigma}

이 함수항으로서 디랙 델타 함수에 수렴한다. 따라서 디랙 델타 함수는 어떤 의미에서 정규분포의 확률밀도함수의 극한으로 볼 수 있으며, 다음과 같이 표현된다.

:

\lim_{\sigma \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)=\delta(x)

5. 3. 진동 적분

파동 전파 및 파동 역학과 같은 물리학 분야에서는 관련된 방정식이 쌍곡선형이므로 더욱 특이한 해를 가질 수 있다. 따라서 관련된 코시 문제의 기본 해로 나타나는 초기 델타 함수는 일반적으로 진동 적분이다. 천음속 기체역학의 오일러-트리코미 방정식의 해에서 나오는 예시는 다음과 같이 재조정된 에어리 함수이다.^[24]

:

\varepsilon^{-1/3}\operatorname{Ai}\left (x\varepsilon^{-1/3} \right).

푸리에 변환을 사용하면 이것이 어떤 의미에서 반군을 생성한다는 것을 쉽게 알 수 있지만, 절대 적분 가능하지 않으므로 위에서 언급한 강한 의미에서 반군을 정의할 수 없다. 진동 적분으로 구성된 많은 초기 델타 함수는 측도의 의미가 아닌 분포의 의미에서만 수렴한다(아래의 디리클레 핵이 그 예시이다).

다른 예시로는 에서의 파동 방정식에 대한 코시 문제가 있다.^[43]

:

\begin{align}c^{-2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \Delta u &= 0\\u=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t} = \delta &\qquad \text{for }t=0.\end{align}

해 는 원점에서 초기 교란이 있는 무한한 탄성 현의 평형 상태로부터의 변위를 나타낸다.

이러한 종류의 다른 항등식 근사에는 (전자 및 통신에서 널리 사용되는) 싱크 함수

:

\eta_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{\varepsilon}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \cos(kx)\,dk

및 베셀 함수

:

\eta_\varepsilon(x) =  \frac{1}{\varepsilon}J_{\frac{1}{\varepsilon}} \left(\frac{x+1}{\varepsilon}\right).

가 있다.

sinc 함수에서 변수 변환과 스케일링에 의해 얻어지는 함수족

:

\phi_k(x) = \frac{\sin kx}{\pi x}\quad (k \in \mathbb{R})

은 디랙 델타 함수가 만족해야 하는 조건

:

\int^{\infty}_{-\infty} \phi_k(x)\,dx = 1

을 만족한다. 단, 이것은 좌변을 넓이 적분

\lim_{a\rightarrow \infty} \int_{-a}^a

로 해석했을 때 성립하는 등식이다. 위의 예와 달리 이 함수족은 로 해도 점별 수렴하지 않지만, 임의의 컴팩트 지지집합을 갖는 매끄러운 함수 에 대해서

:

\lim_{k\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\, \phi_k(x)\, dx = f(0)

가 성립한다. 이것도 약 수렴의 의미에서 디랙 델타 함수를 근사하고 있다고 생각할 수 있으며,

:

\lim_{k \to \infty}\frac{\sin kx}{\pi x}=\delta(x)

로 표현된다.

6. 응용

디랙 델타 함수는 푸리에 변환 같은 적분 변환에서 특정 지점의 값만 추출하거나, 이산 확률 분포의 확률 밀도 함수를 구할 때 유용하게 사용된다.^[30] 수학 외적으로는 점전하, 점질량, 전자 등에 의한 물리 현상을 수학적으로 표현하는 데 응용된다.^[30]

일상생활과 관련된 예로, 당구공 충돌과 같은 역학적 현상을 디랙 델타 함수를 사용하여 단순화할 수 있다.^[30] 당구공이 정지해 있다가 다른 당구공에 맞아 운동량 P를 얻는 상황을 가정하면, 운동량 전달은 매우 짧은 시간에 일어나므로, 이때 가해지는 힘은 $P\delta(t)$로 표현할 수 있다. 이를 통해 복잡한 탄성 에너지 변화를 고려하지 않고도 간단한 방정식을 통해 문제를 해결할 수 있다.

이러한 디랙 델타 함수는 함수의 극한으로 생각할 수 있다. 예를 들어, 분산이 0으로 수렴하는, 원점을 중심으로 하는 가우스 분포 함수들의 열은 디랙 델타 함수로 수렴한다.

하지만 디랙 델타 함수는 일반적인 함수는 아니다. 예를 들어, $f(x) = \delta(x)$와 $g(x) = 0$은 $x = 0$을 제외한 모든 곳에서 동일하지만 적분값이 다르다. 디랙 델타 함수를 엄밀하게 정의하려면 측도론 또는 분포 이론이 필요하다.

디랙 델타 함수는 신호 처리에서 임펄스 응답을 표현하여 시스템의 특성을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.^[30] 또한, 전자기학에서는 점전하에 의한 전위 분포를 계산하고, 유체역학에서는 점 소용돌이와 같은 특이점을 모델링하는 데에도 사용된다.^[30]

6. 1. 확률론

확률론 및 통계학에서 디랙 델타 함수는 확률 밀도 함수(일반적으로 절대 연속 분포를 나타내는 데 사용됨)를 사용하여 이산 분포 또는 부분적으로 이산적이고 부분적으로 연속적인 분포를 나타내는 데 자주 사용된다.^[30] 예를 들어, 점

\mathbf x=\{x_1,\dots,x_n\}

으로 구성된 이산 분포의 확률 밀도 함수

f(x)

는 해당 확률

p_1,\dots,p_n

과 함께 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta(x-x_i).

또 다른 예로, 시간의 6/10은 표준 정규 분포를 반환하고 시간의 4/10은 정확히 값 3.5를 반환하는 분포(부분적으로 연속적이고 부분적으로 이산적인 혼합 분포)를 고려할 수 있다. 이 분포의 밀도 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(x) = 0.6 \, \frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} + 0.4 \, \delta(x-3.5).

델타 함수는 또한 연속적으로 미분 가능한 함수로 변환되는 무작위 변수의 결과 확률 밀도 함수를 나타내는 데에도 사용된다.

Y=g(x)

가 연속 미분 가능 함수이면

Y

의 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \delta(y-g(x)) d x.

델타 함수는 확산 과정의 국소 시간(예: 브라운 운동)을 나타내는 데에도 완전히 다른 방식으로 사용된다. 확률 과정

B(t)

의 국소 시간은 다음과 같이 지정된다.

:

\ell(x,t) = \int_0^t \delta(x-B(s))\,ds

이는 과정 범위의

x

지점에서 과정이 소비하는 시간을 나타낸다. 더 정확하게는 한 차원에서 이 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\ell(x,t) = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\varepsilon}\int_0^t \mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}(B(s))\,ds

여기서

\mathbf1_{[x-\varepsilon, x+\varepsilon]}

는 구간

[x-\varepsilon, x+\varepsilon]

의 지시 함수이다.

6. 2. 양자역학

양자역학에서 델타 함수는 매우 유용하게 사용된다. 입자의 파동 함수는 주어진 공간 영역 내에서 입자를 발견할 확률 진폭을 나타낸다. 파동 함수는 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간의 원소로 간주되며, 주어진 구간 내에서 입자를 발견할 총 확률은 그 구간에 걸쳐 파동 함수의 크기 제곱을 적분한 값이다. 파동 함수들의 집합

\varphi_n

이 다음과 같다면 직교정규 집합이다.

:

\langle\varphi_n \mid \varphi_m\rangle = \delta_{nm},

여기서

\delta_{nm}

는 크로네커 델타이다. 제곱적분가능 함수 공간에서 직교정규 파동 함수 집합이 완전하다면, 임의의 파동 함수

\psi

는 복소 계수를 가진

\varphi_n

의 선형 결합으로 표현될 수 있다.

:

\psi = \sum c_n \varphi_n,

여기서

c_n = \langle \varphi_n | \psi \rangle

이다. 완전 직교정규 파동 함수 계는 에너지 준위를 측정하는 해밀토니안(결합계의 결합 상태)의 고유함수로서 자연스럽게 나타나며, 이 에너지 준위는 고유값이라고 한다. 이 경우 고유값의 집합은 해밀토니안의 스펙트럼으로 알려져 있다. 브라-켓 표기법에서 이 등식은 항등식의 분해를 의미한다.

:

I = \sum |\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|.

여기서 고유값은 이산적인 것으로 가정하지만, 가측량의 고유값 집합은 연속적일 수도 있다. 예를 들어 위치 연산자

Q\psi(x)=x\psi(x)

가 있다. 위치(1차원)의 스펙트럼은 전체 실수선이며 연속 스펙트럼이라고 한다. 그러나 해밀토니안과 달리 위치 연산자는 적절한 고유함수가 부족하다. 이러한 단점을 극복하는 일반적인 방법은 분포를 허용하여 사용 가능한 함수의 종류를 넓히는 것이며, 즉 힐베르트 공간을 갖춘 힐베르트 공간으로 대체하는 것이다.^[55] 이러한 맥락에서 위치 연산자는 실수선의 점

y

로 표시되는 완전한 집합의 ''일반화된 고유함수''를 갖는다.^[56]

:

\varphi_y(x) = \delta(x-y).

위치 연산자의 일반화된 고유함수는 ''고유켓''이라고 하며

\varphi_y = |y\rangle

로 표시된다.^[57]

비슷한 고려 사항은 (무한) 자기 수반 연산자로서 연속 스펙트럼과 축퇴되지 않은 고유값을 갖는 다른 연산자, 예를 들어 운동량 연산자

P

에도 적용된다. 이 경우 실수의 집합

\Omega

(스펙트럼)과

y \in \Omega

인 분포

\varphi_y

의 집합이 있어 다음과 같다.

:

P\varphi_y = y\varphi_y.

즉,

\varphi_y

는

P

의 일반화된 고유벡터이다. 만약 그것들이 분포 의미에서 "직교정규 기저"를 형성한다면, 즉:

:

\langle \varphi_y,\varphi_{y'}\rangle = \delta(y-y'),

그러면 임의의 시험 함수

\psi

에 대해 다음과 같다.

:

\psi(x) = \int_\Omega  c(y) \varphi_y(x) \, dy

여기서

c(y) = \langle \psi, \varphi_y \rangle

이다. 즉, 항등식의 분해가 존재한다.

:

I = \int_\Omega |\varphi_y\rangle\, \langle\varphi_y|\,dy

여기서 연산자 값 적분은 다시 약한 의미로 이해된다.

P

의 스펙트럼이 연속 부분과 이산 부분을 모두 가지는 경우, 항등식의 분해에는 이산 스펙트럼에 대한 합과 연속 스펙트럼에 대한 적분이 포함된다.

델타 함수는 또한 단일 및 이중 포텐셜 우물에 대한 델타 퍼텐셜 모델과 같이 양자역학에서 더욱 전문적인 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.

6. 3. 구조역학

델타 함수는 구조역학에서 구조물에 작용하는 과도하중이나 집중하중을 기술하는 데 사용될 수 있다.^[1] 시간 $t=0$에서 갑작스러운 힘 충격량 $I$에 의해 여기된 단순한 질량-스프링 시스템의 지배 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

m \frac{d^2 \xi}{dt^2} + k \xi = I \delta(t),

여기서 $m$은 질량, $\xi$는 처짐, $k$는 스프링 상수이다.

다른 예로, 오일러-베르누이 이론에 따르면 가늘고 긴 보의 정적 처짐을 지배하는 방정식은 다음과 같다.

:

EI \frac{d^4 w}{dx^4} = q(x),

여기서 $EI$는 보의 굽힘 강성, $w$는 처짐, $x$는 공간 좌표, $q(x)$는 하중 분포이다. 보에 $x=x_0$에서 집중하중 $F$가 작용하는 경우, 하중 분포는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

q(x) = F \delta(x-x_0).

델타 함수의 적분은 헤비사이드 계단 함수가 되므로, 여러 개의 집중하중을 받는 가늘고 긴 보의 정적 처짐은 여러 개의 조각별 다항식으로 기술된다는 것을 알 수 있다.

또한, 보에 작용하는 집중 모멘트는 델타 함수로 나타낼 수 있다. 거리 $d$만큼 떨어져 있는 두 개의 반대 방향으로 작용하는 집중하중 $F$을 고려해 보자. 그러면 이 두 힘은 보에 $M=Fd$의 모멘트를 발생시킨다. 이제 $M$을 일정하게 유지하면서 거리 $d$를 극한 0으로 접근시켜 보자. 시계 방향 모멘트가 $x=0$에서 작용한다고 가정하면, 하중 분포는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}q(x) &= \lim_{d \to 0} \Big( F \delta(x) - F \delta(x-d) \Big) \\[4pt]&= \lim_{d \to 0} \left( \frac{M}{d} \delta(x) - \frac{M}{d} \delta(x-d) \right) \\[4pt]&= M \lim_{d \to 0} \frac{\delta(x) - \delta(x - d)}{d}\\[4pt]&= M \delta'(x).\end{align}

따라서 집중 모멘트는 델타 함수의 도함수로 나타낼 수 있다. 보 방정식의 적분은 다시 조각별 다항식 처짐을 나타낸다.

6. 4. 기타 응용

디랙 델타 함수는 신호 처리에서 임펄스 응답을 표현하고 시스템의 특성을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.^[30] 전자기학에서는 점전하에 의한 전위 분포 계산에, 유체역학에서는 점 소용돌이와 같은 특이점을 모델링하는 데 사용된다.^[30]

일상생활과 가까운 예로, 당구공들이 충돌하는 상황을 생각해 볼 수 있다. 당구공들은 매우 짧은 시간 동안 접촉하며, 이때 가해지는 힘은 디랙 델타 함수로 표현할 수 있다. 이를 통해 복잡한 탄성 에너지를 고려하지 않고도 간단한 방정식을 사용하여 문제를 해결할 수 있다.^[30]

좀 더 구체적으로 설명하면, 정지해 있는 당구공이 다른 공에 맞아 운동량 P를 얻는 상황을 가정할 수 있다. 이때 운동량 교환은 즉각적이지 않지만, 실용적인 목적을 위해 순간적으로 전달되는 것으로 간주할 수 있다. 따라서 힘은 Pδ(t)로 표현된다.

이러한 디랙 델타 함수는 함수의 극한으로도 생각할 수 있다. 예를 들어, 분산이 0으로 수렴하는 원점을 중심으로 하는 가우스 분포 함수들의 열은 디랙 델타 함수에 수렴한다.

하지만 디랙 델타 함수는 일반적인 함수는 아니다. 예를 들어, f(x) = δ(x)와 g(x) = 0은 x = 0을 제외한 모든 곳에서 동일하지만 적분값이 다르다. 따라서 디랙 델타 함수를 엄밀하게 정의하려면 측도론 또는 분포 이론이 필요하다.

참조

_[1] 서적 Methods for Phase Diagram Determination https://books.google[...] Elsevier 2011-05-05
_[2] 서적 The Analytical Theory of Heat The University Press
_[3] 서적 Microlocal Analysis and Complex Fourier Analysis World Scientific
_[4] 서적 Linear Partial Differential Equations for Scientists And Engineers https://books.google[...] Springer
_[5] 서적 Integral Transforms And Their Applications https://books.google[...] CRC Press
_[6] 서적 Convolutions in French Mathematics, 1800–1840: From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 2 https://books.google[...] Birkhäuser
_[7] 서적 Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy. Série 1, tome 1 / publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique... https://gallica.bnf.[...] 1882–1974
_[8] 서적 Fundamentals of Applied Functional Analysis: Distributions, Sobolev Spaces https://books.google[...] CRC Press
_[9] 서적 Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy World Scientific
_[10] harvard_reference
_[11] 학술지 The physical interpretation of the quantum dynamics 1927-01
_[12] harvard_reference
_[13] harvard_reference
_[14] 서적 Geometric Integration Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-12-15
_[15] 수학사전 Sifting Property
_[16] 서적 Signals and Systems with MATLAB Applications https://books.google[...] Orchard Publications 2003
_[17] 서적 Introduction to Communication Theory https://books.google[...] Elsevier 2014-05-17
_[18] 서적 Nonlinear Optics: Principles and Applications https://books.google[...] CRC Press 2014-12-11
_[19] 문서
_[20] 문서
_[21] 수학사전 Doublet Function
_[22] 웹사이트 Gugo82's comment on the distributional derivative of Dirac's delta https://www.matemati[...] 2010-09-12
_[23] 문서
_[24] 서적 Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions: In Honor of Hari M. Srivastava https://books.google[...] Springer 2014-07-08
_[25] 서적 Statistics in Volcanology https://books.google[...] Geological Society of London 2006
_[26] harvard_reference
_[27] harvard_reference
_[28] 서적 量子力学岩波書店
_[29] 서적 量子力学の基礎共立出版
_[30] 서적 https://books.google[...]
_[31] 서적
_[32] 서적 https://books.google[...]
_[33] 서적 https://books.google[...]
_[34] 서적 https://books.google[...]
_[35] 서적 https://gallica.bnf.[...]
_[36] 서적 Fundamentals of Applied Functional Analysis: Distributions, Sobolev Spaces https://books.google[...] CRC Press
_[37] 서적 Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy https://archive.org/[...] World Scientific
_[38] 하버드 인용
_[39] 저널 The physical interpretation of the quantum dynamics 1927-01-01
_[40] 하버드 인용
_[41] 하버드 인용
_[41] 하버드 인용
_[42] 서적 Geometric Integration Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2008-12-15
_[43] 웹인용 'The Dirac Delta Function', http://www.math.osu.edu/~gerlach.1/math/BVtypset/node28.html http://www.math.osu.[...] 2013-08-05
_[44] 서적 Nonlinear Optics: Principles and Applications https://books.google[...] CRC Press 2014-12-11
_[45] 매스월드 Sifting Property
_[46] 서적 Signals and Systems with MATLAB Applications https://books.google[...] Orchard Publications 2003
_[47] 서적 Introduction to Communication Theory https://books.google[...] Elsevier 2014-05-17
_[48] 문서 Submersion (mathematics)
_[49] 문서 Fourier transform
_[50] 웹인용 정보통신기술용어해설, http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=3722 http://www.ktword.co[...] 2013-08-05
_[52] 서적 Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions: In Honor of Hari M. Srivastava https://books.google[...] Springer 2014-07-08
_[53] 서적 Statistics in Volcanology https://books.google[...] Geological Society of London 2006
_[54] 하버드 인용
_[55] 하버드 인용
_[56] 매스월드 Doublet Function
_[57] 웹인용 Gugo82's comment on the distributional derivative of Dirac's delta https://www.matemati[...] 2010-09-12

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com