럭스 쌍

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 성질
5. 역산란법과의 연관성
6. 예시
참조

1. 개요

럭스 쌍은 솔리톤 연구를 위해 도입된, 힐베르트 공간에 작용하는 연산자 L(t)와 P(t)의 한 쌍이다. 럭스 쌍은 럭스 방정식을 만족하며, 이 방정식은 양자역학의 하이젠베르크 묘사와 유사한 형태를 갖는다. 럭스 방정식의 해는 시간에 따라 닮음행렬이며, 고윳값과 고유벡터는 변하지 않는 등스펙트럼 성질을 갖는다. 럭스 쌍은 적분가능계에서 운동 방정식을 표현하는 데 사용되며, 역산란법과 밀접한 관련이 있다. 럭스 쌍의 예시로는 KdV 방정식, 코바레프스카야 톱, 하이젠베르크 묘사 등이 있다.

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럭스 쌍
개요
유형	수학적 방법
분야	수학 물리학
상세 정보
발견자	피터 락스
발견 시기	1968년
관련 개념	역산란 변환 가적분계 솔리톤

2. 역사

럭스 페테르가 1968년 솔리톤을 다루기 위하여 도입하였다.^[7]

3. 정의

럭스 페테르가 1968년 솔리톤을 다루기 위하여 도입하였다.^[7]

'''럭스 쌍'''(Lax pair) $(L(t), P(t))$ 는 어떤 벡터 공간(주로 힐베르트 공간)에 작용하는 한 쌍의 연산자로, 다음과 같은 '''럭스 방정식'''(Lax’s equation^영어)을 만족시킨다.

: $\frac{dL(t)}{dt}=[P(t),L(t)]$

여기서 $[P(t), L(t)] = P(t)L(t) - L(t)P(t)$ 는 두 연산자의 교환자이다.

이 럭스 방정식의 형태는 양자역학의 하이젠베르크 묘사에서 시간에 따라 변하는 관측 가능량 $A(t)$ 의 운동 방정식인 하이젠베르크 운동방정식과 유사하다.

: $\frac{d}{dt} A(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A(t)]$

여기서 $H$ 는 계의 해밀토니안이고, $\hbar$ 는 환산 플랑크 상수이다. 즉, 하이젠베르크 묘사에서 (명시적인 시간 의존성이 없는) 관측 가능량은 상수 인자를 제외하면 해밀토니안과 함께 럭스 쌍을 형성한다고 볼 수 있다.

럭스 방정식에 따라 연산자 $L(t)$ 는 다음과 같이 풀 수 있다.

: $L(t)=U(t)L(0)U(-t)$

여기서 $U(t)$ 는 시간 변화 연산자로, $U(t)=U(-t)^{-1}$ 이며 다음 방정식을 만족한다.

: $\frac{dU(t)}{dt}=P(t)U(t)$

이 연산자는 시간 순서 행렬 지수 함수 $\mathcal T\exp$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $U(t)=\mathcal T\exp\int_0^tP(s)\,dt$

위 결과는 $L(t)$ 가 시간에 따라 초기 연산자 $L(0)$ 과 닮음 관계에 있음을 보여준다. 즉, $L(t)$ 는 시간에 따라 서로 닮음행렬이며, 이는 $L(t)$ 의 고윳값이 시간에 따라 변하지 않는다는 것을 의미한다. 따라서 이 고윳값들은 계의 운동 상수가 된다.

적분가능계 연구에서 럭스 쌍은 중요한 역할을 한다. 종종 어떤 변수 $x$ 에 대한 계의 운동 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식 형태로 표현할 수 있다.

: $\frac{dL(x,t)}{dt}=[P(x,t),L(x,t)]$

이 경우, 연산자 $L(x,t)$ 의 고윳값들은 운동 상수가 되어 계의 해를 구하거나 분석하는 데 유용하게 사용된다.

럭스 방정식을 특정 미분 방정식의 해법에 적용할 때, 연산자가 작용하는 벡터 공간 $\mathbb{H}$ 는 주로 함수 공간이 된다. 이 경우 연산자 $L$ 과 $P$ (또는 $A$ 로 표기하기도 함)는 공간 변수 $x$ 와 시간 $t$ 에 의존하며, 풀고자 하는 미분 방정식의 미지 함수 $u(t,x)$ 를 포함할 수 있다. $u(t,x)$ 가 만족해야 하는 특정 미분 방정식(주로 비선형 편미분 방정식)이 럭스 방정식의 형태로 표현될 수 있는 것이다.

럭스 방정식에서 좌변의 시간 미분 $\frac{\partial L(t)}{\partial t}$ 는 연산자 자체의 시간 변화율을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

: $\frac{\partial L(t)}{\partial t} = \lim_{h\to 0} \frac{L(t+h)-L(t)}{h}$

또한, 연산자 $L(t)$ 와 $P(t)$ 는 $\mathbb{H}$ 의 스칼라 값 함수인 임의의 시간 함수 $\lambda(t)$ 와 교환한다. 즉, $[P(t),\lambda(t)] = [L(t),\lambda(t)] = 0$ 이다. 이는 $L(t)$ 와 $P(t)$ 가 시간 미분 연산자 $\frac{\partial}{\partial t}$ 를 포함하지 않음을 의미한다.

4. 성질

'''럭스 쌍''' $(L(t),P(t))$ 은 어떤 벡터 공간에 작용하는 한 쌍의 연산자로, 다음과 같은 '''럭스 방정식'''(Lax’s equation^영어)을 만족시킨다.

: $\frac{dL(t)}{dt}=[P(t),L(t)]$

이 방정식은 양자역학의 하이젠베르크 묘사에서 사용되는 하이젠베르크 운동방정식과 동일한 형태를 가진다.

럭스 방정식의 해 $L(t)$ 는 시간 변화 연산자 $U(t)$ 를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $L(t)=U(t)L(0)U(-t)$

여기서 시간 변화 연산자 $U(t)$ 는 $U(t)=U(-t)^{-1}$ 의 관계를 만족하며, 다음 미분 방정식을 따른다.

: $\frac{dU(t)}{dt}=P(t)U(t)$

이 연산자는 시간 순서 행렬 지수 함수 $\mathcal T\exp$ 를 사용하여 $U(t)=\mathcal T\exp\int_0^tP(s)\,ds$ 로 나타낼 수 있다. 이로부터 $L(t)$ 는 모든 시간 $t$ 에 대해 초기 상태 $L(0)$ 과 닮음행렬 관계에 있으며, 이는 $L(t)$ 의 고윳값이 시간에 따라 변하지 않는다는 중요한 성질로 이어진다. 즉, 스펙트럼이 보존된다. (자세한 내용은 등스펙트럼 성질 참조)

적분가능계 이론에서는 종종 공간 변수 $x$ 와 시간 변수 $t$ 에 의존하는 계의 운동 방정식을 럭스 방정식 형태로 표현한다.

: $\frac{dL(x,t)}{dt}=[P(x,t),L(x,t)]$

이 경우, 연산자 $L(x,t)$ 의 고윳값들은 시간에 따라 변하지 않는 운동 상수가 되어 계의 중요한 정보를 제공한다.

4. 1. 등스펙트럼 성질 (Isospectral property)

럭스 방정식

\frac{dL(t)}{dt}=[P(t),L(t)]

에 따라서, 연산자

L(t)

의 고윳값(또는 더 일반적으로 스펙트럼)은 시간에 따라 변하지 않는다. 즉,

L(t)

는 시간에 따라 '''등스펙트럼적'''(isospectral^영어)이다.

이는

L(t)

가 시간 변화 연산자

U(t, s)

를 통해 다른 시간의 연산자와 닮음 관계에 있기 때문이다. 시간 변화 연산자

U(t, s)

는 다음 코시 문제의 해이다.

:

\frac{d}{dt} U(t, s) = P(t) U(t, s), \quad U(s, s) = I

여기서

I

는 항등 연산자이다. 이 연산자를 이용하면

L(t)

는 다음과 같이 표현된다.

:

L(t) = U(t, s) L(s) U(t, s)^{-1}

특히

s=0

으로 두면,

L(t) = U(t, 0) L(0) U(t, 0)^{-1}

이다. 만약

P(t)

가 모든

t

에 대해 왜-수반 작용소이면,

U(t, s)

는 유니타리 작용소가 된다.

L(t)

가 시간에 따라 서로 닮음행렬이므로, 그 고윳값은 시간에 따라 변하지 않는다. 시간

t

에서의 고유값 문제를

L(t) \psi(t) = \lambda(t) \psi(t)

라고 할 때, 고윳값은

\lambda(t) = \lambda(0)

으로 일정하며, 고유벡터는 시간 변화 연산자를 통해 다음과 같이 변환된다.

:

\psi(t) = U(t, 0) \psi(0)

등스펙트럼 성질은 텐서의 불변량을 사용하여 설명할 수도 있다. 임의의 정수

n

에 대해

\operatorname{tr}(L^n)

은 시간에 따라 변하지 않는 운동 상수가 된다. 이는 럭스 방정식과 고리 성질(cyclic property)을 이용하여 다음과 같이 보일 수 있다.^[1]

:

\frac{d}{dt} \operatorname{tr}(L^n) = \operatorname{tr}(n L^{n-1} \frac{dL}{dt}) = \operatorname{tr}(n L^{n-1} [P, L]) = n \operatorname{tr}(L^{n-1}PL - L^{n-1}LP)

고리 성질

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

에 의해

\operatorname{tr}(L^{n-1}LP) = \operatorname{tr}(PL^{n-1}L) = \operatorname{tr}(PL^n)

이므로,

:

\frac{d}{dt} \operatorname{tr}(L^n) = n \operatorname{tr}(L^{n-1}PL - L^n P) = n (\operatorname{tr}(L^{n-1}PL) - \operatorname{tr}(L^n P)) = n (\operatorname{tr}(PL^n) - \operatorname{tr}(L^n P)) = 0

따라서

\operatorname{tr}(L^n)

은 시간에 대해 상수이다.

L

의 특성 다항식은 이러한

\operatorname{tr}(L^n)

항들로 표현될 수 있으므로, 스펙트럼(고윳값 집합)이 보존됨을 알 수 있다.^[1]

4. 2. 스펙트럼 곡선 (Spectral curve)

만약 락스 행렬이 복소 매개변수

z

에 추가적으로 의존한다면 (사인-고든 방정식의 경우처럼), 방정식

\det\big(wI - L(z)\big) = 0

는 좌표

w, z

를 갖는

\mathbb{C}^2

에서 대수 곡선을 정의한다. 등스펙트럼 성질에 의해, 이 곡선은 시간 이동 하에서 보존된다. 이것이 바로 '''스펙트럼 곡선'''이다. 이러한 곡선들은 히친 시스템 이론에서 나타난다.^[2]

4. 3. 영-곡률 표현 (Zero-curvature representation)

럭스 쌍 표현을 허용하는 모든 편미분 방정식(PDE)은 영-곡률 표현(Zero-curvature representation)도 허용한다.^[3] 사실, 영-곡률 표현은 더 일반적인 개념으로, 예를 들어 사인-고든 방정식과 같은 다른 적분 가능한 PDE의 경우, 럭스 쌍은 럭스 방정식이 아닌 영-곡률 방정식을 만족하는 행렬을 가리키기도 한다. 영-곡률 표현은 적분 가능한 시스템과 기하학 사이의 연결을 명확하게 보여주며, 워드(Richard S. Ward)의 연구 프로그램에서 알려진 적분 가능한 시스템을 반 자기 쌍대 양-밀스(ASDYM) 방정식의 해로 공식화하는 데 중요한 역할을 했다.

영-곡률 방정식은 행렬 값을 가지는 함수 쌍

A_x(x, t), A_t(x, t)

로 설명된다. 여기서 아래첨자

x, t

는 미분이 아닌 좌표 지수를 나타낸다. 종종

(x, t)

에 대한 의존성은 단일 스칼라 함수

\varphi(x, t)

와 그 도함수들을 통해 이루어진다. 영-곡률 방정식은 다음과 같이 주어진다.

\partial_t A_x - \partial_x A_t + [A_x, A_t] = 0.

여기서

[A_x, A_t] = A_x A_t - A_t A_x

는 교환자이다. 이 방정식이 '영-곡률'이라고 불리는 이유는, 이 경우 곡률 텐서

F_{\mu\nu} = [\partial_\mu - A_\mu, \partial_\nu - A_\nu] = -\partial_\mu A_\nu + \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]

가 0이 되기 때문이다. (소스에 따라 부호가 다를 수 있지만 본질적인 의미는 같다.)

럭스 연산자

L

의 고유함수

\psi

와 고윳값

\lambda

에 대해, 다음 두 방정식이 성립한다.

L\psi = \lambda \psi, \quad \psi_t + A\psi = 0.

만약 고윳값

\lambda

가 시간에 대해 변하지 않는다는 조건(

\partial_t \lambda = 0

)을 추가로 가정하면, 위의 두 방정식으로부터 럭스 방정식이 유도된다. 즉, 럭스 방정식은 이 과결정 시스템(overdetermined system)이 해를 갖기 위한 일관성 조건(consistency condition)으로 볼 수 있다.

럭스 쌍

(L, P)

는 연결(connection) 성분

(A_x, A_t)

을 정의하는 데 사용될 수 있다. 어떤 편미분 방정식이 영-곡률 표현은 허용하지만 럭스 방정식 표현을 허용하지 않는 경우, 연결 성분

(A_x, A_t)

자체를 럭스 쌍이라고 부르기도 하며, 이 연결을 럭스 연결(Lax connection)이라고 한다.

5. 역산란법과의 연관성

럭스 쌍의 등스펙트럼 성질은 역산란법의 기초가 된다.^[1] 이 방법에서 연산자 ''L''과 ''P''는 함수 공간에 작용하며, 결정해야 할 미지 함수 ''u''(''t'', ''x'')에 의존한다. 일반적으로 초기 시각 $t_0$ 에서의 함수값 $u(t_0, x)$ 는 초기 조건으로 주어지며, $|x| \to \infty$ 일 때 $|u(t_0, x)| \to 0$ 을 만족한다고 가정한다. $|u(t_0, x)|$ 가 충분히 작은 ''x''에 대한 영역을 산란 영역이라고 부른다. 산란 영역에서는 연산자 ''P''가 ''u''에 의존하지 않고 알려진 것으로 간주할 수 있다.^[2]

역산란법은 다음과 같은 단계로 진행된다.^[1]^[2]

# 초기 시각 $t_0$ 에서 연산자 $L(t_0)$ 의 스펙트럼을 계산하여 고유값 $\lambda$ 와 고유함수 $\psi(t_0, x)$ 를 구한다.

# 산란 영역에서는 ''P''가 알려져 있다고 가정하므로, 초기 조건 $\psi(t_0, x)$ 를 사용하여 방정식 $\frac{\partial \psi}{\partial t}(t, x) = P \psi(t, x)$ (또는 등가적으로 시간 변화 연산자 $U(t, t_0)$ 를 사용하여 $\psi(t) = U(t,t_0) \psi(t_0)$ 로 표현)를 풀어 $\psi(t, x)$ 가 시간에 따라 어떻게 변하는지 계산한다.

# 산란 영역에서 시간에 따라 변한 $\psi(t, x)$ 를 알게 되면, 이를 이용하여 역산란 과정을 통해 모든 영역에서의 함수 $u(t, x)$ 를 계산한다.

6. 예시

럭스 쌍은 다양한 물리적, 수학적 시스템에서 중요한 역할을 한다. 여러 미분 방정식과 동역학계가 럭스 쌍을 이용하여 표현될 수 있으며, 이는 해당 시스템의 해를 구하거나 성질을 이해하는 데 도움을 준다. 럭스 쌍으로 표현될 수 있는 시스템은 종종 적분가능계이며, 무한히 많은 보존량을 갖는 등의 특별한 성질을 보인다.

대표적인 예시로는 다음과 같은 것들이 있다:

코르테베흐-더 브리스 방정식 (KdV 방정식): 솔리톤과 같은 비선형 파동 현상을 설명하는 유명한 방정식으로, 럭스 쌍을 이용한 해법이 개발되었다.
코바레프스카야 톱: 유한 차원 힐베르트 공간에서의 고전 역학 시스템 예시로, 럭스 쌍을 통해 적분 가능성이 증명되었다.
하이젠베르크 묘사: 양자역학의 운동 방정식을 럭스 방정식과 유사한 형태로 이해할 수 있으며, 이는 양자 시스템의 동역학을 분석하는 데 유용하다.

이 외에도 비선형 슈뢰딩거 방정식, 사인-고든 방정식, 토다 격자, 일반 상대성 이론의 특정 해 (벨린스키-자하로프 변환) 등 다양한 시스템들이 럭스 쌍으로 표현될 수 있다. 더 많은 구체적인 예시와 그에 대한 설명은 아래 하위 섹션들에서 확인할 수 있다.

6. 1. [[코르테베흐-더 브리스 방정식]] (Korteweg–de Vries equation, KdV 방정식)

코르테베흐-더 브리스 방정식(Korteweg–de Vries equation, KdV 방정식)은 다음과 같은 형태의 편미분 방정식이다.^[1]

u_t = 6uu_x - u_{xxx}

여기서

u = u(t, x)

는 시간

t

와 공간

x

에 대한 함수이다. 이 방정식은 수치 해석 과정에서 솔리톤 해가 처음 발견된 것으로 유명하다.^[1]

KdV 방정식은 럭스 쌍(Lax pair)을 이용하여 럭스 방정식 형태로 표현될 수 있다.^[1] 럭스 쌍은 다음과 같이 정의되는 한 쌍의 연산자

(L, A)

이다.

$L = -\partial_x^2 + u$ (슈트름-리우빌 연산자)^[1]
$A = -4\partial_x^3 + 6u\partial_x + 3u_x$ ^[1]

여기서

\partial_x

는

x

에 대한 편미분 연산자를 나타내며, 모든 연산자는 오른쪽에 있는 대상 함수에 순서대로 작용한다. 예를 들어, 연산자

\partial_x u

를 함수

\psi

에 작용시키면

\partial_x u \psi = \partial_x (u \psi) = (\partial_x u)\psi + u(\partial_x \psi)

가 된다. 이를 연산자 간의 관계로 표현하면

\partial_x u = u\partial_x + u_x

이다.^[1] 여기서

u_x

는

u

의

x

에 대한 편미분을 의미한다.

이 럭스 쌍

(L, A)

를 이용하면 KdV 방정식은 다음과 같은 럭스 방정식으로 나타낼 수 있다.^[1]

L_t = [A, L]

여기서

L_t = \frac{\partial L}{\partial t}

이고,

[A, L] = AL - LA

는 교환자를 의미한다.^[1]

럭스 방정식의 좌변은

L_t = \frac{\partial}{\partial t}(-\partial_x^2 + u) = u_t

이다.^[1] 우변의 교환자

[A, L]

을 계산하면 다음과 같다.^[1]

[A,L] = [-4\partial_x^3 + 6u\partial_x + 3u_x, -\partial_x^2 + u] \

::

= [-4\partial_x^3, u] + [6u\partial_x, -\partial_x^2] + [6u\partial_x, u] + [3u_x, -\partial_x^2]\

::

= -4(3u_x\partial_x^2 + 3u_{xx}\partial_x + u_{xxx}) + 6(2u_x\partial_x + u_{xx})\partial_x + 6uu_x + 3(2u_{xx}\partial_x + u_{xxx}) \

(교환자 관계

[\partial_x, u] = u_x

,

[\partial_x^2, u] = 2u_x\partial_x + u_{xx}

,

[\partial_x^3, u] = 3u_x\partial_x^2 + 3u_{xx}\partial_x + u_{xxx}

등 이용)^[1]

::

= -12u_x\partial_x^2 - 12u_{xx}\partial_x -4u_{xxx} + 12u_x\partial_x^2 + 6u_{xx}\partial_x + 6uu_x + 6u_{xx}\partial_x + 3u_{xxx}\

::

= 6uu_x - u_{xxx}\

따라서 럭스 방정식

L_t = [A, L]

은

u_t = 6uu_x - u_{xxx}

와 동일하며, 이는 KdV 방정식과 정확히 일치한다.^[1]

연산자

L = -\partial_x^2 + u

은 슈트름-리우빌 연산자의 형태를 가지는데, 이는 양자 역학에서 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안과 유사한 형태이다.^[1] 이러한 유사성 덕분에 양자 역학에서 사용되던 역산란법을 KdV 방정식의 해법에 적용할 수 있게 되었다.^[1] 또한, KdV 방정식을 럭스 방정식 형태로 표현할 수 있다는 사실은 이 방정식이 무한히 많은 제1 적분을 가지는 이유를 설명한다.^[1]

6. 2. [[코바레프스카야 톱]] (Kovalevskaya top)

이전 예시는 무한 차원 힐베르트 공간을 사용했다. 유한 차원 힐베르트 공간에서도 예시가 가능하다. 여기에는 코바레프스카야 톱과 전기장

\vec{h}

를 포함하는 일반화가 포함된다.^[4]

럭스 쌍은 다음과 같이 주어진다.

\begin{align}L &= \begin{pmatrix}g_1 + h_2 & g_2 + h_1 & g_3 & h_3\\g_2 + h_1 & -g_1 + h_2 & h_3 & -g_3\\g_3 & h_3 & -g_1 - h_2 & g_2 - h_1\\h_3 & -g_3 & g_2 - h_1 & g_1 + h_2\\\end{pmatrix} \lambda^{-1}\\&+ \begin{pmatrix}0 & 0 & -l_2 & -l_1\\0 & 0 & l_1 & -l_2\\l_2 & -l_1 & -2 \lambda & -2 l_3 \\l_1 & l_2 & 2 l_3 & 2 \lambda\\\end{pmatrix},\\P &= \frac{-1}{2} \begin{pmatrix}0 & -2 l_3 & l_2 & l_1\\2 l_3 & 0 & -l_1 & l_2\\

l_2 & l_1 & 2 \lambda & 2 l_3 + \gamma\\
l_1 & -l_2 & -2 l_3 & -2\lambda\\

\end{pmatrix}.\end{align}

6. 3. [[하이젠베르크 묘사]] (Heisenberg picture)

양자역학의 하이젠베르크 묘사에서, 시간에 명시적으로 의존하지 않는 관측 가능량

A(t)

는 다음과 같은 하이젠베르크 운동 방정식을 따른다.

:

\frac{d}{dt} A(t) = \frac{i}{\hbar} [H, A(t)]

여기서

H

는 계의 해밀토니안이고,

\hbar

는 플랑크 상수를

2\pi

로 나눈 디랙 상수이다.

이 방정식은 럭스 쌍

(L(t), P(t))

이 만족하는 럭스 방정식

:

\frac{dL(t)}{dt}=[P(t),L(t)]

와 매우 유사한 형태를 가진다. 실제로 하이젠베르크 운동 방정식은 럭스 방정식의 특별한 경우로 볼 수 있다. 만약 관측 가능량

A(t)

를

L(t)

로, 연산자

P(t) = -\frac{i}{\hbar} H

를

P(t)

로 대응시키면,

(A(t), -\frac{i}{\hbar} H)

는 상수 인자

\frac{i}{\hbar}

를 제외하고 럭스 쌍을 형성한다.

따라서 럭스 방정식의 해법과 성질을 하이젠베르크 묘사에 적용할 수 있다. 럭스 방정식의 해는 시간 전개 연산자

U(t, t_0)

를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:

L(t)=U(t,t_0) L(t_0) U(t,t_0)^{-1}

여기서 시간 전개 연산자

U(t, t_0)

는 다음 미분 방정식을 만족한다.

:

\frac{\partial}{\partial t} U(t,t_0) = P(t) U(t,t_0), \qquad U(t_0,t_0) = I

(''I''는 단위 행렬)

하이젠베르크 묘사에서는

P(t) = -\frac{i}{\hbar} H

이므로, 이는 양자역학에서의 시간 전개 연산자와 일치한다. 특히 해밀토니안

H

가 시간에 의존하지 않으면

P

도 상수가 되고,

P(t_1)

와

P(t_2)

는 항상 가환이므로, 시간 전개 연산자는 다음과 같이 간단히 표현된다.

:

U(t,t_0) = e^{\int_{t_0}^{t} P(\tau) d\tau} = e^{-\frac{i}{\hbar}H(t-t_0)}

럭스 쌍의 중요한 성질 중 하나는

L(t)

가 시간에 따라 서로 닮음행렬이므로 그 고윳값이 시간에 따라 변하지 않는다는 것이다. 이는 하이젠베르크 묘사에서 관측 가능량

A(t)

의 스펙트럼(고윳값들의 집합)이 시간에 따라 일정하게 유지됨을 의미한다. 이러한 시간 변화를 '''등 스펙트럼 진화'''라고 부른다.

슈뢰딩거 묘사는 상태 벡터가 시간에 따라 변하고 관측 가능량은 (명시적인 시간 의존성이 없다면) 고정된 방식으로 양자계를 기술하는데, 이는 하이젠베르크 묘사에서 관측 가능량의 스펙트럼이 변하지 않는다는 사실(등 스펙트럼 진화)에 대한 대안적인 관점을 제공한다.

6. 4. 기타 예시

다음은 럭스 쌍으로 공식화될 수 있는 방정식 시스템의 추가적인 예시이다. 이들은 대부분 솔리톤 해를 가지고 있다.

벤자민-오노 방정식
1차원 3차 비선형 슈뢰딩거 방정식
데이비-스튜어트슨 시스템
접촉 럭스 쌍을 가진 적분 가능한 시스템^[5]^[6]
카돔체프-페트비아쉬빌리 방정식
코르테베흐-드 브리스 방정식
KdV 계열
마르첸코 방정식
수정된 코르테베흐-드 브리스 방정식
사인-고든 방정식
토다 격자
라그랑주, 오일러, 코바레프스카야 팽이
벨린스키-자하로프 변환 (일반 상대성 이론에서)

특히 마지막 예시인 벨린스키-자하로프 변환은 슈바르츠실트 계량과 커 계량 모두 솔리톤으로 이해될 수 있음을 시사한다는 점에서 주목할 만하다.

참조

_[1] 서적 Integrable systems : twistors, loop groups, and Riemann surfaces Clarendon Press 1999
_[2] 서적 Integrable systems : twistors, loop groups, and Riemann surfaces Clarendon Press 1999
_[3] 서적 Solitons, instantons, and twistors Oxford University Press 2010
_[4] 간행물 The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions https://projecteucli[...] 1989
_[5] 논문 New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry 2018
_[6] 논문 New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry 2018
_[7] 저널 Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves http://archive.org/d[...]

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