랭글랜즈 쌍대군

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 응용
5. 한국의 연구 동향
- 5.1. 김민형의 연구
- 5.2. 기타 연구
참조

1. 개요

랭글랜즈 쌍대군은 가약 리 군의 근 데이터를 변환하여 얻는 군으로, 랭글랜즈 프로그램과 이론물리학의 전기-자기 이중성 등 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 랭글랜즈 쌍대군은 랭글랜즈 프로그램에서 갈루아 군과 보형 형식을 연결하는 데 사용되며, 전기-자기 이중성에서는 게이지 군과 쌍대 관계를 이룬다. 랭글랜즈 추측과 랭글랜즈 작용성은 랭글랜즈 쌍대군을 사용하여 군의 표현과 갈루아 군 사이의 관계를 설명한다.

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랭글랜즈 쌍대군
랭글랜즈 쌍대군 정보
정의	리 군 또는 대수군 G의 랭글랜즈 쌍대군 G∨는 G의 복소 구조와 동일한 복소 구조를 갖는 복소 리 군이다.
동등한 정의	G∨의 근 데이터는 G의 근 데이터와 쌍대적이다.
예시
GL(n, C)	일반 선형군 GL(n, C)의 랭글랜즈 쌍대군은 GL(n, C) 자신이다.
스핀 군 Spin(2n+1, C)	스핀 군 Spin(2n+1, C)의 랭글랜즈 쌍대군은 심플렉틱 군 Sp(2n, C)이다.
심플렉틱 군 Sp(2n, C)	심플렉틱 군 Sp(2n, C)의 랭글랜즈 쌍대군은 스핀 군 Spin(2n+1, C)이다.
특수 직교군 SO(2n, C)	특수 직교군 SO(2n, C)의 랭글랜즈 쌍대군은 자기 자신이다.
특수 직교군 SO(2n+1, C)	특수 직교군 SO(2n+1, C)의 랭글랜즈 쌍대군은 자기 자신이다.

2. 정의

가약 리 군은 근 데이터 $(X^*,\Phi,X_*,\Phi^\vee)$ 로 정의된다. 여기서 $X^*$ 는 극대 원환면의 지표들의 격자인 무게 격자, $\Phi\subset X^*$ 는 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근계, $X_*$ 는 $X^*$ 의 쌍대 격자인 쌍대 무게 격자, $\Phi^\vee\subset X_*$ 는 $\Phi$ 의 쌍대근계이다. 근 데이터는 가약 리 군을 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

군 $G$ 의 랭글랜즈 쌍대군 $G^\vee$ 는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉, $G^\vee$ 의 근 데이터는 $(X_*,\Phi^\vee,X^*,\Phi)$ 이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

분리 폐체 ''K'' 위의 환원 대수군으로부터, 그 근 데이터 (''X''^*, Δ,''X''_*, Δ^v)를 구성할 수 있다. 여기서 ''X''^*는 최대 토러스의 문자 격자, ''X''_*는 쌍대 격자(1-모수 부분군에 의해 주어짐), Δ는 근, Δ^v는 코근이다. ''K'' 위의 연결된 환원 대수군은 근 데이터에 의해 (동형 사상까지) 유일하게 결정된다. 근 데이터는 또한 군의 중심을 결정하기 때문에 드킨 다이어그램보다 약간 더 많은 정보를 담고 있다.

어떤 근 데이터 (''X''^*, Δ,''X''_*, Δ^v)에 대해, 문자들을 1-모수 부분군으로 바꾸고, 근을 코근으로 바꿈으로써 '''쌍대 근 데이터''' (''X''_*, Δ^v,''X''^*, Δ)를 정의할 수 있다.

만약 ''G''가 대수적으로 닫힌 체 ''K'' 위의 연결된 환원 대수군이라면, 그 '''랭글랜즈 쌍대군''' ^''L''''G''는 근 데이터가 ''G''의 그것과 쌍대인 복소 연결 환원 군이다.

예를 들어, 랭글랜즈 쌍대군 ^''L''''G''는 ''G''와 동일한 드킨 다이어그램을 가지지만, 유형 ''B''_''n''의 구성 요소는 유형 ''C''_''n''의 구성 요소로 변경되고 그 반대도 마찬가지이다. 만약 ''G''가 자명한 중심을 가지면 ^''L''''G''는 단일 연결이고, 만약 ''G''가 단일 연결이면 ^''L''''G''는 자명한 중심을 가진다. ''GL''_''n''(''K'')의 랭글랜즈 쌍대군은 ''GL''_''n''('''C''')이다.

''G''가 분리 가능한 폐포 ''K''를 갖는 어떤 체 ''k'' 위의 환원군이라고 가정하자. ''K'' 위에서, ''G''는 근 데이터를 가지며, 이는 갈루아 군 ''Gal''(''K''/''k'')의 작용을 동반한다. ''L''-군의 연결 성분 ^L''G''^o은 쌍대 근 데이터의 연결된 복소 환원군이며, 이는 갈루아 군 ''Gal''(''K''/''k'')의 유도된 작용을 갖는다. 전체 ''L''-군 ^L''G''는 반직접곱

:^L''G'' = ^L''G''^o×''Gal''(''K''/''k'')

으로, 연결 성분과 갈루아 군의 반직접곱이다.

''L''-군의 정의에는 몇 가지 변형이 있다.

분리 가능한 폐포의 전체 갈루아 군 ''Gal''(''K''/''k'')을 사용하는 대신, ''G''가 분리되는 유한 확장의 갈루아 군만 사용할 수 있다. 그러면 해당 반직접곱은 유한 개의 성분만 가지며 복소 리 군이다.
''k''가 국소체, 대역체 또는 유한체라고 가정해 보자. ''k''의 절대 갈루아 군을 사용하는 대신, 갈루아 군으로의 자연스러운 사상을 가지므로 근 데이터에도 작용하는 절대 베유 군을 사용할 수 있다. 해당 반직접곱은 ''L''-군의 '''베유 형'''이라고 한다.
유한체 위의 대수적 군 ''G''에 대해, 들린과 러스티그는 다른 쌍대 군을 도입했다. 이전과 마찬가지로, ''G''는 유한체의 절대 갈루아 군의 작용과 함께 근 데이터를 제공한다. 그러면 '''쌍대 군''' ''G''^*는 갈루아 군의 유도된 작용을 갖는 쌍대 근 데이터와 연관된 유한체 위의 환원 대수적 군이다. (이 쌍대 군은 유한체 위에 정의되는 반면, 랭글란즈 쌍대 군의 성분은 복소수 위에 정의된다.)

2. 1. 가약 리 군

가약 리 군은 근 데이터

(X^*,\Phi,X_*,\Phi^\vee)

로 정의된다. 여기서

X^*

는 무게 격자,

\Phi\subset X^*

는 근계,

X_*

는 쌍대 무게 격자,

\Phi^\vee\subset X_*

는 쌍대근계이다. 근 데이터는 가약 리 군을 유한 아벨 부분군까지 정확히 나타내므로, 딘킨 도표보다 더 많은 정보를 담고 있다.

군

G

의 랭글랜즈 쌍대군

G^\vee

는 근 데이터에서 무게 격자와 쌍대 무게 격자를, 근계와 쌍대근계를 맞바꾼 가약 리 군이다. 즉,

G^\vee

의 근 데이터는

(X_*,\Phi^\vee,X^*,\Phi)

이다.

복소수체 말고도, 다른 체에 대한 대수군의 경우도 랭글랜즈 쌍대군을 정의할 수 있다.

2. 2. 분리 폐체 위의 대수군

분리 폐체 ''K'' 위의 환원 대수군으로부터, 그 근 데이터((''X''^*, Δ,''X''_*, Δ^v)를 구성할 수 있다. 여기서 ''X''^*는 최대 토러스의 문자 격자, ''X''_*는 쌍대 격자(1-모수 부분군에 의해 주어짐), Δ는 근, Δ^v는 코근이다. ''K'' 위의 연결된 환원 대수군은 근 데이터에 의해 (동형 사상까지) 유일하게 결정된다. 근 데이터는 또한 군의 중심을 결정하기 때문에 드킨 다이어그램보다 약간 더 많은 정보를 담고 있다.

어떤 근 데이터 (''X''^*, Δ,''X''_*, Δ^v)에 대해, 문자들을 1-모수 부분군으로 바꾸고, 근을 코근으로 바꿈으로써 '''쌍대 근 데이터''' (''X''_*, Δ^v,''X''^*, Δ)를 정의할 수 있다.

만약 ''G''가 대수적으로 닫힌 체 ''K'' 위의 연결된 환원 대수군이라면, 그 '''랭글랜즈 쌍대군''' ^''L''''G''는 근 데이터가 ''G''의 그것과 쌍대인 복소 연결 환원 군이다.

예를 들어, 랭글랜즈 쌍대군 ^''L''''G''는 ''G''와 동일한 드킨 다이어그램을 가지지만, 유형 ''B''_''n''의 구성 요소는 유형 ''C''_''n''의 구성 요소로 변경되고 그 반대도 마찬가지이다. 만약 ''G''가 자명한 중심을 가지면 ^''L''''G''는 단일 연결이고, 만약 ''G''가 단일 연결이면 ^''L''''G''는 자명한 중심을 가진다. ''GL''_''n''(''K'')의 랭글랜즈 쌍대군은 ''GL''_''n''('''C''')이다.

2. 3. 일반적인 체 위의 군

''G''가 분리 가능한 폐포 ''K''를 갖는 어떤 체 ''k'' 위의 환원군이라고 가정하자. ''K'' 위에서, ''G''는 근 데이터(root datum)를 가지며, 이는 갈루아 군(Galois group) ''Gal''(''K''/''k'')의 작용을 동반한다. ''L''-군의 연결 성분 ^L''G''^o은 쌍대 근 데이터의 연결된 복소 환원군이며, 이는 갈루아 군 ''Gal''(''K''/''k'')의 유도된 작용을 갖는다. 전체 ''L''-군 ^L''G''는 반직접곱

:^L''G'' = ^L''G''^o×''Gal''(''K''/''k'')

으로, 연결 성분과 갈루아 군의 반직접곱이다.

''L''-군의 정의에는 몇 가지 변형이 있다.

분리 가능한 폐포의 전체 갈루아 군 ''Gal''(''K''/''k'')을 사용하는 대신, ''G''가 분리되는 유한 확장의 갈루아 군만 사용할 수 있다. 그러면 해당 반직접곱은 유한 개의 성분만 가지며 복소 리 군이다.
''k''가 국소체, 대역체 또는 유한체라고 가정해 보자. ''k''의 절대 갈루아 군을 사용하는 대신, 갈루아 군으로의 자연스러운 사상을 가지므로 근 데이터에도 작용하는 절대 베유 군을 사용할 수 있다. 해당 반직접곱은 ''L''-군의 '''베유 형'''이라고 한다.
유한체 위의 대수적 군 ''G''에 대해, 들린과 러스티그는 다른 쌍대 군을 도입했다. 이전과 마찬가지로, ''G''는 유한체의 절대 갈루아 군의 작용과 함께 근 데이터를 제공한다. 그러면 '''쌍대 군''' ''G''^*는 갈루아 군의 유도된 작용을 갖는 쌍대 근 데이터와 연관된 유한체 위의 환원 대수적 군이다. (이 쌍대 군은 유한체 위에 정의되는 반면, 랭글란즈 쌍대 군의 성분은 복소수 위에 정의된다.)

3. 예

3. 1. 원환면

콤팩트 아벨 리 군

G

는 항상 벡터 공간을 격자로 나눈 꼴

G=V/\Lambda

로 나타낼 수 있다. 이 경우, 그 랭글랜즈 쌍대군은

G^\vee=V^*/\Lambda^*

이다. 이는 폰트랴긴 쌍대군과 전혀 다르다. (이 경우,

G

의 폰트랴긴 쌍대군은

\Lambda^*

이다.)

3. 2. 단순 연결 콤팩트 리 군

단순 연결 콤팩트 리 군의 경우, 랭글랜즈 쌍대군은 원래 군과 비슷하나, 그 유한 아벨 군에 대한 몫이 다를 수 있다. 특히, 리 군의 범피복 공간은 그 리 군의 중심을 없앤 형태와 쌍대이다. 예외적으로, B_n과 C_n이 서로 쌍대이다.

구체적으로 다음과 같다.

단순 연결 콤팩트 리 군의 랭글랜즈 쌍대군
군	쌍대군
$\operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/m)$	$\operatorname{SU}(mn)/(\mathbb Z/n)$
$\operatorname{Spin}(2n+1)$	$\operatorname{USp}(2n)/(\mathbb Z/2)$
$\operatorname{SO}(2n+1)$	$\operatorname{USp}(2n)$
$\operatorname{SO}(2n)$	$\operatorname{SO}(2n)$
$\operatorname{Spin}(2n)$	$\operatorname{PSO}(2n)$
$\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1$	$\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_1$
$\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2$	$\operatorname{Spin}(8n)/(\mathbb Z/2)_2$
$\operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_1$	$\operatorname{Spin}(8n+4)/(\mathbb Z/2)_2$
G₂	G₂
F₄	F₄
E₆	$E_6/(\mathbb Z/3)$
E₇	$E_7/(\mathbb Z/2)$
E₈	E₈

위 표에서, $\operatorname{Spin}(4n)$ 의 중심은 $(\mathbb Z/2)\times(\mathbb Z/2)$ 이므로, 이를 각각 $(\mathbb Z/2)_1$ , $(\mathbb Z/2)_2$ 로 표기하였다.

3. 3. 기타 예시

4. 응용

랭글랜즈 쌍대군은 갈루아 군과 보형 형식을 잇는 랭글랜즈 프로그램에 중요한 역할을 한다.^[1]

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.^[1] 이 사실은 안톤 카푸스틴/Анто́н Капу́стин^ru과 에드워드 위튼이 발견하였다.^[2]

랭글랜즈 추측은 대략적으로 말해, 만약 ''G''가 국소 또는 전역 체 위의 환원적 대수군이라면, ''G''의 "좋은" 표현과 갈루아 군(또는 바일 군 또는 랭글랜즈 군)의 준동형 사상에서 ''G''의 랭글랜즈 쌍대군으로의 사상 간의 대응 관계가 있음을 의미한다. 추측의 보다 일반적인 공식화는 '''랭글랜즈 작용성'''인데, 이는 (대략적으로) 랭글랜즈 쌍대군 간의 (잘 동작하는) 준동형 사상이 주어지면, 해당 군들의 "좋은" 표현 간에 유도된 사상이 있어야 함을 말한다.

랭글랜즈 예상은, 매우 대략적으로, G가 국소체 또는 대역체 상의 환원 대수군이라면, G의 "좋은" 표현과 갈루아 군(베유 군)으로부터 G의 랭글랜즈 쌍대군으로의 준동형 사이에 대응이 존재한다는 예상이다. 이 예상의 좀 더 일반적인 예상으로는 '''랭글랜즈 함자성'''(Langlands functoriality)이 있으며, 랭글랜즈 함자성이란, 대략적으로 말하면, (좋은 거동을 하는) 랭글랜즈 쌍대군과의 준동형이 주어지면, 대응하는 군의 "좋은" 표현 사이에 사상이 유도되어야 한다는 성질이다.

이 이론을 명확하게 하기 위해, 다른 ''L''-군으로 가는 ''L''-준동형 사상의 개념을 정의해야 한다. 즉, '작용성'이 의미를 가지도록 ''L''-군은 범주가 되어야 한다. 복소 리 군에 대한 정의는 예상대로이지만, ''L''-준동형 사상은 바일 군 '위에' 있어야 한다.

이 이론을 명확히 하기 위해, L-군의 L-준동형의 개념을 다른 쪽에서도 정의해야 한다. 즉, L-군은 범주를 구성해야 하며, 따라서, 함자성이 의미를 갖는다. 복소 리 군 상의 정의는 예상대로이지만, L-준동형은 베유 군 위에서 정의되어야 한다.

4. 1. 랭글랜즈 프로그램

랭글랜즈 프로그램은 갈루아 군과 보형 형식 사이의 관계를 연구하는 분야이다.^[1]^[2] 랭글랜즈 쌍대군은 이 프로그램에서 핵심적인 역할을 한다.

이론물리학에서 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.^[1] 이 사실은 안톤 카푸스틴/Анто́н Капу́стин^ru과 에드워드 위튼이 발견하였다.^[2]

랭글랜즈 추측은 대략 ''G''가 국소 또는 전역 체 위의 환원적 대수군이라면, ''G''의 "좋은" 표현과 갈루아 군(또는 바일 군 또는 랭글랜즈 군)의 준동형 사상에서 ''G''의 랭글랜즈 쌍대군으로의 사상 간의 대응 관계가 있음을 의미한다. 추측의 보다 일반적인 공식화는 '''랭글랜즈 작용성'''인데, 이는 (대략적으로) 랭글랜즈 쌍대군 간의 (잘 동작하는) 준동형 사상이 주어지면, 해당 군들의 "좋은" 표현 간에 유도된 사상이 있어야 함을 말한다.

이 이론을 명확하게 하기 위해, 다른 ''L''-군으로 가는 ''L''-준동형 사상의 개념을 정의해야 한다. 즉, '작용성'이 의미를 가지도록 ''L''-군은 범주가 되어야 한다. 복소 리 군에 대한 정의는 예상대로이지만, ''L''-준동형 사상은 바일 군 '위에' 있어야 한다.

4. 2. 랭글랜즈 작용성

랭글랜즈 작용성(Langlands functoriality)은 랭글랜즈 쌍대군 간의 (잘 동작하는) 준동형 사상이 주어지면, 해당 군들의 "좋은" 표현 간에 유도된 사상이 있어야 함을 의미한다. 이 이론을 명확하게 하기 위해, ''L''-군은 범주가 되어야 하며, ''L''-준동형 사상은 바일 군 위에 있어야 한다.

4. 3. 이론물리학 (전기-자기 이중성)

이론물리학에서, 랭글랜즈 쌍대군은 전기-자기 이중성에 등장한다. 구체적으로, 전기-자기 이중성에서 (전기) 게이지 군에 해당하는 자기 게이지 군은 랭글랜즈 쌍대군이다. 이를 통해 물리학으로 랭글랜즈 프로그램을 해석할 수 있다.^[1] 이 사실은 안톤 카푸스틴(Анто́н Капу́стин^ru)과 에드워드 위튼이 발견하였다.^[2]

5. 한국의 연구 동향

5. 1. 김민형의 연구

5. 2. 기타 연구

참조

_[1] 저널 Gauge Theory and Langlands Duality 2009
_[2] 저널 Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program 2006

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