렌즈 공간
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1. 개요
렌즈 공간은 3차원 초구에 작용하는 순환군에 대한 몫공간으로 정의되는 3차원 위상다양체의 일종이다. 로 표기되며, 여기서 p와 q는 서로소인 양의 정수이다. 렌즈 공간의 기본군은 이며, 호몰로지 군은 , , , 이다. 렌즈 공간은 고체 공 또는 고체 쌍각뿔을 사용하여 정의할 수 있으며, 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아닌 렌즈 공간이 존재한다.
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렌즈 공간 |
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2. 정의
와 가 서로소인 양의 정수라고 하자. 3차원 초구 를 안의 단위 구면으로 간주한다. 이때 위에 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.
렌즈 공간 는 3차원 (경계가 없는) 위상다양체이며, 모두 자이페르트 다양체(Seifert manifold영어)의 특수한 경우다.
3차원 렌즈 공간 는 특정한 방식으로 점들을 동일시한 고체 공으로 정의되기도 한다. 먼저 고체 공의 적도에 개의 점을 같은 간격으로 표시하고, 이 점들을 부터 까지 이름 붙인다. 다음으로, 공의 경계 위에서 이 점들을 각각 북극과 남극에 연결하는 측지선을 그린다. 마지막으로 북극과 남극을 같은 점으로 보고, 적도의 점 를 와 동일시하며, 을 과 동일시하는 방식으로 구면 삼각형들을 식별한다. 이렇게 만들어진 공간은 렌즈 공간 와 위상동형이다.
두 렌즈 공간 과 의 분류는 호모토피 동치와 위상 동형이라는 두 가지 기준으로 이루어진다.
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이 작용은 자유 작용이며, 이 작용에 대한 몫공간
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을 '''렌즈 공간''' 라고 한다.
이 정의는 더 높은 차원으로 일반화할 수 있다. 을 2 이상의 정수라 하고, 을 각 가 와 서로소인 정수라고 하자. 을 안의 단위 구면으로 간주한다. 이때 다음과 같은 자유 작용을 정의한다.
:
이 작용에 대한 몫공간 을 '''렌즈 공간''' 이라고 한다.
3차원의 경우, 가 성립한다.
3. 성질
렌즈 공간 의 기본군은 다음과 같다.
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더 일반적으로, 고차원 렌즈 공간 의 기본군 역시 의 값에 의존하지 않고 항상 이다.
3차원 렌즈 공간 의 호몰로지 군은 푸앵카레 쌍대성 정리와 보편 계수 정리를 사용하여 계산할 수 있으며, 기본군과 마찬가지로 의 값에 의존하지 않는다.[1]
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고차원 렌즈 공간 의 호몰로지는 다음과 같다.[1]
렌즈 공간은 국소 대칭 공간이지만, 일반적으로 대칭 공간은 아니다. 다만 은 예외적으로 대칭 공간이다. (국소 대칭 공간은 고정점이 없는 등거리 변환으로 나뉜 대칭 공간이며, 렌즈 공간은 이 정의를 만족한다.)
기본군이나 호몰로지 군은 의 값에 의존하지 않기 때문에, 이것만으로는 렌즈 공간의 위상 동형이나 호모토피 분류를 할 수 없다. 렌즈 공간의 분류에는 의 정보도 필요하다.
4. 3차원 렌즈 공간의 다양한 정의
또 다른 정의 방법은 고체 공을 고체 쌍각뿔로 간주하는 것이다. 평면에 정각형 정다각형을 그리고, 그 중심의 바로 위와 아래에 각각 점 과 를 놓는다. 정각형의 각 꼭짓점을 과 에 연결하여 쌍각뿔 모양을 만든다. 이 쌍각뿔의 내부를 채워 고체로 만들고, 경계에 있는 삼각형들에 앞서 설명한 고체 공 정의에서와 동일한 식별 규칙을 적용한다.
5. 분류
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3차원 렌즈 공간의 호모토피 분류는 꼬임 연결 형식이라는 불변량을 통해 이루어진다.
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만약 이면, 두 공간 사이에 위상동형 사상을 쉽게 구성할 수 있다. 그러나 이 조건이 위상동형의 유일한 조건임을 증명하는 것은 더 어렵다. 위상동형 분류는 라이데마이스터 꼬임으로 설명된다. 이는 라이데마이스터(Reidemeister)가 1935년에 PL 위상동형에 대한 분류로 주었으며, 브로디(Brody)가 1960년에 이것이 위상동형 분류임을 밝혔다. 현대적인 관점에서 렌즈 공간은 단순 호모토피 유형에 의해 결정되며, 특성류나 수술 장애와 같은 일반적인 위상 불변량으로는 구별되지 않는다.
위 두 조건으로부터, 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아닌 렌즈 공간 쌍이 존재함을 알 수 있다. 예를 들어, 과 를 비교해 보자. 이고 이므로, (여기서 ) 조건을 만족하여 두 공간은 호모토피 동치이다. 하지만 (, )이므로 위상동형은 아니다.
렌즈 공간을 분류하는 다른 방법들도 있다.
6. 렌즈 공간의 고전적 위상 불변량
렌즈 공간 의 기본군은 의 값에 의존하지 않고 항상 이다. 특히, 3차원 렌즈 공간 의 기본군은 다음과 같다.
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렌즈 공간 의 호몰로지 군은 다음과 같다.[1]
3차원 렌즈 공간 의 경우, 푸앵카레 쌍대성 정리와 보편 계수 정리를 이용하여 호몰로지 군을 계산할 수 있다. 그 결과는 다음과 같으며, 이 역시 의 값에 의존하지 않는다.
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이처럼 렌즈 공간의 기본군과 호몰로지 군은 (또는 ) 값에 의존하지 않는 고전적인 위상 불변량이다. 그러나 렌즈 공간의 위상 동형 분류나 호모토피 분류에는 값도 관련되므로, 기본군이나 호몰로지만으로는 렌즈 공간을 완전히 분류할 수 없다.
참고로, 렌즈 공간은 국소 대칭 공간이지만, 일반적으로 대칭 공간은 아니다. 은 대칭 공간이 되는 예외적인 경우이다.
7. 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아닌 렌즈 공간의 예시
렌즈 공간 와 가 호모토피 동치일 필요 충분 조건은, 어떤 정수 이 존재하여 가 성립하는 것이다. 반면, 이 두 공간이 위상 동형일 필요 충분 조건은 가 성립하는 것이다.
이 두 조건을 비교하면, 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아닌 렌즈 공간의 쌍이 존재할 수 있음을 알 수 있다. 예를 들어, 과 를 살펴보자.
- 호모토피 동치: 이다. 이다. 이때 으로 잡으면 이고, 이다. 따라서 조건 ()이 성립하므로, 과 는 호모토피 동치이다.
- 위상 동형: 조건, 즉 이 성립하는지 확인해야 한다.
- (성립하지 않음)
- (성립하지 않음)
- 이므로, (성립하지 않음)
- (성립하지 않음)
네 가지 경우 모두 성립하지 않으므로, 과 는 위상 동형이 아니다.
따라서 과 는 호모토피 동치이지만 위상 동형은 아닌 렌즈 공간의 한 예시가 된다.
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